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【全国一等奖】人教版高中数学必修五:1.1正弦定理教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 22:59
tags:高中数学必修五

江苏省高中数学奥林匹克2018-如何记住高中数学公式


正弦定理(教学设计)

一、教学内容分析
“正弦定理”是《普通 高中课程标准数学教科书·数学(必修5)》(人教版)第
一章第一节的主要内容,它既是初中“解直角 三角形”内容的直接延拓,也是三角
函数一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用,是解可转化 为三角形计算
问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具,因此具有广泛的应用价值。
为什么要研究正弦定理?正弦定理是怎样发现的?其证明方法是怎样想到的?还有
别的证法吗?这些都 是教材没有回答,而确实又是学生所关心的问题。
本节课是“正弦定理”教学的第一课时,其主要任务 是引入并证明正弦定理,
在课型上属于“定理教学课”。因此,做好“正弦定理”的教学,不仅能复习巩 固旧
知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而且通过对定理
的探究, 能使学生体验到数学发现和创造的历程,进而培养学生提出问题、解决问
题等研究性学习的能力。
二、学生学习情况分析
学生在初中已经学习了解直角三角形的内容,在必修4中,又学习了三 角函数
的基础知识和平面向量的有关内容,对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成
初步的 知识框架,这不仅是学习正弦定理的认知基础,同时又是突破定理证明障碍
的强有力的工具。正弦定理是 关于任意三角形边角关系的重要定理之一,《课程标准》
强调在教学中要重视定理的探究过程,并能运用 它解决一些实际问题,可以使学生
进一步了解数学在实际中的应用,从而激发学生学习数学的兴趣,也为 学习正弦定
理提供一种亲和力与认同感。
三、设计思想
培养学生学会学习、学会探 究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程
改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢 ?建构主义认为:“知识不是
被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解 就是:知
识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并
通过 与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而获得的,建构主
义教学模式强调以学生为中 心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起
帮助和促进作用。本节“正弦定理”的教学,将遵 循这个原则而进行设计。
四、教学目标
1、知识与技能:通过对任意三角形的边与其对角的 关系的探索,掌握正弦定理
的内容及其证明方法。
2、过程与方法:让学生从已有的知识出发 ,共同探究在任意三角形中,边与其


对角的关系,引导学生通过观察、归纳、猜想、证明 ,由特殊到一般得到正弦定理
等方法,体验数学发现和创造的历程。
3、情感态度与价值观: 在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的交流、
合作和评价,实现共同探究、教学相长的教学情 境。
五、教学重点与难点
重点:正弦定理的发现和推导
难点:正弦定理的推导
六、教学过程设计
(一)设置情境
利用投影展示:如图1,一条河的两岸平行,河 宽
d?1km
。因上游暴发特大洪
水,在洪峰到来之前,急需将码头A处囤积的重要物 资
及留守人员用船尽快转运到正对岸的码头B处或其下游
1km
的码头C处,请你确定 转运方案。已知船在静水中
B
C
的速度
v
1
?5kmh,水流速度
v
1
?3kmh

【设计意图】培养学生的“数学起源于生活,运用于
(二)提出问题
A
图 1
生活”的思想意识,同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。
师:为了确 定转运方案,请同学们设身处地地考虑有关的问题,将各自的问题
经小组(前后4人为一小组)汇总整理 后交给我。
待各小组将问题交给老师后,老师筛选了几个问题通过投影向全班展示,经大
家归 纳整理后得到如下的五个问题:
1、船应开往B处还是C处?
2、船从A开到B、C分别需要多少时间?
3、船从A到B、C的距离分别是多少?
4、船从A到B、C时的速度大小分别是多少?
[来源学。科。网]

5、船应向什么方向开,才能保证沿直线到达B、C?
【设计意图】通过小组交流,提供一定 的研究学习与情感交流的时空,培养学生
合作学习的能力;问题源于学生,突出学生学习的主体性,能激 发学生学习的兴趣;
问题通过老师的筛选,确定研究的方向,体现教师的主导作用。
师:谁能帮大家讲解,应该怎样解决上述问题?
大家经过讨论达成如下共识:要回答问题1, 需要解决问题2,要解决问题2,
需要先解决问题3和4,问题3用直角三角形知识可解,所以重点是解 决问题4,问
题4与问题5是两个相关问题。因此,解决上述问题的关键是解决问题4和5。
师:请同学们根据平行四边形法则,先在练习本
D
B
E
C
v
1
v
F
A
v
2
图 2


