高中数学必修五6.应用举例(3)

备课人
课题
课标要求
教
学
目
标
重点
难点

授课时间
§1.2应用举例(3)

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问
题
知识目标
技能目标
通过综合训练强化学生的相应能力。
课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论
培养学生提出问题、正确分析问题、独立 解决问题的能力，
并在教学过程中激发学生的探索精神。
情感态度价值观
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系
灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题
问题与情境及教师活动

Ⅰ.课题导入
[创设情境]
提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际 上都可转
化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海
生活中,人们又会遇到 新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮
船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨 这
方面的测量问题。
Ⅱ.讲授新课
[范例讲解]
例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n
mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32
?
的方向航行54.0
n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该
沿怎样的方向航行, 需要航行多少距离?(角度精确到0.1
?
,距离
精确到0.01n mile)


学生活动






学生回答





















教

学

过

程

及

方

法

1

问题与情境及教师活动

学生看图思考并讲述解题思路
教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求 出AC
边所对的角
?
ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC< br>边和AB边的夹角
?
CAB。
解：在
?
ABC中，
?
ABC=180
?
- 75
?
+ 32
?
=137
?
，根据余弦定理，
AC=
AB
2
?BC
2
?2AB?BC?cos?ABC

=
67.5
2
?54.0
2
?2?67.5?54.0?c os137
?

≈113.15
根据正弦定理,
BC
=
AC

sin?CABsin?ABC
sin
?
CAB =
BCsin?ABC

AC
学生活动















学生分析回
答

























54.0sin137
教
=
113.15

≈0.3255,
学
?
所以 CAB =19.0,
?

75
?
-
?
CAB =56.0
?

过
答:此船应该沿北偏东56.1
?
的方向航行,需要航行113.15n mile

程
例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向前进
< br>30m，至点C处测得顶端A的仰角为2
?
，再继续前进10
3
m至D 点，
及
测得顶端A的仰角为4
?
，求
?
的大小和建筑物AE的高。

方

法
?

师：请大家根据题意画出方位图。
生：上台板演方位图（上图）
教师先引导和鼓励 学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同
学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在
?
ACD中，
AC=BC=30，
AD=DC=10
3
，

?
ADC =180
?
-4
?
，
30

?
103
= 。
?
sin2
?
sin(180?4
?
)
因为 sin4
?
=2sin2
?
cos2
?


2

问题与情境及教师活动

3
?
cos2
?
=,得 2
?
=30
?

2
?

?
=15
?
，
?
在Rt
?
ADE中，AE=ADsin60
?
=15
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 Rt
?
ACE中,(10
3
+ x)
2
+ h
2
=30
2

222
学生活动

由学生解答，
老师巡视并
对学生解答
进行讲评小
结。
教

学

过

程

及

方

法

在 Rt
?
ADE中,x+h=(10
3
)


两式相减，得x=5
3
,h=15

3
h

?
在 Rt
?
ACE中,tan2
?
==

103?x
3

?
2
?
=30
?
,
?
=15
?


?
答：所求角
?
为15，建筑物高度为15m

解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得

?
BAC=
?
，
?
CAD=2
?
，

AC = BC =30m , AD = CD =10
3
m

x

在RtACE中，sin2=
?
?

30

--------- ①

4
在Rt中，sin4
?
=,
?
ADE

103
学生分析解
--------- ②
答
3

②
?
① 得 cos2
?
=,2
?
=30
?
,
?
=15
?
，

2

AE=ADsin60
?
=15

?
答：所求角
?
为15，建筑物高度为15m


例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45
?
相距9海里的C处有一艘走私船，

正沿南偏东75
?
的方向以10海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立

即以14海里小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向

去追？需要多少时间才追赶上该走私船？












3

问题与情境及教师活动

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型
分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变
量。
解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则
CB=10x, AB=14x,AC=9,
?
ACB=
75?
+
45?
=
120?

学生活动






















教

学

过

程

及

方

法
?
(14x)
2
= 9
2
+ (10x)
2
-2
?
9
?
10xcos
120?

9
3
?
化简得32x
2
-30x-27=0，即x=,或x =-(舍去)
2
16
所以BC = 10x =15,AB =14x =21,
BCsin120
?
15
3
53
?
又因为sin< br>?
BAC ===
AB2
14
21
?
?
BAC =38
?
13
?
,或
?
BAC =141
?
47
?
（钝角不合题意，舍去），
?
38?
13
?
+
45?
=83
?
13
?< br>
答：巡逻艇应该沿北偏东83
?
13
?
方向去追，经过1. 4小时才追赶上该走
私船.
评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解 ，但
作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意
义，从而得出实际问题 的解
Ⅲ.课堂练习
课本第18页练习

教
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个
学
三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三
小 < br>角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的
结

解。
课
后
反
思

4