人教版高中数学必修五基本不等式

3．4．1
【教学目标】
基本不等式（1）
1学会 推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号
“≥”取等号的条件是 ：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
ab?
过程；
【教学难点】
基本不等式
ab?

【教学过程】
1.课题导入
基本不等式
ab?
a?b
的几何背景：
2
a?b
等号成立条件
2
a?b
的证明
2
探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色
的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
2 合作探究
（1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系）
提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三
角形的 长为
a
、
b
，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

< br>生答：
a
2
?b
2
，
a?b

22
提问3：那4个直角三角形的面积和呢？
生答：
2ab
提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等
式，a?b?2ab
。什么时候这两部分面积相等呢？
生答：当直角三角形变成等腰直角三角 形，即
a?b
时，正方形EFGH变成一个点，这时有
22
a
2?b
2
?2ab

结论：（板书）一般地，对于任意实数
a< br>、
b
，我们有
a?b?2ab
，当且仅当
a?b
时，
等号成立。
提问5：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
22
(a?b)?0,当a?b时,(a?b)?0,
证明:
a?b?2ab?(a?b),当a?b时，
所以
a?b?2ab

注意强调 当且仅当
a?b
时,
a?b?2ab

(2)特别地,如果
a?0,b?0,用a和b分别代替a 、b,可得a?b?2ab
,也可写成
22
22
22222
ab?
a?b
(a?0,b?0)
,引导学生利用不等式的性质推导
2
(板书,请学生上台板演):
a?b
?ab(a?0,b?0)
①
2
即证
a?b?
②
要证②,只要证
a?b?

?0
③
要证:
要证③,只要证 ( - )
?0
④
显然, ④是成立的,当且仅当
a?b
时, ④的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释
两个正数的算术平均数不小于它们的几 何平均数
ab?
2
a?b
2

探究：课本中的“探究” < br>在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于
AB的 弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本
a?b
不等式
ab?
的 几何解释吗？
2

易证
Ｒt
△
AＣD∽
Ｒt
△
DＣB
，那么
ＣD
2
＝
ＣA
·
ＣB
即
ＣD
＝
ab
.
a?b
a?b
，显然，它大于或等于
CD
，即
?ab
，其中当且仅当22
点
C
与圆心重合，即
a
＝
b
时，等号成立 .
这个圆的半径为
因此：基本不等式
ab?
a?b
几何意义是“半 径不小于半弦”
2
a?b
看作是正数a、b的等差中项，
ab
看作 是正数a、b的等
2
比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中 项.
评述：1.如果把

即学即练:

1若
0?a?b
且
a?b?1
，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ．

2 a,b是正数，则
Ａ．
Ｃ．
1
Ｂ．
2
a?b
,
2
a
2
?b
2
Ｃ．2ab Ｄ．a
ab,
2ab
三个数的大小顺序是 （ ）
a?b
a?b2aba?b2ab
Ｂ．
ab?

?ab??
2a?b2a?b
ab?
2aba?b

?
a?b2
2aba?b
Ｄ．
?ab?
a?b2
答案 B C
例题分析：

(1)
xy
xyxy
??2?
＝2即
?
≥2.
yx
yxyx
(2)x＋y≥2
xy
＞0 x
2
＋y
2
≥2
x
2
y
2
＞0 x
3
＋y
3
≥2
x
3
y
3
＞0
∴（x＋y）（x
2
＋y
2
）（x
3
＋y
3
）≥2
xy
·2
x
2
y
2
·2
x
3
y
3
＝８x
3
y
3

即（x＋y）（x
2
＋y
2
）（x
3
＋y
3）≥８x
3
y
3
.
变式训练：
Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+
解析：因为Ｘ＞0，

Ｘ+
1
有最小值，最小值是多少
x
1
1
?x
=2 ≥2
x
x
当且仅当Ｘ=
1
时即x=1时有最小值2
x
点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等 可以具体解释每一项的
意思。

