高中数学必修一至必修五基础知识汇总

直线
l
1
:A
2
x?B
2
y?C< br>2
?0
.两条直线相交的条件是
A
1
B
2
? A
2
B
1
?0
，直线的交点的坐标为方程组
?
?< br>A
1
x?B
1
y?C
1
?0
?
A< br>的解.
2
x?B
2
y?C
2
?0
5、两点 间的距离公式：平面内任意两点
A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
之间的距离为
|AB|=
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
,当
x
1
?x
2
时
|AB|=
|y
1
?y
2
|
;当
y
1< br>?y
2
时|AB|=
|x
1
?x
2
|
.
6、点到直线的距离公式 ：平面内任意一点P
(x
0
,y
0
)
到
任意一条直线
l:Ax?By?C?0
的距离为
d?< br>|Ax
0
?By
0
?C|
2
,
A?B
2
特别的,
当B=0时
d?|x
C
0?
A
|
,当A=0时
d?|y
C
0
?
B
|
.
7、两平行线的距离：直线
l
1
:A
1< br>x?B
1
y?C
1
?0
与
l?B
|C
1
?C
2
|
2
:A
1
x
1
y? C
2
?0
平行,则
d?
.
A
2
1
?B
1
2
（九）圆的方程
1.圆的标准方程的意义
当圆心位置和半径的大小确定后,圆就唯一确定了，
根据 圆的定义和两点间的距离公式，得到圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，圆心（a，b），半径r(r>0），
所以判断点与圆的位置关系 ，只需判断点到圆心的距离与
半径的大小关系即可。
2.圆的一般方程方程:
< br>x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F>0)
则可变形为
(x?
D
2
)
2
?(y?
F
2
D
2
?E
2
?4F
2
)?
4
，
只有当
D
2
?E
2
?4F
＞0时，才表示圆，

D
2
?E
2
?4F
圆心
?
?< br>4
?
?
DE
?
r?
2
,?
2
?
?
，半径,
当
D
2
+E
2
-4F< br>＝0时，表示点
?
?
?
D
?
2
,?
E
?
2
?
?
，
若
D
2
+E
2
-4F
<0，不表示任何图形。
（十）直线和圆圆和圆位置关系
1.点和圆的位置关系
①点到圆心距离等于半径，点在圆上；
②点到圆心的距离小于半径，点在圆内；
③点到圆心的距离大于半径，点在圆外.
2.直线与圆有三种位置关系
①直线与圆相交，有两个公共点；
②直线与圆相切，只有一个公共点；
③直线与圆相离，没有公共点；
3. 判断直线与圆的位置关系的方法有两种
① 设圆心到直线的距离为
d
，圆的半径为
r
，若
d
＜
r
，
直线与圆相交；若
d?r
，直线与圆相切；若
d
＞r
，
直线与圆相离。
②直线与圆的方程组成方程组，若方程组有两个解，则直线与圆相交；若只有一个解，则直线与圆相切；若无
解，则直线与圆相离.
4. 判断圆与圆的位置关系有两种方法，一是代数法，两
圆的方程组成的方程组若有两解，则两圆相交；若有 一解，
则两圆相切，但不能判断是内切还是外切；若无解则两圆
相离，但不能判断是外离还是内 含。二是设两圆的半径分
别为
r
1
,r
2
，两圆的圆心距为
d
，则
d?r
1
?r
2
时，两
圆外离；< br>d?r
1
?r
2
时，两圆外切；
r
1
?r< br>2
?d?r
1
?r
2
时，两圆相交；
d?r
1
?r
2
时，
两圆内切；
d?r
1
?r
2
时，两圆内含.
必修三
（一）算法
1.算法通常是指用 计算机 来解决的某一类问题的
程序或步骤 ，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而
且能够在有限步之内完成.
2.程序框图又称 流程图 ，是一种用规定的 图
形 、 指向线 及 文字说明 来准确、直观地表示算
法的图形．几种常用的图形符号的名称及作用如下：
图形符号 名称 作 用

