高中数学必做100题必修5

057. 在△ABC中，已知
a?3
，
b?2
，B=45? ，
求A、C及c.
解一：根据正弦定理，
sinA?
asinB3si n45
o
3
b
?
2
?
2
.
∵B=45?<90?，且b当A=60?时，C=75?，
c?
bsinC2sin75
o
6 ?
sinB
?
2
sin45
o
?
2
；

当A=120?时，C=15?，
?
bsinC2sin15
o
c
6?2
sinB
?
sin45
o
?
2< br>.
解二：根据余弦定理，
b
2
?a
2
?c2
?2accosB
.
实 用 文 档
1

2
将已知条件代入，整理得
c?6c?1?0
，
解得
c?
6?2
.
2
6?2
时，
2
当
c?
b
2
?c
2
?a
2
co sA?
2bc
6?2
2
2?()?3
2
，
?6?2
2?2?
2
1?3?
??
2(3?1)
2
从而A=60? ，C=75?；
当
c?

6?2
时，同理可求得：A=120? ，C=15? .
2

实 用 文 档
2

058. 在△ABC中，若
acosA?bcosB
，判断△ABC
的形状.
b< br>2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
解：，
cosB?
，
QcosA?
2bc2a c
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c< br>2
?b
2
??a??b

2bc2ac
化简得 ：
a
2
c
2
?a
4
?b
2
c2
?b
4
，
即
a
2
?b
2
c
2
?a
2
?b
2
?????
a
2
?b
2
?
.
①若
a
2
?b
2?0
时，
a?b
，此时
?ABC
是等腰三角
形； ②若
a
2
?b
2
?0
，
a
2
?b
2
?c
2
，此时
?ABC
是直角
三角形，
所以
?ABC
是等腰三角形或直角三角形.

实 用 文 档
3

实 用 文 档
4

059. 在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对
边， 且a
2
＋b
2
＝c
2
＋
2
ab.
（1）求C；
（2）若
tanB2a?c
tanC
?
c
，求A．
解：（1）∵ a
2
＋b
2
＝c
2
＋
2
ab，
a
2
?b
2
?c
2
∴
2ab
?
2
2
，
∴ cosC＝
2
2
， ∴ C＝45°.
（2）由正弦定理可得
tanB2a?c2sinA?sinC
tanC
?
c
?
sinC
，
∴
sinBcosC2sinA?sinC
cosBsinC
?
sinC

实 用 文 档
5

∴ sinBcosC＝2sinAcosB-sinCcosB，
∴ sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，
∴ sin(B＋C)＝2sinAcosB，
∴ sinA＝2sinAcosB.
∵ sinA≠0， ∴ cosB＝
1
2
，
∴ B＝60°， A＝180°－45°－60°＝75°.


实 用 文 档
6

060. 如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设
于C，D，已知△ACD为边长等于a的正三角形．当
目标出现于B时，测得∠CDB＝45°，∠BC D＝75°，
试求炮击目标的距离AB．（结果保留根式形式）
B
D C
A
解：在
?BCD
中，
?DBC?60?
，
aBC
.
?
sin60?sin45?
∴
BC?
6
a
.
3
在
?ABC
中，
?BCA?135?
，
实 用 文 档
7

AB
2
?(
6
3< br>a)
2
?a
2
?2?
6
3
a?a?cos1 35?
.
?
5?23

2
3
a
∴
AB?
5?23
3
a
.

实 用 文 档
8

061. 如图， 一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅
直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为
18 0千米小时，飞行员先看到山顶的俯角为
30?
，
经过2分钟后又看到山顶的俯角为< br>75
o
，求山顶的
海拔高度.
解：在
?ABP
中 ，
?BAP?30?
，
?APB?75??30??45?
，
AB? 180?
2
60
?6
.
根据正弦定理，
ABBP
sin?APB
?
sin?BAP
，
6BP
sin45?
?
sin30?
，
BP?32
.
BPgsin75??32?sin(45??30?)?
3?33
2
.
所以，山顶P的海拔高度为
实 用 文 档
9

?
17?33
2
（千米）.

实 用 文 档
h?10?


