高中数学必修5第一章课后习题解答

新课程标准数学必修5第一章课后习题解答
第一章 解三角形
1．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
练习（P4）
1、（1）
a?14
，
b?19
，
B?105?
； （2）
a?18
cm，
b?15
cm，
C?75?
. 2、（1）
A?65?
，
C?85?
，
c?22
；或< br>A?115?
，
C?35?
，
c?13
；
（2）
B?41?
，
A?24?
，
a?24
.
练习（P8）
1、（1）
A?39.6?,B?58.2?,c?4.2 cm
； （2）
B?55.8?,C?81.9?,a?10.5 cm
.
2、（1）
A?43.5?,B?100.3?,C?36.2?
； （2）
A?24.7?,B?44.9?,C?110.4?
.
习题1.1 A组（P10）
1、（1）
a?38cm,b?39cm,B?80?
； （2）
a?38cm,b?56cm,C?90?

2、（1）
A?114? ,B?43?,a?35cm;A?20?,B?137?,a?13cm

（2）
B?35?,C?85?,c?17cm
；
（3）
A?97?,B?58?,a?47cm;A?33?,B?122?,a?26cm
；
3、（1）
A?49?,B?24?,c?62cm
； （2）
A?59?,C?55?,b?62cm
；
（3）
B?36?,C?38?,a?62cm
；
4、（1）
A?36?,B?40?,C?104?
； （2）
A?48?,B?93?,C?39?
；
B
习题1.1 A组（P10）
1、证明：如图1，设
?ABC
的外接圆的半径是
R
，
①当
?ABC
时直角三角形时，
?C?90?
时，
a?ABC
的外接圆的圆心
O
在
Rt?ABC
的斜边
AB
上.
O
BCAC
在
Rt?ABC
中，
?sinA
，
?sinB

AB
AB
ab
即
?sinA
，
?sinB

2R2R
b
C
所以
a?2RsinA
，
b?2Rs inB

A
又
c?2R?2R?sin90??2RsinC

（第1题图1）
所以
a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC

②当
?ABC
时锐角三角形时，它的外接圆的圆心
O
在三角形内（图2），
作过
O、B
的直径
A
1
B
，连接
AC
，
1
?90?
，
?BAC??B AC
则
?A
1
BC
直角三角形，
?ACB
. 11
A
A
1
在
Rt?A
1
BC
中，< br>即
BC
?sin?BAC
1
，
A
1
B
O
a
?sin?BAC?sinA
，
1
2R
所以
a?2RsinA
，
同理：
b?2RsinB
，
c?2RsinC

③当
?ABC
时钝角三角形时，不妨假设
?A
为钝角，
它的外接圆的圆心
O
在
?ABC
外（图3）
B
（第1题图2）
C
作过
O、B
的直径
A
1
B
，连接
AC
.
1
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（第1页共9页）

A
则
?A
1
BC
直角三角形， 且
?ACB?90?
，
?BAC?180???BAC

11
B
C
在
Rt?A
1
BC
中，
BC?2Rsin? BAC
，
1
即
a?2Rsin(180???BAC)

即
a?2RsinA

同理：
b?2RsinB
，
c?2RsinC

综上，对任意三角形
?ABC
，如果它的外接圆半径等于
R
，
则
a?2RsinA, b?2RsinB, c?2RsinC

2、因为
acosA?bcosB
，
所以
sinAcosA?si nBcosB
，即
sin2A?sin2B

因为
0?2A,2B?2
?
，
O
A
1
（第1题图3）
所以
2A?2B
，或2A?
?
?2B
，或
2A?
?
?2
?
?2B
. 即
A?B
或
A?B?
所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.
在得到
sin2A?sin2B
后，也可以化为
sin2A?sin2B?0

所以
cos(A?B)sin(A?B)?0


A?B?
?
2
.
?
2
，或
A?B?0

即
A?B?
?
2
，或
A?B
，得到问题的结论.
1．2应用举例
练习（P13）
1、在
?ABS
中，
AB?32.2?0.5?16.1
n mile，
?ABS?115?
，
根据正弦定理，
得
AS?
ASAB
?

sin?A BSsin(65??20?)
?AB?sin?ABS?2?16.1?sin115??2

sin(65??20?)
∴
S
到直线
AB
的距离是
d?AS?sin20??16.1?sin115??2?sin20??7.06
（cm）.
∴这艘船可以继续沿正北方向航行.
2、顶杆约长1.89 m.
练习（P15）
1、在
?ABP
中，
?ABP?180??
?
?
?
，
?BPA?180??(
?
?
?
)??ABP?18 0??(
?
?
?
)?(180??
?
?
?
)?
?
?
?