（二）统计


起止框 表示算法的开始或结束

处理框 赋值、计算、数据传送


输入输出框
输入的数据或信息的输
出


判断框
根据条件决定不同的流
向
3.算法的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构和
循环结构.
4.输入语句、输出语句分别用来实现算法的 输入 和
输出 功能．其一般格式为：
输入语句：(BASIC) INPUT 提示信息；变量
(Scilab) x=input(提示信息
输出语句：(BASIC) PRINT 提示信息；表达式
(Scilab) print(%io(2),表达式) 或 表达
式
5.赋值语句的功能是给变量 赋初值或计算 ，其一般
格式是： 变量=表达式 。
6．条件语句表达算法中 条件 结构．其一般格式为：
BASIC Scilab
IF 条件 THEN if 条件
格 语句1 语句1;
式 ELSE else
一 语句2 语句2;
END IF end
格 IF 条件 THEN if 条件
式 语句 语句;
二 END IF end
7.循环语句有两种类型，其一般格式是：
BASIC Scilab
格 WHILE 条件 while 条件
式 循环体 循环体
一 WEND end
格 DO for 循环变量=初值：步
式 循环体 长：终值
二 LOOP UNTIL 循环体
条件 end
注意：BASIC语句中的关键字、变量名大小写均可，
且作用相同， 如A和a是同一个变量。SCILAB中的关键
字必须全部小写，变量名中的字母大小写均可，但不相同 ，
如A和a是两个不同的变量。
8.更相减损术：求两个自然数m，n的最大公约数的
算法。将两个数中较大的数减去较小的数，将差与较小的
数比较，再重复以上过程，直到两个数相等时 为止，这时
这两个相等的数就是m，n的最大公约数。
9.秦九韶算法：一种求多项式的值的算法。方法是将
多项式通过加括号变形，如
f (x)?x
3
?4x
2
?5x?6?((x?4)x?5)x?6
这 样计算的好处，一是大大减少了乘法的次数，二是每次
计算都是相同的过程——将上次的结果乘以x再加 下一个
系数，这样很容易用计算机来实现。注意计算时若有系数
为0的项要补上该项
一、抽样方法
1.简单随机抽样适用范围：总体容量N较小，且没有
明显的个体差异.
2.系统抽样的适用范围：总体容量较大，且没有明显
的个体差异.
3.分层抽样( 1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉
的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样
的方法就叫做分层抽样．?(2)抽取数量 的计算：各层抽取
的数量之比，等于各层的数量之比.如各层分别有300，
200，400个 个体，则从各层中抽取的个体数量之比为
300∶200∶400，即3∶2∶4.(3)适用范围：总 体容量N较
大，且个体差异明显(有明显的层次).
二、用样本估计总体
1.用样本频率分布估计总体频率分布
(1)频率分布直方图的做法?①求极差：即最大数与最
小数的差；

②

决定组距与组数：组距与组数的确定没有固

定的 标准，常常需要一个尝试和选择的过程(试题中一般
有规定)；③数据分组：计算各小组的频数和频率， 列出
频率分布表；④画频率分布直方图：图中纵轴表示频率
组距，各小矩形的面积=频率. < br>(2)茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的
效果较好，它不但可以保留所有信息，而 且可以随时记录，
这对数据的记录和表示都能带来方便。
2.用样本的数字特征估计总体 < br>(1)众数：出现次数最多的数.若用频率分布直方图来
估计众数，则可用最高矩形的横坐标的中 点表示.众数可能
不只一个.中位数：将数据从小到大排列，则处于正中间的
一个数叫做中位数 .若数据个数为偶数，则取中间两个数的
平均数作为中位数.平均数：
x
1
, x
2
,?,x
n
的平均数
为:
x?
x
1< br>?x
2
?
?
x
n
n
.
?
(2)标准差：
x
1
,x
2
,?,x
n
的标准差为
s?
1
n
[(x
2
1
?x)?(x
2?x)
2
???(x
n
?x)
2

标准差的平 方叫方差，用
s
2
表示.标准差(或方差)越
小，说明数据波动越小，越稳定 ；标准差越大说明数据越
分散，越不稳定.
三、变量间的相关关系
^
线 性相关与最小二乘法回归直线
y?bx?a
：
?
x,y
?
叫 做回归中心，回归直线必定经过回归中心.
（三）概率
一、随机事件的概率?
1.概率的相关概念

