高中数学必修五重点知识复习资料

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第一章 解三角形
1、三角形的性质：
①.A+B+C=
?
,
?

sin(A?B)?sinC
，
cos(A?B)??cosC

A?B
?
CA?BC
??
?
sin?cos

22222
②.在
?ABC
中,
a?b
＞c ,
a?b
＜c A＞B
?
sinA
＞
sinB
,
A＞B
?
cosA＜cosB, a ＞b
?
A＞B
???
③.若
?ABC
为锐角
?
，则
A?B
＞,B+C ＞,A+C ＞;
222

a
2
?b
2
＞
c
2
，
b
2?c
2
＞
a
2
，
a
2
＋
c< br>2
＞
b
2

2、正弦定理与余弦定理：
①.正弦定理：
abc
???2R
(2R为
?ABC
外接圆的直径)
sinAsinBsinC

a?2RsinA
、
b?2RsinB
、
c?2RsinC
（边化角）
abc
、
sinB?
、
sinC?
（角化边）
2R2R2R
111
面积公式：
S
?ABC
?absinC?bcsinA?acsinB

222
sinA?
②.余弦定理：
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

a
2
?b< br>2
?c2
2
?cbocs
、
b
2
A?a2
?c
2
?2accosB
、
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?
、
cosB?
、
cosC?
（角化边）
2bc2ac2ab
补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
??
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
si n
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
?s in
?
cos
?
?cos
?
sin
?
；
⑸
tan
?
?
?
?
?
?
tan< br>?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1? tan
?
tan
?
?
）；
1?tan
?
tan
?
- 1 -

⑹
tan
?
?
?
?
?
?
tan< br>?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1? tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
? 1?sin2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2

⑵
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2si n
2
?

?
升幂公式
1?cos
?
?2c os
2
?
22
cos2
?
?11?cos2
?，
sin
2
?
?
．
?
降幂公式
co s
2
?
?
22
,1?cos
?
?2sin
2
?

3、常见的解题方法：（边化角或者角化边）
第二章 数列
1、数列的定义及数列的通项公式：
①.
a
n
?f(n)< br>，数列是定义域为N的函数
f(n)
，当n依次取1，2，
???
时的 一列函
数值
②.
a
n
的求法：
i.归纳法
?
S
1
,n?1
ii.
a
n
?
?
若
S
0
?0
， 则
a
n
不分段；若
S
0
?0
，则
a
n
分段
S?S,n?2
n?1
?
n
iii. 若
a
n?1
?pa
n
?q
，则可设
a
n?1
?m?p(a
n
?m)
解得m,得等比数列
?
a
n
?m
?

?
S
n
?f(a
n
)
iv. 若
S
n
?f(a
n
)
，先求
a
1
，再构造方程组：< br>?
得到关于
a
n?1
和
a
n
的递推
?
S
n?1
?f(a
n?1
)
关系式
?
S
n
?2a
n
?1
S
n
?2a
n
?1
先求
a
1
，
a
n?1
?2a
n?1< br>?2a
n
例如：再构造方程组：（下减上）
?
?
S?2a? 1
n?1
?
n?1
2.等差数列：
① 定义：
a
n?1
?a
n
=
d
（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。
② 通项:
a
n
?a
1
?(n?1)d
,d?0
时，
a
n
为关于n的一次函数；
d
＞0时，< br>a
n
为单调递增数列；
d
＜0时，
a
n
为单 调递减数列。
- 2 -

③ 前n项和：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)

?na
1
?d
，
22
d?0
时，
S
n
是关于n的不含常数项的一元二次函数，反之也成立 。
④ 性质：i.
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
（m+n=p+q）
ii. 若
?
a
n
?< br>为等差数列，则
a
m
，
a
m?k
，
a
m?2k
，…仍为等差数列。
iii. 若
?
a< br>n
?
为等差数列，则
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
，…仍为等差数列。
iv 若A为a,b的等差中项，则有
A?
3.等比数列：
① 定义：
a
n?1
?q
（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。
a
n
a?b
。
2
② 通项:
a
n
?a
1
q
n?1
(q=1时为常数列)。
?
na
1
,q?1
?
③.前n项和,
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?a q
,需特别注意,公比为字母时要讨论.
1n
?,q?1
?
1?q
?
1?q



④.性质：
i.
a
m
?a
n
?a< br>p
?a
q
?
m?n?p?q
?
。
ii.< br>?
a
n
?
为等比数列,则a
m
,a
m?k< br>,a
m?2k
,?仍为等比数列
，公比为
q
k
。
iii.
?
a
n
?
为等比数列,则S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
,K仍 为等比数列
，公比为
q
n
。
iv.G为a,b的等比中项,
G??ab

4.数列求和的常用方法: < br>①.公式法:如
a
n
?2n?3,a
n
?3
n?1< br>
②.分组求和法:如
a
n
?3
n
?2
n? 1
?2n?5
，可分别求出
?
3
n
?
，
?
2
n?1
?
和
?
2n?5
?
的和，
然后把三部分加起来即可。
- 3 -

?
1
?
③.错位相减法:如
a
n
?
?3n?2
?
?
??
，
?
2
?
?1
??
1
??
1
??
1
?