在
?ABP
中，根据正弦定理，
APAB

?
sin?ABPsin?APB
APa
?

sin(18 0??
?
?
?
)sin(
?
?
?
)
a?sin(
?
?
?
)
AP?

sin(
?
?
?
)
asin
?
sin(
?
??
)
所以，山高为
h?APsin
?
?

si n(
?
?
?
)
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（第2页共9页）

2、在
?ABC
中，
AC?65.3
m，
?BAC?
?
?
?
?25?25?
?17?38
?
?7?47
?

?ABC?90??
?
?90??25?25
?
?64?35
?

ACBC

?
sin?ABCsin?BAC
?
747AC ?sin?BAC65.?3?sin

BC?
m
??9.8
?
sin?ABCsin?6435
井架的高约9.8m.
200?sin38?sin29?
3、山的高度为
?382
m
sin9?
练习（P16）
1、约
63.77?
.
练习（P18）
1、（1）约
168.52 cm
2
； （2）约
121.75 cm
2
； （3）约
425.39 cm
2
.
2、约
4476.40 m
2

a2
?b
2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
?c?
3、右边
?bcosC?ccosB?b?

2ab2ac
a
2
?b
2
?c
2
a
2?c
2
?b
2
2a
2
???a
左边
?
【类似可以证明另外两个等式】
?
2a2a2a
习题1.2 A组（P19）
1、在
?ABC
中，
BC?35?0.5?17.5
n mile，
?ABC?148??126??22?

根据正弦定理，
??14?8)?
，
1
?
?
BAC?180??110??22? ?48?

?ACB?78??(180
ACBC

?
sin?ABCsin? BAC
BC?sin?ABC17.?5s?in22

AC???8.8

2
n mile
sin?BACsin?48
货轮到达
C
点时与灯塔的距离是约8.82 n mile.
2、70 n mile.
3、在
?BCD
中，
?BCD?30??10??40?
，
?BDC?180???ADB?180??45??10??125?

1
CD?30??10
n mile
3
CDBD
根据正弦定理，
?
sin?CBDsin?BCD
10BD
?

sin?(180??40??125?)sin40?
根据正弦定理，
10?sin?40

sin1?5
在
?ABD中，
?ADB?45??10??55?
，
?BAD?180??60??10? ?110?

?ABD?180??110??55??15?

ADBDABADBDAB
根据正弦定理，，即
????
sin? ABDsin?BADsin?ADBsin15?sin110?sin55?
10?sin?40< br>?sin1?5
BD?sin1?5
sin1
?10s?in40
?5
???6.8

4
n mile
AD?
sin1?10si?n110?sin70

BD?
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（第3页共9页）

BD?sin5?5?10s??in40?sin55
n mile
??21.6

5
sin1?10si??n15?sin70
如果一切正常，此船从
C
开始到
B
所需要的时间为：
AD?AB6.8?421.65

20?
min
?6?01?0?30??60

86.98
3030
即约1小时26分59秒. 所以此船约在11时27分到达
B
岛.
4、约5821.71 m
5、在
?ABD
中，
AB?700 km
，
?ACB?180??21??35??124?

700ACBC
根据正弦定理，
??
sin124?sin35? sin21?
700?sin?35700?sin21?

AC?
，
BC?

sin1?24
sin124?
700?sin?357?00s?in21

AC?BC??7?86.89

km
sin1?24si?n124
所以路程比原来远了约86.89 km.
6、飞机离
A
处探照灯的距离是4801.53 m，飞机离
B
处探照灯的距离是4704.21 m，飞机的
高度是约4574.23 m.
150
7、飞机在150秒内飞行的距离是
d?1000?1000? m

3600
dx
?
根据正弦定理，
sin(81??18.5?)sin18.5?
这里
x
是飞机看到山顶的俯角为
81?
时飞机与山顶的距离.
d?sin18.5?
?tan81??14721.64 m
飞机与山顶的海拔的差是：
x?tan81??
sin(81??18.5?)
山顶的海拔是
20250?14721.64?5528 m

8、在
?AB T
中，
?ATB?21.4??18.6??2.8?
，
?ABT?90?? 18.6?
，
AB?15 m

ABAT15?cos18.6?
根据正弦定理，，即
AT?

