高中数学必修5：等差数列与等比数列知识对比表

高中数学必修5：等差数列与等比数列知识比较一览表

等差数列
一般地,如果一个数列
{a
n
}
从第2项起，每一项与它
的前一项的 差等于同一个常数d，那么这个数列就叫
做等差数列．这个常数d叫公差．
等差数列的单调性：
数列
{a
n
}
为等差数列,则
当公差
d?0
，则为递增等差数列，
当公差
d?0
，则为递减等差数列，
当公差
d?0
，则为常数列．
等比数列
一般地，如果一个数列< br>{a
n
}
从第2项起，每一项
与它的前一项的比等于同一个常数q，那 么这个数
列就叫等比数列．这个常数q叫公比．
等比数列的单调性：
数列
{a
n
}
为等比数列,则
a
1
?0 ，则{a
n
}为递增数列
{
当
q?1
时，
a
1
?0，则{a
n
}为递减数列
；
定 义
当
0时，
{
a
1
?0，则{a
n
}为递增数 列

当q=1时,该数列为常数列，也为等差数列;
当q<0时,该数列为摆动数列.
等差数列的判定方法
等比数列的判定方法
（1）定义法：若
a
n
?a
n?1
?d
或
（1）用定义：对任意n,都有
?
a
n?1
?a
n
?d
(常数
n?N
)
?
?
a
n
?
是等差数列．
a
a
n?1
?qa
n
或
n?1
?q(q为常数，a
n
?0)

（2）等差中项：数列
?
a
n
?
是等差数列
a< br>n
?2a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n?2 )?2a
n?1
?a
n
?a
n?2

（3）通项 公式：
a
n
?kn?b
（
k,b
是常数）
?
{a
n
}
为等比数列
?
数列
?
a
n
?
是等差数列
2
（2）等比中项：
a
n
?a
n?1
a
n?1
（a
n?1
a
n?1
?
0）
（4）前n项和公式：数列
?
a
n
?
是等差数列
?
{a
n
}
为等比数列
?
S
n
?An
2
?Bn
,（其中A、B是常数）。
（3）通项公式：
a
n
?A?B
n
?
A?B?0< br>?

?
{a
n
}
为等比数列
（4）前n项和公式：
S
n
?A?A?B
n
或S
n
?A'B
n
?A'
?
A,B,A',B'为常数
?

?
{a
n
}
为等比数列
等差数列的证明方法：只能依据定义：
等比数列的证明方法：只能依据定义：
定义 法：若
a
n
?a
n?1
?d
或
a
n?1< br>?a
n
?d

(常数
n?N
)
?
?
a
n
?
是等差数列．
?
a
1
?0，则{a
n
}为递减数列
判定
方法
证明
方法
若
a
n
?q
?
q?0
?
?
n?2,且n?N
*
?
或
a
n?1
?qa
n

a
n?1
?
{a
n
}
为等比数列
①a
n?1
?a
n
?a
2
?a
1
（
n?N
）
递推
关系
②
a
n?1
?a
n
?d
（
n?N
）
③
a
n?1
?a
n
?an
?a
n?1
（
n?2,n?N
）
*
*< br>*
①
a
n?1
?
a
2
（
n?N
）
*
a
n
a
1
②
a< br>n?1
*
?q
（
q?0,n?N
）
a
n< br>*
③
a
n?1
?
a
n
（
n?2,n ?N
）
a
n
a
n?1
①
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d
=
kn?b

推广：
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
（m、
n?N
）
*
特别的,当m=1时,便得到等差数列的通项公式．
此公式比等差数列的通项公式更具有一般性．
通项
公式
a
1< br>n
q?A?B
n
?
A?B?0
?

q
*
n?m
推广：
a
n
?a
m
?q
（m、
n?N
）
①
a
n
?a
1
q
n? 1
?
a
n
?a
m
a?a
1
，
d?
n
，
a
1
?a
n
?
?
n?1?
d

n?mn?1
*
②
a
n
?pn?q
（
p,q为常数,n?N
）
是关于
n
的一次函数，且斜率为公差
d

d?
S< br>1
(n?1)
③由
S
n
的定义，
a
n
=
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?2)< br>特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式．,
此公式比等比数列的通项公式更具有一般性 ．
q
n?m
?
a
a
n
n?1
，
q?
n
，
a
1
?a
n
?q
1?n

a
m
a
1
n
②
a
n
?p?q（
p,q是常数,q?0,p?0,n?N
*
）
③由
S
n
的定义，
?
S
1
?
n?1
?
*
（
n?N
）
?
a
n
?
?
S
n
?
S
?
n?2
?
?
n?1
（
n? N
）
*

1

等差中项：
等差
中项
等比
中项
（1）如果
a
，
A
，
b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
a?b
b
的等差中项．即：
A?
或
2A?a?b

2
等比中项：
（1）如果
a,A,b
成等比数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A?ab
或
A??ab