S
n
?5
??
?7
??
?9
??
???? ?(3n?1)
??
?
2
??
2
??
2
? ?
2
?
234
23n?1
n
?
1
?
?
?
3n?2
?
??

?
2
?
nn?1
n
1
?
1
??
1
??
1
??
1
??
1
?

S
n
?
5??
?7
??
?9
??
?
…＋
?
3n ?1
?
??
?
?
3n?2
?
??
2
?
2
??
2
??
2
??
2
??
2
?
23n

n?1
1
?
1
??
1
??
1
??
1
??
1
?
两式相减得：< br>S
n
?5
??
?2
??
?2
??
? ????2
??
?
?
3n?2
?
??
2
?
2
??
2
??
2
??
2
??
2< br>?
④.裂项相消法:如
a
n
?
111
??;a
n
?
n
?
n?1
?
nn?1
1
n?1? n
，以下略。
?n?1?n
，
a
n
?
1
?
11
?
?
?
?< br>?
等。
2n?12n?122n?12n?1
????
??
1
⑤.倒序相加法.例：在1与2之间插入n个数
a
1
,a
2,a
3,
???,a
n
，使这n+2个数成等差数
列，
求：
S
n
?a
1
?a
2
?????a
n< br>，（答案：
S
n
?
第三章 不等式
1.不等式的性质:
① 不等式的传递性:
a?b,b?c?a?c

② 不等式的可加性:
a?b,c?R?a?c?b?c,
推论:
3
n
）
2
a?b
?
?
?a?c?b?d

c?d
?
③ 不等式的可乘性:
a?b
?
a?b
?
a?b?0
?
?ac?bc;?ac?bc;
???
?ac?bd? 0

c?0
?
c?0
?
c?d?0
?
④ 不等式的可乘方性:
a?b?0?a
n
?b
n
?0;a?b?0?< br>n
a?
n
b?0

2.一元二次不等式及其解法:
①.
ax
2
?bx?c?0,ax
2
?bx?c?0,f
?
x
?
?ax
2
?bx?c
注重三者之间的密切联系。
如：
ax
2
?bx?c
＞0的解为：
?
＜x＜
?
, 则
ax
2
?bx?c
＝0的解为
x
1
?
?
,x
2
?
?
；
函数
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c
的图像开口向下，且 与x轴交于点
?
?
,0
?
，
?
?
,0?
。
- 4 -

对于函数
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c< br>，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。
②.注意二次函数根的分布及其应用.
如：若方程
x
2
?2ax?8?0
的一个根在（0，1）上，另 一个根在（4,5）上，则有
f(0)
＞0且
f(1)
＜0且
f( 4)
＜0且
f(5)
＞0
3.不等式的应用：
①基本不等式：
a?0,b?0,
a?b
2
?ab, a
2
?b
2
?2ab, 2
?
a
2
?b
2
?
?
?
a?b
?

2
当a＞0,b＞0且
ab
是定值时，a+b有最小值；
当a＞0,b＞0且a+b为定值时，ab有最大值。
②简单的线性规划:
Ax? By?C?0
?
A?0
?
表示直线
Ax?By?C?0
的右 方区域.
Ax?By?C?0
?
A?0
?
表示直线
Ax? By?C?0
的左方区域
解决简单的线性规划问题的基本步骤是：
①.找出所有的线性约束条件。
②.确立目标函数。
③.画可行域，找最优点，得最优解。
需要注意的是，在目标函数中，x的系数的符号，
当A＞0时，越向右移，函数值越大，当A＜0时，越向左移，函数值越大。
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
z?Ax?By;

y
y?b
;
或
z?
x
x?a
②“斜率” 型：
z?
③“距离”型：
z?x
2
?y
2
或
z?x
2
?y
2
;

z?(x?a)
2
?(y?b)
2
或
z?(x?a)
2
?(y?b)
2
.

画——移——定——求：
- 5 -

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线
l
0
:Ax?By ?0
，平
移直线
l
0
（据可行域，将直线
l
0< br>平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解
(x,y)
；
第四步，将最优解< br>(x,y)
代入目标函数
z?Ax?By
即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用
z
的几何意义：
y??
Az
z
x?
,为直线的纵截距.
BB
B
①若
B? 0,
则使目标函数
z?Ax?By
所表示直线的纵截距最大的角点处，
z取得
最大值，使直线的纵截距最小的角点处，
z
取得最小值；
②若B?0,
则使目标函数
z?Ax?By
所表示直线的纵截距最大的角点处，
z
取得
最小值，使直线的纵截距最小的角点处，
z
取得最大值.
- 6 -