高中数学必修五解三角形知识点归纳

解三角形

一.三角形中的基本关系：

sin(A?B)?sinC,
(1)
cos(A?B)??cosC,


tan(A?B)??tanC,


A?BCA?BCA?BCsin?cos,cos?sin,tan?cot
(2)


222222
(3)a>b则Ａ＞Ｂ则
sinA>sinB,反之也成立
二.正弦定理：


abc
???C
R．
R2???的外接圆的半径为



）
sin?sin?sinC
正弦定理的变形公式：

b?2Rsin?
a?2Rsin?
，，；①化角为边：
CRsinc?2c
b
a
sinC?
；，②化边为角：，
?sin?
??sin


R2
R2
R2
a:b:c?sin?:sin?:sinC； ③
a?b?cabc???
．④


Csin?sin?si nsin??sin?sin?C
两类正弦定理解三
角形的问题：
①已知两角和任意一边求其他的两边及一
角.

②已知两边和其中一边的对角，求其他边
角.
(对于已知两边和其中一边所对的角的题型
要注)
意解的情况（一解、两解、无解）．
三．余弦定理：


222
?cosc?2bca?b?
222
??2accosb?a
?c
2 22
C2abcosac??b?
． 注意：经常
与完全平方公式与均值不等式联系 推论：
222
a?cb?cos??



2bc
222
b?a?c??cos

ac2
222
a?b?ccosC?

．
2ab
222
c?ba?
C?90
； ①

若，则
则②若 ；
222
C?90
222
cb?a?
，

90?Cc?ab?
，则③

若．

余弦定理主要解决的问题：
（1）.已知两边和夹角求其余的量。
（2）.已知三边求其余的量。
注意：解三角形与判定三角形形状时，实现
边角转化，统一成边的形式或角的形式
四、三角形面积公式：






等差数列

一．定义：如果一个数列从第2项起，每一
项与
它 的前一项的差等于同一个常数，则这个数
列称为等差数列，这个常数称为等差数列的

公差．

a?a?d
（二．符号表示:n>=1）
n?1n
三．判断
数列是不是等差数列有以下四种方法：

a?a?d(n?2,d为常数)
（可用来证明）
(1)
1nn?
a?a?a
n?2
)(（可用来证明）
2
1nn??1n
(2)
a?kn?b
n,k
为常数()
(3)
n
(4)
s?a?a??a
是一个关于n 的2次式且无常数项
n21n
四.等差中项

a
b
成等 差数列，则称为与的等差中，，
?
a
b
?
a?cb?
ca
b
的等差中项．，则称与项．若为


2
五.通项公式:
?
??
d1n?a?a?(
是一个关于的一次式,一次项系数是公差)
1n

：
通项公式的推广

a?a
??
mn
d?
dn?m?a?a
． ；
mn
m?n
六.等差数列的前项和的公式：
n
??
aan?
n1
S?
①(
n

注意利用性质特别是下标为奇数)
2
??
1nn?dS?na?
(是一个关于n 的②2次式且

1n
2
无常数项,二次项系数是公差的
一半)
七.等差数列性质:

a?a?a?a
m?n?p?q
mnpq
； (1)若则
2a?a?a
q?n?p2
．若 则
(2)
qpn
(3) ,S?SS,S?S?
nn232nnn
成等差数列
(4)
S
n
{}成等差数列,且公差为原公差的
n
*

??
??
?n?2n
aa?Sn?
，则，①若项数为(5)
Sa
ndS?S?
奇n
?
，．且

奇偶
1nnn?2
aS
1?n偶
??
? ?1?nn2
??
an?1S?2
，且，则②若项数为
*
n?n12
Sn
?SaS?
奇
?
，（其中，． ）
??
an?1?Sna?S

n偶

（6）若等差数列{ an} {bn}的前n项和为

奇
S1?n
nn偶奇
偶．
aS

S,T
1n?2n
?
则
nn

Tb
1n?2n



项和的最值八．等差数列前n
dd
2
na(?)S?n?

利用二次函数的思想:(1)
1n

22

(2)找到通项的正负分界线
0a??
s
1
时取到
的则 有最大值，当n=k ?若
?n0d??

