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高中数学必修5不等式教案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 23:00
tags:高中数学必修五

高中数学月考分析会-高中数学课堂核心素养的培养


高中数学必修5不等式教案
第三章 不等式
第一课时 3.1 不等关系与不等式(一)
教学要求:了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系;会从实际问题中找 出不等关
系,并能列出不等式与不等式组.
教学重点:从实际问题中找出不等关系.
教学难点:正确理解现实生活中存在的不等关系.
教学过程:
一、复习准备:
1、提问:你能回顾一下以前所学的不等关系吗?
2、讨论:除了书上列举的现实生活中的不等关系,你还能列举出你周围日常生活中的
不等关
系吗?
3、用不等式表示,某地规定本地最底生活保障金不底于300元;
二、讲授新课:
1、教学用不等式表示不等关系
① 在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样
的不等关系.
② 举例:例如:限速40kmh的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v
不超 过40kmh,写成不等式就是v≤40.
③ 文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言
大于
小于
大于等于
小于等于

④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系
对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a- b是正数;如a于0.它们的逆命题也正确.即
数学符号
>
<


文字语言
至多
至少
不少于
不多于
数学符号




(1)a?b?a?b?0;
(2)a?b?a?b?0;

(3)a?b?a?b?0
2、教学例题:
①出示例1:日常生活中,在一杯含有a克糖的b克糖水中,再加入m克糖,则这杯糖
1 21


高中数学必修5不等式教案
水变甜了,请根据这一事实提炼出一道不等式。
(浓度=
溶质

溶液
②出示例2:某种杂志以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。据市场调查,若单
价 每提高0.1元,销量就相应地减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元,怎样
用不等式表示销 售的总收入还不底于20万元呢?
(教师示范 → 学生板演 → 小结)
3、小结:文字语言与数学语言之间的转换,实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习:
1.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70 元的单片软件和
盒装磁盘,根据需要至少要买3片和2盒,请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不< br>等式表示出来。
2. 练习:教材P83 1、2题.
作业:课本P87 3题;P91第10题




2 21


高中数学必修5不等式教案
3.1不等关系与不等式(二)
教学要求:了解不等式与不等式组的实际背景;掌握常用不等式的基本基本性质;会将
一些基本性质结合 起来应用.
教学重点:理解不等式的性质及其证明.
教学难点:从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程:
一、复习准备:
1. 提问:实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点A与平面
?
之间的距离为d,B为平面
?
上任意一点,则点A与平面
?
的距离
小 于或等于A,B两点间的距离,请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课:
1、教学“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质
① 用“作差法”比较两 个实数大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、
?x?0,|x|?0,-|x|?0等. 有理化等方法.常用的结论有
x?0,

② “作差法”的一般步骤是: ①作差;②变形;③判断符号;④得出结论.

③常用的不等式的基本性质
22
(1)a?b,b?c?a?c
(2)a?b?a?c?b?c

(3)a?b,c?0?ac?bc
(4)a?b,c?0?ac?bc

2、教学例题:
① 出示例1:已知
a?b?0,c?0,
求证:
(教师讲思路→学生板演→小结方法)

② 出示例2.:比较
(a?3)(a?5)与(a?2)(a?4)
的大小.
(比较两个数的大小,基本方法是作差,对差的正、负或零做出判断,得出结论)
方法提炼
比较大小的方法
1.作差法
其一般步骤是:(1)作差;(2)变形;(3)定号 ;(4)结论.其中关键是变形,常采用配方、
因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和 式.当两个式子都为正数时,
3 21
cc
?

ab


高中数学必修5不等式教案
有时也可以先平方再作差.
2.作商法
其一般步骤是:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小;(4)结论.
3.特例法
若是选择题还可以用特殊值法比较大小,若是解答题,也可以用特殊值法探路.
11
nn
4.注意:
a
>
b
?
<和
a
>
b
?
a
>
b
(
n
∈N,且
n
>1)成立的条件.
ab

③ 1.变式训练:已知
a?0,比较(a?1)与a?a?1
的大小
2.比较大小:a
a
b
b
__________a
b
b
a
( a>0,b>0且a≠b)

④ 出示例3:已知
12?a?60,15?b?36,求a?b及
(确定取值范围→利用不等式的性质求解)

⑤ 变式训练:已知
?3?a?b1,?4?c?0,求(a-b).c
的取值范围.