上做出与问题对应的示意图,明确已知什么,要求什么,怎样求解。
生1: 船从A开往B的情况如图2,根据平行四边形的性质及解直角三角形的
知识,可求得船在河水中的速度大 小
|v|

v
1

v
2
的夹角
?

|v|?|v
1
|
2
?|v
2
|2
?5
2
?3
2
?4

sin
?
?
|v
1
|
3
?,
用计算器可求得
?
?37?

|v
2
|5
B
D
v
1
v
v
2
A
F
图 3
E
C
船从A开往C的情况如图3,
|AD|?|v
1
|?5

|DE|?|AF|?|v
2
|?3
,易求得
?AED??EAF? 45?
,还
需求
?DAE

v
,我还不知道怎样解这两个问 题。
师:请大家思考,这两个问题的数学实质是什么?
部分学生:在三角形中,已知两边和其中一边的
对角,求另一边的对角和第三边。
【设计意图】将问题数学化,有助于加深学生对问题的理解,有助于培养学生的
数学意识。
师:请大家讨论一下,如何解决这两个问题?
生3:不知道。
师:图2的情形大家都会解,但图3的情形却有困难,那么图2与图3有何异
同点?
生4:图2和图3的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的
对角和第三边。但图2中
?ADE
是直角三角形,而图3中
?ADE
不是直角三角形,不
能象 在直角三角形中可直接利用边角的关系求解。
师:图3的情形能否转化成直角三角形来解呢?
【设计意图】通过教师的问题引导,启发学生将问题进行转化,培养学生的化归
思想,同时为下一步用 特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正
弦定理做好铺垫。
生5:能,过点D作
DG?AE
于点G(如图4),
B
D
v
1
v
A
G
v
2
E
C
?|DG |?|v
1
|sin?DAG?|DE|sin?AED

|AG|?|v< br>1
|cos?DAG

|EG|?|DE|cos?AED

?sin?DAG?
|DE|sin?AED3sin45?32

??
|v
1
|510
F
图 4
|v|?|AG|?|GE|????

师:很好!采取分割的方法,将一般三角形 化为两个直角三角形求解。但在生
活中有许多三角形不是直角三角形,如果每个三角形都划分为直角三角 形求解,很不


便。能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢?三角形中,任意两 边与其
对角之间有怎样的数量关系?
【设计意图】通过教师对学生的肯定评价,创造一个教与 学的和谐环境,既激发
学生的学习兴趣,使紧接着的问题能更好地得到学生的认同,又有利于学生和教师
的共同成长。
(三)解决问题
1、正弦定理的引入
师:请同学们想一想,我们以前遇到这种一般问题时,是怎样处理的?
众学生:先从特殊事例 入手,寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例,
先在直角三角形中试探一下。
师:如 果一般三角形具有某种边角关系,对于特殊的三角形——直角三角形也
是成立的,因此我们先研究特例, 请同学们对直角三角形进行研究,寻找一般三角
形的各边及其对角之间有何关系?同学们可以参与小组共 同研究。
(1)学生以小组为单位进行研究;教师观察学生的研究进展情况或参与学生的
研究。
(2)展示学生研究的结果。
【设计意图】教师参与学生之间的研究,增进师生之间的思维与 情感的交流,
并通过教师的指导与观察,及时掌握学生研究的情况,为展示学生的研究结论做准
备;同时通过展示研究结论,强化学生学习的动机,增进学生的成功感及学习的信
心。
师:请说出你研究的结论?
abc
??
生7:
sinAsinBsinC
师:你是怎样想出来的?
生7:因为在直角三角形中,它们的比值都等于斜边
c

师:有没有其它的 研究结论?(根据实际情况,引导学生进行分析判断结论正
确与否,或留课后进一步深入研究。)
abc
??
师:对一般三角形是否成立呢?
sinAsinBsinC众学生:不一定,可以先用具体例子检验,若有一个不成立,则否定结论:若
都成立,则说明这个结 论很可能成立,再想办法进行严格的证明。
abc
??
师:这是个好主意。那么对等边三角形是否成立呢?
sinAsinBsinC
生9:成立。
abc
??
师:对任意三 角形是否成立,现在让我们借助于《几何画
sinAsinBsinC
板》做一个数学实验,? ?