当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值
（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值
12下面给出的解答中，正确的是（ ）.
1
（A）
y
＝
x
＋≥2
x
x
·＝2，∴
y
有最小值2
x
4
|sin
x
|·＝4，∴
y
有最小值4 |sin
x
|
2
）＝（
2
1
4
（B）
y
＝|sin
x
|＋≥2
|sin
x
|
（ C）
y
＝
x
（－2
x
＋3）≤（
当
x＝1时，
y
有最大值（
9
x
－2
x
＋3－x
＋3
2
），又由
x
＝－2
x
＋3得
x
＝1，∴
2
－1＋3
2
）＝1
2
≤3－2（D）
y
＝3－
x
－
x
x< br>x
·
9
x
＝－3，
y
有最大值－3
4
3.已知
x
＞0，则
x
＋＋3的最小值为（ ）.
（A）4 （B）7 （C）8 （D）11

1
4.设函数
f
（
x
）＝2< br>x
＋－1（
x
＜0），则
f
（
x
）（ ）.
x
（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数
1 B 2.D 3 B 4 .A

基本不等式
第一课时
课前预习学案
一、预习目标
不等号“≥”取 等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不
等式，理解这个基本不等式的几何意义， 并掌握定理。
二、预习内容
一般地，对于任意实数
a
、
b
，我们有
a?b?2ab
，当 ，等号成立。
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示： 。

三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点




课内探究学案



疑惑内容
22
教学目标
a
2
?b
2
?2ab
，不 等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相
等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式 的几何意义
教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
ab?
过程；
【教学难点】
基本不等式
ab?
a?b
等号成立条件
2
a?b
的证明
2

合作探究 1 证;
a?b?2ab


强调：当且仅当
a?b
时,
a?b?2ab

特别地,如果
a?0,b?0,用a和b分别代替a、b,可得a?b?2ab
,也可写成 < br>22
22
ab?
a?b
(a?0,b?0)
,引导学生利用不 等式的性质推导
2
证明:
结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ab?
a?b
2

探究2：课本中的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,B C=b。过点C作垂直于AB的弦
DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式
a b?
a?b
的几何解释
2





练习
1若
0?a?b
且
a?b?1
，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ．
1
Ｂ．
2
a?b
,2
ab,
a
2
?b
2
Ｃ．2ab Ｄ．a
2 a,b是正数，则
Ａ．
Ｃ．
2ab
三个数的大小顺序是 （ ）
a?b
a?b2aba?b2ab
Ｂ．
ab?

?ab??
2a?b2a?b
ab?
2aba?b

?
a?b2
2aba?b
Ｄ．
?ab?
a?b2
答案 B C
例题分析：
已知x、y都是正数，求证：
(1)
yx
?
≥2；
xy
( 2） Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+
22
1
有最小值，最小值是多少
x
分析：
a?b?2ab
，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性
质成立的条件)，进行变形. 1正2定3相等

51
变式训练：1已知
x
＜，则函数
f
（
x
）＝4
x
＋的最大值是多少 ？
44
x
－5
2 证明：（x＋y）（x
2
＋y
2
）（x
3
＋y
3
）≥８x
3
y< br>3
.
分析：注意凑位法的使用。





注意基本不等式的用法。

当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（ ）.
（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值
（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值
2下面给出的解答中，正确的是（ ）.
1
（A）
y
＝
x
＋≥2
x
x
·＝2，∴
y
有最小值2
x
4
|sin
x
|·＝4，∴
y
有最小值4 |sin
x
|
2
）＝（
2
1
4
（B）
y
＝|sin
x
|＋≥2
|sin
x
|
（ C）
y
＝
x
（－2
x
＋3）≤（
当
x＝1时，
y
有最大值（
9
x
－2
x
＋3－x
＋3
2
），又由
x
＝－2
x
＋3得
x
＝1，∴
2
－1＋3
2
）＝1
2
≤3－2（D）
y
＝3－
x
－
x
x< br>x
·
9
x
＝－3，
y
有最大值－3
4
3.已知
x
＞0，则
x
＋＋3的最小值为（ ）.
（A）4 （B）7 （C）8 （D）11
1
4.设函数
f
（
x
）＝2
x
＋－1（
x
＜0），则
f
（
x
）（ ）.
x
（A）有最大值 （B）有最小值 （C）是增函数 （D）是减函数
答案 1 B 2.D 3 B 4.A
课后练习与提高

