高中数学必修三知识大全-高中数学函数周期有什么用
高一数学必修5不等式题型汇总
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2
含参数的一元二次不等式的解法
解
含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元二次不等式常用的分类方法
有三种:
一、按
x
项的系数
a
的符号分类,即
a?0,
a?0,a?0
;
2
例1
解不等式:
ax?
?
a?2
?
x?1?0
??
a?2
?
?4a?a
2
?4?0
,故只需对二次项
2
2
分析:本题二次项系数含有参数,
?
系数进行分类讨论。
解:∵
?
2
?
?
a?2
?
?4a?a
2
?4?0
2
?a?2?a
2
?4
?a?2?a
2
?4
,
x
2
?
解得方程
ax?
?
a?2
?
x?1?0
两根
x
1
?
2a
2a
?
?a?2?a
2
?4?a?2?a
2
?4
?
?
?
或x?
∴当
a?0
时,解集为
?
x|x?
?
2a2a
??
??
1
??
当
a?0
时,不等式为
2x?1?0
,解集为
?
x|x?
?
2
??
?
?a?2?a
2
?4
?
?
?a
?2?a
2
?4
?
?x?
当
a?0
时,
解集为
?
x|
?
2a2a
??
??
2
例2
解不等式
ax?5ax?6a?0
?
a?0
?
分析
因为
a?0
,
??0
,所以我们只要讨论二次项系数的正负。
2
解
?a(x?5x?6)?a
?
x?2
??
x?3
?
?0
?
当
a?0
时,解集为
?
x|x?2或x?3
?
;当
a?0
时,解集为
?
x|2?x?3
?
二、按判别式
?
的符号分类,即
??0,??0,??0
;
2
例3 解不等式
x?ax?4?0
2
分析
本题中由于
x
的系数大于0,故只需考虑
?
与根的情况。
解:∵
?
?
?a
2
?16
∴当
a?<
br>?
?4,4
?
即
??0
时,解集为
R
;当<
br>a??4
即Δ=0时,解集为
?
xx?R且x?
?
a
?
?
;
2
?
?a?a
2
?16?a?a
2
?16
当
a?4
或
a??4
即
??0
,
此时两根分别为
x
1
?
,
x
2
?
,显然<
br>x
1
?x
2
,
22
?
?a?a
2
?16?a?a
2
?16
?
??
∴不等式的解集为
?
xx?或x〈
?
22
??
??
22
例4 解不等式
?
m?1
?
x?4x?1?0
?
m?R?
1
??
2222
解 因
m?1?0,<
br>??(?4)?4
?
m?1
?
?4
?
3?m
?
,所以当
m??3
,即
??0
时,解集为
?
x|
x?
?
;
2
??
?
2?3?m
2
2?3
?m
2
?
??
当
?3?m?3
,即
??0
时,解集为
?
xx?或x〈
?
;
22
m?1m?1
??
??
当
m??3或m?3
,即
??0
时,解集为R。
2
三、按方程
ax?bx?c?0
的根
x
1
,x<
br>2
的大小来分类,即
x
1
?x
2
,x
1?x
2
,x
1
?x
2
;
1
2
例5 解不等式
x?(a?)x?1?0 (a?0)
<
br>a
1
分析:此不等式可以分解为:
?
x?a
?
(x?
)?0
,故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。
a
3
解:原不等式可化为:
不等式的解集为
?
x|a<
br>?
x?a
?
(x?
1
)?0
,令
a?
1
,可得:
a??1
,∴当
a??1
或
0?a?1
时,
a?
1
,故原
aaa
1
?
1
?x
?
?
;当
a?1
或
a??1
时,
a?
,可
得其解集为
?
;
a
?
a
1
?
1
?
?x?a
?
。 当
?1?a?0
或
a?1
时,
a?
,解集为
?
x|
a
?
a
?
2
2
例6 解不等式
x?5ax?6a?0
,
a?0
2
22
分析 此不等式
??
?
?5a
?