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的
等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列
?
a
n
?
是等比数列
?
an
2
?a
n?1
?a
n?1

若
{a
n
}
为等比数列,
①当
q?1
时，等比数列通项公式
2
（2）等差中项：数列
?
a
n
?
是等差数列 < br>?2a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n?2)
?2a
n?1
?a
n
?a
n?2

若
?
a
n
?
等差数列：
①当公差
d?0
时，等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d
是关于
n
的一次函数 ，
且斜率为公差
d
.
②
a
n?1
?a
n ?1
?2a
n
,n?N
*
,n?2
.
③当
m?n?p?q
时,则有
a
m
?a
n
?a
p?a
q

（m、n p、q
?
N
*
） < br>特别地，
a
1
?a
n
?a
2
?a
n ?1
?a
3
?a
n?2
????

当
m? n?2p
时，则有
a
m
?a
n
?2a
p
.
（注：扩充到3项、4项??都可以，但要保证等号
两边项数相同，下标系数之和相等.） < br>④
?
a
n
?
、
?
b
n
?< br>为等差数列，则
?
a
n
?b
n
?
，
主要
性质
a
1
n
q?A?B
n
?A?B?0
?
是关于
n
q
的带有系数的类指数函数，底数为公比
q

a
n
?a
1
q
n?1
?2
a
n?1
a
n?1
?a
n
,n?N
?
,n?2

②若p+q=s+r, p、q、s、r
?
N
*
,则
a
p
a
q
?a
s
a
r.
特别地，
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?a
3
a
n?2
???

当
m?n?2k
时,得
a
n
?a
m
?a
k
2
，
③对任意c>0,c
?
1, 若a
n
恒大于0，则< br>?
log
c
a
n
?
为
等差数列.
④若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为两等比数列，
?
?
a
n
?b
?
，
?
?
1
a
n
?
?
2
b
n
?
都为等差数列.
a
⑤若
?
a
n
?
为等差 数列，对任意c>0,c
?
1,
?
c
?
为等比
n< br>数列.
⑥若
?
b
n
?
为正项等差自然数列，则a
b
n
为等差数列.
⑦每隔k(k
?
N
)项取出一项
(
a
m
,a
m?k
,a
m?2k
,a
m?3k
,???
) 仍为等差数列.
⑧等差数列依次n项之和仍是等差数列.即
S
n
,
S
2n
?S
n
,
S
3n
?S
2n
,?
为等差数列，
且公差为
kd
.
⑨若
a
p
?q,a
q
?p,
，且
p?q
,
则
a
p?q
?0
（p、q
?N
）.
< br>*
??
a
k
则
?
a
n
b
n
?
{}
,
{k?a
n
}
,
{a
n
k
}
,
{k?a
n
?b
n
}
{< br>n
}

b
n
a
n
(k为非零常数)均为等比数列.
⑤如果
{a
n
}
是各项均为正数的等比数列,
⑥
?
b
n
?
为正项等差自然数列，则
a
b
n
为等比数列.
⑦数列
{a
n
}
为等比数列,每隔k(k
?
N
)项取出一
项(
a
m
,a
m?k
,a< br>m?2k
,a
m?3k
,???
)构成公比是
q
等比 数列
⑧等比数列依次n项之积，构成公比是
q
n
的等比
数列.即数 列
a
1
?a
2
?????a
n
,
a
n?1
?a
n?2
?????a
2n
,
2
*< br>则数列
{log
a
a
n
}
是等差数列.
? ?
*
2
k?1
的
a
2n?1
?a
2n?2
??????a
3n
为公比是
q
k
的等比数列.
⑨等比数列依次n项和，是公比为
q
n
的等比数列.
n
即
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
,?
是公比为
q
的等差
数列.
①
2S
n
?n(a
1
?a
n
)
，即
S
n
?
②
S
n
?na
1
?
2
n(a
1
?a
n
)

2
①当
q?1
时，
S
n
?na
1

n(n?1)
dd
a
1
?
1?q
n
?a
1
?a
n
q
d
?n
2
?(a
1
?)n

②当
q?1
时，
S?

?< br>n
2
22
1?q1?q
*2
③
S
n
?An?Bn
(
A,B是常数,n?N
)是关于
n
的
aa< br>前n项
?
1
?
1
q
n
?A?A?B
n
?A'B
n
?A'

二次函数且常数项为0.
和公式
④
1?q1?q
求
S
n
的最值：
法1：因等差数 列前
n
项和是关于
n
的二次函数，故
*
可转化为求二次函数 的最值，但要注意数列特殊性.
（
A,B,A',B'
为常数，
n?N
）
法2：（1）“首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最

