高一数学必修五知识复习提纲

数学必修5复习知识提纲
（一）解三角形：
(1)内角和定理 ：三角形三角和为
?
，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！
任意两 角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形
?
三内角都是锐角
?
三内角的余弦值为正值
?
任两角和都是钝角
?
任 意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：
a
?
b
?< br>c
?2R
(R为三角形外接圆的半径).
sinAsinBsinC
注意：①正弦定理的一些变式：
?
i
?
a?b?c?sinA?sinB?sinC
；
c
ab
,sinB?,sinC
?
；
2R
2R2 R
?
iii
?
a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC；
?
ii
?
sinA?
②已知三角形两边一对角，求解三角形 时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
222
b?c?a
(3)余弦定理：
a?b?c?2bccosA,cosA?
等，常选用余弦定理鉴定三角形的
2bc< br>222
形状.
222
2222
如
?ABC
中，若< br>sinAcosB?cosAsinB?sinC
，判断
?ABC
的形状（答： 直角三角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意
A?B?C?
?
这个特殊性：
A?BC
A?B?
?
?C,sin(A?B)?si nC,sin?cos
；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题
22
2
(4)面积公式：
S?
1
ah
a
?
1
absinC ?
1
r(a?b?c)
（其中
r
为三角形内切圆半径）.
时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。
b
，如（1）
?ABC
中，A、B的对边分别是
a、
且
A
那么满足条件的
?ABC

=60 ,a?6 ,b4?
，
A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；
（2）在
?ABC
中，A＞B是sinA?sinB
成立的_____条件（答：充要）；
（3）在
?ABC
中，
(1?tanA)(1?tanB)?2
， 则
log
2
sinC
＝_____（答：
?
(4)在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角A、B、C所对的边，
若
(a ?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB
，则
?C
＝____（ 答：
60
）；
?
?
1
）；
2
a
2
?b
2
?c
2
?
（5）在
?ABC
中 ，若其面积
S?
，则
?C
=____（答：
30
）；
43
?
（6）在
?ABC
中，
A?60, b?1
，这个三角形的面积为
3
，则
?ABC
外接圆的直径是_______
（答：
239
）；
3
1B?C
3,cosA?,则cos
2
b
2
?c
2
= ，
32
（7）在△ABC 中，a、b、c是角A、B、C的对边，
a?
的最大值为 （答：
;
19
）；
32
（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （答：
0?C?
?
6
?
（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若
?C?75
，且
?AOB,?BOC,?COA
的面积满足关
）；

系式
S
?AOB
?S
?BOC
?3S
?COA，求
?A
（答：
45
）．
（二）数列：
1.等差数列的有关概念：
（1）等差数列的判断方法：定义法
a
n?1< br>?a
n
?d(d
为常数
）
或
a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n?1
(n?2)
。
如设
{a
n
}
是等差数列，求证：以b
n
=
?< br>a
1
?a
2
???a
n