?24a?a?0
,又不等式可分解为
?
x?2a
?
(x?3a)?
0
,故只需比较两根
2a
与
3a
的大
?
?
小.
解 原不等式可化为:
x
1
?
x?2a
?
(x?3a)?0
,对应方程
?
x?2a
?
(x?3a)
?0
的两根为
时,即
?2a,x
2
?3a
,当
a
f0
2ap3a
,解集为
?
x|x?3a或x?2a
?
;当
a?0
时,即
2af3a
,解集为
?
x|x?2a或x?3
a
?
一元二次不等式 参考例题(2)
1.(1)解不等式
(2)不等式
x?1
?1
(
{x|x??1,或x?0}
)
2x
1
ax
,或x?2}
,求
a
的值.
(
a?
)
?1
的解集为
{x|x?1
x?1
2
2.解下列关于
x
的不等式:
(1)
x
2
?(a?)x?1?0
(2)
1
a
x?a
?0(a?3,且a??2)
(x?2)(x
?3)
1
(1)当a??1,或0?a?1时,{x|a?x?}
(1)当a??2时
,{x|x?a,或?2?x?3}
a
(2)当a??1时,?
(2)当?2?a?3时,{x|x??2,或a?x?3}
1
(3)当a
?3时,{x|x??2,或3?x?a}
(3)当a?1,或?1?a?0时,{x|?x?a}a
2
(3)
ax?(a?1)x?1?0
(4)
(x?2)(ax?2)?0
4
1
,或x?1}
a
(2)当a?0时,{x|x?1}
1
(3)当0?a?1时,{x|1?x?}
a
(4)当a?1时,?
1
(5)当a?1时,{x|?x?1}
a
(
1)当a?0时,{x|x?
2
?x?2}
a
(2)当a?0时,{x|x?
2}
(1)当a?0时,{x|
2
(3)当0?a?1时,{x|x?2,或x?}<
br>
a
(4)当a?1时,{x|x?2}
2
(5)当a?1时,{x|
x?,或x?2}
a
x
(5)
ax
2
?x?1?0
(6)
?1?a(a?R)
x?1
?1?1?4a?
1?1?4a
,或x?}
2a2a
(2)当a?0时,{x|x??1}
(1
)当a?0时,{x|x?
a?1
?x?1}
a
{x|x?1}
1?1?1?4a?1?1?4a
(2)当a?
0时,
(3)当0?a?时,{x|?x?}
a?1
42a2a
(3)当a?
0时,{x|x?1,或x?}
a
1
(4)当a?时,?
4
(1)当
a?0时,{x|
2
3.(1)若不等式
(a?2)x?2(a?2)x?
4?0
对
x?R
恒成立,求实数
a
的取值范围.(
?2?a
?2
)
(2)若不等式
22
4.(1)已知
A?{x|x?3x?2?0},B?{x
|x?(a?1)x?a?0}
,
2x
2
?2mx?m
4x?6x
?3
2
?1
的解集为
R
,求实数
m
的取值范围.(
1?m?3
)
B
,求实数
a
的取值范围.;
①若
A
(
a?2
)
②若
B?A
,求实数
a
的取值范围.;(
1?a?2
)
③若
A?B
为仅含有一个元素的集合,求
a
的
值.(
a?1
)
x?1
?0}
,
B?{x|x
2
?(a?1)x?a?0},且A?B?B
,求实数
a
的取值范围.
x?3
(
1?a?3
)
(2)已知
A?{x|
5
(a?1)
2
(a?1)
2
(3)
关于
x
的不等式
|x?
与
x
2
?3(a?1)x?
2(3a?1)?0
的解集依次为
A
与
B
,
|?
22
若
A?B
,求实数
a
的取值范围.