(1)事件；(2)频数与频率；(3)概 率：对于给定的随机
事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率
f
n
(A)
稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为
事件A的概率.(4)事件的关系 与运算:①对于事件A与事件
B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B
包含事件 (或称事件A包含于事件B)，记作B
?
A(或
A
?
B).?②若B
?
A，且A
?
B，那么称事件A与事件B
相等，记作A=B.③若某 事件发生当且仅当事件A发生或
事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件或(和
事件 )，记作A∪B(或A＋B)．④若某事件发生当且仅当事
件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A 与事件B
的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB).⑤若A∩B为不可
能事件，那么称事 件A与事件B互斥，其含义是：事件A
与事件B在任何一次试验中不会同时发生.⑥若A∩B为不
可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互
为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任 何一次试
验中有且仅有一个发生．
2.概率的性质:
(1)0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
(3)若A，B互斥，则有P(A∪B)=P(A)+P(B).
(4)若A，B对立，则P(B)=1-P(A).
注：概率为1的不一定是必然事件，概率为0的不一
定是不可能事件.?
二、古典概型
1.基本事件：
①任何两个基本事件都是互斥的；②任何一个事件都
可以表示成基本事件的 和 .?
2.古典概型：
满足以下两个条件的概率模型：①试验中所有可能出
现的基本事件只 有有限个；②每个基本事件出现的可能性
相等．
3.古典概型概率公式：?
P(A)=
A包含的基本事件的个数
基本事件的总数

三、几何概型
1.定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区
域的长度(面积 或体积)成比例，则称这样的概率模型为几
何概率模型，简称为几何概型．
2.几何概型概率计算：?
P(A)=
构成事件A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）

必修四
（一） 角的概念
1.任意角?
(1)终边相同的角：所有与α终边相同的角，连同α
在内，可构成一个集合?
S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.?
(2)终边在坐标轴上的角：k·360°，90°+k·360°，

180°+k·360°，
270°+k·360°的终边分别在x轴正半轴、y轴正半轴、 x
轴负半轴、y轴负半轴上，是特殊的角，
起着非常重要的作用.?
2.弧度制?
(1)定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧
度的角.?
(2)计算：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为
l，那么角α弧度数的绝对值是 |α|=
l
r
.?
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定.? 注意：弧长公式：l=|α|r.?扇形面积公式：Ｓ
=
1
lR
=
1
2
?
R
2
2
.
(3)换算:360°=2π, 180°=π?
1°=
?
180
rad≈0.01745rad?1rad=
(
180
?
)
°≈57 .30°?
(4)一些特殊角的弧度数及函数值?
度:0°,30°,45°,60°,9 0°,120°,135°,150°,180°,270°,360°.
弧度：0，
??
6
，
?
4
，
?
3
，
?2
，
2
?
3
，
3
?
4
，5
6
，
?
，
3
?
2
，
2?
.
要熟记这些特殊角的正弦、余弦、正切三种三角函数
值.
3.三角函数的定义
（1）初中直角三角形中的定义；（2）单位圆定义：
（3） 坐标法定义：设
?
是一个任意角，在它的终边
任取异于原点的一点
P(x,y )
，令
r?x
2
?y
2
，则
sin
??
y
r
，
cos
?
?
x
r
，
tan
?
?
y
x
(x?0)

4. 三角函数值的符号：口诀：一全二正弦，三切四余
弦．
注：一二三四指象限，提到的函数为正值，未提到
的为负值．
5.三角函数线：设任 意角
?
的终边与单位圆交于点
P
.过点
P
作
x轴的垂线，垂足为
M
.过点
A(1,0)
作单
位圆的切线，设它 与
?
的终边或其反向延长线（当
?
为
第二、三象限角时）相交于点< br>T
，则有：
sin
?
?
MP
，
cos
?
?
OM
，
tan
?
?
AT
.
（二）诱导公式及同角关系式
1.同角三角函数的基本关系式：
平方关系：
sin
2
?
?cos
2
?
?1

商数关系：
tan
?
?
sin
?
cos
?
.
2.诱导公式：
取正取

取正切
弦 余弦
?
?k?2
?

sinα cosα tanα
?
?
?
- sinα - cosα tanα

?
?

