高中数学必修五《基本不等式》优秀教学设计

课题：基本不等式
一、教材分析：
本节课选自《普通高中课 程标准实验教科书·数学5·必修》
（人教A版）中第三章第四节。本节课主要研究基本不等式的几何背
景、代数证明和实际生活中的应用。
基本不等式在现实生活中运用比较广泛。本节 课通过从生活与几
何背景中得到基本不等式、证明不等式与回归生活解决实际问题的思
路，体现 新课标“数学有用”的理念。同时，运用基本不等式求最值
也是数列研究的基本问题。通过对本节的研究 ，培养学生数形结合的
思想方法。
二、学情分析：
在本节课之前学生 已经学习了不等关系与不等式和一元二次不
等式及其解法，对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有 了一定
的理解，为基本不等式的学习提供了基础。
授课班级为高一（1）班，我班 学生整体基础知识一般、部分学
生思维较活跃，能够较好的掌握教材上的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。
三、设计思想：
本课为新授课，积极践行新课程“数学 有用”理念，倡导积极主
动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高数学思
维 能力，在教与学的和谐统一中体现数学思想和文化价值；注重信息
技术与数学课程的整合。

四、教学目标：
1、知识与技能：
(1) 师生共同探究基本不等式；
(2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明；
(3) 会简单运用基本不等式。
2、过程与方法：
通过基 本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程
中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻 辑推理的能力；遵循
从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、
类比的 方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。
3、情感、态度与价值观：
(1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，
丰富学生数形结合的想象力；
(2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣
和欲望，树立学生 求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体
验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快 乐。
五、教学重点：
（1）用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明；
（2）运用基本不等式解决实际问题。
教学难点：基本不等式的运用。
重、难点解决的方法策略：
本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象 代数的教

学策略．利用数形结合思想，层层深入，通过学生自主活动探究，分
析 、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮
助学生理解，并通过范例后的变式训练 和教师的点拨引导，师生互动、
讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。
六、教学方法：
1、教法：根据对教材和学生的分析，针对学校实际情况，采用
启发引导式及多媒体辅助教学方法。
2、学法：学生自主探索，创造机会让学生合作、探究，交流。
这体现一种“给学 生一杯水然后教给学生寻找水的方法，使学生能找
到一桶水乃至更多活水”的求知、学习方式。
七、教学过程：







教学
环节
师生活动 学生
活动
设计
意图

一 情景1：（生活中实际问题引入） 观察 数 学
文化
为教
学背
景 ,
引入
新
课，
有效
调动
学生
的学
习兴
趣。
课题师：买一辆新车，使用多少年最合算，这是实际生活中
引入 必须考虑的现实问题。
情景2：（展示24届国际数学家大会会标）
上图是在北京召开的第24届国际数学家大会 的会标，
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，该图不
仅代表了古代中国曾经为世界数 学的发展做出了重要
的贡献，更体现了数学的简洁之美，其中还蕴含着一个
重要不等关系。

二 1. 请观察拼图，分组讨论下面四个问题。 小组通过
讨论，拼
结合图,
讲授
新课

问题调动
问1：在正方形ABCD中，设AE=a，BE=b，则AB= ，思考，学生
则正方形的面积S= .
问2：4个直角三角形的面积总和
s
=
问3：观察S与
问4：S与
,
自己兴
动手趣 ,
拼图感受
理解弦图
并感的内
受弦在意
图的义
s
,
有什么样的大小关系？
s
,
有相等的情况吗？何时相等？
22
a?b?2ab
成立的条件？ 2.探讨不等式
图的角度

当直角三角形变为等腰变化。

直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为


一个点，这时有

a?b?2ab

数的角度
22
a?b?2ab?
?
a?b
?
?0
当 a = b 时，
2
22





从形
和数
两个
方面




当a，b为任意实数时，

结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有


a?b?2ab
还成立吗？
22
a?b?2ab

22


当且仅当a=b时，等号成立.
此不等式称之为重要不等式

22
a?b?2ab


3.思考：你能给出不等式
探讨
重要
不等
式.
渗透
数形
结合
的思
想。

的证明吗？

222
a?b?2ab?(a?b)?0


证明:（作差法）
2
(a?b)?0
当a≠b时,




当a=b时,
(a?b)
2
?0

2
(a?b)?0
所以
即
a
2
?b
2
?2ab

4. 换元法探索与证明基本不等式

a?b
?
a?0,b?0
?
ab?
2

特 别地，如果
a?0,b?0
，我们用
a,b
分别代替
a、b，可得：


探索利 用
?
a
?
?
?
b< br>?
?2?
22
基本
a?b

重要
不等不等
a?b
?
a?0,b?0
?
2

得到基本不等式：
a?b?2ab

式的式 ；
证明由 换
法,学元法
生以得到
答：当且仅当a=b时取等号.
小组基本
5.熟悉基本不等式
基本不等式

几何平均数 算术平均数
a?b
?
a?0,b?0
?
ab?
2

通常我们把上式写作：
（分析法证明）
ab?
提问：等号何时成立呢？
为单不等
位展式 。
开讨

论。

因此基本不等式又被称为均值不等式

比 较
异
同，
此处
旨在
让学
生对
两个
不等< br>式加
以区
别










语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几

何平均数。

22
a?b?2ab

?
a?R,b?R
?


重要不等式
当且仅当a=b时，等号成立．
基本不等式
ab?
a?b
?
a?0,b?0
?
2









当且仅当a=b时，等号成立．
注意：
不同点：两不等式适用范围不同
相同点：当且仅当a=b时，等号成立．
例题讲解：
三

例
题
讲
解
1
例1. (1) 已知
x?0
，求证
x??2
并指出等号成立条件.
x

ab
(2) 已知
ab?0
，寻找与2
?
ba





的大小关系,并说明理由.
例题提炼口诀：一正
?
a?0,b?0
?

二定
?
ab
或
a?b
为定值）
四

课
堂
练
习
三相等（当且仅当a=b时，等号成立.）
课堂练习：
1
练习1：证明
a?1?
2
?2

a?1
2
1
练习2：若
a?b?1,P?lga?lgb
，
Q?
?
lga?lgb
?
，
2
?
a?b
?
R?l g
??
，则（ ）
?
2
?

A、R?P?Q

B、P?Q?R

C、R?P?Q

D、P?Q?R

五

课
堂
小
结
学 生
小 结
整 理
， 发
现 疑
问，
当
课堂小结：
22
a?b?2ab

?
a?R,b?R
?
重要不等式
当且仅当a=b时，等号成立．
基本不等式
ab?
a?b
?
a?0,b?0
?
2

当且仅当a=b时，等号成立．
六

课
后
作
业

课后作业：



堂 消
化，
有
利 于
形 成
知 识
体 系
。






与同学或老师交流完成教材P100习题3.4A

组2

七 板书设计：

板书 §3.4 基本不等式
设计



八
重要不等式
a
2
?b
2
?2ab
?
a?R,b?R
?

ab?
a?b
?
a?0,b?0
?
2

当且仅当a=b时，等号成立．
基本不等式
当且仅当a=b时，等号成立
．
主板书
教学教学反思：
反思