(
a??1,或1?a?3
)
(4)设全集
U?R
,集合
A?{x|
<
br>(5)已知全集
U?R
,
A?{x|x
2
?x?6?0},B
?{x|x
2
?2x?8?0},C?{x|x
2
?4ax?3a
2
?0}
,
若
(A?B)?C
,求实数
a
的取值范围.(
1?a?2
)
一元二次不等式及其解法
x?a
?0},B?{x||2x?1|?3}
,若
A?B?R
,
x?1
求实数
a
的取值范围. (
?2?a?1
)
?
b4ac?b
2
?
b
1.二次函数的图象及性质:二次函数y?ax?bx?c
的图象的对称轴方程是
x??
,顶点坐标是
?
?
?
2a
,
4a
?
?
.
2a
??
2
2.二次函数的解析式的三种形式:
f(x)?ax
2
?bx?c
(一般式);
f(x)?a(x?x
1
)?(x?x
2
)
(零点式);
f(x)?a(x?m)
2
?n
(顶点式).
3.一元二次不等式的解法
一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0
或ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的解集:
2
设相应的一元二次方程
ax
?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x
1?x
2
,
??b
2
?4ac
,则不等式的解的各种情况
如下表:
??0
??0
??0
y?ax
2
?bx?c
二次函数
y?ax
2
?bx?c
y?ax
2
?bx?c
y?ax
2
?bx?c
(
a
一元二次方程
有两相等实根
无实根
?0
)的图象
ax
2
?bx?c?0
有两相异实根
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
a
x
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
b
x
1
?x
2
??
2a
2
?
xx?x或x?x
?
1
?
b
?
xx??
??
2a
??
?
R
?
?
xx
2
1
?x?x
2
?
4.解一元二次不等式的步骤:
(1)将二次项系数化为“+”:A=
ax
(3)写出解集.
?bx?c
>0(或<0)(a>0);
(2)计算判别式
?
,分析不等式的解的情况;
6
5.讨论二次函数
(1)注意对称轴
x
y?ax<
br>2
?bx?c
?
a?0
?
在指定区间
?
p,
q
?
上的最值问题:
b
b
与区间
?
p,q
?
的相对位置.一般分为三种情况讨论,即:①对称轴
?
在区间左边,函数在此区间
上具有
2a
2a
bb
单调性;②对称轴
?
在区间之内;③对
称轴
?
在区间右边.
2a2a
??
y?ax
2
?
bx?c
?
a?0
?
在区间
?
p,q
?
上
的单调性.要注意系数
a
的符号对抛物线开口的影响. (2)函数
6.二次函数的区
间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.
三、典型例题选讲
题型1:考查一元二次函数的性质
例1
函数
y?x
2
?bx?c
(x?[0,??))
是单调函数的充要条件是( )
A.
b?0
B.
b?0
C.
b?0
D.
b?0
解:∵函数
∴函数
y?
y?x
2
?bx?c
(x?[0,??))
的对称轴为
x??
b
,
2
b
b
x
2
?bx?c(x?[0,??)
)是单调函数
?
-?(0,??)
?
??0
,
?
b?0
.故选A.
2
2
bb
]
和
[?,??)
,结合开口方向就可得出所需
的条件,从而求出
b
的范围.
归纳小结:二次函数的单调区间是
(??,?
2a2a
例2 已知二次函数的对称轴
为
x??2
,截
x
轴上的弦长为
4
,且过点
(0,
?1)
,求函数的解析.
解:∵二次函数的对称轴为
x
∴
∴
??2
,可设所求函数为
f(x)?a(x?2)
2
?b
,∵f(x)
截
x
轴上的弦长为
4
,
1
?
?
4a?b?0
?
a?
,解之得
?
f(x)
过点
(?2?2,0)
和
(?2?2,0)
,
f(x)
又过点<
br>(0,?1)
,∴
?
2
,
?
2a?b??1
?
?
b??2
1
f(x)?(x?2)
2
?2
.
2
归纳小结:求二次函数的解析式一般采用待定系数法,但要注意根据已知条件选择恰当的解析
式形式:一般式、零点式和顶点式,正确
的选择会使解题过程得到简化.