- sinα cosα - tanα
?
?
?

sinα - cosα - tanα
?
2
?
?

cosα sinα cotα
?
2
?
?

cosα -sinα - cotα
记忆口诀：
前四组：函数名不变，符号看象限.
后两组：函数名改变，符号看象限（或：正变余，
余变正，符号象限定）.
三角函数 的诱导公式综合：
k
?
2
?
?
,k?Z
，
口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.
（三）三角函数性质
1.五点法作图的原理 ：在确定正弦函数在
[0,2
?
]
上图象
的形状时，起关键作用的五 个点是
(0,0),(
?
2
,1),
(
?
,0),

(
3
?
2
,?1),(2
?
,0)，余弦的是
(0,1),(
?
2
,0),
(
?
,?1),

(
3
?
2
,0),(2
?
,1)
. 2.作正切函数的图象关键是三点两线，即三点是
(?
?
,?1),(0,0), (
?
,1)
，两线是
??
44
x??
2
, x?
2
.
3.三角函数的图象和性质：
4.三角函数的奇偶性
函数的定义域是否为关于原点对称的点集是判断函数
奇偶性的必要条件，必须优先考虑，然后再进行化简 判断.
5.五点法作函数
y?Asin(
?
x?
?
)的图象
分别令
?
x?
?
取
0,
?
3
?
2
,
?
,
2
,2
?
，求出相应 的
x
值与
y
值，然后描点，再用光滑的曲线连结，即可得到一
个周期 的图象，通过左右平移，就得到
y?Asin(
?
x?
?
)
在
R
上的图象.
6.
A,
?
,
?
的物理意义：
A
叫振幅 ，决定图象最高（低）点的位置；
?
x?
?
叫
相位，
?叫初相，影响图象的零值点；
?
影响其周期，
T?
2
?
?
.通常情况下
A?0,
?
?0
，
?
可正可负，也
可为
0
.
7.由
y?sinx
的图象可有两条途径得到
y?Asin(
?
x?
?
)
的图象：
① 先相位变换，再周期和振幅变换；
②先周期或振幅变换，再相位变换，此时横坐标的平

移量为
?
?
个单位.
（四）三角恒等变换
tan??
?
?
?
cos?
?
?
?
?
sin?
?
?
?
?
tan2
?
cos2
?
sin2
?
cos?
?
?
?
?sin?
?
?
?
?
tan?
?
?
?
?

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、
余弦、正切公式(如上知识结构).
2.辅助角公式：
y?asinx?bcosx?a
2
?b
2sin(x?
?
)
，
其中
cos
?
?
a
，
sin
a
2
?b
2
?
?
b
a
2
?b
2
.
3.注意拼角、拆角的技巧：
如
?
?(
?
?
?
)?
?
，
?
?
?
?
??
?
?
2
?
2
， < br>?
?
?
?
??
?
?
?
2
?
2
，
?
?
??
2
?(
?
?
2
)?(
2
?
?
)
，
2
?
? (
?
?
?
)?(
?
?
?
)
， < br>?
?
3
是
2
的半角，
?
是
?
的二倍角等.
3
24
4.注意公式的“三用”：正用，逆用，变形用.
sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?

?sin[(
?
?
?< br>)?
?
]?sin
?

tan
?
?tan< br>?
?tan(
?
?
?
)(1?tan
?
ta n
?
)
等
（五）平面向量的概念
1.向量的基本概念
（1）既有大小又有方向的量叫做向量
????????
.
(2)向量????
AB
的大小，
?
也就是向量
?
AB
的 长度（或称模），
记作
AB
，
a
的模为
a
.
(3)长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单
位的向量，叫做单位向量．
（4）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共
线向量．
规定：零向量与任一向量平行．长度相等且方向相同
的向量叫做相等向量．
2.平面向量的线性运算
(1)加法 ：①
???
定义：已知非零向量AB
?
????
a、ｂ，在平面内任取
????
一点Ａ，作＝ａ ，
BC
＝ｂ，则向量
AC
叫做ａ与
ｂ的和，记作ａ＋ｂ．
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．上述方法称

