北师大版高中数学必修5全本教案

北师大版高中数学必修5全本教案
第1章 数列
1.1.1 数列的概念与简单表示法（一）
教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解 数
列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数
列，会根据其前几项 的特征写出它的一个通项公式.
教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.
教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.
教学过程：
［合作探究］
折纸问题
师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试
试(学生们兴趣一定很浓).
生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来 的厚度为1长度单位，面积为1面积
单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①
随着对折数面积依次为
11111
, , , ,…, ,….
24816256

生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为 原来的
1
，再折下
256
去太困难了.
师 说得很好，随数学水平 的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上
面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点 ？
生 均是一列数.
生 还有一定次序.
师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.
［教师精讲］
1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.
注意：
（1）数列的数是 按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列
次序不同，那么它们就是不同的数列；
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重
复出现. 2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的
第1项(或首项) ，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2” 是这个数列的第1项(或首项)，“16”
是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.

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2)根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.
常数数列：各项相等的数列.
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数
列.
请同学们观察：课本P
33
的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、
摆动数列？
生 这六组 数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，
(5)摆动数列，( 6)1.递增数列，2.递减数列.
［知识拓展］
师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n
项？
生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为a
n
=2
n
.
［合作探究］
同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，
项 2 4 8 16 32
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
你能从中得到什么启示？
生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N
*
(或它的有限子集{1，2，3，…，
n})的函数a
n
=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过 来，
对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数
列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….
师 说的很好.如果数列{a
n
}的第n项a
n
与n之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就 叫做这个数列的通项公式.
3. 例题讲解：
例1 根据下面数列
?
a
n
?
的通项公式，写出前5项：
（1）
a
n
?
n
;(2)a
n
?(?1)
n?n
n?1

变式训练1根据下面数列
?
a
n
?
的通项公式，写出前5项：
2n

(2n?1)(2n?1)
n
⑴
a
n
?2?1
⑵
a
n
?
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1111
（1）1，3，5，7； （2）--
1?2
，
2?3< br>，--
3?4
，
4?5
.
变式训练2：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
2
4
6810
, , , , , ……；
3
15
356399

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(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
2
例3 数列
?
a
n
?
中，
a
n
?n?5n?4
．
⑴
18
是数列中的第几项？
⑵
n
为何值时，
a
n
有最小值？并求最小值．
变式训练3： 已知数列｛a
n
｝的通项公式a
n
＝
1
1
(n∈N*)，那么是这
n(n?2)
120
个数列的第几项？
思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项
公式是唯一的吗？
4. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.

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1.1.2
数列的函数特性
学习目标：
理解数列的概念和几种简要的表示方法 ，了解数列是一种特殊函数，并能
以函数角度给数列分类。
学习过程：
一、课前准备
自主学习：数列概念及相关知识，通项公式
阅读P
6-7< br>通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列
的特性。
二、新课导入
①递增数列：
②递减数列：
③常数数列：
自主测评
1、下列结论中正确的是（ ）
①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点
②任何一个数列都有无数次
③数的通项公式存在且唯一
A、①② B、②③ C、①②③ D、①
2、已知数列
A、
1

n
1112
,,,
的一个通项公式为（ ）
6323
nn
B、 C、
63
D、
n

4
3、判断下列数列的增减性（ ）
①
11111
,,,,KK

2481632
②-3，-1，1，3，5，7……
④-2，-2，-2，-2…… ③-3，2，-4，-5，1，6，-2……
⑤0，1，0，1，0，1……
探究：是不是所有的数列都有增减性
三、巩固应用
例3：判断下列无穷数列的增减性

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（1）2，1，0，-1，…，3-n,… (2)
，，，KK，
例4：作出数列
?,,?,
减性。
2、已知数 列
{
a
n
}
中；
a
1
?3,a
2
?6,
且
a
n+2
=a
n+1
-a
n，则数列的第100项
为
2
3、已知数列
{
a
n}
中，
a
n
=n-2n+3
，则数列
a
n是增还是减数列
2
4、已知数列
{
a
n
}
中 ，
a
n
=n-7n+6
，求数列
{
a
n
}
的最小项
123
234
n
,KK

n?1
11
24
111
,KK,(?)
n
，…的图像，并分析数列的增< br>8162
四、总结提升
1、探究结论
2、数列与函数有什么关系？
五、能力拓展
一．填空题
1.数列
1,?1,1,?1,1L
，的通项公式的是 。
2.
1,
2
,
3
1
,
2
2,?
的一个通项公式是 。
5
3.在某报《自测健 康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如
下表. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内.
年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （ ）145
舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ ）88
4已知数列
?
a
n
?
，
an
?
1
1
(n?N
?
)
，那么是这个数列的第 项.
n(n?2)
120
1
图像上，当x取正整数时的点列，则其通项x
5.已知数列{a
n
}的图像是函数
y?
公式为 。
2
6.已知数列
?
a
n
?
，
a
n
?2n?10n?3
，它的最小项是 。
7. 已知 数列
?
a
n
?
满足
a
1
??2
，
a
n?1
?2?
2a
n
1?a
n
，则a
4
?
.
8.如图， 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九

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届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第
n
个图形包含
f(n)
个“福娃迎迎”，则
f(n?1)?f(n)? ．（答案用
n
的解析
式表示）

二．解答题
9.已知
?
a
n
?
满足
a
1
?3
，
a
n?1
?2a
n
?1
，试写出该数列的前5
项，并用观察法写
出这个数列的一个通项公式.
10.已知数列
?< br>a
n
?
中，
a
1
?3
，
a
10
?21
，通项
a
n
是项数
n
的一次函数， < br>①求
?
a
n
?
的通项公式，并求
a
2005
；
②若
?
b
n
?
是由
a
2,a
4
,a
6
,a
8
,L,
组成，试归纳?
b
n
?
的一个通项公式.
11.如果一个数列从第2项开始 ，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列
?< br>a
n
?
的第一项为2，公和为7，求
这个数列的通项公式a
n
。

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1.2.1 等差数列（一）
教学要求：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根
据定 义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，
能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.
教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式.
教学难点：等差数列的性质.
教学过程：
由学生观察分析：
4，5，6，7，8，9，10（1）
3，0，-3，-6，-9，???? （2）
110,210,310,410,……（3）
1，1，1，1， ?????? （4）
看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系，
由学生归 纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都
等于同一个常数（即：每个都具有相邻两 项差为同一个常数的特点）。
[等差数列的概念]
等差数列：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
这个常数 叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组
等差数列，它们的公差依次是1，-3 ，-0.1，0。
注意：⑴公差
d
一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
⑵对于数列{
a
n
},若
a
n
－
a
n?1
=
d
(
d< br>是与
n
无关的数或字母)，
n
≥2，
n
∈
N
，则此数列是等差数列，
d
为公差；
(3)若
d
=0, 则该数列为常数列．
[等差数列的通项公式]
提问：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？
⑴、我们是通过研 究数列
{a
n
}
的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项
公式 的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。
由学生经过分析写出通项公式：
① 猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
?n?3

② 猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
?3?(?3)(n?1)

③ 猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
?0.1n

④ 猜想得到这个数列的通项公式是
a
n
?1

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⑵、那么，如果任意给了一个等差数列的首 项
a
1
和公差d，它的通项公式是什
么呢？
引导学生根据等差数列的定义进行归纳：

a
2
?a
1
?d,

（n-1）个等式

a
3
?a
2
?d,


a
4
?a
3
?d,

…
所以
a
2
?a
1
?d,


a
3
?a
2
?d,a
3
?a
2
?d?(a< br>1
?d)?d?a?2d,


a
4
?a
3
?d,a
4
?a
3
?d?(a
1
? 2d)?d?a?3d,

……
思考：那么通项公式到底如何表达呢？
得出通项公式：以
a
1
为首项，d为公差的等差数列
{a
n
}
的通项公式为：
a
n
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
也就是说，只要我们知道了等差数列 的首项
a
1
和公差d，那么这个等差数列
的通项
a
n
就可以表示出来了。
选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭代法）：
{a
n
}
是等差数列，则有
a
n
?a
n?1
?d?a
n?2
?d?d?a
n? 2
?2d?a
n?3
?d?2d?a
n?3
?3d
= ……
?a
1
?(n?1)d