题型2:简单不等式的求解问题
例3 求下列不等式的解集.
(1)
4
x
22
?4x?1?0
;(2)
?x?2x?3?0
解法
一:因为
??0,方程4x
2
?4x?1?0的解是x
1
?x
2
?
2
?
1
.所以,原不等式的解集是
?
xx?
2
?
1
?
?
.
2
?
解法二:整
理,得
x
因为
?
?2x?3?0
.
?0,方程x
2
?2x?3?0
无实数解,所以不等式
x
2
?2x?3?0
的解集是
?
.从而,原不等式的解集是
?
.
2
归纳小结
:解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系,按照解一元二次不等式的步骤求解,必要时要画出二次函数的图
象进行观察.
例4 不等式
ax
解法一:设
ax
2
?b
x?2?0
的解集为
?
x?1?x?2
?
,求
a
与
b
的值.
?bx?2?0
的两根为
x
1
、
x
2
,由韦达定理得:
b
??
b
x?x?????1?
2
12
??
??
aa
2
由题意得
?
∴
a?1
,
b??1
,此时满足
a?0
,
??b
?4a?(?2)?0
.
?
?
x?x??
2
?
?
2
??1?2
12
??
a
??
a
解法二:
构造解集为
?
x?1?x?2
?
的一元二次不等式:
(x?1)(
x?2)?0
,即
x
2
?x?2?0
,此不等式与原不等式
ax
2
?bx?2?0
应为同解不等式,故
a?1
,
b??
1
.
归纳小结:此题为一元二次不等式逆向思维题,要使解集为
?
x?1?
x?2
?
,不等式
ax
2
?bx?2?0
需满足条件
a?0
,
??0
,
7
ax
2
?bx?2?0
的两根为
x
1
??1
,
x
2
?2
.在解题时要抓住一元二次方程、一
元二次不等式解集的关系.
题型3:含参不等式的求解问题
例5
解关于
x
的不等式
ax
证:分以下情况讨论
(1)当
a?
0
时,原不等式变为:
?x?1?0
,∴
x?1
,
即不等式
的解集为
{x|
2
?(a?1)x?1?0
.
x?1}
1
)(x?1)?0
,∴不等式的解为
x?1
或
a
1
1
111?a
,
x?
.即不等式的解集为
{x|x?1
或x?}
;②当
a?0
时,①式变为
(x?)(x?1)?0
.②,
∵
?1?
a
aaa
a
1
11
1
∴当
0?a?1
时,
?1
,此时②的解为
1?x?
.即不等式的解集为
{x|1?x?}
;当
a?1
时,
?1
,此时②的解为?
.
aa
a
a
(2)当
a?0
时,原不等式
变为:
(ax?1)(x?1)?0
① ①当
a?0
时,①式变为(x?
当
a?1
时,
1
1
?1
,即不等式的解
集为
{x|?x?1}
.
a
a
?
a?0
?
?
a?0
?
?
?
a?R
?
?
0?a?1
?
a?0
??
?
a?0
?
a?1
?
?
?
a?1
?
?
?
?
?
归纳
小结:解本题要注意分类讨论思想的运用,关键是要找到分类的标准,就本题来说有三级分类:
分类应
做到使所给参数
a
的集合的并集为全集,交集为空集,要做到不重不漏.另外,解本题还要注意
在讨论
a?0
时,解一元二次不
等式
ax
2
?(a?1)x
?1?0
应首选做到将二次项系数变为正数再求解.
题型4:一元二次不等式的应用
例6 (1)已知函数
?
C.
?
x|x?
A.
?
?x?1x?0
,则不等式
x?
?
x?1
?
f?
x?1
?
?1
的解集是( )
f
?
x
?
?
?
x?0
?
x?1
x|?1?x?2?1<
br>
B.
?
x|x?1
?
2?1
D.
x|?2?1?x?2?1
?
x?1?0
?
x?1?0
解:依题意得
?
或
?
x?(x?1)(?x)?1x?(x?1)x?1
??