0?a?
k
? 最大值k满足0?a?
1k?


0a??
1
s
?
n=k时取到的最大当则 若有最大
值，?
n
0d??

a?0?
k
?
满足k值
a?0?
1k?



等比数列
一．定义、如果一个数列从第项起，每一项
与
2
它的前一项的比等于同一个常数，则这
个数列称为等比数列，这个常数称为等比数< br>列的公比．

a
n?1
?q
二．符号表示：

a
n
注：①等比数列
中不会出现值为0的项；
②奇数项同号，偶数项同号
（３）合比性质的运用
三．数列是不是等比数列有以下四种方法：

a?aq(n?2,q为常数,且?0)
（可用来证明）①
1nn?
2a?a?a
n?2
)(（可用来证明）②
11nn?n?

n
cq?a
q,c
n
③(（指数式）为非零常数). 项
和的形式（只用来判断）④从前n:
.等比中项四a
G
ba
bG
成等在与，中间插入一
个数，，使
2abG?，比数列，则称为与的等比
中项．若
a
bG
2
abG?
不能的等比中项．（注：由
与则称为
a
bG
，成等比，由，得出，，）
aa?
abG?bGbG


2
q?aa
． 五.等比数列的通项公式：
1n
通
项公式的变形：
n?m
qaa?
；(1)
mn
a?q
n?1
m?nn
．(2)
(注意合比性质的利用)

a
m
六．前项和的公式：

n
??
1?qna??
??
?Sqa?1?a?aq
??< br>． ①
1nn1

n1
1q???
1?q1?q?
s?a?a??a
n
,则
A+B=0
A+B*q
=②
nn12

: 七．等比
数列性质
p??qm?n
a?a?a?a
；，则(1)若

qnmp
2
(3)

q??p2n
aa?a?
npq
则(2)若．
S,S?S,S?S?
nn32nnn2


成等比数列


通项公式的求法:
(1).归纳猜想
(2).对任意 的数列{}的前项和与通项的关
aaSn
s?a(n?1)?
11
a??n
系：
)2(n??ss?
1nn?
检验第②式
满不满足第① 式，满足的话写一个式子，不
满足写分段的形式
(3).利用递推公式求通项公式
1、定义法:符合等差等比的定义

nnn
a?a?f(n)
: 2、迭加法
n1n?


a
: 3、迭乘法
n?1
?f(n)

a
n
: 、构造法4
a?qa?p
nn?1

5.
如果上式后面加的是指数时可用同除指数
式

6.如果是分式时可用取倒数
(4)同时有和与通项有两种方向

一种:
当n大于等于2,再写一式,两式相减,可以消
去前n项和
二种:消去通项

数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化
为等差、等比数列的数列。
?
??c
其中{ }2.裂项相消法:适用于是各项不
a
??
c

aa
??
为0的等差数列，
为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
(分式且分母能 分解成一次式的乘积)
3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数
??
aba

列，是各项不为0的等比
数列。
??
b
4.倒序相加法: 类似于等差数列
前n项和公式

的推导方法.
5.常用结论
n(n?1)（1）: 1+2+3+...+n =

2
2
n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n1nn?
nnn
n
（
2
1??
333
?n??1nn(?1)?2?
） （3
??

2??1
2222
)1n?)((n3?2?????nn?121
（４）

6
;
111??
（5)

不等式


1?nn)1?n(n
一、不等式的主要性质：
1）对称性： （
a?a?b?b
2）传递性：（
c?b?c?aa?b,
）
加法法则：；（3
cc?b??a?b?a
4）同向不等式加法法
则：（
d??c?ba?b,c?d?a
）乘法法则：；（5
bc0?acbc?a?b,c?ba?,c?0?ac?
）
同向不等式乘法法则：（6
bd?ac???0,cd?0a?b
）乘方法
则：（7
)n?1(n?N0a?b??a*?b且
）开方法则：（8
)1且n?(n?N*?a?b?0?ab
（9）倒数法则：
11???0a?b,ab

ba
二、一元二次不
等式和及
)?00(aaxc?bx??0?axbx?c?
其解法

?0??