三、 巩固练习:
①.比较
x?3与3x
的大小,其中
x?R
.

2222
②.比较当
a?0
时,
(a?2a?1)(a?2a?1)与(a? a?1)(a?a?1)
的大小.
2242
a
的取值范围.
b
2

③.(2001.济南)设实数
a,b,c
满足b?c?6?4a?3a,c?b?4?4a?a,则a,b,c
的大小关系是_________ ____.

4. 已知
?
22
111
,试将
A,B,C,D
按大
?a?0,A?1?a
2
,B?1?a
2
,C?,D?
21?a1?a
小顺序排列
5. 已知
?
?
2
?
?
?
?
?
?
2
,求
??
?
2
的范围
4 21


高中数学必修5不等式教案
§2.1 一元二次不等式的解法(1)
教学目标
(一)教学知识点
1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.一元二次不等式的解法.
(二)能力训练要求
1.通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力,渗透数形结合思想.
2.提高运算(变形)能力.
(三)德育渗透目标
渗透由具体到抽象思想.
教学重点
一元二次不等式解法
教学难点
一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.
数形结合思想渗透.
教学方法
发现式教学法
通过“三个二次”关系的寻求,得到一元二次不等式的解.
教学过程
Ⅰ创设情景
汽车在行驶过程中……
解:由题意可得要确定 哪一辆车违章了,只需分别解出不等式0.01x2+0.1x≤12和
0.005x2+0.05x> 10,确认甲、乙两车的行驶速度,就可以判断出哪一辆车违章超速行驶。
像上面的形如 ax +bx+c>0( ≥ 0) 或 ax+bx+c<0( ≤ 0) 的不等式(其中 a ≠ 0 ),
叫做 一元二次不等式
复习:
①解一元一次不等式时应具备的知识:
不等式的性质:
1)若
a?d

a?c?d?c

2 2
5 21


高中数学必修5不等式教案
2)若
a?d

c?0

ac?dc

3)若
a?d

c?0

ac?dc

②还有一种数学方法可以解不等式——数形结合法,它在解不等式中起着非常优越的作
用!
Ⅱ讲授新课
1.先看解一元二次不等式中的数形结合
例:解不等式
2x?7?0

2x?7?0
.
7
②作函数
y?2x?7
的图象
2
77
③解不等式
2x?7?0

?

x?

2x?7?0

?

x?

22
① 方程
2x?7?0

x?
2.利用数形结合解一元二次不等式
解不等式
x
2
? x?6?0

x
2
?x?6?0

①解方程
x2
?x?6?0

x
1
?2

x
2< br>?3
②作函数
y?x?x?6
的图象
③解不等式
x
2
?x?6?0
?

x?3

x??2

x
2
?x?6?0
?

?2?x?3

例题:P76页例1、2、3
3.思考交流
(1)总结一元二次不等式的解法(
a
?0

方程
ax
2
?bx?c?0

的解的情况
??0
时方程有
两个不等的根
x
1

x
2

??0
时方程有
x
0


??0
时方程无实根


y?ax?bx?c

图象
2
2
不等式的解集
ax
2
?bx?c?0

ax
2
?bx?c?0

?
x|x?x
1
或x?x
2
?

?
x|x
1
?x?
2
?



?
x|x?x
0
?


?

?