?
sin2.8?cos18.6?sin2.8?
15?cos18.6?
塔的高度为
AT?sin21.4???sin21.4??106.19 m

sin2.8?
B
326?18
9、
AE??97.8 km

E
60
A
在
?ACD
中，根据余弦定理：

AB?

AC?AD
2
?CD
2
?2?AD?CD?cos66?


?57
2
?110
2
?2?57?110 ?cos66??101.235

根据正弦定理，
D
C
（第9题）
ADAC

?
sin?ACDsin?ADC
AD?sin?ADC5?7si?n66

sin

44?ACD???0.51
AC101.235
6

?ACD?30.9?


?ACB?133??30.9?6?10

2?
在
?ABC
中，根据余弦定理：
AB?AC
2
?BC
2
?2?AC?B C?cos?ACB

< br>?101.235
2
?204
2
?2?101.235?204?co s102.04??245.93

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（第4页共9页）

222
AB?AC?B
2< br>C245.9?3101?.
2
235
2
204
sBAC?? ?0.58

co?

47
2?AB?AC2?245.?93101.235

?BAC?54.21?

在
?ACE
中，根据余弦定理：< br>CE?AC
2
?AE
2
?2?AC?AE?cos?EAC


?101.235
2
?97.8
2
?2?101.235?97.8?0.5487?90.75
222
AE
2
?EC?A
2
C97.8?90.?7 5101
2
.235
sAEC???0.42

co?

54
2?AE?EC2?97?.890.75

?AEC?64.82?

0??AEC?(1?8?0?7?5?)?75??64.8?2

18?
所以，飞机应该以南偏西
10.18?
的方向飞行，飞行距离约
90.75 km
.
10、
A


B


如图，在
?ABC
中，根据余弦定理：
（第10题）
< br>AC?BC
2
?AB
2
?2?AB?BC?cos39?54
?


?(6400?35800)
2
?64002
?2?(6400?35800)?6400?cos39?54
?


?42200
2
?6400
2
?2?42200?6400?cos 39?54
?
?37515.44 km

222
AB?AC?B< br>2
C6400?37515?
2
.444
2
2200
???0.692

?BAC?

4
2?AB?AC2?640?037515.44
8
，
2

?BAC?90??43.?8

?BAC?133.?

2
所以，仰角为
43.82?

C
11
11、（1 ）
S?acsinB??28?33?sin45??326.68 cm
2

22
aca36
（2）根据正弦定理：，
c???sinC??sin66.5?

sinAsinCsinAsin32.8?
11sin66.5?

S?acsinB??36
2
??sin(32.8??66.5?)?1082.5 8 cm
2

22sin32.8?
2
（3）约为1597.94
cm

A
1
2
2
?
12、
nRsin
.
2n
a
2
?c
2
?b
2
13、根据余弦定理：< br>cosB?

2ac
c
aa
2
所以
m
a
?()
2
?c
2
?2??c?cosB

22
a
2
a
2
?c
2
?b
2
2

?()?c?a?c?

B
22ac
1
22
1
2

?()
2
[a
2
?4c
2
?2(a?c?
2b)]?()[2(b?c
2
)?a
2
]

22
b
m
a
a
2
C
（第13题）
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（第5页共9页）

111
2(b
2
?c
2
)?a
2
，同理< br>m
b
?2(c
2
?a
2
)?b
2
，
m
c
?2(a
2
?b
2
)?c
2

222
b
2
?c
2
?a
2
c
2< br>?a
2
?b
2
14、根据余弦定理的推论，
cosA?
，
cosB?

2bc2ca
所以
m
a
?
所以，左边
?c(acosB?bcosA)

2
c
2
?a
2
?b
2
b?c?
2
a
2
?b?)

?c(a?
2ca2bc
2
c
2
?a
2
?b
2
b?c?
2
a
2
1
?)?(2a
2
?2b
2
)?
右边
?c(
2c2c2
习题1.2 B组（P20）
abasinB
，所以
b?

?
sinAsinBsinA
11asinB1sinBsinC
代入三角形面积公式得
S?absinC?a?

?sinC?a
2
22sinA2sinA
a
2
?b
2
?c
2
2、（ 1）根据余弦定理的推论：
cosC?