3?33
2
10

062. 已知数列
{
a
n
}
的第1项是1，第2项是2， 以
后各项由
a
n
?a
n?1
?a
n?2
( n?2)
给出.
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用上面的数列
{ a
n
}
，通过公式
b
n
?
a
n?1
构造
a
n
一个新的数列
{b
n
}
，试写出数列< br>{b
n
}
的前5项.
解：⑴由
a
1
?1 ,a
2
?2,a
n
?a
n?1
?a
n?2
，
得
a
3
?a
2
?a
1
?2?1?3< br>，
a
4
?a
3
?a
2
?2?3?5

a
5
?a
4
?a
3
?3?5?8
；

⑵依题意有：
b
1
?
a
a
2
2 3
??2
，
b
2
?
3
?
，
a1
1a
2
2
a
a
58
b
3
?
4
?
，
b
4
?
5
?
，
a
3
3a
4
5
实 用 文 档
11

a
4
?
5?8
?
13
8
.
5
8

实 用 文 档
b
5
?

a
6
a
5
?
?
a
5
a
12

1
n
，求
2
这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如
果是，它的首项与公差分别是什么？
063. 已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
? n
2
?
解：⑴①当
n?1
时，
a
1
?s< br>1
?
3
；
2
②当
n?2
时，由
a
n
?s
n
?s
n?1
得
n
??11
2
??
a
n
?
?
n
2
?
?
?
?
?
n?1
?
?
?
n?1< br>?
?
?2n?

2
??
22
??
31
满足
a
n
?2n?
，所以此数列的通项公式
22
1
为
a
n
?2n?
.
2
又
a1
?
1
??
1
??
⑵因为
a
n
?a
n?1
?
?
2n?
?
?
?
2
?
n?1
?
?
?
?2
，
2
??< br>2
??
3
所以此数列是首项为，公差为2的等差数列.
2
实 用 文 档
13

实 用 文 档

14

064.等比数列
{
an
}
中，已知
a
1
?2,a
4
?16
.
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若a
3
,a
5
分别为等差数列
{b
n
}
的第3项和第5
项，试求数列
{b
n
}
的通项公式及前
n< br>项和
S
n
.
解：（1）设
{a
n
}
的公比为
q
， 由已知得
16?2q
，
解得
q?2
.
n?1n
所以
a
n
?2?2?2
.
3
（2）由（1）得
a
2
?8
，
a
5
?32
，则
b
3
?8
，
b
5
?32
. < br>?
b
1
?2d?8
设
{b
n
}
的公 差为
d
，则有
?

b?4d?32
?
1
?
b
1
??16
解得
?
.
d?12
?
从而
b
n
??16?12(n?1)?12n?28
.
实 用 文 档
15

所以数列
{b
n
}
的前
n
项和
S
n
?
n(?16?12n?28)
?6n
2
?22n
.
2
065. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10
项的和等于50，那么它的前15项的和等于多少？
解法一：
QS
5
?10,S
10
?50
，
?S
10
?S
5
?40,S
15
?S
10
?S
15
?50
，
又
S
5
,S
10
?S
5
,S
15
?S
10
成等比数列，
所以
40
2
?10
?
S
15
?50
?，
所以
S
15
?210
.
解法二：设等比数列的首项为
a
1
，公比为
q
，则： S
10
?
?
a
1
?a
2
?L?a5
?
?
?
a
6
?a
7
?L?a
10
?

5
=
S
5
?qS
5
=
1?q
5
S
5
?50
①，
??
实 用 文 档
16

10
同理
S
15
?S
10
?qS
5
②，
S
因为
S
5?10
，所以由①得
q
5
?
10
S
?1?4< br>，
5
所以
q
10
?16
，代入②，
得< br>S
15
?S
10
?qS
5
?50?16?10?21 0
.


实 用 文 档
17

< br>066.已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和为< br>S
n
，
1
S
n
?(a
n
?1)(n ?N
*
)
.
3
（1）求
a
1
,a
2
;

（2）求证：数列
?
a
n
?
是等比数列.
11
解：（1）
a
1
?S
1
?(a
1
? 1)
，解得
a
1
??
.
3
2
111
由
S
2
?(a
2
?1)?a
1
?a
2
???a
2
，解得
a
2
?
. < br>32
4
1
（2）
S
n?1
?(a
n?1?1)
，
3
11
则
a
n?1
?S
n ?1
?S
n
?(a
n?1
?1)?(a
n
?1)< br>，
33
整理为
2a
n?1
??a
n
，即
a
n
1
??
，
a
n?1
2
所以
{a
n
}
是等比数列.
实 用 文 档
18

实 用 文 档


19

067.已知不等式
x
2
?2x?3?0
的解集为A，不等式
x
2
?x?6?0
的解集是B.
（1）求
AIB
；（2）若不等式
x
2
? ax?b?0
的解集
是
AIB,
求
ax
2
?x?b?0
的解集.
解：（1）解
x
2
?2x?3?0
得
?1?x?3
，
所以
A?(?1,3)
.
解
x
2
?x?6?0
得
?3?x?2
，
所以
B?(?3,2)
. ∴
AIB?(?1,2)
.
（2）由
x
2
?ax?b?0
的解集是
(?1,2)
，所以
?
1?a?b?0
?
a??1
，解得
?