(2)解不等式0.01x2+0.1x≤12和0.005x2+0.05x> 10并指出哪一辆车违章?
4.练习
①已知函数
y?x?bx?c
的图象 与
x
轴的交点横坐标为
?1
和2,则当
x?2

2
x??1
时,
y?0
;当
?1?x?2
时,
y?0
.
6 21


高中数学必修5不等式教案
②若方程x
2
?mx?n?0
无实数根,则不等式
x
2
?mx? n?0
的解集是
R

③已知不等式
ax
2
?bx ?2?0
的解是
?
2
11
?x?
,则
a?
-12
b?
-2
23
④若不等式
x?ax?(a?3)?0< br>的解集是
?
,则实数
a
的取值范围是
?2?a?6
.
⑤若
x
满足
4x
2
?4 x?15?0
,化简
x?8x?16?x?3?
1
2、教学例题:
① 出示例1:求不等式
4x
2
?4x?15?0
的解集.
(解方程 → 给出图象 →学生板演)
② 变式训练:求不等式
4x
2
?4x?15?0
的解集.
③ 变式训练:求不等式
?4x
2
?4x?15?0
的解集.
④ 出示例2:求不等式
?x
2
?2x?3

(方程的解→函数草图→观察得解)
⑤ 出示例3:已知
ax
2
? 2x?c?0
的解集为
?
2
11
?x?
,试求
a, c
的值,并解不等式
32
?cx
2
?2x?a?0

(将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来)
⑥ 变式训练:已知不等式
a x
2
?bx?c?0
的解集为
(
?
,
?
)
,且
0?
?
?
?
,求不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集.
3、小结:不等式
ax?bx??0(a?0)
的解集情况,解一元二次不等式的三步曲.
三、巩固练习:
1、求不等式
6x
2
?x?1?0
的解集.
2、不等式< br>ax
2
?bx?2?
的解集是
?
x|?
3、作业:





2
?
?
11
?x?
23
?
,则
a?b
的值是_________
7 21


高中数学必修5不等式教案
3.2 一元二次不等式及其解法(二)
含参不等式的解法举例
一,含参数的一元二次不等式的解法:
例1:解关于的x不等式
(m?1)x?4x?1?0(m?R)

解:当m??1时,原不等式的解集为
?
x|x?
?
;

2
?
?
1
?
4
?
当m??1时,(m?1)x
2
?4x?1?0的判别式?=(43-m);

?
2?3?m2?3?m
?

则当m??1时,原不等式的解集为x |x?或x?
??
m?1m?1
??
?
2?3?m2?3?m
?
当?1?m?3时,原不等式的解集为x|?x?
??
m?1m?1
??
当m=3时,原不等式的解集为
?
x|x?
?
?
1
?
?

2
?
当m>3时, 原不等式的解集为
?

小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解 ,若不易分解,也可对判
别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的 存在范
围,③两根大小。⑶二次项的取值(如取0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。

牛刀小试:解关于x的不等式
ax?2(a?1)x?4?0,(a?0)


二,含参数的分式不等式的解法:
例2:解关于x的不等式
2
ax?1
?0

x
2< br>?x?2
分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式,再对ax-1中的a进行分类讨论求 解,
还需用到序轴标根法。
解:原不等式等价于
(ax?1)(x?2)(x?1)?0


a
=0时,原不等式等价于
(x?2)(x?1)?0

解得
?1?x?2
,此时原不等式得解集为{x|
?1?x?2
};

a
>0时, 原不等式等价于
(x?
1
)(x?2)(x?1)?0
,
a
1
则:当
a?时,
原不等式的解集为
?
x|x??1且x?2?

2
1
1
?
当0<
a?时,
原不 等式的解集为
?
?
x|x?或?1?x?2
?

2
a
??
1
1
?

a?时,
原不等式的解集为?
x|?1?x?或x?2
?

?
a
2
??
8 21


高中数学必修5不等式教案

a
<0时, 原不等式等价于
(x?
1
)(x?2)(x?1)?0

a
则当
a??1
时, 原不等式的解集为
?
x|x?2且x??1
?

1
?