2ab
1、根据正弦定理：
a
2
?b
2
?c
2
2
由同角三角函数之间的关系，
sinC?1?cosC?1?()

2ab
2
1
代入
S?absinC
，得
2
1a
2
?b
2
?c

S?ab1?(
22ab
2
2
)

1
2222

(2ab
2
)?(a?b?c)
4
1
22

?(2ab?a?b?
2
c)(2ab?
2
a?
2
b?

2
)c
4
1

?(a?b?c)(a?b?)c(c?a?)b(c?

a?)b
4
1111
记
p?(a?b?c)
，则可得到
(b?c?a)?p?a
，
(c?a?b)?p?b
，
(a?b?c)?p?c

2222
代入可证得公式
1
（2）三角形的面积
S
与三角形内切圆半径
r
之间有关系式
S??2p?r?pr

2

?
S(p?a)(p?b)(p?c)
1
其中
p?(a?b?c)
，所以
r??

pp
2
1
（3）根据三角形面积公式
S??a?h
a

2
2S22
所以，
h
a
??p(p?a)(p?a)(p?a)
，即
h
a
?p(p?a)(p?a)(p?a)

aaa
22
同理
h
b
?p(p?a)(p?a)(p?a)
，
h
c?p(p?a)(p?a)(p?a)

bc
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（第6页共9页）

第一章 复习参考题
A组（P24）
?
c?8.69 cm
； 1、（1）
B?21?9
?
,C?38?51,
?
c?11.4 c m
；或
B?138?11,
?
C?11?49
?
,c?2. 46 cm
（2）
B?41?49
?
,C?108?11,
（3）
A?11?2
?
,B?38?58
?
,c?28.02 cm
； （4）
B?20?30
?
,C?14?30
?
,a?22.92 cm
；
（5）
A?16?20
?
,C?11?40
?
,b?53.41 cm
； （6）
A?28?57
?
,B?46?34
?
,C?104?29
?
；
2、解法1：设海轮在
B
处望见小岛在北 偏东
75?
，在
C
处望
见小岛在北偏东
60?
， 从小岛
A
向海轮的航线
BD
作垂
线，垂线段
AD
的长度为
x
n mile，
CD
为
y
n mile.
?
x
?< br>x
?
y
?tan30?
?
tan30?
?y
xx
??
?
?
???8
则
?
xx
ta n30?tan15?
?
?tan15?
?
?y?8
?
?< br>?
tan15?
?
y?8
（第2题）
8tan15?tan30?
?4

tan30??tan15?
所以，这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.
3、根据余弦定理：
AB
2
?a
2
?b
2
?2ab cos
?


x?
所以
AB?a
2
?b
2
?2abcos
?

22
a
2
?AB?b
B?

cos

2?a?AB

?
a2
?a
2
?b
2
?2abcos
?
?b
2?a?a?b?2abcos
?
a?bcos
?
a?b?2abcos< br>?
22
2
22


?

从
?B
的余弦值可以确定它的大小.
类似地，可以得到下面的值，从而确定
?A
的大小.
cosA?
b?aco s
?
a?b?2abcos
?
A
22

B
4、如图，
C,D
是两个观测点，
C
到
D
的距离是
d
，航船在时刻
t
1

在
A
处，以从
A< br>到
B
的航向航行，在此时测出
?ACD
和
?CDA
.
在时刻
t
2
，航船航行到
B
处，此时，测出
?CD B
和
?BCD
. 根
C
d
D
（第4题）
据正弦定理，在
?BCD
中，可以计算出
BC
的长，在
?ACD< br>中，
?ACB??ACD??BCD
，
CD
，可以计算出
A C
的长. 在
?ACB
中，
AC
、
BC
已经算出， 解
?A

求出
AB
的长，即航船航行的距离，算出
?CAB
，这样就可以算出航船的航向和速度.
hsin(
?
?
?
)
A
5、河流宽度是. 6、47.7 m.
B
sin
?
sin
?
7、如图，A,B
是已知的两个小岛，航船在时刻
t
1
在
C
处，以 从
C

到
D
的航向航行，测出
?ACD
和
?BCD
. 在时刻
t
2
，航船航行
新课程标准数学必修5第一章课后习题解答
（第7页共9页）
d
C
（第7题）
D

到
D
处，根据时间和航船的速度，可以计算出
C
到
D
的距离是
d
，在
D
处测出
?CDB
和
?CDA
. 根据正弦定理，在
?BCD
中，可以计算出
BD
的长，在
?ACD
中，可以计算出
AD