1 已知
x、y都是正数，求证：

① 如果积
xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2p

② 如果和
x?y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S




1
4
2
[拓展探究]


111
2. 设a, b, c
?(0,??),
且a+b+c=1，求证：
(?1)(?1)(? 1)?8.

abc

答案：1略 2 提示可用a+b+c换里面的1 ，然后化简利用基本不等式。







§3.4.2 基本不等式的应用

【教学目标】
1 会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2 本节课是基本不等式应用举 例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出
数量关系进行求解这个中心。
3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．

教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

教学过程：
一、创设情景，引入课题
提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把
a? b
叫做正数
a、b
的算术平均数，
2
把
ab
叫做正 数
a、b
的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
讲解：已 知
x,y
都是正数，①如果
xy
是定值
p
，那么当
x?y
时，和
x?y
有最小值
2p
；
②如果和
x ?y
是定值
s
，那么当
x?y
时，积有最大值
1
2
s

4
二、探求新知，质疑答辩，排难解惑
1、

新课讲授
例1、（1）用篱笆围一个面积为100
m
2
的矩形菜园 ，问这个矩形的长、宽各为多少时，所

用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（ 2）一段长为36
m
的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜
园 的面积最大。最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：（1）设矩形菜园的长为
x
m,宽为
y
m,则
xy
由
?100,
篱笆的长为2（
x?y
）
x?y
?xy
，
2
可得
x?y?2100

2（
x?y
）
?40

等号当且仅当
x?y时成立，此时x?y?10
，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，
所用篱笆最短，最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为
x
m,宽为
y
m,则2（
x
积为
xy
m
2
，
由
xy?
?y
）=36，
x?y
=18，矩形菜园的面
x?y 18
??9,
可得
xy?81
,
22
可得等号当且仅当
x?y时成立，此时x?y?9

点评：此题用到了 如果
xy
是定值
p
，那么当
x?y时，和
x?y
有最小值
2p
；
如果和
x?y
是定值
s
，那么当
x?y
时，积有最大值
变式训练： 用长为
4a
的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设矩形的长为< br>x(0?x?2a)
，则宽为
2a?x
，矩形面
S?x(2a?x)< br>，
且
x?0,2a?x?0
．
由
x(2a?x)?
取等号），
2
由此可知，当
x?a< br>时，
S?x(2a?x)
有最大值
a
．答：将铁丝围成正方形时，1
2
s

4
x?(2a?x)
（当且近当
x? 2a?x
，即
x?a
时
?a
．
2
才能有最大面积< br>a
．
例2（教材
P
89
例2）某工厂要建造一个长方体无盖 贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果
3
2
池底每1m的造价为150元，池 壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，
最低总造价是多少元？
22< /p>

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数
的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为
xm
，水池的总 造价为
l
元，根据题意，得
l?240000?720(x?
1600
1600

)
? 240000?720?2x?
x
x
?240000?720?2?40?29760 0

1600
当
x?,即x?40时,l有最小值2976000.

x
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最
低总造价是 297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

变题：某 工厂要制造一批无盖的圆柱形桶，它的容积是
?
立方分米，用来做底的
金属每平方分米 价值3元，做侧面的金属每平方米价值2元，按着怎样的尺寸制造，才
能使圆桶的成本最低。
解：设圆桶的底半径为
r
分米，高为
h
分米，圆桶的成本为
m
元，则
3
2
m?
3
?
r
2
?2?2?
rh