?1?a?0
时, 原不等式的解集为
?
?
x|x?或?1?x?2
?

a
??
1
?

a??1
时, 原不等式的解集为
?
?
x|x??1或?x?2
?

a< br>??
小结:⑴本题在分类讨论中容易忽略
a
=0的情况以及对
1
,-1和2的大小进行比较再结合
a
系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时 ,一要考虑参数总的取值范围,二
要用同一标准对参数进行划分,做到不重不漏,三要使划分后的不等式 的解集的表达式是确
定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段,把不等号一边化为0 ,再转
化为乘积不等式来解决。

牛刀小试:解关于x的不等式
a(x?1)
?1,(a?1)

x?2

三,含参数的绝对值不等式的解法:
例3:解关于x的不等式
|ax?2|?bx,(a?0,b?0)

分析: 解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号,本题要用到同解变形
|f(x)|?g(x)?f(x)?? g(x)或f(x)?g(x)
,首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式,
然后就
a

b
两个参数间的大小关系分类讨论求解。
解:
|ax?2| ?bx?ax?2??bx或ax?2?bx?(a?b)x?2或(a?b)x?2

a?b?0
时,
(a?b)x?2或(a?b)x?2
?x?
22
?
; 此时原不等式的解集为
?
或x?
?
x|x?
?a?ba?b
??
22

或x?
a?ba?b

a?b?0
时,由
(a?b)x?2得x?
2
,而(a?b)x?2无解< br>,
a?b
2
?
; 此时原不等式的解集为
?
?x|x?
?
a?b
??

0?a?b
时,
(a ?b)x?2或(a?b)x?2
?x?
2
?
; 此时此时原不等式的解集为
?
x|x?
??
a?b
??
222

或 x??x?
a?ba?ba?b
22
?
;当
b?a?0
时, 综上所述,当
a?b?0
时,原不等式的解集为
?
或x?
?
x|x?
?
a?ba?b
??
2
?
。 原不等式的解集为< br>?
?
x|x?
?
a?b
??
小结:去掉绝对值符号的 方法有①定义法:
|a|?{
?a(a?0)
②平方法:
|f(x)|?|g (x)|?

a(a?0)
9 21


高中数学必修5不等式教案
f
2
(x)?g
2(x)
③利用同解变形:
|x|?a??a?x?a,(a?0);|x|?a?x??a 或x?a,(a?0);

|f(x)|?g(x)??g(x)?f(x)?g(x);|f(x)|?g(x)?f(x)??g(x)或f(x)?g(x)
;
牛刀小试:( 2004年辽宁省高考题)解关于x的不等式
|x?1|?a?1?0,(a?R)

思路点拨:⑴将原不等式化为
|x?1|?1?a
然后对
a
进行分类讨论求解 。⑵要注意
a?0时,|x|?a的解集为
空集;
a?0时,|x|?a的解x?0; a?0时,|x|?a的解集为R;
⑶抓住绝对值的意义,在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误 。具体解答请同学们自
己完成。
三、巩固练习:
1、若
0?a?1
,则不等式
(a?x)(x?)?0
的解是___________
2、解关于
x
的不等式:
ax?(a?1)x?1?0
< br>2
3.设不等式
x
-2
ax
+
a
+2≤0的 解集为
M
,如果
M
?
[1,4],求实数
a
的取值 范围
1
a
2
(a?1)x
2
?1
?x(a? 0)
。 4.解关于
x的不等式
ax?1





10 21


高中数学必修5不等式教案
一元二次不等式的解法的应用(一)

【例1】 解不等式:(x-2)
2
(x-3)
3
(x+1)<0.
解:①检查各因式中x的符号均正;
②求得相应方程的根为-1,2,3(注意:2是二重根,3是三重根);
③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自右上方开始),如下图:

④原不等式的解集为{x|-1<x<2或2<x<3}.
说明:∵3是三重根,∴在C处穿三次,2是二重根.
∴在B处穿两次,结果相当于没穿.由此看出,当左侧f(x)有相同因式(x-x
1
)
n
,n为奇数时,
曲线在x
1
点处穿过数轴;n为偶数时,曲线在x
1
点处不穿过数轴,不妨归纳为“奇穿偶
不穿”.
【练习1】 解不等式:(x-3)(x+1)(x
2
+4x+4)≤0.