??0

0???

cbxaxy???)?(?axxx)(?xcbxy?ax??)?xx?(?axx)(

c?ax?bx?y
二次
函 数
nnnn
22
221
2
2
21

2
cbx??ax?y

（）的
0a?
图象无 等相两有实
异相两有次二元一 实根 实根 根 方程

)?xx,x(x

b?x??xa2
0?cax??bx

??
的

2121 21
2
根a?0
0?bxc??ax的解
集0)(a??
2



??
xx?或xx?x

??
x?xx?x
21
??b??xx??a2???
21

R
0?c?ax?bx的解
集(a0)??
2

??

??
三．含有参数的二次不等式的解法:
(1) 二次项系数(正负零)
(2) 根

一种:能分解因式,主要是比较根的大小 。
二种:能分解因式就从判别式进进行行讨论
(3)画图写解集
四、线性规划 ?
?x??y?C?0
在平面直角坐标系中，直线1.
同侧的点代入后符号相同， 异侧的点相反
2.由A的符号来确定：先把x的系数A化为
正后，看不等号方向： ?< br>?x??y?C?0所表示的区①若是“>”号，则
?x??y?C?0
的右边部分。域 为直线: ?
?x??y?C?0所表示的区②若是“<”号，则
?x??y?C?0
的左边部分。域为直线

注意：

Ax?By?C?0(或?0 )
不包括边界；
Ax?By?C?0(?0)
包括边界

3.求解线性线性规划问题的步骤
(1)画出可行域(注意实虚)

(2)将目标函数化为直线的斜截式
(3)看前的系数的正负.若为正时则上大下
小,若为负则上小下大

4.非线性问题:
(1)看到比式想斜率
（2）看到平方之和想距离

四、均值不等式


a?b
1、设、是两个正数，则称为正数、的
aa
bb
2


ab
称为正数、)，的等差中项算术
平均数(
a
b
几何平均数．(等比中项)

2、基本不等式（也称均值不等式）：
那

a,b是正数，
么如果ba?).?号当且仅当a?b时取a?b?2ab
即?ab(

2 注意：
使用均值不等式的条件：一正、二定、三
相等

ba、
即），为正、3平均不等式：（数
22
a?ba2?b??ab?

a b
时取等）= （当
1122?

ba

4、常用的基本不等式：


22
a ?b
??
??
22
R?a,?b?2abba
ab?R?ba,①；②；
222

2
2
b?a??
??
?a b0,b?0a???
??
Rb,??a
2??
??

22??
bab?a?
．③；④
??

5、极值定理：设、都为
正数，则有：
xy
x?y
s?xy?
时，（和为定值），
则当⑴若．

2
s
xy
取得最大值．积

4
xy?p
x?y
时，

⑵若（积为定值），则当
x?y
2p．和取得
最小值
五、含有绝对值的不等式

|x|
是指数轴上点到原1．绝对值的几何意义 ：
x
x,x
||x?x
两点间的点的距离；是指数轴上
21
21
a a?0??|a|?0 a?0
；距离 代数意义：
???a a?0?
2、
则不等式：,?0如果a


|x|?a???x?a或x??a
； (1)

x|?a???x|?a或x??a

(2)
????x|?aa?x?a|
(3) ；
|x|?a????a?x?a
(4)
注意:上式中的x可换成f(x)
、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝
对3．
值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号
、其他常见不等式形式总结：
式不等式的解法：移项通分,化分为整

f(x)?0?f(x)g(x)?0
；

)(xg
0?(x)xf()g?)xf(?0??


0?(x)g)g(x?
②指数不等式：

f(x)g(x)
(a?1)?af(x)?ga(x)?


f(x)g(x)
(0?a?1)?fa(x)a??g(x)

③对数不等式：

f(x)?0??logf(x)?logg(x)(a?1)?g(x)?0?
aa

?)(xg(x)?f?
0)?f(x??0)??)g(xaxlog(logfx)?g( )(0??1?

aa
?)(x)f(x?g?
④高次不等式：数轴穿线法口诀:
“从右向左，

自上而下；奇穿偶不穿，遇偶转个弯；小于
取下边，大于取上边”