的长. 在
?A BD
中，
AD
、
BD
已经算出，
?ADB??CDB??C DA
，根据余弦定理，就可
以求出
AB
的长，即两个海岛
A,B
的距离.
第一章 复习参考题
B组（P25）
1、如图，
A,B
是两个底部不可到达的建筑物 的尖顶，在地面某点
E

处，测出图中
?AEF
，
?AFE
的大小，以及
EF
的距离. 利用正弦
定理，解
?AEF
，算出
AE
. 在
?BEF
中，测出
?BEF
和
?BFE
，
利用正弦定理，算出
BE
. 在
?AEB
中，测出
?AEB
，利用余弦定
理，算出
AB
的长. 本题有其他的测量方法.
2、关于三角形的面积公式，有以下的一些公式：
E
111
（1）已知一 边和这边上的高：
S?ah
a
,S?bh
b
,S?ch
c< br>；
222
111
（2）已知两边及其夹角：
S?absinC,S?bcsinA,S?casinB
；
222
a?b?c
（3）已知三边：
S?p(p?a)(p?b)(p?c)
，这里
p?
；
2
A
B
D
C
（第1题）
F
b
2
sinCsinAc
2
sinAsinBa
2
sinBsinC,S?,S?
（4）已知两角及两角的共同边：
S?
；
2sin(C?A)2sin(A?B)2sin(B?C)
abc
.
4R
3、设三角形三边长分别是
n?1,n,n?1
，三个角分别是
?
,
?
?3
?
,2
?
.
n?1
n?1n?1
由正弦定理，，所以
cos
?
?
.
?
2(n?1)
sin
?
sin2
?
（5）已知 三边和外接圆半径
R
：
S?
由余弦定理，
(n?1)
2?(n?1)
2
?n
2
?2?(n?1)?n?cos
?
.
即
(n?1)
2
?(n?1)
2
?n
2?2?(n?1)?n?
n?1
，化简，得
n
2
?5n?0
2(n?1)
所以，
n?0
或
n?5
.
n?0
不合题意，舍去. 故
n?5

所以，三角形的三边分别是4,5,6. 可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍.
另解：先考虑三角形所具有的第一个性质：三边是连续的三个自然数.
（1）三边的长不可能是1,2,3. 这是因为
1?2?3
，而三角形任何两边之和大于第三边.
（2）如果三边分别是
a?2,b?3,c?4
.
b
2
?c
2
?a
2
3
2
?4
2
?2
2
7
??
因为
cosA?
2bc2?3?48
717

cos2A?2cos
2
A?1?2?()
2
?1?
832
2
a
2
?b
2
?c
2
2?3?
2
4
2
1
s????

coC
2ab2?2?34
在此三角形中，
A
是最小角，
C
是最大角，但是
cos2A?cosC
，
所以
2A?C
，边长为2,3,4的三角形不满足条件.
（3）如果三边分别 是
a?3,b?4,c?5
，此三角形是直角三角形，最大角是
90?
，最小 角
不等于
45?
. 此三角形不满足条件.
（4）如果三边分别是
a?4,b?5,c?6
.
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（第8页共9页）

b
2
?c
2
?a
2
5
2
?62
?4
2
3
??
此时，
cosA?
2bc2?5?64
31

cos2A?2cos
2
A?1?2?()
2
?1?
48
2
a
2
?b
2
?c
2
4?5?< br>2
6
2
1
s???

coC
2ab2?4?58
此时，
cos2A?cosC
，而
0?2A,C?
?
，所以
2A?C

所以，边长为4,5,6的三角形满足条件.
（5）当
n?4
，三角形的三边是
a?n,b?n?1,c?n?2
时，
三角形的最小角是
A
，最大角是
C
.
b
2
?c
2
?a
2
A?

cos

2bc
2
(n?1
2
)?n(?2?)n
2

?

2(n?1n)(?2)
n
2
?6n?5

?

2(n?1)(n?2)
n?5

2(n?2)
13

??

22(n?2)

?
a
2
?b
2
?c
2
s?

coC

2ab
2
n
2
?(n?1)?(n?

?
2n(n?1)
2
2
)

n
2
?2n?3

?

2n(n?1)
n?3

2n
13

??

22n
A
随
n
的增大而减小，
A< br>随之增大，
cosC
随
n
的增大而增大，
C
随之变小 .
cos
由于
n?4
时有
C?2A
，所以，
n?4
，不可能
C?2A
.
综上可知，只有边长分别是4,5,6的三角形满足条件.

?
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（第9页共9页）