【例2】 解不等式:
x?3
<0
.
x?7
解法一:化为两个不等式组来解.
?
x?3>0
?
x?3<0
x?3
∵0或
?
∴原不等式的解集
<0
?
?
?
x∈
?
或-7<x<3-7<x<3,
x?7
x?7 <0
x?7>0
?
?
是{x|-7<x<3}.
解法二:化为二次不等式来解.

?
(x?3)(x?7)<0
x ?3
<0
?
?
?
-7<x<3,∴原不等式的解集是{x|-7<x <3}.
x?7
x?7?0
?
点评:若本题带“=”,即(x-3)(x+ 7)≤0,则不等式解集中应注意x≠-7的条件,解集应是{x|-7
<x≤3}.
x
2
?3x?2
?0
. 【例3】 解不等式:
2
x?2x?3
解法一:化为不等式组来解(较繁).
22?
x
2
?3x?2
?
(x?3x?2)(x?2x?3)?0< br>?0
?
?
2
解法二:∵
2
?

x? 2x?3
?
?
x?2x?3?0
?
(x?1)(x?2)(x?3) (x?1)?0,

?
?
(x?3)(x?1)?0,
∴原不等式的 解集为{x|-1<x≤1或2≤x<3}.
练习:解不等式
x?3
>2
.
x?5
答案:{x|-13<x<-5}.

11 21


高中数学必修5不等式教案
课堂小结
1.关于一元二次不等式的实际应用题,要注意其实际意义.
2.求解一般的高次不等式的解法.
特殊的高次不等式即右边化为0,左边可分解为一次或二 次式的因式的形式不等式,一般用
区间法解,注意:①左边各因式中x的系数化为“+”,若有因式为二 次的(不能再分解了)
二次项系数也化为“+”,再按我们总结的规律做;②注意边界点(数轴上表示时 是“。”还是
“ .”).
3. 分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为
f(x)f(x)
>0
(或
< 0
的形式,转化为
g(x)g(x)
?
f(x)g(x)>0,
?< br>f(x)g(x)<0,
,(或,即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式.
??< br>?
g(x)?0
?
g(x)?0
x
2
?x?6
>0
的解集为 (2010全国卷2理)不等式
x?1
(A)
xx<?2,或x>3
(B)
xx<?2,或1<x<3

(C)
x?2<x<,或1x>3
(D)
x?2<x<,或11<x<3

【答案】C
(2010江西理)不等式
????
????
x?2x?2
?
的解集是( )
xx
A.
(0,2)
B.
(??,0)
C.
(2,??)
D.
(-?,0)?(0,??)



12 21


高中数学必修5不等式教案
一元二次不等式的解法的应用(二)

【例1】 已知关于x的方程2x
2
+4mx+3m-1=0有两个负数根,求实数m的取值范围.
探路:列出方程有两个负根的 等价条件(不等式组),然后解不等式组.
解:已知方程有两个负根的等价条件是

?
?
??(4m)
2
?4?2(3m?1)?0
?
??
x
1
?x
2
??2m<0
?
3m?1
?
x
1
x
2
?>0
2
?
m≥1. ?
?
2m
2
?3m?1?0
?
?
?
m >0
?
1
?
m>
3
?
1
?
m?或 m?1
?
11
?
2
?
<m≤或
?
32?
m>
1
?
3
?
∴m的取值范围是(
11,]∪ [1,+∞).
32
点评:1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形,故Δ ≥0,因此列成Δ>0是错误的.又若只
列成Δ≥0也是错误的,Δ≥0只能保证方程有实根,而不能保 证有两个负根,所以还要联立
x
1
x
2
>0,x
1
+x
2
<0的条件.
2.利用不等式讨论方程的根的情况,是不等式的重要应用.
【例2】 已知A={x|x< br>2
-3x+2≤0},B={x|x
2
-(a+1)x+a≤0}.
(1)若B
?
A,求a的取值范围;
(2)若A∩B是单元素集合,求a的取值范围.
探路:先解不等式化简集合A和B,再利用数轴表示两个集合的关系,求a的取值范围.
解:解不等式x
2
-3x+2≤0得A= [1,2];而B={x|(x-1)(x-a)≤0}.
(1)若B
?
A,如图(1),得a的取值范围是1≤a<2.