为向量加法的三角形法则．
②平行四边形法则：
?
以同一点
Ｏ
为起点的两个已知向量
ａ 、ｂ为邻边作ＯＡＣＢ，则对角线ＯＣ就是ａ与ｂ
的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四 边
形法则．
③对于零向量与任一向量ａ，规定：ａ＋０＝０＋ａ＝
ａ．
④性质 ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ； （ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ
＋ｃ）
｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜
(2)减法
①与ａ长度相等，方向 相反的向量，叫做ａ的相反向
量，记作－ａ．零向量的相反向量仍是零向量．
②任一向量与其相反向量的和是零向量，即ａ＋（－
ａ）＝（－ａ）＋ａ＝０．
③定义:ａ－ｂ＝ａ＋（－ｂ），即减去一个向量相当于
加上这个向量的相反向量．
????????
④已知
???
ａ,ｂ,在平面内任取一点Ｏ，作
OA
＝ａ
BA
?
,
OB
＝ｂ,则＝ａ－ｂ,即ａ－ｂ可以表示为从向量 ｂ的终
点指向向量ａ的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(3)数乘：①定义：规定实 数λ与向量ａ的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作λａ，它的长度与方向规
定如下 ：
1°｜λａ｜＝｜λ｜｜ａ｜；
2°当λ＞０时，λａ的方向与ａ的方向相同；当λ＜
０时，λａ的方向与ａ的方向相反．
②运算律：设λ、μ为实数，那么
1° λ（μａ）＝（λμ）ａ；
2° （λ＋μ）ａ＝λａ＋μａ；
3° λ（ａ＋ｂ）＝λａ＋λｂ．
③向量共线条件:ａ ,ｂ共线（ａ≠０）
?
有且只有一个实
数λ，使ｂ＝λａ．
(4)线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性
运算.对于任意向量ａ,ｂ，以 及任意实数
?
1
,
?
1
,
?
2
， 恒
有
?
(
?
1
ａ
?
?
2
ｂ）=
??
1
ａ
?
??
2
ｂ.
（六）平面向量基本定理及表示
1.平面向量基本定理
如果ｅ
１
、ｅ
２
是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任意向量ａ，有且只有 一对实数λ
１
、
λ
２
，使
ａ＝λ
１
ｅ
１
＋λ
２
ｅ
２
． < br>称不共线的向量ｅ
１
、ｅ
２
叫做表示这一平面内所有向
量的一 组基底．
???????
OB
?
已知两个非零向量ａ和ｂ，作
OA
＝ａ，＝ｂ，
则∠A0B＝θ（０°≤θ≤180°）叫做向量ａ与ｂ的夹角．如果
ａ 与ｂ的夹角是90°，则称ａ与ｂ垂直，记作ａ⊥ｂ．
2.向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正
交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标
设ｉ，ｊ是与x轴、y轴方向相同 的两个单位向量，
对于平面上任一向量ａ，有且只有一对实数x，y，使得ａ
＝xｉ＋yｊ，有 序数对（x，y）叫做向量ａ的坐标，记作
ａ＝（x，y）．
(2)平面向量的坐标运算 < br>①设ａ＝（x
１
，y
１
），ｂ＝（x
２
，y
２
），则有
ａ＋ｂ＝（x
１
＋x
２
，y
１
＋y
２
）
ａ－ｂ＝（x
１
－x
２
，y
１
－y
２
）
λａ＝（λx
１
，λy
１
）
②设Ａ（x
１
，y
１
），Ｂ（x
２
，y
２
），则有
???

AB
?
＝（x
２
－x
１
，y
２
－y
１
）
③向量共线的坐标表示 设ａ＝（x
１
，y
１
），ｂ＝（x
２
，y
２< br>），则有
ａ，ｂ共线
?
x
１
y
２
－x
２
y
１
＝０．
④中点公式
设P
1
（x
１
，y
１
），P
2
（x
２
，y
２
），Ｐ为P
1
P
2
中点，
则对任一点Ｏ，有
???
OP
?
?
1
????????
2
(OP
1
?OP
x
1
?x
2
y
1
?y
2
2
)?(
2
,
2
)

∴点P的坐标是
(
x
1
?x
2
2
,
y
1
?y
2
2
)
. < br>⑤定比分点坐标公式：设PP
????????
1
（x
１
，y
１
），
2
（x
２
，y
２
），
当< br>PP
1
?
?
PP
2
时，点
P
的坐标 是
(
x
1
?
?
x
2
y
1
?
1?
?
,
?
y
2
1?
?
)< br>.
?
?
x
1
?x
2
?
重心坐标公 式：
?
x?
x
3
,
?
3
?
y?y ?