（迭加法）：
{a
n
}
是等差数列，

a
n
?a
n?1
?d,

a
n?1
?a
n?2
?d,


a
n?2
?a
n?3
?d,

……
a
2
?a
1
?d,

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两边分别相加得
a
n
?a
1
?(n?1)d,

所以
a
n
?a
1
?(n?1)d

2. 教学等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1) d
【或
a
n
?
a
m
?(n?m)d
（变< br>式：
d?
a
m
?a
n
）】
m?n
1
，－7，……的通项公式，并判断－20是不是这
2
3. 例题讲解：
例1、求等差数列0，－3
个等差数列的项？如果是，是第几项？如果不是，说明 理由.（教师引导
?
学生练
?
教师点评）
练：100是不是等差数 列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果
不是，说明理由.
例2、已知数列{< br>a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数，那么这
个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什 么？
注：数列{
a
n
}为等差数列的充要条件是它的通项公式为
a
n
?pn?q
，此式
又称为等差数列的第3通项公式.
例3、在等 差数列{
a
n
}中，若
a
1
+
a
6
=9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

4. 小结：等差数列的概念、通项公式，等差数列的性质及其应用.
三、巩固练习：
1. 在等 差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10，
a
12
?31
，求首项
a
1
、公差
d
及
a
15
.
2. 作业：教材P46页 A组第1题③④
1.2.2 等差数列（二）
教学要求：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列 的通项公式及
推导公式；并能运用所学知识解决一些生活中的等差数列.
教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
教学过程：
一、复习准备：
1. 练习：在等差数列
?
a
n
?
中, 若
a
3
?2

a
8
??13
， 求公差
d
及
a
14
.
2. 提问：如果三角形的三个内角 的度数成等差数列，那么中间的角是多少

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度？
二、讲授新课：
1. 教学等差中项的概念：
如果在
a< br>与
b
中间插入一个数A，使
a
，A，
b
成等差数列数 列，那么A应
满足什么条件？
由定义得A-
a
=
b
-A ，即：
A?
由此可可得：
A?
a?ba?b
；反之，若
A?
，则A-
a
=
b
-A.
22
a?b
?a,b,
成等差数列.
2
例1：求下列两个 数的等差中项①
5?2,5?2
；②
a?2b,3a?4b
.
2. 生活中的等差数列：
例2、某市居民生活用水的计费标准如下：若居民在某月用水量不超过5吨，则统一收取水费6元，否则超过部分则按1.35元吨的标准收取水费. 如果
己知某户居民该月用 水量为18吨，问他此月需支付多少水费？（学生自练
?
学生演板
?
教师点评 ）
例3、某地区1997年底沙漠面积为
9?10
5
hm
2
. 地质工作者为了解这个地区
沙漠面积的变化情况，从1998年开始进行了连续5年的观测，并在年底将
观测结果记录如下表：
观测
年份
该地区沙漠面积比原有面积增加
数

hm
2


1998

1999

2000

2001

2002
请根据上表所给的信息进行预测.
（1） 如果不采取任何措施，到2010年底，这个地区的沙漠面积将大约变
为多少
hm
2< br>？
10001
7999
6001
4000
2000

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（2）如果从2003年初开始，采取植树 造林等措施，每年改造8000
hm
2
沙
漠，但沙漠面积仍按原有速度增加， 那么到哪一年年底，这个地区的沙漠
面积将小于
9?10
2
hm
2< br>？
3. 小结：等差中项的概念，等差数列的公差、首项、项数及通项公式间的
关系，等差数列的性质及其应用.
三、巩固练习：
1. 有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在100 0m处放
一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完
成这项任务 ，这辆汽车的行程共有多少km？
2. 作业：教材P46 第4、5题

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等差数列性质

教学目标
知识与技能: 掌握等差数列概念、通项公式、性质
过程与方法:梳理知识点，以填空的形式复习，习题巩固
情感、态度与价值观:培养和提高转化、分析问题和解决问题的能力.
教学重点 掌握等差数列的通项公式灵活运用性质解决相关问题.
教学难点 选择合适的方法，解决问题.
教学方法 “三学一教”四步教学法
教学课时 一课时
教学手段 多媒体辅助教学
教学过程
一、 明标自学
知识梳理
1.等差数列的定义：
a
n
?a
n?1
?d
（
d
为常数）（
n?2
）；
2.等差数列通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n ?N
*
)
， 首项:
a
1
，公差:d，末项:
a
n

推广：
a
n
?a
m
?(n?m)d
． 从而
d?
3.等差中项
(1)如果
a
，
A
，b
成等差数列，那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项 ．即：
A?
或
2A?a?b

(2)等差中项：数列
a?b
2
a
n
?a
m
；
n?m
?
a< br>n
?
是等差数列
?2a
n
?a
n-1
?a< br>n?1
(n?2)?2a
n?1
?a
n
?a
n?2< br>
4.等差数列的判定方法
(1)定义法：若
a
n
?a< br>n?1
?d
或
a
n?1
?a
n
?d
(常数
n?N
?
)
?

?
a
n
?
是等差
数列．
(2)等差中项：数列
?
a
n
?
是等差数列
?2a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n?2)?2a
n?1
?a
n
?a
n?2
．
(3)数列
?
a
n
?
是等差数列
?
a
n
?kn?b
（其中
k,b
是常数 ）。
5.等差数列的证明方法
定义法：若
a
n
?a
n ?1
?d
或
a
n?1
?a
n
?d
(常数< br>n?N
?
)
?

?
a
n
?
是等差数列．
6.提醒：
（1）等差 数列的通项公式及前
n
和公式中，涉及到5个元素：
a
1
、
d
、
n
、
a
n
及
S
n
，其中a
1
、
d
称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，
便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
a
n
?a
1
?(n?1)d
②奇数个数成等差，可设为…，
a?2d,a?d,a,a?d,a?2d
…（公差为d
）；
③偶数个数成等差，可设为…，
a?3d,a?d,a?d,a?3d< br>,…（注意；公
差为2
d
）
7.等差数列的性质：
(1)当公差
d?0
时，

北师大版高中数学必修5全本教案
等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d
是关于
n
的一次函数，且斜率
为公差
d； (2)若公差
d?0
，则为递增等差数列，若公差
d?0
，则为递减 等
差数列，若公差
d?0
，则为常数列.
(3)当
m?n?p?q
时,则有
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，特别地，当
m?n?2p
时，则有
a
m
?a
n
?2a
p
.
注：
a
1
?a
n
? a
2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
??? ?
，
(4)若
?
a
n
?
、
?
b
n
?
为等差数列，则
?
?
a
n
?b
?
，
?
?
1
a
n
?
?
2
b
n
?
都为等差数列
(5)数列
{a
n
}为等差数列,每隔k(k
?
N
*
)项取出一项(
a
m< br>,a
m?k
,a
m?2k
,a
m?3k
,???)
仍为等差数列.
二、合作释疑
例1．（1）已知数列
8,a,2, b,c,?7
是等差数列，求未知项
a,b,c
的值.
解：由等差中项公式得
2a?2?8?10,a?5,d??3,b??1,c??4

（2）已知等差数列{a
n
}的前3项依次为a－1,a+1,2a+3，求此 数列的通项a
n

解：由等差中项公式得
2(a?1)?a?1?2a? 3
，得
a?0
，所以等差数列{a
n
}
的前3项依次为-1 ，1，3，所以d=2,通项公式为
a
n
??1?(n?1)?2?2n?3

（3）等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
与a
6
的等差中项为
5
，
a
3
与a
7< br>的等差中项为
7
，
求此数列的通项a
n
解：由题知
a
2
?a
6
?10,a
3
?a
7
?14,
则
a
4
?5,a
5
?7,d?2
，所以
a
n
?a
4
?(n?4)?2?5?2n?8?2n?3

例 2.(1)等差数列{a
n
}中，已知a
2
＋a
3
＋a10
＋a
11
＝36，则a
5
＋a
8
＝_18 ________
(2)在等差数列
{a
n
}
中，若
a< br>4
?a
6
?a
8
?a
10
?a
12
?120
，则
2a
10
?a
12
?
__2 4_
三、点拨拓展
例3.（1）首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公 差的取值
范围是
d?
24

9
解：
a
1
??24,a
10
?a
1
?9d??24?9d?0
，d?
24

9
（2）如果等差数列{a
n
}的第5项为 5，第10项为－5，那么此数列的第
一个负数项是第__8_项.
解：
a
5
?5,a
10
??5,d?
a
10
?a
5
?5?5
???2,