【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”——“提出问题”——“研究特例”——“归纳猜想”——“实验探究”——“理论探究”——“解决问题”
的思维方式,进而 形成解决问题的能力。
2、正弦定理的探究
(1)实验探究正弦定理
师:借助于 电脑与多媒体,利用《几何画板》软件,演示正弦定理教学课件。
边演示边引导学生观察三角形形状的变 化与三个比值的变化情况。
abc
??
结论:对于任意三角形都成立。
s inAsinBsinC
【设计意图】通过《几何画板》软件的演示,使学生对结论的认识从感性逐步< br>上升到理性。
师:利用上述结论解决情境问题中图3的情形,并检验与生5的计算结果是否
一致。
生10:(通过计算)与生5的结果相同。
师:如果上述结论成立,则在三角形中利用该结论 解决“已知两边和其中一边
的对角,求另一边的对角和第三边。”的问题就简单多了。
【设计 意图】与情境设置中的问题相呼应,间接给出了正弦定理的简单应用,
并强化学生学习探究、应用正弦定 理的心理需求。
(2)点明课题:正弦定理
(3)正弦定理的理论探究
师:既然是定理,则需要证明,请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。
探究方案:
直角三角形——已验证;
锐角三角形——课堂探究;
钝角三角形——课后证明。
【设计意图】通过分析,确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形,
有助于在不影响 探究进程的同时,为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角
三角形的情形以课后证明的形式,可使 学生巩固课堂的成果。
师:请你(生11)到讲台上,讲讲你的证
路?
生11:( 走上讲台),设法将问题转化成直
角形中的问题进行解决。通过作三角形的高,
5的办法一样, 如图5作BC边上的高AD,则
AD?csinB?bsinC
,所以
[来源:Z§x x§]
明思
A
c
a
b
角三
与生

BC
D
图 5 锐角三角形


bcab
??
,同理可得
sinBsinCsi nAsinB
师:因为要证明的是一个等式,所以应从锐角三角形的条件出发,构造等量关
系从 而达到证明的目的。注意:
csinB?bsinC
表示的几何意义是三角形同一边上
的高不变。这是一个简捷的证明方法!
【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础 的等量关系,为
后续两种方法的提出做铺垫,同时适时对学生作出合情的评价。
师:在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢?
学生七嘴八舌地说出一些等量关系 ,经讨论
后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可
能有利用价值:①三角形的面积不变; ②三角形
外接圆直径不变。在教师的建议下,学生分别利
用这两种关系作为基础又得出了如下两 种证法:
证法二:如图6,设AD、BE、CF分别是
?ABC
的三条高。则有[来源:]
A
F
c
a
D
图 6
E
b
CB

AD?b?sin?ACB

BE?c?sin?BAC

CF?a?sin?ABC

11 1
?
S
?ABC
?a?b?sin?ACB?b?c?sin?BAC?c? a?sin?ABC

222
abc
??

?
A
sin?BACsin?ABCsin?ACB
证法三:如图7,设
BD?2r

?ABC
外接圆
的直径,则
?BAD?90?

?AC B??ADB

cc
???BD?2r

sin?ACBsin?ADB
ab
??2r
同理可证:
sin?BACsin?ABC
abc
???

sin? BACsin?ABCsin?ACB
B
c
b
a
C
图 7 三角形外接圆
D
【设计意图】在证明正弦定理的同时,将两边及其夹角的三角形面积公式
abc
???2r
一并牵出,使知识的产生自然合理。 及
sinAsinBsinC
师:前面我们学习了平面向量,能否运用向量的方法证明呢? < br>?????
????
???
师:任意
?ABC
中,三个向量< br>AB

BC

CA
间有什么关系?
?????????????
生12:
AB?BC?CA?0

?? ???????????
师:正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系,由
AB?BC?C A?0
转化成


数量关系?
生13:利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。
????????????< br>?
?????????????
?
师:在
AB?BC?CA
两 边同乘以向量
j
,

(AB?BC?CA)?j?0
,
这里 的向量
j

?
否任意?又如何选择向量
j
?
?< br>生14:因为两个垂直向量的数量积为0,可考虑让向量
j
与三个向量中的一个向
????
量(如向量
BC
)垂直,而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。
师:还是先研究锐角三角形的情形,按以上思路,请大家具体试一下,看还有
什么问题? 教师参与学生的小组研究,同时引导学生注意两个向量的夹角,最后让学生通
过小组代表作完成了如 下证明。
????
?
证法四:如图8,设非零向量
j
与向量
BC
垂直。
?????????????
因为
AB?BC?CA?0

?????????????
所以
(AB?BC?CA)?j?0

??????????