(1)
(2)若A∩B是单元素集合,如图(2),A∩B只能是集合{1},

(2)
∴a的取值范围是a≤1.

【例3】 关于x的不等式ax2
+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>

ax
2
-b x+c>0的解集.
1
},求关于x的不等式
2
b5
c
b c5
从而ax
2
-bx+c>0可以变形为
x
2
?x?<0
,即x
2
-
??

?1

a2
a
aa2
11
x+1<0.∴<x<2.∴原不等式的解集为{x|<x<2}.
22
由题设a<0且
?

引申:已知关于x的二次不等式ax
2
+(a-1)x+a-1<0的解集为R,求a的取值范围.
练习:已知不等式(a
2
-1)x
2
-(a-1)x-1<0的解集为R,求实数a的取值范围.
13 21


高中数学必修5不等式教案
3.2 一元二次不等式及其解法(练习课)
教学要求:掌握一元二次不等式的解法;能借助二次函数的图象及 一元二次方程解决相
应的不等式问题.
教学重点:应用性问题.
教学难点:综合应用.
教学过程:
一、复习准备:
1、提问:实数比较大小的方法?
2、讨论:不等式的性质有哪些?
二、基础练习:
1.一元二次不等式的解法.
① 解不等式
?2x
2
?3x?7?0

② 不等式
(x?1)(2?x)?0
的解集_______________
2.实数比较大小的方法.
① 比较
x?3与3x
的大小,其中
x?R

② 设
x?R
,比较
2
1
1?x
的大小.
1?x与
22
3.不等式性质的应用.
① 如果
a?R
, 且
a
2
?a?0
,那么
a,a,?a,?a
的大小关系是_ __________________
② 已知
12?a?60,15?b?36
,则
a?b及
③ 已知
a?b,c?d
,求证
a?c?b?d

三、巩固练习
1. 较大小:比较
x?1与x?x
的大小,其中
x?R

2.若
0?a?1
.则不等式
(a?x)(x?)?0
的解是_______ _______
3.不等式
|x|(1?3x)?0
的解集是__________________
4.若
a?b?0
,则
(a?bx)(ax?b)?0
的解集是__ _________________
5. 已知
?
642
a
的取值范围分别是__________________
b
1
a
111
,试将
A,B,C,D
按大
?a?0,A?1?a
2
,B?1?a
2
,C?,D?
21?a1? a
小顺序排列
6. 已知
?
?
2
?
?
?
?
?
?
2
,求
?
?
?
2
的范围
14 21


高中数学必修5不等式教案
*7.解关于
x
的不等式
ax?2(a?1)x?4?0

*8 如果方程
x?(m?1)x?m?2?0
的两个不等实根均大于1,求实数m
的取值范围
9. 若二次函数
y?f(x)
的图象经过原点,且1?f(?1)?2,3?f(1)?4
,求
f(?2)

取值范围.
课后作业 教材P91 B 1、2、3、4

22
2
15 21


高中数学必修5不等式教案
3.1基本不等式(一)
教学要 求:通推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中
的不等号“≥”取等号的 条件是:当且仅当这两个数相等;
教学重点:应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式
ab?
a?b
的证
2
明过程;
教学难点:理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵
教学过程:
一、复习准备:
1. 回顾:二元一次不等式(组)与简单的线形规划问题。
2. 提问:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数
学家赵爽的弦图设计 的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或 不等关系吗?
二、讲授新课:
1. 教学:基本不等式
ab?
a?b
2

①探究:图形中的不等关系,将图中的“风车”抽 象成
如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b
那么正方形的边长为
a?b
。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面
积为
a
2
?b
2
。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我 们就得到了一个不等
式:
a
2
?b
2
?2ab
。当 直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩
为一个点,这时有
a
2
?b
2
?2ab
。(教师提问
?
学生思考
?师生总结)
②思考:证明一般的,如果
a,b?R,那么a?b?2ab(当且仅当a? b时取?号)