n?N*
为通项公式的数列
{b
n
}
为等差数
n
列。
（2 ）等差数列的通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
。
如①等差数列
{a
n
}
中，
a
10
?30
，
a
20
?50
，则通项
a
n
?
；
②首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；
n(a
1
?a
n
)n(n?1)
d
。 ，
S
n
?na
1
?
22
315
1
*
如①数列
{a
n
}
中，
a
n
?a
n?1
?(n?2,n?N)
，
a
n
?
，前n项和
Sn
??
，则
a
1
＝＿，
22
2
（3） 等差数列的前
n
和：
S
n
?
n
＝ ；
②已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
? 12n?n
2
，求数列
{|a
n
|}
的前
n
项和
T
n
.
a?b
。
2
提醒：（1）等差数 列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，
其 中
a
1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便 可求出其余2个，即知3求2。
（4）等差中项：若
a,A,b
成等差数列，则A叫 做
a
与
b
的等差中项，且
A?
（2）为减少运算量，要注意 设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为?，
a?2d,a?d,a,a?d,a?2d
?（公 差为
d
）；偶数个数成等差，可设为?，
a?3d,a?d,a?d,a?3d
,?（公差为2
d
）
2.等差数列的性质：
（1）当公差
d? 0
时，等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?d n?a
1
?d
是关于
n
的一次函数，
且斜率为公差
d
；前
n
和
S
n
?na
1
?
0.
（2）若公差
d?0
，则为递增等差数列，若公差
d?0
，则为递减 等差数列，若公差
d?0
，
则为常数列。
（3）当
m?n?p?q
时,则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，特别地，当
m?n?2p
时，则有
n(n?1)dd
d?n2
?(a
1
?)n
是关于
n
的二次函数且常数项为222
a
m
?a
n
?2a
p
.
如等 差数列
{a
n
}
中，
S
n
?18,a
n< br>?a
n?1
?a
n?2
?3,S
3
?1
，则
n
＝____ ；
(4) 若是等差数列，则
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
，?也成等差数列
如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。
（5）若等差数列
{a
n
}
、
{b
n
}
的前
n
和分别为
A
n
、
B
n
， 且
则
A
n
?f(n)
，
B
n
a
n
(2n?1)a
n
A
2n?1
???f(2n?1)
.
b
n
(2n?1)b
n
B
2n?1
T
n< br>4n?3
如设{
a
n
}与{
b
n
}是两个等 差数列，它们的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，若
S
n
?
3n?1
，那么

a
n
___________；
?
b
n
(6)“ 首正”的递减等差数列中，前
n
项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数
a
n
?0
?
?
a
n
?0
?
确定 出前多列中，前
n
项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组
?
?< br>或
?
?
?
?
?
a
n?1
?0
?
?
?
a
n?1
?0
?
少项为非负（或非正）； 法二：因等差数列前
n
项是关于
n
的二次函数，故可转化为求二次函数的最< br>值，但要注意数列的特殊性
n?N
。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想） ，由此你
能求一般数列中的最大或最小项吗？
如①等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?25
，
S
9
?S
1 7
，问此数列前多少项和最大？并求此最大值；
②若
{a
n
}是等差数列，首项
a
1
?0,a
2003
?a
2004
?0
，
a
2003
?a
2004
?0
，则 使前n项和
S
n
?0
成
立的最大正整数n是 ；
3.等比数列的有关概念：
aaa
（1）等比数列的判断方法：定义法
n?1
?q(q
为常数
）
，其中
q?0,a
n
?0
或
n?1
?
n
(n?2)
。
a
n
a
n
a
n?1
如①一个等比数列{
a
n
}共有< br>2n?1
项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则
a
n?1
为____；
②数列
{a
n
}
中，
S
n
=4
a
n?1
+1 (
n?2
)且
a
1
= 1，若
b
n
?a
n?1
?2a
n
，求证：｛
b
n
｝是等比数列。
（2）等比数列的通项：
a
n
?a
1
q
n?1
或
a
n
?a
m
q
n?m
。
如设等比数列
{a
n
}
中 ，
a
1
?a
n
?66
，
a
2
a< br>n?1
?128
，前
n
项和
S
n
＝126， 求
n
和公比
q
.
*
a
1
(1?qn
)
a
1
?a
n
q
?
（3）等比数列 的前
n
和：当
q?1
时，
S
n
?na
1< br>；当
q?1
时，
S
n
?
。
1?q
1?q
如等比数列中，
q
＝2，S
99
=77，求
a
3
?a
6
???a
99
；
特别提醒：等比数列前
n
项和公式有两种形式，为此在求等比数列前
n
项和时，首先要判断公
比< br>q
是否为1，再由
q
的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比
q< br>是否为1时，要对
q
分
q?1
和
q?1
两种情形讨论 求解。
（4）等比中项：若
a,A,b
成等比数列，那么A叫做
a
与
b
的等比中项。
4.等比数列的性质：
（1）当
m?n?p? q
时，则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，特别地，当
m?n?2p
时，则有
a
m
?a
n
?a
p
2
.
如①在等比数列
{a
n
}
中，
a
3
?a
8
?124,a
4
a
7
??512
，公比q是整数，则
a
10
=___；
l og
②各项均为正数的等比数列
{a
n
}
中，若
a
5
?a
6
?9
，则
log
3
a
1
?
32
a???log
310
a?
。
(2) 若
{a
n
}
是等比数列，则数列
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
，?也是等比数列。
如在等比数列
{a
n
}
中，
Sn
为其前n项和，若
S
30
?13S
10
,S
10
?S
30
?140
，则
S
20
的值为___ ；
(3)若
a
1
?0,q?1
，则
{a
n
}
为递增数列；若
a
1
?0,q?1
, 则
{a
n
}
为递减数列；若
a
1
?0,0?q?1
，则
{a
n
}
为递减数列；若
a
1
?0,0?q?1
, 则
{a
n
}
为递增数列；若
q?0
，则
{a
n
}
为摆动数列；若
q?1
，则
{a
n
}
为常数列.
(4)如果数列
{a
n
}
既成等差数列又成等比数 列，那么数列
{a
n
}
是非零常数数列，故常数数列
{a
n
}
仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
如设数列
?< br>a
n
?
的前
n
项和为
S
n
（
n?N
）， 关于数列
?
a
n
?
有下列三个命题：①若< br>a
n
?a
n?1
(n?N)
，则
?
a
n
?
既是等差数列又是等比数列；②若
S
n
?an
2?bn
?
a、
则
?
a
n
?
是
b?R
?
，
n
等差数列；③若
S
n
?1?
?
?1
?
，则
?
a
n
?
是等比数列。这些 命题中，真命题的序号是 ；
5.数列的通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