10?55
(3) 若x≠y，两个数列：x，a< br>1
，a
2
，a
3
，y和x，b
1
，b
2
，b
3
，b
4
，y都是
等差数列，求
a
2
?a
1

b
4
?b
2

北师大版高中数学必修5全本教案 解：设两个数列的公差分别为
d
1
,d
2
，则
d
1
?
y?xy?x
,d
2
?,
所以
45
a
2
?a
1
d
5
?
1
?

b
4
?b
2
2d
2
8
四、当堂检测 1
,a
2
?a
5
?4,a
n
?33
， 求
n
的值

3
n
（2）在数列
{a
n}
中
a
1
?1,a
2
?2
，且
an?2
?a
n
?1?(?1),(n?N
?
)
，则s
100
?
______
（1）等差数列
{a
n}
中，已知
a
1
?
（3）设f(x)＝
1
，利 用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，
2
x
＋2
可求得
f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________
（4）若关于x的方程
x
2
?x?a?0
和
x?x?b?0,(a, b?R且a?b)
的四
1
个根组成首项为的等差数列，则
a?b?
____________
4
(5)已知在正整数数列
{a
n
}
中，前
n项和满足：
s
n
?
(1)求证：
{a
n
}是等差数列；
(2)若
b
n
?
2
1
(an
?2)
2

8
1
a
n
?30
求数列
{b
n
}
的前
n
项和的最小值.
2
六、课时小结
本节课主要复习巩固了等差数列的通项公式及性质 ，在例题讲解的过程
中还是要留给学生时间思考，以学生为主，在练习中巩固知识点，不足之处
及时讲解.
七、教学反思

北师大版高中数学必修5全本教案
1.
2.2 等差数列的前
n
项和(共三课时)
教学过程：
一、导入新课
1．讲述高斯求１到100之和的故事．
2．问题：请同学们回答高斯算法的思路依据．
3．问题：１到100这100个数恰好是正 整数这个等差数列的前100项，那
么这种求和的方法是否具有普遍性？对一般的等差数列是否都可以按 此方法求
其前
n
项的和呢？
二、讲授新课
1．推导等差数列的前
n
项和公式（倒序求和法）：
（1）定义：
S
n
?a
1
?a
2
?L?a
n

（2）公式：
S
n
?a
1
?a
2
?L?a
n

S
n
?a
n
?a
n?1
?L?a< br>2
?a
1

相加，
2S
n
?(a
1
?a
n
)?(a
2
?a
n?1
)?L?(a
n?1
?a
2
)?(a
1
?a
n
)

∵
a
1
?a
n
?a
2
?a
n? 1
?L?a
n?1
?a
2
?a
1
?a
n< br>， ∴
2S
n
?n(a
1
?a
n
)

∴
S
n
?
n
(a
1
?a
n
)
知道首项、末项和项数，即可求
S
n
．
2
又
a
n
?a
1
?(n?1)d
，
∴
S
n
?na
1
?
2．公式：
公式一：
S
n
?
n(n?1)d
知道首项、公差和项数，即可求
S
n
．
2
n(a
1
?a
n
)
．
2

北师大版高中数学必修5全本教案
公式二：
S
n
?na
1
?
n(n?1)
d
．
2
说明：
（1）注意以上公式是表示从等差数列第一项起至第
n
项的连续有限项的
和， 其实对于等差数列的任意项起的连续有限项的和都可以用以上公式求，只
是注意首项和项数的变化． < br>（2）公式一反映的是等差数列中项与项的关系；公式二反映的是等差数列
中项数与项的函数关系 ，显然前
n
项和是项数
n
的没有常数项的二次函数，即
S
n
?
d
2
d
n?(a
1
?)n
．
22
（3）公式中各含有4个元素：
S
n
,n,a
1
,a
n
与
S
n
,n,a
1
,d
，已知其中3个 量，
即可求出另外1个；综合通项公式及前
n
项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量．
（4）利用函数观点研究
S
n
：
S
n< br>?
d
2
d
n?(a
1
?)n

22
①当
d?0
时，
S
n
为二次函数，且无常数项．
②当
d?0
时，
S
n
有最小值； 题型：求
S
n
的最值．
③当
d?0
时，
S
n
有最大值．
3．等差数列的前
n
项和的性质：
2
（1）
S
n
,S
2n
?S
n
,S
3n
?S
2n
,L
仍成等差，且公差为
nd
；
（2）若项数为
2n
，则
①
S
奇
与
S< br>偶
中项数相等，且
S
偶
?S
奇
?nd
； < br>n
S
奇
2
(a
1
?a
2n?1
)< br>a
n
②．
??
n
S
偶
(a
2?a
2n
)
a
n?1
2
若项数为
2n?1
，则
①
S
奇
?S
偶
? (n?1)(?d)?a
2n?1
?a
2n?1
?(n?1)d?a
n
；
②
S
奇
?na
n
，
S
偶< br>?(n?1)a
n
；
③
S
2n?1
?(2n?1)a
n
；
n
(a
1
?a
2n?1
)
S
奇
n
④． ?
2
?
S
偶
n?1
(a?a)
n?1
22n?2
2
练习：已知项数为奇数的等差数列，
S
偶
?33
，
S
奇
?44
，求
a
中
＝11．

北师大版高中数学必修5全本教案
（3）
{
S
n
}
等差（须证明） 应用见例7练习．
n
4．应用举例：
（1）五个量知三求二
例１．课本P43 例1．
例2．课本P44 例2．
例3．等差数列
?
a
n
?中，
a
1
?1,a
n
??512,S
n
??1 022
，求公差
d
和项数
n
．
解：选择公式
S
n
?

?1022?
n
(a
1
?a
n
)
．
2
a?a
n
(1?512)?n?4
， ∴
a
4
??512
∴
d?
41
??171
．
4?1
2
例4．课本P44 例3．
例5．课本P45 例4．
说明：由例5可以知道等差数列前
n
项和是项数
n
的没有常数项的二次函2
数，即
S
n
?3n?n
．进一步可以让学生研究如果一个数列 的前
n
项和公式是
S
n
?3n
2
?n?1
，那么这个数列是不是等差数列？如果不是，那么在什么情况
下才是等差数列？
例6．（1） 已知在等差数列
{a
n
}
中，
a
6
?a
9
?a
12
?a
15
?20
，求：
S
20< br>的值．
解：∵
a
6
?a
15
?a
9?a
12
?a
1
?a
20
，又∵
a
6
?a
9
?a
12
?a
15
?20
，
∴
a
1
?a
20
?10
．∴
S
20
?
20(a
1
?a
20
)
?100
．
2
（2）已知在等差数列
{a
n
}
中，
S10
?100,S
100
?10
，求：
S
110
的值．
解：∵
S
100
?S
10
?45(a
11
?a
100
)??90
， ∴
a
11
?a
100
??2
．
又∵
a< br>1
?a
110
?a
11
?a
100
??2< br>， ∴
S
110
?
110(a
1
?a
11 0
)
??110
．
2
（3）已知数列
{2n?23}，求其前
n
项和
S
n
的最小值．
解：由已知知此数列是等差数列，且
a
1
??21,d?2
，
22
∴
S
n
?n?22n?(n?11)?121
， ∴
(S
n
)
min
??121
．
（2）证明等差数列问题
2
例7．求证：
?
a
n
?
为等差数列
?
其前n项和
S
n
?An?Bn
．
2
证明：（
?
）已知
S
n
?An?Bn(A?0)
，
当
n?1
时，
a
1
?S
1
?A?B

北师大版高中数学必修5全本教案
当
n? 2
且
n?N
时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?2An?A?B
，且
n?1
符合
上式．
∴
a
n
?2An?A?B
，
n?N
?


a
n?1
?a
n
?2A(n?1)?A?B?2An?A?B?2A
（非零常数）
∴
?
a
n
?
为公差非零的等差数列．
（
?
）已知
?
a
n
?
为公差非零的等差数列，不妨设首项为
a< br>1
，公差为
d
．
则
S
n
?na
1
?
?
n(n?1)dd
2
dd
?n?(a
1
?)n
，令
A??0
，
2
222d
B?a
1
?
，
2
2
∴
S
n
?An?Bn(A?0)
．
综上可知，结论成立． 练习：证明：若数列
?
a
n
?
为等差数列
?{
证明：∵ 数列
?
a
n
?
为等差数列
∴
S
n
?a
1
n?
∴
S
n
}
成等差．
n
S
n
n
S
∴
n
n
n(n?1 )dd
2
d
?n?(a
1
?)n