③基本不等式:如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ,可得
a?b?2ab

通常我们把上式写作:
ab?
a?b
(a>0,b>0)

2
22
22
④从不等式的性质推导基本不等式
ab?
用分析法证明: 要证
a?b

2
a?b
,只
?ab
(1), 只要证 a+b
?
(2), 要证(2)
2
2
要证 a+b-
?
0(3)要证(3), 只要证( - )(4),
显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。
2233
⑤练习 :已知
x

y
都是正数,求证:(1)
y
?
x≥2;(2)(
x

y
)(
x

y
) (
x

y

xy
≥8
xy
.
16 21
33


高中数学必修5不等式教案
⑥探究:课 本第110页的“探究”:(结论:如果把
a?b
看作是正数
a

b
的等差中项,
2
ab
看作是正数
a

b
的 等比中项,那么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小
于它们的等比中项.)

探究:如图,
AB
是圆的直径,点C是
AB
上一点,
A
C =
a
,
B
C=
b
.过点C作垂直于
AB
的 弦DD′,
连结
A
D、
B
D.你能利用这个图形得出基本不等式的几 何解释吗?
CD?ab

ab
表示半弦长,
a?b
表示半 径长.
2
由半径大于半弦可得
ab?
a?b
当且仅当点C与圆心重合,即当
a
=
b
时可取等号
2
布置作业

a
2
?b
2
a?b
活动与探究:已知
a

b
都是正数,试探索,
ab
,, 的大小关系,
11
2
2
?
ab
2
并证明你的结论.
分析:(方法一)由特殊到一般,用特殊值代入,先得到表达式的大小关系,再由不等式及
实数 的性质证明.
(方法二)创设几何直观情景.设
A
C=
a
,
B
C=
b
,用
a

b
表示线段CE、OE、CD 、DF的
长度,由CE>OE>CD>DF可得.

2. 小结:①两正数a、b的 算术平均数与几何平均数成立的条件。②理解“当且仅当a=b
时取等号”的数学内涵。
三、巩固练习:
1. 练习:教材114页练习的第1题。
2. 作业:教材114页习题[A]组的第1题.



17 21


高中数学必修5不等式教案
3.2
基本不等式与最大(小)值

教学目标:进一步掌握基本不等式
ab?
解决一些简单的实际问题;
重点难点:1.教学重点:基本不等式
ab?
a?b
;会应用此不等式求某些 函数的最值;能够
2
a?b
的应用
2
a?b
2.教学难点:利用基本不等式
ab?
求最大值、最小值。
2
教学过程:
一、情境引入,提出问题
1、基本不等式及其等号成立的条件
2、若
x?0
,求
y?x?
a?b
?ab

a
2
?b
2
?2ab

2
1
的最小值;
x
“模块一”中可以利用函数的单调性得出解答,但利用基本不等式更方便;
二、讲授新课
1、思考、讨论下列问题
(1)长为16
cm
的细铁丝围成的矩形中,面积最大有多大?
(2)面积为16
cm
2
的矩形中,周长最小为多少?
2、抽象概括
(1)长为16
cm
的细铁丝围成的矩形中,边长为4
cm
的正方形面积最大;面
积为16
cm
2
的矩形中,边长为4
cm的正方形周长最小;
(2)当
x、y
都为正数时,有下列结论: s
2

x?y?s
(定值)时,则当
x?y
时,积xy
取得最大值,且最大值为;
4

xy?p
(定值)时,则 当
x?y
时,和
x?y
取得最小值,且最小值为
2p

(3)“一正、二定、三相等”
三、范例及思考
例1求出函数
y?3?3
已知
0?x?
x?x
的最小值
3
,求函数
y?x(3?2x)
的最大值
2



例2 设
x、y
为正数,且
2x?5y?20
,求u?lgx?lgy
的最大值。


Ex:1.下列函数中,最小值为2的是( )
(A)
y?x?
1
(B)
y?
x
2
x
2
?
1
x
2

(C)
y?
x
?2?
1
x
2
(D)
y?sinx?
?2
1

sinx
18 21


高中数学必修5不等式教案
2、设0y?x(1?x )
的最大值是_______________
3、若x>0,y>0且
28
??1
则xy有最_______值其大小为_____________
xy
四、典例分析,变式训练
例1、已知
x?