1111
,5,7,9,?
试写出其一个通项公式：__________；
481632
S,(n?1)
⑵已知
S
n
（即
a
1
?a
2
???a
n
?f(n)
）求
a
n
，用作差法：
a
n
?
1
。
S
n
?S
n?1
,(n?2)
如已知数列
3
?
如①已知
{a
n
}
的前
n
项和满足
log
2
(S< br>n
?1)?n?1
，求
a
n
；

111< br>a
1
?
2
a
2
???
n
a
n
?2n?5
，求
a
n

222
f(1),(n? 1)
?
?
f(n)
⑶已知
a
1
?
。 a
2
???a
n
?f(n)
求
a
n
， 用作商法：
a
n
?
?
,(n?2)
?
?
f (n?1)
如数列
{a
n
}
中，
a
1
?1 ,
对所有的
n?2
都有
a
1
a
2
a
3
?a
n
?n
2
，则
a
3
?a
5
?
______ ；
②数列
{a
n
}
满 足
⑷若
a
n?1
?a
n
?f(n)
求
a< br>n
用累加法：
a
n
?(a
n
?a
n?1)?(a
n?1
?a
n?2
)???(a
2
?a
1
)

?a
1
(n?2)
。
n?1?n
aaaa
⑸已知
n?1
?f(n)
求
a
n
，用累 乘法：
a
n
?
n
?
n?1
???
2
?a
1
(n?2)
。
a
n
a
n?1
a
n?2
a
1
如已知数列
{a
n
}
中，a
1
?2
，前
n
项和
S
n
，若
S
n
?n
2
a
n
，求
a
n