222
dd
?n?(a
1
?)
，
22
S
ddddd
?
n?1
?n?(a
1
?)?(n?1)?(a
1
?)?(
常数
)
，得证．
n?122222
（3）综合问题
例8．等差数列
?
a
n
?
中，
S
n
为前
n
项和，
a
1< br>?13,S
3
?S
11
，问此数列前多
少项的和最大？
方法一：由
S
3
?S
11
即
a
1?a
2
?a
3
?a
1
?a
2
?a3
?L?a
11

得
a
4
?a
5?L?a
11
?0?4(a
7
?a
8
)
， < br>且
d??
2
a
1
??2
，∴
a
7< br>?a
8
?0
，
13
又∵
d??2?0
数列为减数列 ∴
a
7
?0,a
8
?0

∴ 当
n?7
时，
S
7
最大，且
S
7
?49< br>．
方法二：（由
S
n
为二次函数，对
S
n
进行配方n取最接近对称轴的正整数时，

北师大版高中数学必修5全本教案
S
n
最大．）
由
S
3
?S
11
得
3a
1
?
3(3?1)d11(11?1)d
∴
8a
1
?52d?0

?11a
1
?
22
又
a
1
?13
，得
d??2
．
∴
Sn
?13n?
n(n?1)d
??n
2
?14n??(n?7)
2
?49

2
∴ 当
n?7
时，
S
7
最大，且
S
7
?49
．
方法三：同方法二，得
d??2

?
a
n
?0
1315
??n?
∴
a
n
?13?(n?1)(?2)?15?2n
令
?
22
?
a
n?1
?0
∵
n?N
?
∴
n?7
时，
S
7
最大，且
S
7
?49
．
方法四：图象法 由
S
3
?S
11
，知对称轴为
n?7
．所以
S
7
最大．
小结：
（I）等差数列的单调性的应用：
?
a
n
?0< br>S
a?0,d?0
（1）当
1
时，
n
有最大值，n是 不等式
?
的正整数解时
a?0
?
n?1
取得；
?
a
n
?0
（2）当
a
1
?0,d?0
时，
S
n
有最大值，n是不等式
?
的正整数解时
a?0
?
n?1
取得．
（II）当数列中有某项值为0时，
n
应有两解．
S
m
?S
m?1
?a
m?1
?0
． 例9．在等差数列
?
a
n
?
中，
a
3
?12,S
12
?0,S
13
?0
．
（1）求公差
d
的范围；
（2）问
S
1
,S2
,S
3
,L,S
12
中哪个值最大？
解：
12(12?1)d
?
S?12a??0
1
?
12
2?
13(13?1)d
24
?
?0
解之得，
??d??3
． （1）由题意得
?
S
13
?1 3a
1
?
7
2
?
?
a
3
?a1
?2d?12
?
?
（2） ∵
d?0
∴
S
n
为开口向下的二次函数．

北师大版高中数学必修5全本教案
方案1：利用函数求最值
n(n?1)dn(n?1)dd
2
5
?n(a
3
?2d)??n ?(12?d)n

2222
51224
对称轴为
n
0
??
，∵
??d??3
∴
n
0
?(6,6.5)

2d7

S
n
?na
1
?
∴
n?6
时，
S
6
最大．
方案2：利用数列的单调性
12
?
S?(a?a)?0
?
?
a
1
?a
12
?0
?
a
6
?a
7
?0
?
12
2
112
??
?

??
a?a?0
132a?0
?
113
?
7
?S?(a?a)?0
13113
?
?2
∴
a
7
?0,a
6
?0
∴前6项和最大．
方案3：利用函数图象（适用于选择填空）
n
S
n
的根为0，
x
0
，且
12?x
0
?13

S
0
对称轴为
?(6,6.5)

n

13
2
6 6.5 12
6离对称轴较近，所以
S
6
最大．
x
例10．等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前
n
项和分别为
S
n
,T
n
之比为
S
n3n?1
?
，
T
n
2n?3
求
a
15
a
及
n
．
b
15
b
n
29(a
1
?a
29
)
a
15
2a
15< br>a
1
?a
29
S
3?29?188
解：方法一： < br>???
2
?
29
??
29
b
15
2 b
15
b
1
?b
29
(b
1
?b
29
)
T
29
2?29?361
2
同理
同的） < br>方法二：设
S
n
?(3n?1)?kn,T
n
?(2n?3) ?kn
（通法）

a
n
?S
n
?S
n?1
?k(6n?2)
，
b
n
?T
n
?T
n?1
?k(4n?1)

∴ < br>a
n
a
1
?a
2n?1
S
2n?1
3(2n?1)?16n?2
????
．（只适用于上下角标相
b
n
b
1
?b
2n?1
T
2n?1
2(2n?1)?34n?1
a
15
k(6?15?2)88
a
k(6n?2)6n?2
??
；
n
??
．
b
15
k(4?15?1)6 1b
n
k(4n?1)4n?1

北师大版高中数学必修5全本教案 < br>结论：等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前
n
项和分别为
S
n
,T
n
，则
a
n
S
2n?1
?
．
b
n
T
2n?1
S
n
3n?1
?
，求
T
n2n?3
变式：等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前
n
项和分别为
S
n
,Tn
之比为
a
m
．
b
n
解：设
Sn
?(3n?1)?kn,T
n
?(2n?3)?kn
，
a< br>n
?S
n
?S
n?1
?k(6n?2)
，
b
n
?T
n
?T
n?1
?k(4n?1)
，
a
m
k(6m?2)6m?2
??
．
b
n
k(4n?1)4n?1
上下角标不同时，
a
m
a
1
?a
2m?1
2n?1
S
2m?1
???
b
n< br>b
1
?b
2n?1
2m?1T
2n?1
，但是
S
2m?1
3(2m?1)?1
?
．
T
2n?1
2(2m?1)?3
例11．等差数列
?
a
n
?
中，S
3
?21,S
6
?24
，求数列
a
n
的前
n
项和为
T
n
．
??
1
?
3a??3?2d?21,
?
?
1
2
解：由题意，得
?< br>解得：
a
1
?9,d??2
．
?
6a?
1
?6?5d?24.
1
?
?2
∴
a
n
? a
1
?(n?1)d?11?2n
．令
11?2n?0
，得
n?5.5
．
当
n?5
时，
T
n
?a
1
?a
2
?L?a
n
?a
1
?a
2
?L?a
n


?9n?
1
n(n?1)(?2)?10n?n
2
；
2< br>当
n…6
时，
T
n
?a
1
?a
2< br>?L?a
n
?(a
1
?a
2
?L?a
5)?(a
6
?a
7
?L?a
n
)

? S
5
?(S
n
?S
5
)?2S
5
?Sn
?

1
2
?50?[9n?n(n?1)(? 2)]?n?10n?50
2
2
?
(n
?
5)
?< br>?n?10n
∴
T
n
?
?
2

?
?
n?10n?50(n?5)
例12．（1）等差数列
?
a
n
?
前
m
项和为30，且前
2m
项和为100，求其前< br>3m
项

北师大版高中数学必修5全本教案
和．
（2）有一个项数为
2n?1
的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比． < br>（3）等差数列
?
a
n
?
前12项之和为354，其中奇数项 之和与偶数项之和的比为
27：32，求公差
d
．
（4）已知等差数列?
a
n
?
，
a
1
?a
4
?a
8
?a
12
?a
15
?2
，求
S
15
．
?
（5）等差数列
?
a
n
?
前< br>n
项和为
S
n
，
S
n
?m,S
m< br>?n,(m,n?N
且
m?n)
，求
S
m?n
解：（1）30，100－30，
x
－100等差，所以，前
3m
项和为 210．
另解：由
可．
（2）奇数项有
n?1
个，偶数项
n
个．

S
奇
?
2S
2m
S
m
S
3m
S< br>S
m
S
2m
S
3m
，得，即
S
2m
?S
m
?
3m
，即
??
,,
3
2 mm3m
m2m3m
S
n?1
n?1n
．
(a
1
?a
2n?1
),S
偶
?(a
2
?a
2n
)
，所以
奇
?
22
S
偶
n
S< br>p
?S
q
p?q
?
S
p?q
p?q
(p?q)
． 结论：在等差数列中，有
?
S
奇
?S
偶?354
?
S
奇
?162
?
?
?
（3）
?
S
奇
27
，又
S
偶
?S
奇
?6d?d?5
．或用基本量
?
S
偶
?192
?
S
?
32
?
偶
计算．
（4）由已知得a
8
??2,a
1
?a
15
??4
，利用S
15
?15a
8
或
S
15
?
15< br>(a
1
?a
15
)??30
．
2
（5）方法一：用基本量（整体代换）
n(n?1)
?
m?na?d
1
?
?
2