?
?
y?
12
y
3
3
.（七）平面向量数量积
1.定义：已知两个非零向量ａ，ｂ，我们把数量
abcos
?
叫做ａ与ｂ的数量积（或内积）．
acos
?
(
bcos
?
)叫做ａ在ｂ方向上（ｂ在ａ方
向上）的投影.
2.ａ·ｂ的几何意义：
数量积ａ·ｂ等于ａ的长度｜ａ｜与ｂ在ａ方向上的
投影｜ｂ｜cosθ的乘积.
3.数量积的运算律：已知向量ａ，ｂ和实数
?
，则：
①ａ·ｂ＝ｂ·ａ
②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ）
③（ａ＋ｂ）·ｃ＝ａ·ｂ＋ａ·ｃ
4.坐标表示：
设ａ＝（x
１
，y
１
），ｂ＝（x
２
，y
２
），则
ａ·ｂ＝x
１
x
２
＋y
１
y
２
．
5.模长公式：设ａ＝（x，y），则
｜ａ｜＝
a
2
＝
x
2
?y
2
．
6.垂直条件：设ａ，ｂ为非零向量，则
ａ⊥ｂ
?
ａ·ｂ＝０
?
x
１
x
２
＋y
１
y
２
＝０．
7.夹角公式：
设ａ＝（x
１
，y
１
），ｂ＝（x
２
，y
２
），夹角为θ，
?
则
cos
??
a
?
?
?
b
x
1
x
2?y
1
y
2
a
?
b
?
x
2< br>?y
22
11
x
2
?y
2
.
2

必修五
（一） 三角形中的定理
1.正弦定理：
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
，其中
R
为
三角形外接圆半径.
正弦定理的作用：⑴已 知三角形的任意两个角与一边，
求其另一角和其他两边；⑵已知三角形的任意两边与其中
一边的 对角，求另一边的对角，进而求这个三角形的其他
边和角.
正弦定理的变形：
①
a?2RsinA
，
b?2RsinB,c?2RsinC
； < br>②
sinA?
ab
2R
，
sinB?
2R
, sinC?
c
2R
；
③
a:b:c?sinA:sinB:sinC
.
2.余弦定理：
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
，
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB,

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC.

余弦定理的作用：⑴已知一个三角形的三边，求这个三
角形的三个角；⑵已知一个三角形的 两边和它们的夹角，
求第三边和其他两个角；⑶已知两边及一边的对角，求第
三边.⑷判断三角 形的形状.
余弦定理的变形：
①
cosA?
b
2
?c< br>2
?a
2
2bc
等；
②
a
2
?b
2
?c
2
?
2abcosC
等.
3.三角形面积公式：
S
1
?
?
2
absinC ?
1
2
acsinB?
1
2
bcsinA
.
4. 在已知两边a,b及角A解三角形时，需要讨论.?
(1)若Ａ≥90°，则有?
①a>b时有一解；?
②a≤b时无解.
（2）若Ａ＜９０°时，则有?
①若a＜bsinA，则无解；?
②若a＝bsinA，则有一解；?
③若bsinA＜a＜b，则有两解；?
④若a≥b，则有一解.
（二） 数列的概念
1．数列的概念与简单表示法
（1）从定义角度看：按一定顺序排列的一列数称为
数列.数列中的每一个数都叫做数列的项.
（2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N
*
它
的有限子集为定义域的 函数a
n
=f(n)当自变量从小到大依
次取值时所对应的一列函数值.
2．数列的表示
（1）列表法；

（2）图象法：注意图象是离散点，而不是曲线；
（3）通项公式：若数列｛a
n< br>｝的第n项与序号n之间
的关系可以用一个式子表达，那么这个公式叫做数列的通
项公式 .
（4）递推公式：如果已知数列｛a
n
｝的第一项（或前
几项）及相邻两 项（或几项）间的关系可以用一个公式来
表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
3．数列的分类
（1）按数列项数的多少可以分为有穷数列和无穷数
列。
（2）按数列中相邻两项的大小可分为递增数列、递
减数列、常数列和摆动数列.
4．数列的通项a
n
与前n项和S
n
之间的关系
对任一数 列有a=
?
?
S
1
,n?1
n
?
S
n
?S
n?1
,n?2