⑹已知递推关系求
a
n
，用构造法（构造等差、等比数列）。特别 地，（1）形如
a
n
?ka
n?1
?b
、
如已知数 列
{a
n
}
满足
a
1
?1
，
a< br>n
?a
n?1
?
1
(n?2)
，则
a
n
=________ ；
a
n
?ka
n?1
?b
n
（
k,b
为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为
k
的等比数列后，再求
a
n
。
如已知
a
1
?1,a
n
?3a
n?1
?2
，求
a
n
； ②已知
a
1
?1,a
n
?3a
n?1
?2
n
，求
a
n
；
a
n?1
的递推数列都可以用倒数法求通项。
ka
n?1
?b
a
n?1
如已知
a
1
?1,a
n
?< br>，求
a
n
；②已知数列满足
a
1
=1，
a< br>n?1
?a
n
?a
n
a
n?1
，求
a
n
；
3a
n?1
?1
注意：（1）用
a
n
?S
n
?S
n?1
求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的 条件了吗？（
n?2
，
当
n?1
时，
a
1
?S
1
）；
（2）一般地当已知条件中含有
a
n
与
S
n
的混合关系时，常需运用关系式
a
n
?S
n
?S
n?1
，先将
（2）形如
a
n
?
已知条件转化 为只含
a
n
或
S
n
的关系式，然后再求解。
如数 列
{a
n
}
满足
a
1
?4,S
n
?S
n?1
?
5
a
n?1
，求
a
n
；
3
6.数列求和的常用方法：
（1） 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其 公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用
公式：
1?2??3n?
1
2
?nn?
，
(1
2
1??2
2
)???n
2
?
1
n(n?1)(2n?1)
6
，

< br>1
3
?2
3
?3
3
???n
3
?[
n(n?1)
2
]
.
2
ｎ
2222
如等 比数列
{a
n
}
的前
n
项和S
ｎ
＝2－１ ，则
a
1
＝_____ ；
?a
2
?a
3
???a
n
如求和：
S
n
??1?3?5?7???(?1 )
n
(2n?1)

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常 将“和式”中“同类项”先合并在一起，
再运用公式法求和.

（3）倒序相加法 ：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，
则常可考虑选用倒序相加法 ，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前
n
和公式的推导方法）.
111
x
2
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()
＝___ ___； 如 已知
f(x)?
，则
2
234
1?x
（4 ）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，
那么常选用错 位相减法（这也是等比数列前
n
和公式的推导方法）.
如 设
{a
n
}
为等比数列，
T
n
?na
1
?(n?1)a
2
???2a
n?1
?a
n
，已知
T
1< br>?1
，
T
2
?4
，①求数列
{a
n
}
的首项和公比；②求数列
{T
n
}
的通项公式.；
（5 ）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么
常选用裂项相 消法求和.常用裂项形式有：
①
11
?
1
?
1
； ②
?
1
(
1
?
1
)
；
n(n? 1)nn?1n(n?k)knn?k
111
??
?
??
；
1?44?7(3n?2)?(3n?1)
如①求和：
②在数列
{an
}
中，
a
n
?
1
n?n?1
，且S
ｎ
＝９，则n＝_____ ；
（三）不等式
1、不等式的性质：
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若
a?b, c?d
，则
a?c?b?d
（若
a?b,c?d
，则
a?c ?b?d
），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；
（2）左右同正不等式：同 向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相
乘：若
a?b?0,c?d ?0
，则
ac?bd
（若
a?b?0,0?c?d
，则
ab
?
）；
cd
nn
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 ：若
a?b?0
，则
a?b
或
n
a?
n
b
；
11
11
（4）若
ab?0
，
a?b
，则
?
；若
ab?0
，
a?b
，则
?
。
ab
ab
2222
如①对于实数
a,b,c
中，给出下列命 题：①
若a?b,则ac?bc
；②
若ac?bc,则a?b
；
11 ba
22
③
若a?b?0,则a?ab?b
；④
若a?b?0,则?
；⑤
若a?b?0,则?
；
abab
ab11
?
,b0?
。⑥
若a?b?0,则a?b
；⑦
若c?a?b?0, 则
；⑧
若a?b,?
，则
a?0
c?ac?bab
其中正确 的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；
②已知
?1?x?y?1
，
1 ?x?y?3
，则
3x?y
的取值范围是______（答：
1?3x?y? 7
）；
③已知
a?b?c
，且
a?b?c?0,
则
2. 不等式大小比较的常用方法：
c
1
??
的取值范围是______（ 答：
?
?2,?
?
）
a
2
??