AB?j?CA?j?0

B
?? ??????????????????
|AB|?|j|?cos?AB,j??|CA|?|j|? cos?CA,j??0

??
c?|j|?cos(90??B)?b?|j|?cos(90??C)?0

??
c?|j|?(?sinB)?b?|j|?sinC?0

bcab
??
所以,同理可得
sinBsinCsinAsinB
A
c
?
j
a
b
C
图 8 向量
师:能否简化证法四的过程?(留有一定的时间给学生思考)
??????????
师:
AB?j?CA?j?0
有什么几何意义? ????????????????????
生15:把
AB?j?CA?j?0
移项可得
CA?j?BA?j
,由向量数量积的几何意义可
????
????
?

CA

BA

j
方向上的投影相等。
生16:我还有一种证法
师:请你到讲台来给大家讲一讲。(学生16上台板书自己的证明方法。)
?
??? ?
???
证法五:如图9,作
AD?BC
,则
AB

AC

????????????????
????
A
AD
方向上的投影相等,即
AB?AD?AC?AD

??????????????? ?
?|AB|?|AD|?cos(90??B)?|AC|?|AD|?cos(90??C)
C

?c?sinB?b?sin

bcab
??
故,同理可得
sinBsinCsinAsinB
c
B
D
a
图 9 向 量
b
C
师:利用向量在边上的高上的射影相等,证明
了正弦定理,方法非常简 捷明了!
[来源学科网ZXXK][来源:Z*xx*]

【设计意图】利用向量法来 证明几何问题,学生相对比较生疏,不容易马上想出
来,教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发 引导,将很难想到的方法合理


分解,有利于学生理解接受。
(四)小结 师:本节课我们是从实际问题出发,通过猜想、实验,归纳等思维方法,最后
发现了正弦定理,并从 不同的角度证明了它。本节课,我们研究问题的突出特点是
从特殊到一般,利用了几何画板进行数学实验 。我们不仅收获着结论,而且整个探
索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。
(五)作业
1、回顾本节课的整个研究过程,体会知识的发生过程;
2、思考:证法五与证法一有何联系?
3、思考:能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理?
4、当三角形为钝角三角形时,证明正弦定理。
【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成 观察、归纳、猜想、探究和证明,
小结的时间花得少且比较简单,这将在下一节课进行完善,因此作业的 布置也为下
节课做一些必要的准备。
七、教学反思
为了使学生真正成为提出问题和 解决问题的主体,成为知识的“发现者”和“创
造者”,使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、 体验数学的过程。我想到了
“情境——问题”教学模式,即构建一个以情境为基础,提出问题与解决问题 相互
引发携手并进的“情境——问题”学习链,并根据上述精神,结合教学内容,具体
做出了如 下设计:①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景(注:该情境源于
《普通高中课程标准数学教科书 ·数学(必修4)》(人教版)第二章习题
2.5
B组第
二题,我将其加工成一个具 有实际意义的决策型问题);②启发、引导学生提出自己
关心的现实问题,逐步将现实问题转化、抽象成 过渡性数学问题,解决过渡性问题4
与5时需要使用正弦定理,借此引发学生的认知冲突,揭示解斜三角 形的必要性,
并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质,将
过渡性问题引伸成一般的数学问题:已知三角形的两条边和一边的对角,求另一边
的对角及第三边。解决 这两个问题需要先回答目标问题:在三角形中,两边与它们
的对角之间有怎样的关系?③为了解决提出的 目标问题,引导学生回到他们所熟悉
的直角三角形中,得出目标问题在直角三角形中的解,从而形成猜想 ,然后使用几
何画板对猜想进行验证,进而引导学生对猜想进行严格的逻辑证明。
总之,整个 过程让学生通过自主探索、合作交流,亲身经历了“情境思考”—
—“提出问题”——“研究特例”—— “归纳猜想”——“实验探究”——“理论
探究”——“解决问题”——“反思总结”的历程,使学生成 为正弦定理的“发现
者”和“创造者”,切身感受了创造的苦和乐,从而使三维教学目标得以实现。

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