苏教版高中数学必修五3.2(一)

高中数学学习材料
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§3.2 一元二次不等式(一)

课时目标 1.会解简单的一元二次不等式.2.了解一元二次不等式与二次函数、一元二
次方程之间的相互关系．

1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式．
(1)若a>0，解集为_________________________ ______________________________；
(2)若a<0，解集为___ __________________________________________________ ___．
2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax
2
＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax
2
＋bx＋c<0 (a>0)．
3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
判别式
Δ>0 Δ<0
Δ＝0
Δ＝b
2
－4ac
二次函数y＝ax
2
＋bx＋c
(a>0)的图象

一元二次方程ax
2
＋bx＋c
＝0(a>0)的根

ax
2
＋bx＋c>0
(a>0)的解集
ax
2
＋bx＋c<0
(a>0)的解集





R




一、填空题
1．不等式－6x
2
－x＋2≤0的解集是________．
2．一元二 次方程ax
2
＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax
2
＋bx＋c≥0

的解集为________．
3．函数y＝lg( x
2
－4)＋x
2
＋6x的定义域是________．
4．二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的部分对应点如下表：
x 0 1 2 3 4
－3 －2 －1
y 6 0 0 6
－4 －6 －6 －4
则不等式ax
2
＋bx＋c>0的解集是______________．
5．不等式－12
＋2x－1≤2的解集是________．
6．已 知x＝1是不等式k
2
x
2
－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是___ ___________．
7．不等式(x
2
－x＋1)(x
2
－ x－1)>0的解集是___________________________________．
8．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为
__________________________________________________ ______________________．
9．若不等式mx
2
＋2mx－ 4<2x
2
＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是________．
?
x－4x＋6，x≥0，
10．设函数f(x)＝
?
则不等式f(x)>f(1)的 解集是________．
x＋6， x<0，
?

二、解答题
1
??
11．若不等式ax
2
＋bx＋c≥0的解集为
?
x|－
3
≤x≤2
?
，求关于x的不等式cx
2
－bx＋a <0
??
2

的解集．







12．解关于x的不等式x
2
－(a＋a
2
)x＋a
3
>0.










能力提升
13．已知a
1
>a
2
>a
3
>0，则使得(1－a
i
x)
2
<1 (i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是________．
2
14．解关于x的不等式：ax－2≥2x－ax(a∈R)．

1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项
系数为负数时， 一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集
合的形式．
2．一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．
3．含参数的一元二次不 等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，
讨论结束后要进行总结．



§3.2 一元二次不等式(一)
答案
知识梳理
b
?
b
???
b
1．(1)
?
x|x>
a
?
(2)
?
x|x<
a
?
3.(－∞，x
1
)∪(x
2
，＋∞) {x|x∈R且x≠－
} {x|x
1
2
}
2a
????
? ?
作业设计
21
??
1.
?
x|x≤－
3
或x≥
2
?

??
2
解析 ∵－6x－x＋2≤0，∴6x
2
＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，
12
∴x≥或x≤－.
23
2．{x|－1≤x≤2}
bc
解析 由题意知，－＝1，＝－2，
aa
∴b＝－a，c＝－2a，
又∵a<0，∴x
2
－x－2≤0，∴－1≤x≤2.
3．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
?
x
2
－4>0，
?
解析 ∵
?
2
∴x≤－6或x>2.
?
x＋6x≥0，
?
4．{x|x<－2或x>3}
5．{x|－3≤x<－2或0
2
?
?
x＋2x－3≤0，
解析 ∵
?
2
∴－3≤x<－2或0?
x＋2x>0，
?

6．k≤2或k≥4
解析 x＝1 是不等式k
2
x
2
－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k
2
－6k＋8≥0，
解得k≥4或k≤2.
1－51＋5
7．{x|x<或x>}
22
1
3
x－
?
2
＋>0， 解析 ∵x
2
－x＋1＝
?
?
2
?
4
22
∴(x－x －1)(x－x＋1)>0可转化为
1－51＋5
解不等式x
2
－x－1> 0，由求根公式知，x
1
＝，x
2
＝.
22
?
1－51＋5
?
?
. ∴x
2
－x －1>0的解集是
?
x|x<或x>
22
??

∴原不 等式的解集为
?
x|x<
?
?
1－51＋5
?
?< br>.
或x>
22
?
8．(－2,1)
解析 ∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0，
∴x
2
＋x－2<0.∴－29．(－2,2]
解析 ∵mx
2
＋2mx－4<2x
2
＋4x，
∴(2－m)x
2
＋(4－2m)x＋4>0.
当m＝2时，4>0，x∈R；
当m<2时，Δ＝(4－2m)
2
－16(2－m)<0，
解得－2综上所述，－210．(－3,1)∪(3，＋∞)
解析 f(1)＝1
2
－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x
2
－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解是(－3,1)∪(3，＋∞)．
1
??
11．解 由ax
2
＋bx＋c≥0的解集为
?x|－
3
≤x≤2
?
，
??
1
知a<0，且 关于x的方程ax
2
＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
3
1b
－＋2＝－
3a
52
∴，∴b＝－a，c＝－a.
33
1c
－×2＝
3a
?
?
?
所以不等式 cx
2
－bx＋a<0可变形为
?
－
2
a
?x
2
－
?
－
5
a
?
x＋a<0，
?
3
??
3
?
2
即2ax－5ax－3a>0.
又因为a<0，所以2x
2
－5x－3<0，
1
??
所以 所求不等式的解集为
?
x|－
2
?
.
??
223
12．解 将不等式x－(a＋a)x＋a>0变形为(x－a)(x－a
2
)>0.
∵a
2
－a＝a(a－1)．
∴当a<0或a>1时，a2< br>，解集为{x|xa
2
}．
当02
2
或x>a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，不等式的解集为{x|xa
2
}；
当02
或x>a}；
当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
2
0，
?

13.
?
?
a
1
?
解析 由(1－a
i
x)
2
<1，
得1－2a
i
x＋(a
i
x)
2
<1，
即a
i
x(a
i
x－2)<0.
又a
1
>a
2
>a
3
>0.
2
∴0a
i
222
即x<，x<且x<.
a
1
a
2
a
3

222
∵>>>0
a
3
a
2
a
1
2
∴0a
1
14．解 原不等式移项得ax
2
＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
当a＝0时，x≤－1；
2
当a>0时，x≥或x≤－1；
a
2
当－2a
当a＝－2时，x＝－1；
2
当a<－2时，－1≤x≤.
a
综上所述，
2
??
当a>0时，解集为
?
x| x≥
a
或x≤－1
?
；
??
当a＝0时，解集为
{
x|x≤－1
}
；
?
2
?
当－2?
x|
a
≤x≤－ 1
?
；
??
当a＝－2时，解集为
{
x|x＝－1
}
；
2
??
当a<－2时，解集为
?
x|－1≤x≤
a
?
.
??