高中数学必修5_平面向量检测卷

平面向量
姓名分数时间45分钟总分100分
2013年5月26日
一、选择题
→
＝(2,3)，CA
→
＝(4,7)，则BC
→
＝( ) 1．若向量BA
A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)
2．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
3．(2012·陕西高考)设a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ的值等于( )
21
A.
2
B.
2
C．0 D．－1
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°C．120° D．150°
→
·
→
＝1，则BC＝( ) 5．(2012·湖南高考)在△ABC中 ，AB＝2，AC＝3，ABBC
A.3B.7C．22D.23
二、填空题
6． (2012·安徽高考)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b， 则
|a|＝________.
7．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝ －2，则a与b的夹角为__________．
?????
?????????????? ????
8．(2006·安徽高考)
在
?ABCD
中，
AB?a, AD?b,AN?3NC
，M为BC的中点，则
MN?
??
b
表示） _______。（用
a、
????????
9. (2009·安徽高考)
给定两个长度为1的平面向量
OA
和
OB
，
它们的夹角为
1 20
.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.
o
????????????
若
OC?xOA?yOB,
其中
x,y?R
,则
x?y的最大值是=________.

三、解答题
10．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴 和y轴的正半轴交于A，B两点，
→
＝2P
→→
·
→
＝1， 求P点的轨迹点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BPA，且OQAB
方程．






33xx
π
11．已知向量a＝(cos
2
x，sin
2
x)，b＝(cos
2
，－sin
2
)，且x∈[0，
2
]．求：
(1)a·b及|a＋b|； < br>3
(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－
2
，求正实数λ的 值．







12．(2012 ·济南模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
A25
→→cos
2
＝
5
，AB·AC＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若c＝1，求a，sin B的值．

答案：
10．【解】 设A(x
0,
0)(x< br>0
>0)，B(0，y
0
)(y
0
>0)，
∵P(x，y)与Q关于y轴对称，∴Q(－x，y)，
→
＝2P
→
由BPA，即(x，y－y
0
)＝2(x
0
－x，－y)，
3
?
?
x
0
＝x
2
(x，y>0)． 可 得
?
?
?
y
0
＝3y
→
＝(－x，y)， AB
→
＝(－x，y)＝(－
3
x,3y)． 又OQ
00
2
→
·
→
＝1， ∵OQAB
3
∴
2
x
2
＋3y
2
＝1(x>0，y>0)．
3
∴点P的轨迹方程为x
2
＋3y
2
＝1(x>0，y>0)．
2
3x3x
11．【解】 (1)a·b＝cos
2
x·cos
2
－sin
2
xsin
2
＝cos 2x.
3x3x
∵a＋b＝(cos
2
x＋cos
2
，sin
2
x－sin
2
)，
3x3x
∴|a＋b|
2
＝(cos
2
x＋cos
2
)
2
＋(sin
2
x－sin
2
)
2

3x3x
＝2＋2(cos
2
xcos
2
－sin
2
xsin
2
)
＝2＋2cos 2x＝4cos
2
x
π
∵x∈[0，
2
]，∴cos x≥0，
因此|a＋b|＝2cos x.
(2)由(1)知f(x)＝cos 2x－4λcos x＝2cos
2
x－4λcos x－1，
∴f(x)＝2(cos x－λ)
2
－1－2λ
2
，cos x∈[0,1]．
①若0<λ≤1，则当cos x＝λ时，
31
f(x)有最小值－1－2λ
2
＝－
2
，解得λ＝
2
.
②若λ>1，则当cos x＝1时，
35
f(x)有最小值1－4λ＝－
2
，解得λ＝
8< br>与λ>1矛盾．
1
综合①，②知，λ＝
2
为所求．

A253
12．【解】 (1)∵cos A＝2cos
2
2
－1＝2×(
5
)
2
－1＝
5
，
而AB
→
·AC
→
＝|AB
→
|·|AC< br>→
|·cos A＝
3
5
bc＝3，
∴bc＝5.
又A∈(0，π)，∴sin A＝
4
5
，
∴△ABC的面积S< br>114
△
ABC
＝
2
bcsin A＝
2
×5×
5
＝2.
(2)由(1)知bc＝5，而c＝1，∴b＝5.
∴a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A＝52
＋1
2
－2×1×5×
3
5
＝20，∴
又< br>ab
sin A
＝
sin B
，
∴sin B＝
b·sin A5425
a
＝
25
×
5
＝
5
.
a＝25.