大值是所有非负项之和，

2

a
n
?0
可得
S
达到最大值即当
a
1
?0，d?0，
由< br>?
n
?
?
a
n?1
?0
时的
n值．
（2）“首负”的递增等差数列中，前
n
项和的最小值
是所有非正项之和．
?
a?0
即 当
a
1
?0，d?0，
由
?
n
可得
S
n
达到最小
?
a
n?1
?0
值时的
n
值．或求
?
a
n
?
中正负 分界项．
法3：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前
n
项和的图像是过原点 的二次函数，故
n
取离二次函数
对称轴最近的整数时，
S
n
取最大值（或最小值）．若
S
p
=
S
q
则其对称轴为
n?
①前
n
和项
S
n
?na
1
?
p?q
．
2
①前
n
项和
S
n
?
a
1?
1?q
n
?
1?q
a
1
?a
1q
n
a
1
a
??
1
q
n
?A ?A?B
n
?A'B
n
?A'
1?q1?q1?q
n(n? 1)dd
d?n
2
?(a
1
?)n
是关于
n

222
的二次函数且常数项为0.
②
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
,?
为等 差数列.
③
S
m?n
?S
m
?S
n
?m nd
.
系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数
为公比
q
.
②
S
n
,S
2n
? S
n
,S
3n
?S
2n
,?
为等比数列.
③
S
m?n
?S
m
?q
m
S
n
?S
n
?q
n
S
m

④
S
mn< br>?S
m
(1?q
m
?q
2m
???q
(n? 1)m
)

=
S
n
(1?q
n
?q
2n
???q
(m?1)n
)
.
若|q|<1,则
limS
n
?
S?
a
1
.
n??
1?q
⑤在等比数列
{a
n
}
中,
当项数为2n (n
?
N
)时,
S
偶
?qS
奇
，. < br>*
1
?
S
n
?
?
为等差数列，且公差为原公 差的.
2
?
n
?
⑤若
S
m
?S
n
,m?n,
则
S
m?n
?0
.
⑥若
S
p
?q,S
q
?p,
且
p?q
,
④数列
?
则
S
p?q
??(p?q),
p、q
?N
.
⑦
*
⑧当项数为2n，则
S
2n< br>?n
?
a
n
?a
n?1
?
，
前n项
和性质
且
S
偶
-S
奇
?n d
，
S
奇
?
a
n

S
偶
a
n?1
项数为奇数的等差数列各项和等于项数乘以中间项.
即当项数为2n-1，则
a
n
是项数为2n-1的等差数列的
中间项：
S
2n-1< br>?
?
2n-1
?
?a
n
，
且
S
奇
-S
偶
?a
n
，

S
n
S
n?m
?S
m
*
，n>2m，m、n< br>?N
.
?
nn?2m
若项数为2n+1 (n
?
N
)时，
qS
偶
?S
奇
?a
1

*
⑥
a
1
?a
2
?????a
n
=
a
1
?q

⑦

n
n
?
n?1
?
2
=
?
a
1
?a
n
?
n
2

S
奇
S
偶
n
，
?
n-1
（
S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?
n-1
?
a
n
）.
当项 数为奇数
2n?1
时，
a
n?1
是项数为2n+1的等差
数 列的中间项：
S
2n?1
?
?
2n?1
??
a< br>1
?a
2n?1
?
?
2
?
2n?1
?
a
n?1
.
⑨
?
a
n
?
、< br>?
b
n
?
为等差数列的前
n
和分别为
An
、
B
n
，
则
a
n
A
2n? 1
.
?
b
n
B
2n?1
3

等差数列相关技巧：
（1）等差数列的通项公式及前
n
和公 式中，涉及到
5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中
a
1
、
d
称作
为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便
可求出其余2个，即知3 求2．
（2）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
?a
1
?(n?1)d

②奇数个数成等差，
可设为?，
a?2d,a?d,a,a?d,a?2d
?
（公差为
d
）；
相关
技巧
③偶数个数成等差，
可设为
a?3d,a?d,a?d,a?3d
,?
（注意；公差为2
d
）
（3）
S
n
?S
n?1
?a
n
(n?2)
，对于任何数列都适用，
但求通项时记住讨 论当
n?1
的情况．
（4）解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
等比数列相关技巧：
（1）等比数列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
q
、
n
、
an
及
S
n
，其中
a
1
、
q
称 作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3
个，便可求出其余2个，即知3求2．
（2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可
设为通项：
a
n
?a
1< br>q
n?1

如奇数个数成等比，可设为?，
aa
2
?
,,a,aq,aq
2
qq
（公比为
q
，中间项用
a
表示）．
注意隐含条件公比
q
的正负．
（3）注意：在含有参数的数列时，若是等比数列，
一定要考虑到公比
q?1
的特殊情况．
（4）解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：转化为关于
a
1
和
q
的方程（组）；
以化繁为简，减少运算量．
关于等差、等比两个引申：
；
a
n< br>?ka
n?1
?b
模式（其中
k,b
为常数，
n?2
）
．
a
n
?pa
n?1
?p
n
模式（其中
p
为常数，
n?2
）
①基本量法：即运用条件转化为关于
a
1
和
d
的方程；
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运 用性质可
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化
繁为简，减少运算量．











其它





















4

5