5．根据数列的通项公式判定数列的单调性
（1）已知a
n
=f(n),若 f(x)的单调性可以确定，则｛a
n
｝
的单调性可以确定；
（2）比较法 ：①作差比较法n∈N
*
,a
n+1
-a
n
>0
?
｛a
n
｝
为递增数列；a
n+1
-a
n
= 0
?
｛a
n
｝为常数列；a
n+1
-a
n
<0
?
｛a
n
｝
为递减数列.②对各项同号的数列，可用作商比较法 .
（三）等差数列
1.等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项
起，每一 项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数
列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差
通常用字母d表示。若数列｛a
n
｝为等差数列，则有
a
n
-a
n-1
=d(其中n≥2，n∈N
*
).
2.等差中项：由三 个数a,A,b组成的等差数列可以看
成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。
在等差数列｛a
n
｝中，从第二项起，每一项是它的前一项
与后一项的等差中项. < br>3.等差数列的通项公式：a
n
=a
1
+(n-1)d，其中a
1
为首
项，d为公差.
当d>0时，数列｛a
n
｝为递增数列； 当d<0时，数列
｛a
n
｝为递减数列；当d=0时，数列｛a
n
｝ 为常数列.
4.等差数列的前n项和公式：
S
n(a
1
?a
n
)
n
?
2
；
S
(n?1)
n
?na
1
?
n
2
d
.
5.等差数列的性质： < br>（1）等差数列｛a
n
｝中，a
n
-a
m
=(n-m )d；
（2）等差数列｛a
n
｝中，若m+n=p+q(其中

m,n,p,q∈N
*
)，则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
；若m+n=2p，则a
m
+a
n
=2a< br>p
，
也称a
p
为a
m
，a
n
的等差 中项.
6. 若｛a
n
｝与｛b
n
｝均为等差数列，且前n项和 分别
为S
n
S
2n?1
n
,T
n
,则a
b
?

n
T
2n?1
（四）等比数列 1.等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项
起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常 数，那么这
个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公
比通常用字母q表示（q≠ 0）.若数列｛a
n
｝为等比数列，
则有
a
n
a
? q
(n≥2, n∈N
*,
q≠0).
n?1
2.等比中项：如果 在a与b中间插入一个数G，使a,G,b
成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
3. 等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a
1
,公比
为q，则其通项公式为a
n
=a
1
q
n-1
.
4.等比数列的前n项和公式：若 等比数列的首项为a
1
,
?
na
1
,(q?1)
公 比为q，则其前n项和
S
?
n
?
?
?
a
n
1
(1?q)
?
1?q
,(q?1)
.
5.等比数列的性质：若等比数列的首项为a
1
,公比为q，
则有：
（1）a
n
=a
m
q
n-m
；
（2）m +n=s+t(其中m,n,s,t∈N
*
)，则a
m
a
n
=a
s
a
t
；若
m+n=2k，则a
k
2
=a
n
a
m
.
（五）求和方法
1.公式法:
①
S
(a
1
?a
n
)
n(n?1)n
?
n
2
=
na
1
?
2
d< br>(等差数
列);
?
na
②
S
?
1
,q?1
n
?
?
?
a
1
(1?q
n)
?
1?q
,q?1
(等比数列)
③1
2
+2
2
+3
2
+…+n
2
=
n(n?1)(n?2 )
6

2.倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列
相加时,若 有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时
可用倒序相加法(等差数列前n项公式的推导所用方法 ).
3.错位相减法:若｛a
n
｝是等差数列,｛b
n
｝是等比 数列,
求数列｛a
n
b
n
｝的前n项时,可在等式两边同乘以数列｛ b
n
｝
的公比,再与原式相减,从而求和的方法(等比数列前n项和

公式的推导方法).
4.裂项相消法:若｛a
n
｝是等差数列,求数列< br>?
?
?
?
?
a
?
n?1
a
n
?
的前n项和时,可把一项拆成两项的差的形式从而求和,也
适合于其它裂项后易于 求和的数列.
5.分组求和:对于既非等差有非等比数列的一类数列,
若将数列的项进行适 当的拆分,可分成等差、等比或常数列,
然后求和.
6.并项求和法:当相邻两项的和为常数或有一定规律
易于求和时可用这种方法.
（五）不等式的性质
1.实数的运算性质与大小顺序关系是比较大小的依
据,也是作差法的依据.
(1) a>b
?
a-b>0; (2) a=b
?
a-b=0;(3)a?
a-b<0
2.为了利用不 等式研究不等关系,需要对不等式的性质加
以掌握,常用的不等式的基本性质为: (1) a>b,b>c
?
a>c;
(2)a>b
?
a+c>b+c;(3 )a>b,c>0
?
ac>bc;(4)a>b,c<0
?
ac<
b c.
推论:(1) a>c,c>d
?
a+c>b+d; (2) a>b>0,c>d>0
?
ac>bd;
(3)a>b>0
,n?N,n? 2?a
n
?b
n
,
n
a?
n
b.