变式、已知
f(x)?

例2、设
0?x?2
求函数
f(x)?3x(8?3x)
最大值


变式、已知
0?x?
51
,求函数
y?4x?2?
的最大值
44x?5
12
?3x
(1)若
x?0

f( x)
的最小值(2)若
x?0

f(x)
的最大值
x
3
求函数
y?x(3?2x)
的最大值
2
例3、已知正数
x,y
满足
2x?y?1
(1)求证:
111
?8
(2)求
?
的最小值。
xyx y
变式、已知
x,y?
R
?

19
??1

x?y
的最小值。
xy
例4、已知
x?2
,求函数f(x)?
2
x
2
?2x?1
x?2
的值域。
例5、、求
y?
x
?3
的最小值。
x
?1
2
五、课堂小结
1、和一定时,积最大;积一定时,和最小;“一正、二定、三相等”
2、解应用题时,要审题、列函数式、合理准确地利用基本不等式解决问题。
六、课外训练
1、已知0 2、设x,y是满足2x+y=20的正数,则lgx+lgy的最大值是( )
A: 50 B: 20 C: 1+lg5 D: 1
3、设x,y∈R.且x+y=5则
3
x
?
3
的最小值是( )
11
?)
的最小值为___________________。
a?bc
y
4、设a,b,c为正数,则
(a?b?c)(
5、若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是_____________________。
6、求证:
a
2
?
b
?
c
?ab?bc ?ac

(a,b,c?R)

19 21
22


高中数学必修5不等式教案
3.3基本不等式(三)
教学要求:进一步掌握基本不等式
ab?
a?b
;会应用此不等式求某些函数的最值;
2
能够解决一些简单的实际问题
教学重点:基本不等式
ab?
a?b
的应用
2
教学难点:利用基本不等式
ab?
a?b
求最大值、最小值。
2
教学过程:
一、复习准备:
1. 讨论:重要不等式?基本不等式?
2. 提问:
a
2
?b
2
?2ab和
二、讲授新课:
1. 教学:最大值、最小值。
① 出示例1:(1)用篱笆围成一个面积为100m的矩形 菜园,问这个矩形的长、宽各
为多少时,所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?(2)段长为
36
m的篱笆围成一个一边
靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最 大面积是多少?
分析:根据题意:
?
如何设长、宽? 应用什么知识? 怎样应用?
2
a?b
2
?ab
成立的条件?
?
学生讲述解答过程。

?
小结:解决应用问题,首先读懂题意,思考用什么方法去解决。
②练习:用绳子围成一块矩形场地,若绳长为20米,则围成最大矩形的面积是 ;
若要围出一块100米的场地,则绳子最短为 。
③出示例2:某工厂要建造一个 长方体无盖贮水池,其容积为4800m
3
,深为3m,如果池
底每1m
2< br>的造价为150元,池壁每1m
2
的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
分析:
?
如何由实际问题向数学问题转化,即建立函 数关系式?
?
如何求函数的最值,
用到了什么定理?
?
师生共同解答 。
?
小结:应注意数学语言的应用即函数解析式的
建立和注意不等式性质的适用条件。
④练习:建造一个容积为18立方米,深为2米的长方体有盖水池。如果池底和池壁每
平方米的 造价分别是200元和150元,那么如何建造,池的造价最低,为多少?
2. 小结:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:
(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
2
20 21


高中数学必修5不等式教案
(4)正确写出答案.
三、巩固练习:
1. 练习:教材114页练习的第1题. 习题[A]组的第2题.
2. 已知x≠0,当x取什么值时,x
2

81
的值最小?最小值是多少? 2
x
3.已知矩形的周长为36,矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱,矩形的长.宽各为多 少时,
旋转形成的圆柱的侧面积最大?
3. 作业:教材114页习题[A]组的第4题。


21 21

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