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法 ；
(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
1t?1
logt和log
的大小（答：当
a?1
时，
aa
22
1t?11t?1
log
a
t?log
a
（< br>t?1
时取等号）；当
0?a?1
时，
log
a
t? log
a
（
t?1
时取等号））；
2222
2
1
（2）设
a?2
，
p?a?
，
q?2
?a?4a? 2
，试比较
p,q
的大小（答：
p?q
）；
a?2
4
（3）比较1+
log
x
3
与
2log
x2(x?0且x?1)
的大小（答：当
0?x?1
或
x?
时，1 +
log
x
3
＞
3
44
2log
x
2
；当
1?x?
时，1+
log
x
3
＜
2log
x
2
；当
x?
时，1+
log
x
3
＝
2log
x
2
）
33
如（1）设
a?0且a?1,t?0
，比较
3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意：“一正二定三相等，”
1
x
2
?3
如（1）下列命题中正确的是A、
y?x?
的最小值是2 B、
y?
的最小值是2
2
x
x?2
44
C、
y?2?3x?(x?0)
的最大值是
2?43
D、
y?2?3x?(x?0)
的最小值是
xx
；
2?43
（答：C）
xy
（2）若
x?2y?1
，则
2?4
的最小 值是______（答：
22
）；
11
（3）正数
x,y
满足
x?2y?1
，则
?
的最小值为______（答：
3?22< br>）；
xy
22
a?b
?
a?b
?ab?
2
(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；4.常用不等式有：（1）
221
?1
ab
222
（2）a、b、c
?
R，
a?b?c?a b?bc?ca
（当且仅当
a?b?c
时，取等号）；
bb?m
（ 3）若
a?b?0,m?0
，则
?
（糖水的浓度问题）。
aa?m
如:如果正数
a
、
b
满足
ab?a?b?3
，则< br>ab
的取值范围是_________（答：
?
9,??
?
）
5.一元二次不等式解法：
（1）化成标准式：
ax?bx?c?0,(a?0)< br>；（2）求出对应的一元二次方程的根；
（3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。
6.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个 一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇
穿过偶弹回；
（3）根据曲线显现
f(x)
的符号变化规律，写出不等式的解集。
如（1 ）解不等式
(x?1)(x?2)?0
。（答：
{x|x?1
或
x? ?2}
）；
2
2

（2）不等式
(x?2 )x
2
?2x?3?0
的解集是____（答：
{x|x?3
或x??1}
）；
（3）设函数
f(x)
、
g(x)
的 定义域都是R，且
f(x)?0
的解集为
{x|1?x?2}
，
g( x)?0
的解
集为
?
，则不等式
f(x)?g(x)?0
的解集为______（答：
(??,1)?[2,??)
）；
（4）要使满足关于
x
的不等式
2x?9x?a?0
（解集非空）的每一个
x
的 值至少满足不等式
2
x
2
?4x?3?0和x
2
?6x?8 ?0
中的一个，则实数
a
的取值范围是______.（答：
[7,
81
)
）
8
7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使 右边为0，再通分并将分子分母分
解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。 解分式不等式时，一般
不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
如 （1）解不等式
5?x
??1
（答：
(?1,1)?(2,3)
）；
x
2
?2x?3
ax?b
?0
的解集为
x?2（2）关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集为
(1,??)，则关于
x
的不等式
____________（答：
(??,?1)? (2,??)
）.
8.线性规划问题：
1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解
2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
3．解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数； （3）根据求最值方法：①画：画可行域；
②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标； ④答；求最值； （4）验证。
两类主要的目标函数的几何意义:
①
z?ax? by
-----直线的截距；②
z?(x?a)
2
?(y?b)
2< br>-----两点的距离或圆的半径；
③
z?

y?b
-----直线的斜率
x?a