?
x??1
?
x??1
?
?x??1或?1?x?2?1?x?2?1
,选C.
或
?
所以
?
x?R
?
?
??2?1?x?2?1
(2)若函数f(x) =
解:
Q
函数
?
?
??
2
x
2
?2ax?a
2
?1
的定义域为R,则a的取值范围为_______.
2
f(x)?2
x?2ax?
a
?1
的定义域为R,
?
对一切
x?R
都有
2x
???0
成立,即
4a
2
?4a?0
,
??
1?a?0
,故选A.
?2ax?a
?1
恒成立,即
x
2
?2ax?a?0
恒成立,
归纳小结:解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查,
一般
是借助于函数的性质和图象进行转化,再求解一元二次不等式,利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质
,体现“三个二
次”之间的紧密联系,这也是一元二次不等式的重要考点之一.
a1
?
的最大值为
2
,求
a
的值.
42
a
2
1
2
aa
?1
,即
?2?a?2时,解:令
t?sinx
,
t?[?1,1]
,∴
y??(t?
)?(a?a?2)
,对称轴为
t?
,当
?1?
22
24<
br>1
a
a
2
1
2
得
a??2
或
a?3
(舍去).当
?1
,即
a?2
时,函数
y??(t
?)?(a?a?2)
在
[?1,1]
y
max
?(a
2<
br>?a?2)?2
,
2
424
10a
11a
2
1
2
上单调递增,由
y
max
??1?a?a??2
,得<
br>a?
;当
??1
,即
a??2
时,函数
y??(t?
)?(a?a?2)
在
32
4224
例7
已知函数
y??sin
2
x?asinx?
8
11
.
[?1,1]
上单调递减,由
y
max
??1?a?a??2
,得
a??2
(舍去)
42<
br>10
综上可得,
a
的值为
a??2
或
a?
.
3
归纳小结:令
t?sinx
,问题就转化为二次函数的区间最值问题,再由
对称轴与区间
[?1,1]
的三种位置关系的讨论就可求得
a
的值.此
题中要注意
a?0
的条件.
2
例8 设不等式
x?2ax?a
?2?0
的解集为
M
,如果
M
?
[1,4]
,求实
数
a
的取值范围?
解:
M
?
[1,4]
有两种情
况:其一是
M
=
?
,此时
?
<0;其二是M≠
?<
br>,此时
?
=0或
?
>0,分三种情况计算a的取值范围.设
f
(x)?x
2
?2ax?a?2
,有
?
=
(?2a)
2
?4(a?2)
=
4(a
2
?a?2)
,当
?
<0时,-1<
a
<2,
M
=
?
?
[1,
4]
;当
?
=0
时,
a
=-1或2;当
a
=-1时
M
=
{?1}
?
[1,4]
;当
a
=2时,
m
=
{2}
?
[1,4]
当
?
>0时,a<-1或a>2.设方程
f(x)?0
的两根
x
1,
x
2
,且
x
1
<
x
2
,那
么M=[
x
1
,
x
2
],M
?
[1,4]
?
1≤x<x≤
12
?
?a?3?0
,
?
18?7a?0 ,
?
f(1)?0,且f(4)?0
?<
br>1818
4
?
?
,即
?
解得2<
a
<,∴
M
?
[1,4]时,
a
的取值范围是(-1,).
77
?
1?a?4,且??0
?
a?0
,
?
?
a??1或a?2,
一元二次不等式解法应试能力测试
1.不等式
6?x?2x?0
的解集是( )
3333
A.
{x|??x?2}
B.
{x|?2?x?}
C.
{x|x??或x?2}
D.