?
两式作差
m(m?1)
?
n?ma?d
1
?
?2
m?n?(n?m)a
1
?
即
a
1
?
(n?m)(n?m?1)
d

2
(n?m?1)
d??1
，
2
(n?m?1)
S
m?n
?(m?n)[a
1
?d]??(m?n)

2< br>S
S
mn
方法二：利用
{
n
}
等差，得(n,),(m,),(m?n,
m?n
)
三点共线，斜率
n
n mm?n
相等即可得到．

北师大版高中数学必修5全本教案
三、归纳总结
1．知识总结：
（1）本节介绍了一种求数列前
n
项和的方法――倒序求和法．
（2）等差 数列前
n
项和公式：
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
，
S
n
?na
1
?d
．
2
2
2．方法总结：
（1）要会根据公式列方程求等差数列的基本元素；
（2）学会灵活应用等差数列的性质解题；
（3）会应用函数思想研究数列问题．
四、作业及练习：
1.3.1.等比数列（一）
（一） 过程与能力目标
1.明确等比数列的定义；
2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道
a
n
，
a
1
，
q
，
n
中的三个，求另一
个的问题．
教学重点
1.等比数列概念的理解与掌握；
2.等比数列的通项公式的推导及应用．
教学难点
等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．
教学过程
一、情境导入：
下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）
1，2，4，8，16，…，2; ① 1，
23
63
111
，，，…； ②
248
23
20,20,20
，1，…； ③
1.0198,1.1098,1.1098......
④
对于数列①，
a
n
=
2
n?1

a
n
1
=2（
n
≥2）．对于数列②，
an
=
n?1
；
a
n?1
2
a
n
1
?
（
n
≥2）．
a
n?1
2
对于数 列③，
a
n
=
20
n?1

a
n
=20（
n
≥2）．
a
n?1
共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．
二、检查预习
1．等比数列的定义．
2. 等比数列的通项公式:
a
n
?a
1
?q
n?1
(a
1
,q?0)
，
a
n
?a
m
?q
n?m
(a< br>m
,q?0)
，

北师大版高中数学必修5全本教案
a
n
?AB
n
(A,B?0)

3．｛
a
n
｝成等比数列
?
a
n?1
?q (n?N
?
,q?0)

a
n
4．求下面等比数列的第4项与第5项：
（1）5，－15，45，… …；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）
2132
，…….
,.,??;(4)2,1,
3282
三、合作探究
（1）等比数列中有为0的项吗？
（2）公比为1的数列是什么数列？
（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？
（4）常数列都是等比数列吗？
四交流展示
1． 等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项< br>的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公
比，用字母
q
表示（
q
≠0），即：
a
n
=
q
（
q
≠0）
a
n?1
a
n?1
=
q
a< br>n
注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数
q
； ｛
an
｝成等比数列
?
（
n?N
?
，
q
≠ 0．）
(2) 隐含：任一项
a
n
?0且q?0

(3)
q=1
时，{
a
n
}为常数数列． （4）．既是等差又是等比数列的数列：
非零常数列．
n?1
2.等比数列的通项公式1:
a
n
?
a
1
?
q
(
a
1
,
q均不为
0)

观察法：由等比数列的定义，有：
a
2
?a
1
q
；
a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1q
2
；
a
4
?a
3
q?(a
1< br>q
2
)q?a
1
q
3
；… … … … … … …
a
n
?a
n?1
q?a
1
?q
n?1(a
1
，q?0)
．
迭乘法：由等比数列的定义，有：
a
a
2
aa
?q
；
3
?q
；
4?q
；…；
n
?q

a
2
a
1
a
n?1
a
3
所以
a
2
a
3
a
4
a
???
n< br>?q
n?1
，即
a
n
?a
1
?q
n ?1
(a
1
，q?0)

a
1
a
2
a
3
a
n?1

北师大版高中数学必修5全本教案
n?m
(a
m
，
q?0)

等比数列的通项公式2:
a
n
?a
m
?q
五精讲精练
例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2
项.
解：
?
a2a216
1833
??q?

?a
2
?
3
?12??8,a
1
?
2?8??.

q3q33
1222
点评：考察等比数列项和通项公式的理解
变式训练一：教材第52页第1
例2．求下列各等比数列的通项公式：
(1) a
1
??2,a
3
??8;

(2) a
1
?5,
且
2a
n?1
??3a
n
< br>解：
2
(1)
a
3
?a
1
q?q?4?q? ?2
?a
n
?(?2)2
n?1
??2
n
或an
?(?2)(?2)
n?1
?(?2)
n

(2)
q?
a
n?1
3
??
a
n
2
3
又：a
1
?5?a
n
?5?(?)
n?1

2
点评：求通项时，求首项和公比
变式训练二 ：教材第52页第2
例3．教材P50面的例1。
例4． 已知无穷数列
10,10,10,??10
求证：（1）这个数列成等比数列；
（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的
0
5
1
5
2
5
n?1
5
,??
，
1
；
10
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．
1< br>证：（1）
a
n
?
10
?10
5
（常数）∴ 该数列成等比数列．
n?2
n?1
5
a
n?1
10
5
（2）
a
n
101
1
?
n?4
?10
?1
?
，即：
a
n
?a
n?5
．
a
n?5
10
10
5
10
p?1
5
n?1
5
（3）
a
p
a
q
?1010
q ?1
5
?10
p?q?2
5
，∵
p,q?N
，∴< br>p?q?2
．
∴
p?q?1?1
且
?
p?q?1
?
?N
， ∴
10
p?q?2
5
?1
?
n
5
?< br>（第
p?q?1
项）．
?
?
10
?
，??

北师大版高中数学必修5全本教案
变式训练三：教材第53页第3、4题．
六、课堂小结：
1.等比数列的定义；
2.等比数列的通项公式及变形式
七、板书设计
八、课后作业
阅读教材第48～50页；

北师大版高中数学必修5全本教案
1.2.4等比数列（二）
一、知识与技能
1.了解等比数列更多的性质; 2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关
等比数列的实际问题的解 决中;
3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识
解决相应的 实际问题.
二、过程与方法
1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;
2.对生活实际中 的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导
学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过 程;
3.当好学生学习的合作者的角色.
三、情感态度与价值观
1.通过对等比 数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习
惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的 科学态度，培养学生的类比、归
纳的能力;
2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养 学生认识社会、了解社会
的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.
教学过程
导入新课
(1)将数列{
a
n
}的前k项去掉，剩余的数列为
a
k+1
，
a
k+2
,….令
b
i
=
a< br>k+i
,i=1,2,…,
则数列
a
k+1
,
a
k+2
,…,可视为
b
1
,
b
2
，….
因为
b
i?1
a
k?i?1
??q
(i≥1),所以，{
b
n
}是等比数列，即
a

k+1< br>，
a
k+2
,…是等比
b
i
a
k?i

数列.
(2){
a
n
}中每隔10项取出一项组成的数列是< br>a
1
,
a
11
,
a
21
，…, 则
a
a
11
a
21
??...?
10k?1
?...?q
10
(k≥1).
a
1
a
11
a
10k?9
10

所以数列
a
1
,
a
11
,
a
2 1
,…是以
a
1
为首项，q为公比的等比数列.
猜想：在数列{< br>a
n
}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个
m
数列是以
a
1
为首项、q为公比的等比数列.
第4题解答：
(1)设{
a
n
}的公比是q，则
a
5
2
=(
a
1
q
4
)
2
=
a
12
q
8
,
2628
而
a
3
·
a
7
=
a
1
q·
a
1
q=
a< br>1
q,
2
所以
a
5
=
a
3
·
a
7
.
2
同理,
a
5
=
a
1
·
a
9
.
2
(2)用上面的方法不难证明
a
n
=
a
n
-1
·
a
n
+1
(
n
＞1) .由此得出，
a
n
是
a
n
-1
和
a
n
+1
的
2
等比中项，同理可证
a
n
=
a
n
-k
·
a
n
+k
(
n
＞k＞0 ).
a
n
是
a
n
-k
和
a
n+k
的等比中项(
n
＞k
＞0).
师 和等差数列一样，等比 数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，

北师大版高中数学必修5全本教案
就要对它作进一步的探究.
推进新课
［合作探究］
例题1 (教材P< br>61
B组第3题)就任一等差数列{
a
n
}，计算
a
7
+
a