?
4?2a?b?0
b??2
?
?
∴
?x
2
?x?2?0
，解得解集为R.


实 用 文 档

20

068. 某文具店购 进一批新型台灯，若按每盏台灯15
元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1
元，日 销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获
得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的
销售价格（不能低于15元）？
解：设每盏台灯售价
x
元，
则?
?
x?15
?
?
?
x?
?
30?2
?
x?15
?
?
?
?400
，
即< br>15?x?20
，所以售价在
?
x15?x?20
?
.


实 用 文 档
21

069. 电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，
连续剧甲每次播放时间为80 min，广告时间为1 min，
收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，
广告时间为1 min，收视观众为20万. 已知此企业
与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min
广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过
320分钟. 问两套连续剧各播多少次，才能获得最高
的收视率?
解：将所给信息用下表表示.
每次播放时广告时间(单
间(单位:min) 位:min)
收视观
众(单位:
万)
60

连续
剧甲
连续
剧乙
限制
条件
80 1
40
播放最长时
间320
1
最少广告时
间6
20

设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收
视率为z. 则目标函数为z=60x+20y，
实 用 文 档
22

?
80x?40y?320
?
x?y?6
?
约束条件为
?
，作出可行域如图.
x?0
?
?
?
y?0
< br>作平行直线系
y??3x?
点A时纵截距
z
，由图可知，当直线过20
z
最大.
20
?
80x?40y?320
解方程组
?
，
x ?y?6
?
得点A的坐标为(2，4)，z
max
=60x+20y=200 (万).
所以，电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续
剧乙4次，才能获得最高的收视率.
实 用 文 档
23

实 用 文 档
24

070. 已知
x,y
为正数.
（1）若
19
??1
，求
x?2y
的最小值；
xy
（2）若
x?2y?2
，求
xy
的最大值.
解：（1）∵
19
??1
，
xy
192y9x
?
∴
x?2y?(x?2y)(?)?1?18?

xyxy
2y9x
??19?62
.
xy
≥
1 9?2
当且仅当
2y9x
?
时，上式取等号. 所以
x?2y
的
xy
最小值为
19?62
.
（2）
xy?
1
2
x?2y?
1x?2y2
.
??
22
2
25
实 用 文 档

当且仅当
x?2y
即
x?1,y?
1
时等号成立.
2

实 用 文 档
26

071. 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积
为4800 m
3
，深为3 m，如果池底每平方米的造价为
150元，池壁每平方米的造价为12 0元，怎样设计
水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
解：设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长
4800
度为
m，又设水池总造价为y元. 根据题意，
3x
得
y＝150×
48004800
＋120（2×3x＋2×3×）
33x
1600
）
x
＝240000＋720（x＋
≥2 40000＋720×2
x?
1600

x
＝240000＋720×2×40＝297600.
当x＝
1600
，即x＝40时，y有最小值297600.
x
因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水
实 用 文 档
27

池的总造价最低，最低总造价是297600元.


实 用 文 档
28

072.经过长期观 测得到：在交通繁忙的时段内，某
公路段汽车的车流量
y
（千辆小时）与汽车的平均< br>速度
v
（千米小时）之间的函数关系为：
920v
y?
2(v?0)
．
v?3v?1600
（1）在该时段内，当汽车的平均速度
v
为多少时，
车流量最大？最大车流量为多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则
汽车的平均速度应在什么范围内？
解：（1）依题意得
y?
920v920920
??
． < br>1600
(v?)?3
21600?3
83
v
1600
即
v?40
时取等号．
v
当且仅当
v?
故
y< br>max
?
920
千辆 小时．
83
实 用 文 档
29

920v
（2）由条件得
v
2
?3v?1600
?10
．
整理得
v
2
?89v?1600?0
．
解得
25?v?64
．



实 用 文 档
30