求桶成本最低，即是求
m
在
r
、h
取什么值时最小。将
h?
3
代入
m
的解析式，得 < br>2
2r
m?3
?
r
2
?2(2
?
r )(
3
?
r
2
?
36
?
2
=)?3
?
r?
r
2r
2
3
?
3
?
3
?
3
?
??3
3
(3
?
r
2
)???9
?

rrrr
2
3
?
3
?
3
?
时，取“=”号。
??
rrr
3∴当
r?
1（分米），
h?
（分米）时，圆桶的成本最低为9
?
（元）。
2
当且仅当
3
?
r?
点评：分析题意、 设未知量、找出数量关系进行求解，
归纳整理，整体认识
a?b
2
)，
a
2
?b
2
?2ab
．
2
1．求 最值常用的不等式：
a?b?2ab
，
ab?(
2．注意点：一正、二定、三 相等，和定积最大，积定和最小．
3.建立不等式模型解决实际问题

当堂检测：
1 下列函数中，最小值为4的是： （ ）
Ａ．
y?x?
4
4
Ｂ．
y?sinx?

(0?x?
?
)

sinx
x
y?log
3
x?4log
x
3
Ｃ．
y?e
x
?4e
?x
Ｄ．
2. 设
x,y?R,且x?y?5,则3
x
?3
y
的最小值是( )
A. 10 B.
63
C.
46
D.
183

3函数
y?x1?x
2
的最大值为 .
4建造一个容积为18m
3
, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m
2
的造价为200
元和150元，那么池的最低造价为 元.
5某食品 厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面
粉的保管等其它费用为 平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少
天购买一次面粉，才能使平均每天所支 付的总费用最少？

答案：1C 2 D
3

1
4 3600 5
x?10
时，
y
有最小值
10989
，
2
基本不等式的应用
课前预习学案
一、预习目标
会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题
二、预习内容
1如果
xy
是定值
p
，那么当
x?y
时，和
x?y
有最
2如果和
x?y
是定值
s
，那么当
x?y
时，积有最
3若
x??1
，则
x
=_____时,
x?
1
有最小值，最小值为_____.
x?1
4.若实数a、b满足a+b＝2,则3
a
+3
b
的 最小值是_____.

三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点





疑惑内容

课内探究学案
一、学习目标

1 用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.
2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件

二、学习过程
例题分析：
例1、（1）用篱笆围一个面积为100
m
2
的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所
用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为 36
m
的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜
园的面积最大。 最大面积是多少？
分析： （1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：




变式训练：1用长为
4a
的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
2一份印刷品的排版面积（矩形）为
A
它的两边都留有宽为
a< br>的空白，顶部和底
部都留有宽为
b
的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使用纸量 最少？



变式训练 答案 1
x?a
时面积最大。 2此时纸张长和宽分别是
Aa
?2a
和b
Ab
?2b
．
a



例2：） 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每
22
1m的 造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总
造价是多少元 ？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数
的最值，其中用到了均值不等式定理。


3

答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000。
变式训练：建造一个容积为18m
3
, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m
2
的造
价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
答案：3600



当堂检测：1若x, y是正数，且
14
??1
，则xy有 （3 ）
xy
Ａ．最大值16 Ｂ．最小值
2已知
x?0,y?0
且满足
11
Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
1616
28
??1
,求
x?y
的最小值.4
xy
Ａ．16 Ｂ20． Ｃ．14 Ｄ．18
3 某食品厂定期购买面 粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800
元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天 3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多
少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最 少？



答案:1 C 2 D 3
x?10
时，
y
有最小值
10989
，


课后复习学案
1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及此时x、y的值．





2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期 中考试）某种汽车的购车费用是10万元，
每年使用的保险费、养路费、汽油费约为
0.9万元，年维修费用第一年是
0.2
万元，以
后逐年递增
0.2
万 元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多
少？

3某公司租地建仓库，每月土地占用费y
1
与车库到车站的距离成反比 ，而每
月库存货物的运费y
2
与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓< br>库，这两项费用y
1
和y
2
分别为2万元和8万元，那么要使这两项费 用之和
最小，仓库应建在离车站多少公里处?