10
，
a
8
+
a
9
和
a
10
+
a

40
，
a< br>20
+
a
30
，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的 推广
吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有
怎样的类似结 论？
*
猜想对于等比数列{
a
n
}，类似的性质为：k+s=p+ t(k,s,p,t∈
N
)，则
a
k
·
a
s=
a
p
·
a
t
.
证明：设等比数列{
a
n
}公比为q，
k-1s-12k+s-2
则有
a
k
·
a
s=
a
1
q·
a
1
q=
a
1
· q,
a
p
·
a
t
=
a
1
q
p-1
·
a
1
q
t-1
=
a
1
2
·q
p+t-2
.
因为k+s=p+t,
所以有
ak
·
a
s
=
a
p
·
a
t.
*
即等比数列{
a
n
}中，若k+s=p+t(k,s,p ,t∈
N
)，则有
a
k
·
a
s
=
a
p
·
a
t
.
下面有两个结论：
(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；
(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.
结论(1)就是上述性质中1+n
=(1+t)+(
n
-t)时的情形；
结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形.
例题2
（ 1）在等比数列{
a
n
}中，已知
a
1
=5,
a< br>9
a
10
=100,求
a
18
;
（2 ）在等比数列{
b
n
}中，
b
4
=3,求该数列前七项之积 ；
（3）在等比数列{
a
n
}中，
a
2
=-2,
a
5
=54,求
a
8
.
.
［合作探究］
判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法.

例题3：已知{
a
n
}{
b
n
}是两个项数相同的等比数 列，仿照下表中的例子填写表格.
从中你能得出什么结论？证明你的结论.

例
a
n

b
n

a
n
·
b
n
判断{
a
n
·
b
n
}是否是等比数
列
是


n
-1
2
n
4
-5×2
3?()

?10?()
n?1

3
3
自选1
自选2



得到：如果{
a
n
}、{
b
n
}是两个项数相同的等比 数列，那么{
a
n
·
b
n
}也是等比数
列.
证明如下：
设数列{
a
n
}的公比是p，{
b
n
}公比是q，那么数列{
a
n
·
b
n
}的第
n
项与第
n
＋1项
n
-1
n
-1
nn
分别为
a
1
p
b
1
q与
a
1p
b
1
q，因为
a
n?1
?b
n?1
a
1
p
n
b
1
q
n
??pq
,
n?1n?1
a
n
b
n
a
1
pb
1
q

北师大版高中数学必修5全本教案
它是一个与
n
无关的常数，所以{
a
n
·
b
n
}是一个以pq为公比的 等比数列.
［教师精讲］
除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：
证法二：
设数列{
a
n
}的公比是p，{
b
n< br>}公比是q，那么数列{
a
n
·
b
n
}的第
n
项、第
n
-1项
*
n
-1
n
-1
n
-2
n
-2
nn
与第
n
＋1项(
n
＞1,
n
∈
N
)分别为
a
1
p
b
1
q、
a
1
p
b
1
q与
a
1
p
b
1
q，因为
2
n
-1
n
-122 2(
n
-1)
(
a
n
b
n
)=(
a
1
p
b
1
q)=(
a
1
b
1
)(pq),
n
-2
n
-2
nn
22(
n
-1)
(
a
n
-1
·
b
n
-1
)(
a
n< br>+1
·
b
n
+1
)=(
a
1
pb
1
q)(
a
1
p
b
1
q)=(a
1
b
1
)(pq),
2*
即有(
a
n
b
n
)=(
a
n
-1
·
b
n
-1
)(
a
n
+ 1
·
b
n
+1
)(
n
＞1,
n
∈
N
),
所以{
a
n
·
b
n
}是一个等比数列.
证法三：设数列{
a
n
}的公比是p，{
b
n
}公比是q， 那么数列{
a
n
·
b
n
}的通项公式
为
a
n
b
n
=
a
1
p
n
-1
b
1
q
n
-1
=(
a
1
b< br>1
)(pq)
n
-1
,
n
-1
设c< br>n
=
a
n
b
n
,则c
n
=(
a
1
b
1
)(pq),
所以{
a
n
·
b
n
}是一个等比数列.
课堂小结
本节学习了如下内容：
1.等比数列的性质的探究.
2.证明等比数列的常用方法.
布置作业
课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.
板书设计
等比数列的基本性质及其应用
例1 例2 例3

北师大版高中数学必修5全本教案
1.3.2等比数列的前n项和
教学目标：
1.了解等比数列前
n
项和公式及其获取思路，会用等比数列的前
n
项和公
式解决简单的与前
n< br>项和有关的问题．
2.提高学生的推理能力，培养学生应用意识．
教学重点：
等比数列前
n
项和公式的理解、推导及应用．
教学难点：
应用等差数列前
n
项和公式解决一些简单的有关问题．
教学过程：
一． 材料1：
数学小故事：国际象棋起源于印度。棋盘上共有8行8列构成64个格子。< br>传说国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的
第1个格子里放上 1颗麦粒，在棋盘的第2个格子里放上2颗麦粒，在棋盘的
第3个格子里放上4颗麦粒，在棋盘的第4个 格子里放上8颗麦粒，以此类推，
每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第6 4个格子。
请给我足够的粮食来实现上述要求。”
问题1：由于每个格子里的麦粒数都是前 一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64
个格子,各个格子里的麦粒数依次是：
1，2，4，8，…，2
问题2：这是什么数列？等比数列
问题3：那麦粒总数是多少呢？1+2+4+…+2+2。
即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，
前64项和可表示为：
6 263
63
S
64
?1?2?4?8???2
62
?263
， ①
材料2：就在国王犹豫是否要答应发明者的要求时，站在一旁一位将 告老
还乡的大臣听后不满地说：“我跟陛下这么多年战功卓著，请求陛下同样赏赐
给我麦子，在 棋盘的第一格子里放上2颗麦粒，在第2个格子里放上4颗麦粒，
在第3个格子里放上8颗麦粒，依次类 推，每一个格子放的麦粒数都是前一个

北师大版高中数学必修5全本教案
格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止。”
问题4：由于每个格子里的麦粒数 都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64
个格子,各个格子里的麦粒数依次是：
2，4，8，16，…，2
问题5：这是什么数列？等比数列
问题6：那麦粒总数是多少呢？2+4+4+…+2+2。
即求以2为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，
前64项和可表示为：
6 364
64
T
64
?
2+4+4+…+2
63
+2
64
②
问题7：观察①②，你发现两个等式有什么关系？
T64
?2S
64

6464
由①－②可得：－
S
64
?1?2
．即
S
64
?2?1
。
问题8：在上面的求解过程中，为什么乘以2就可以解决问题了？乘以3或其
他的实数可以吗？
这种求和方法称为“错位相法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个
重要方法．
问题9：根据上述方法求和
S
16
?1?3?3?3?L?3
23 15
三、等比数列的前
n
项和公式
等比数列的前
n
项和公式：
a?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
当
q?1
时，
S
n?
① 或
S
n
?
1
②；
1?q
1?q

北师大版高中数学必修5全本教案
当
q
＝1时，
S
n
?na
1
．
思考：什么时候用公式（1）、什么时候用公式（2）？
（当已知
a
1
，
q
，
n
时用公式①； 当已知
a
1
，
q
，
a
n
时，用公式②）
四、利用等比数列进行一些简单的运用
1. 例题讲解．
例1．在等比数列
?
a
n
?
中，
（1） 已知
a
1
1
??4,q?
2
,求S
10
；
（2） 已知
a
1
?1,a
k
?243,q?3,求S
k
。
（3） 已知
a
1
?2,S
3
?26,求a
3< br>与q
例2：在数列
?
a
n
?
中，
S
3
?
7
2
,S
63
6
?
2
.。
（1）若
?
a
n
?
为等差数列，求
q和a
n
。
（2）若
?
a
n
?
为等比数列，求
q和a
n
。
2．练习．
课本P57－58练习1，2，3题．

北师大版高中数学必修5全本教案
数列求和的基本方法与技巧
一、利用常用求和公式求和：
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1、等差数列求和公式：
S< br>n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d

22
(q?1)
?
na< br>1
?
n
2、等比数列求和公式：
S
n
?
?< br>a
1
(1?q)
a
1
?a
n
q
< br>?(q?1)
?
1?q
?
1?q
n
11
2< br>3、
S
n
?
?
k?n(n?1)
4、
S
n
?
?
k?n(n?1)(2n?1)

6
2
k?1
k?1
n
5、
S
n
?
?
k
k?1
n
3
1
?[n(n?1)]
2

2
?1
，求
x?x
2
?x
3
?????x
n
????
的前n项和.
log
2
3
[
例
1] 已知
log
3x?
解：由
log
3
x?
?11
?log
3< br>x??log
3
2?x?

log
2
32
23n
由等比数列求和公式得
S
n
?x?x?x?????x

（利用常用公式）

11
(1?
n
)
x(1?x)
2
＝1－
1
＝＝
2
11?x
2
n
1?
2
n
[
例
2] 设S
n
＝1+2+3+…+n，n∈N
*
，求
f(n)?
Sn
的最大值.
(n?32)S
n?1
解：由等差数列求和公式得
S
n
?
11

S
n
?(n?1)(n?2)

（利
n(n?1)
，
22
用常用公式）

∴
f(n)?
S
n
n
＝
2

(n?32)S
n?1
n?34n?64
＝
1
n?34?
64
n
＝
(n?
1
8n
?
)
2
?50
1

50
∴ 当
n?
8
1
，即n＝8时，
f(n)
max
?