{x|x??2或x?}
2222
2
2.设集合M={x|0
≤x<2},
N?{x|x?2x?3?0}
,则有M∩N=( )
A.{x|0≤x<1} B.{x|0≤x<2} C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0≤x≤2}
3.对于任意实数x,不等式
ax
4.不等式
(x
2
2
2
?2ax?(a?2)?0
恒成立,则实数a的取值范围是(
)
A.-1≤a≤0 B.-1≤a<0 C.-1?4)(x?6)
2
?0
的解集为( )
2
A.{x|-2≤x≤2} B.{x|x≤-2或x≥2}
C.{x|-2≤x≤2或x=6} D.{x|x≥2}
5.已知
A?{x|
x?3x?4?0,x?Z}
,
B?{x|2x
2
?x?6?0,x?Z}<
br>,则A∩B的非空真子集个数为( )
?px?q?0}
,
B?{x|
2
A.2 B.3
C.7 D.8
6.已知
A?{x|x
2
x?3
?0}
,且A∪B=R,A∩B={x|3
A.p=-3,q=-4 B.p=-3,q=4
C.p=3,q=-4 D.p=3,q=4
7.若关于x的二次不等式
mx?
8mx?21?0
的解集是{x|-7
8.不等式axx?x?1?0
同解,则( )
A.a=0且b≤0 B.b=0且a>0 C.a=0且b>0
D.b=0且a<0
1.不等式
2x
2
?3|x|?35?0
的解为_______________.
1
2
2.使函数
y?x
?2x?3?
有意义的x的取值范围是_______________.
3?|x|
3.已知
A?{x|x
2
2
?3x?2?0}
,
B?{x
|x
2
?(a?1)x?a?0}
,若
A
?
?
B<
br>,则a的取值范围是_______________;
若
A?B
,则a的取值范围是_______________.
4.关于x的不等式
1.为使周长为20cm的长方形面积大于
15cm<
br>,不大于
20cm
,它的短边要取多长?
22
a?x
?0
(a+b>0)的解集是_______________.
x?b
9
2.解不等式
|x
3.解关于x的不等式
ax
2
2
?2x|?
1
x
.
2
?2(a?1)x?4?0
(a>0).
2x
2
?2k
x?k
4.k为何值时,关于x的不等式
?1
对一切实数x恒成立.
2
4x?6x?3
参考答案
一、
1.D
2.B 3.C 4.C
5.A 提示:因为A∩B={3,4}
6.A 提
示:因B={x|x<-1或x>3},由已知得A={x|-1≤x≤4}∴-1,4是
x
7
.C 8.A,提示:因
x
二、
2
2
?px?q?0
的两根,∴p=-3,q=-4.
?x?1?
0
的解为
?
,只有a=0且b≤0时,ax?
2
1.x<-5或x>5
提示:原不等式化为
2|x|?3|x|?35?0
,∴|x|>5
2.{x|-3
A
?
?
B
,∴a>2 4.{x|x<-b或x>a},提示:原不等式可化为(a-x)(x+b)<0,即(x-a)(x+b
)>0,∵a+b>0,∴a>-b,∴x>a或x<-b.
三、
?
?
x
(10?x)?15
?
5?10?x?5?10
1.设长方形较短边长为x
cm,则其邻边长(10-x)cm,显然0
,∴
?
<
br>x(10?x)?20
?
?
?
x?5?5或x?5?5
11<
br>x
,即
|x?2|?
22
2
352
2
解得:
?x?
3.原不等式化为(ax-2)(x-2)>0 ,∵a>0,∴
(x?)(x?2)?0
,当
a=1时,
?2
,∴
(x?2)?0
,∴{x|x∈R
a
2
2a
2
22
2
且x≠2},当a≠1时:若a>1,则
?2
,∴
{x|x?或x?2}
,若0?2
,∴
{x|x?
2或x?}
.
aa
a
a
2
222
4.∵
4x?6x?3
恒正,∴不等式化为
2x?2kx?k?4x?6x?3
,即
2x?(6?2k)x?(3?k)?0
恒成立
∴
5?10?x?5?5
.
2.当x≤0时,不等式无解,当x>0时,不等式化为
x|x?2|?
∴⊿
?(6?
2k)
2
?8(3?k)?0
,∴
k
2
?4k?
3?0
,∴1
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