经常用“不等式取倒数”的性质:
a?b,ab?0?
1
a
?
1
b

（六）一元二次不等式的解法
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式
叫做一元二次不等式.
2.一元二次不等式(a>0)的解集如下表:

3.一元二次不等式恒成立的条件:
(1)
ax
2
?bx?c? 0(a?0)
恒成立的充要条件是
?
?
a?0
;
?
??0
(2)
ax
2
?bx?c?0(a?0)
恒成立的充要条件 是
?
?
a?0
.
?
??0

（七）线性规划
1二元一次不等式(组)
含有两个未知数,并且未知数的次数时1 的不等式称为
二元一次不等式;由几个二元一次不等式组成的不等式
组称为二元一次不等式组;
2.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的和的取值构成有序数对(x, y),
所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不
等式(组)的解集.
3.二元一次不等式(组)表示的平面区域
在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By +c>0(<0)
表示直线某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线,
以表示不包括边界 .不等式表示的平面区域包括边界,把边
界画成实线.
对于直线Ax+By+c=0同一侧所 有点,把它的坐标(x,y)代入
Ax+By+c所得值符号都相同,因此只需在直线Ax+By+c= 0
的某一侧取一个特殊点
(x
0
,y
0
)
作为测试 点,由
判别式
??0

有两相异实根
??0

有两相等实根

??0

没有实
数根
??b
2
?4ac

一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
的根

x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
x?x??
b
12

2a
ax
2
?bx?c?0
的解集
{xx?x
1

或
x

?x
2
}

{xx??
b

}
2a
R

ax
2
?bx?c?0
的解集
{xx
1
?x?x
2
}

?

?

a
2
?b
2
(a,b?R)
变式: (3)
ab?
2
(4)
ab?(
a?b
2
)(a, b?R)

2
以上各不等式当且仅当a=b时取等号.
2.最值问题 设
x,y
都为正数,则有(1)若
x?y?s
(和为定值),则当
;(2)若
Ax
0
?By
0
?c
的符号就可以断定不等式 解集表示的是
直线哪一侧的平面区域.当
c
测试点.
4.简单线性规划 < br>(1)由二元一次不等式组成的一组约束条件称为线性约束
条件.要求最值的函数z=ax+by +c称为目标函数,由于
z=ax+by+c是关于x、y的一次解析式,所以又称为线性目标
函数.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小
值问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条 件的解(x,y)
叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域,其中,使
目标函数取得最 大值或最小值的可行解叫做这个问题的
最优解.
(2)最优解一般落在可行域的顶点或边界上 ,具体求解方法
是:设目标函数为z=ax+by+c,先画出直线ax+by=0作为参考
直 线,然后向上或向下平移参考直线,使其与可行域的有公
共点且达到最上或最下的位置,此时取得最大值 或最小值.
当b>0时最上方的为最大值,最下方的为最小值;当b<0时
则相反.
?0
时,通常取原点(0,0)作为
s
2
x?y
时,积
xy
取得最大值
4
值),则当
x
xy?p
(积为定
?y
时,和
x?y
取得最小值
2p
.
利用基本不等式求最值应注意:①x,y一定要都是正数;
②求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小
值时,看积xy 是否为定值;③等号是否能够成立.
以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时,一定要检验等号是否能取到,若取到等号,则解法是
合理的,若取不到,则必须改用其他方 法. 常用到的一个不
等式:若
a?0,b?0
,则有
2aba?ba2
?b
2
?ab??
a?b22
取等号)

.(当且仅当“a=b”
（八）基本不等式
1.基本不等式
(1)
a
(2)
2
?b
2
?2ab(a,b?R)
.
a?ba?b
(a?0,b?0)
,其中和
ab
22
ab?
分别叫做正数a,b的算数平均数和几何平均数.