50
8

北师大版高中数学必修5全本教案
二、错位相减法求和：
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主
要用于求各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列
{a
n
·b
n
}的前n项和，其中{ a
n
}、{ b
n
}分别是等差数列和等比数列。
2n?1
例 设数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?3 g2
，（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）令
b
n
?na
n
，求数列的前n项和
S
n< br>。
解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，
a
n?1
?[(a
n ?1
?a
n
)?(a
n
?a
n?1
)?L?(a< br>2
?a
1
)]?a
1

?3(2
2n?1
?2
2n?3
?L?2)?2

?2
2(n?1)?1
。 而
a
1
?2,
所以数 列{
a
n
}的通项公式为
a
n
?2
2n?1
。
2n?1
（Ⅱ）由
b
n
?na
n
?n?2< br>知
S
n
?1?2?2?2
3
?3?2
5
? L?n?2
2n?1
①
从而
23572n?1

2?S
n
?1?2?2?2?3?2?L?n?2
②
①-②得
2352n?1
?n?2
2n?1
。
(1?2)?S
n
?2?2?2?L?2
即
S
n< br>?
1
[(3n?1)2
2n?1
?2]

9
23n?1
[
例
3] 求和：
S
n
?1 ?3x?5x?7x?????(2n?1)x
………………………①
解：由题可知，{
(2n?1)x
的通项之积
n?1
}的通项是等 差数列{2n－1}的通项与等比数列{
x
n?1
}
234n
设xS
n
?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x
……………………… .
②
（设制错位）

①－②得
(1?x)S
n?1?2x?2x
2
?2x
3
?2x
4
?????2x
n?1
?(2n?1)x
n

（错位相
减
）
再利用等比数列的求和公式得：
1?x
n?1
(1?x)S
n
?1?2x??(2n?1)x
n

1?x

北师大版高中数学必修5全本教案
(2n?1)x
n?1
?(2n?1)x
n
?(1?x)
∴
S
n
?

(1?x)
2
[
例
4] 求数列
2462n
,2
,
3
,???,
n
,???
前n项的和。
2
222
2n1
解：由题可知，{
n
}的通项是等差数列{2n}的 通项与等比数列{
n
}的
2
2
通项之积
设
Sn
?
2462n
?
2
?
3
?????
n
…………………………………①
2
222
12462n
………… ……………………
S
n
?
2
?
3
?
4?????
n?1
2
2222
－②得
②
（设制错位）

①
1222222n
(1?)S
n
??
2
?
3
?
4
?????
n
?
n?1

22
22222
1
?
2n

n?1
2
（错位相减
）

?2?
2
n?1
n?2
∴
S
n
?4?
n?1

2
三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来
排列（反序），再把它与原 数列相加，就可以得到n个
(a
1
?a
n
)
。
x
4122 012
设
f
(
x
)＝
x，求
S
＝
f
()＋
f
()＋…＋
f
( )．
4＋22 0132 0132 013
【思路探究】 由函数解析式特点知
f
(
x
)＋
f
(1－
x
)＝1，故可用倒序相加法．
4
【自主解答】 ∵
f
(
x
)＝
x
，
4＋2
∴
f
(1－
x
)＝
4
4
1－
x
1－
x
x
＋2
＝
42
.
x
＝
x
4＋2 ·44＋2
∴
f
(
x
)＋
f
(1－
x)＝1.
∵
S
＝
f
(
122 012
)＋
f
()＋…＋
f
()，①
2 0132 0132 013
2 0122 0111
)＋
f
()＋…＋
f
()，②
2 0132 0132 013
又
S
＝
f
(
① ＋②得2
S
＝2 012，∴
S
＝1 006.
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆
开，可分为几个等差、等 比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即

北师大版高中数学必修5全本教案
可。形如：
①
?
a
n
?b
n
?
,其中
?
?
?
a
n
?
是等差数列；
??
b
n
?
是等比数列；
②
?f
?
n
?
,n?2k?1,
a
n
?
?

?
?
g
?
n
?
,n?2k,k?Nn
例 已知数列
?
a
n
?
的通项公式为
an
?2?3n?1,
求数列
?
a
n
?
的前n
项和.
12n
解：
S
n
?a
1
? a
2
??a
n
?2?2?2?5??2?3n?1

??? ???
21?2
n
n
?
2?
?
3n?1
?
?
?
=
?
2?2???2
?
?
?
2?5??
?
3n?1
?
?
.
=
1?22
12n
??
=
2
n?1
?
3
2
1
n?n?2.

22
[
例
7] 求数列的前n项和：
1? 1,
111
?4,
2
?7,???,
n?1
?3n?2，…
a
aa
111
解：设
S
n
?(1?1) ?(?4)?(
2
?7)?????(
n?1
?3n?2)

a
aa
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
?(1?
（分组）

当a
111
?< br>2
?????
n?1
)?(1?4?7?????3n?2)
a
aa
＝1时，

S
n
?n?< br>(3n?1)n
2
＝
(3n?1)n

2
（分组求和）

1
1?n
n
a?a(3n?1) n
(3n?1)n
a
?
?
当
a?1
时，
S
n
?
＝
1
a?12
2
1?
a
1 ?
[
例
8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和。
32解：设
a
k
?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k

∴
S
n
?
?
k(k?1)(2k?1)
＝
?< br>(2k
k?1k?1
n
nn
3
?3k
2
?k )

将其每一项拆开再重新组合得
＝
2
?
k?1n
k?3
?
k?
?
k

32
k?1k ?1
n
＝
2(1?2?????n)?3(1?2?????n)?(1?2???? ?n)

（分组）

333222

北师大版高中数学必修5全本教案
n
2
(n?1)
2
n(n?1)(2n?1)n(n?1)
??
＝
（分组求和）

222
n(n?1)
2
(n?2)
＝
2
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实 质是将数列中
的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目
的。
把数列的通项分成两项之差，在求和时中
互抵消，从而求得其和.适用于类似（其中
?
a
n
?
差数列，
c
为常数）的数列，以及部分无理数
间的一些项可以相
?
c
?
??
是各项不为0的等
?
a
n
a
n?1
?
列和含阶乘的数列
等.用裂项法求和，需 要掌握一些常见的裂项方法。通项分解
（裂项）
如：
sin1
?
? ?
?tan(n?1)?tann
（1）
a
n
?f(n?1)?f( n)
（2）
??
cosncos(n?1)
（3）
a
n
?
111
??
（4）
n(n? 1)nn?1
a
n
?
11
?
11
?
??
?
?
;

n
?
n?k
?
k
?
nn?k
?
5）（
a
n
?
11
?
n?k?n
k
?
n?k?n.
?
（6）
(2n)
2
111
a
n
??1?(?)
< br>(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
（7）
a
n
?
(8)
1111
?[?]

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n? 1)(n?2)
a
n
?
n?212(n?1)?n1111
?
n
??
n
??,则S?1?

n
n(n?1)
2
n(n?1)
2n?2
n?1
(n?1)2
n
(n?1)2
n
例 已知等差数列
?
a
n
?
满足：
a< br>3
?7
，
a
5
?a
7
?26
，?
a
n
?
的前n项和为
S
n
．（Ⅰ）
求
a
n
及
S
n
；（Ⅱ）令b
n
=
1
(n
?
N
*
)，求数列
?
b
n
?
的前n项和
T
n
．
2
a
n
?1

北师大版高中数学必修5全本教案 解：（Ⅰ）设等差数列
?
a
n
?
的公差为d，因为
a< br>3
?7
，
a
5
?a
7
?26
，所以 有
?
a
1
?2d?7
2n?1)=2n+1
；，解得a
1
?3,d?2
，所以
a
n
?3?（
??
2a
1
?10d?26
S
n
=
3n+
（Ⅱ
n(n-1)
?2
=
n
2
+2n
。
2
）由（Ⅰ）知
a
n
?2n+1
，所以
b
n=
111
1
111
=?
==
?(-)
， a
n
2
?1
（2n+1)
2
?14n(n+1)
4nn+1
n
11111111
，
?(1-+?+L+-)
=< br>?(1-)=
4223nn+14n+1
4(n+1)
n
。
4(n+1)
1
2?3
,???,
1
n?n?1
,???< br>的前n项和。
1
n?n?1
所以
T
n
=
即 数列
?
b
n
?
的前n项和
T
n
=
[
例
9] 求数列
1
1?2
：
,
解设
a
n
??n?1?n

（裂项）

则
S
n
?
1
1?2
?
1
2?3
?????
1
n?n?1

（裂项求和）

＝
(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)

＝
n?1?1

2
12n
，又
b
n
?，求数
??????
a?a
n?1n?1n?1
nn?1
[例
10] 在数列{a
n
}中，
a
n
?
列{ b
n
}的前n项的和.
12nn
???????

n?1n?1n?12
211
∴
b
n
?

?8(?)

（裂项）
nn?1
nn?1
?
22
解： ∵
a
n
?
∴ 数列{b
n
}的前n项和

北师大版高中数学必修5全本教案

S
n
?8[ (1?)?(?)?(?)?????(
1
2
1
2
1
31
3
1
4
11
?)]

（裂项
nn?1
求和）

＝
8(1?
18n

)
＝
n?1n?1
利用递推关系式求数列的通项公式

数列是高考中的重点内容之 一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，
大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式 ，在求数列问题中尤
其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。
◆一、直接法
根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：
1、1,3,7,15,31,………
2、2,6,12,20,30,………
3、
2,1,
2121
,,,
………
3253
4、1,-1,1,-1………
5、1、0、1、0………
◆二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系，求数列
?a
n
?
的通项
a
n
可用公式
?
S1
????????????????n?1
a
n
?
?
求解.
?
S
n
?S
n?1
???????n?2
(注意：求完后一定要考虑合并通项)

例2．①已知数列
?
a
n< br>?
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
公式.
②已知等比数列
?
a
n
?
的首项
a1
?1
，公比
0?q?1
，设数列
?
b
n?
的通项为
?n
2
?n?1
，求数列
?
an
?
的通项
b
n
?a
n?1
?a
n? 2
，求数列
?
b
n
?
的通项公式。
◆三、归纳猜想法
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的< br>规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想
出规律，然后正面证 明。
*
例3.（2002年北京春季高考）已知点的序列
A
n
(x
n
,0),n?N
，其中
x
1
?0
，
x< br>2
?a(a?0)
，
A
3
是线段
A
1
A
2
的中点，
A
4
是线段
A
2
A
3
的中点，…，
A
n
是线
段
A
n?2
A
n?1
的中点，…
（1） 写出
x
n
与
x
n?1
,x
n?2
之间的关系式（
n?3
）。

北师大版高中数学必修5全本教案
（2） 设
a
n
?x
n?1
?x
n
，计算
a
1
,a
2,a
3
，由此推测
?
a
n
?
的通项公式，并加
以证明。
◆四、累加（乘）法
对于形如
a
n?1
?a< br>n
?f(n)
型或形如
a
n?1
?f(n)a
n型的数列，我们可以根据
递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（ 或
相乘）即可得到通项公式。
例4. 若在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?3
，
a
n?1
?a
n
?n
，求通项
a
n
。
n
变式1：已知数列{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?2? 3?1，a
1
?3
，求数列
{a
n
}
的通
项公式。
变式2.已知数列
{a
n
}
中,
a
n
?0
且
S
n
?
式.
n例5.在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n
（
n?N
*
），求通项
a
n
。
1n
(a
n
?)
,求 数列
{a
n
}
的通项公
2a
n
22
变式3 ：设
?
a
n
?
是首项为1的正项数列，且
?
n?1
?
a
n?1
?na
n
?a
n?1
a
n
?0
（
n
=1，2， 3，…），则它的通项公式是
a
n
=________.
◆五、取倒（对）数法
r
a、
a
n?1
?pa
n
这种类型一般是等式两边取对数后转化为
a
n?1
?pa
n
?q
，再
利用待定系数法求解
b、数列有形如
f(a
n
, a
n?1
,a
n
a
n?1
)?0
的关系，可在等式 两边同乘以
1
,
a
n
a
n?1
先求出
1< br>,再求得a
n
.

a
n
f(n)a
n
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化
g(n)a
n
?h(n)
c、
a
n?1
?
为
a
n?1
?pa
n?q
。
例6.．设数列
{a
n
}
满足
a1
?2,
a
n?1
?
a
n
(n?N),
求
a
n
.

a
n
?3
2
例7 、 设正项数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1< br>，
a
n
?2a
n?1
（n≥2）.求数列
?
a
n
?
的通
项公式.

北师大版高中数学必修5全本教案
◆七、待定系数法：
求数列通项 公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通
项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对 递推式变换，转
化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未
知为已知的 化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种
重要的转化方法。
例9．已知数列< br>{a
n
}
中，
a
1
?1,a
n
?2 a
n?1
?1(n?2)
，求数列
?
a
n
?
的通项公式。
例10．已知数列
公式。
例11 已知数列
公式。 < br>{a
n
}
满足
a
n?1
?2a
n
? 4?3
n?1
，a
1
?1
，求数列
?
a
n
?
的通项
{a
n
}{a
n
}
满足
a
n?2
?5a
n?1
?6a
n
,a
1
? ?1,a
2
?2
，求数列的通项
例12. 在数列
{a
n< br>}
中，
a
1
?
3
,2a
n
?an?1
?6n?3
a
2
,求通项
n
.（待定系数法）
◆十：逐项相减法：递推公式中既有
S
n
，又有
a
n

分析：把已知关系通过
a
n
?
?
?
S1
,n?1
转化为数列
?
a
n
?
或
S
n
的递推关
?
S
n
?S
n?1
,n?2< br>系，然后采用相应的方法求解。
例15 已知数列
{a
n
}
的各项均为正数，且前n项和
S
n
满足
1
S
n
? (a
n
?1)(a
n
?2)
，且
a
2
,a
4
,a
9
成等比数列，求数列
{a
n
}
的 通项公式。
6
◆十一。双数列
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法
求解。
例16. 已知数列
?
a
n
?
中，
a
1< br>?1
；数列
?
b
n
?
中，
b
1?0
。当
n?2
时，
11
a
n
?(2an?1
?b
n?1
)
,
b
n
?(a
n ?1
?2b
n?1
)
，求
a
n
,
b
n
.
33
◆十二、周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例17：若数列
?
a
n
?
满足
a
n?1< br>1
?
2a,(0?a?)
nn
?
6
?
2?
?
，若
a
1
?
，则
a
20
的值为
7
?
2a?1,(
1
?a?1)
nn
?2
?
___________。

北师大版高中数学必修5全本教案
变式:（2005，湖南,文，5） 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?0,a
n?1
?
a
n
?3
3a
n
?1
(n?N< br>*
)
，则
a
20
= （ ）
3

2
A．0 B．
?3
C．
3
D．
变式.在数 列
{a
n
}
中，
a
1
?1,a
2
?5,a
n?2
?a
n?1
?a
n
,求a
1998 .

第2章 解三角形
2.1.1 正弦定理
教学要求：通过对任 意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内
容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定 理解斜三角形的两类
基本问题.
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股
定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？
2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角
形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确
量化？ →引入课题：正弦定理
二、讲授新课：
1. 教学正弦定理的推导：
①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA=
c=
ab
sinB= sinC=1 即
cc

abc
.
??
sinAsinBsinC
② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当
?
ABC是 锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，
有
CD?asinB?bsin A
,则
高？），从而
abac
. 同理，（思考如何作
??
sinAsinBsinAsinC
abc
. ??
sinAsinBsinC
△
③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ ABC当中S
C
a
b
A
O
B
D
c