人教版高中数学必修五《等差数列前n项和》说课稿

等差数列前n项和说课稿
各位评委，您们好。今天我说课的内容是普通高中课程标准实 验教科书数学必修的第5
个模块中第二章的2.3等差数列的前n项和的第一节课。
下面我从 教材分析、教学目标分析、教法与学法分析、教学过程分析、板书设计分析、
评价分析等六个方面对本节 课设计进行说明。
一、教材分析
1、教材的地位与作用
（1）等差数列的前n项和的公式是等差数列的定义、通项、前n项和三大重要内容之一。
（2）推导等差数列的前n项和公式提出了一种崭新的数学方法——倒序求和法。
（3）等差 数列的前n项和公式的知识网络交汇力极强。通过公式，一方面可以建立起函
数、方程、不等式之间的联 系；另一方面，可以联系多个知识点编制出灵活多变的数学综合
性问题，有利于实现考能力、考数学综合 素质的目标。
2、教材处理
根据学生的认知规律，本节课从具体到抽象，从特殊到一般,由 浅入深地进行教学，使学
生顺利地掌握知识，发展能力。在教学过程中，运用多媒体辅助教学，提高教学 效率。本节
教材我分两节课完成，第一节课主要学习等差数列的前n项和的公式
s
n< br>?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
及sn
?na
1
?d
的推导及其基本应用；第二节课主要学习等差数列的前n
22
项和公式的一些性质及其应用。本节课是第一节课。
3、教学重点、难点、关键
教学重点：等差数列的前n项和公式的推导和应用。
教学难点：等差数列的前n项和公式的推导。
教学关键：推导等差数列的前n项和公式的关键 是通过情境的创设，发现倒序求和法。
应用公式的关键是如何从实际问题中抽象出数量关系，建立等差数 列模型，运用公式解决问
题。
4、教具、学具准备
多媒体课件。运用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率和质量。
二、教学目标分析
根据教材特点及教学大纲要求，我认为学生通过本节内容的学习要达到以下目标：

1

1、知识目标：
（1）让学生在新旧知识的联系中完成认知，发现推导公式的思想与方法，并掌握公式。
（2）能用数学建模的方法，正确运用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题。
2、能力目标：
（1）自主探索能力——创设问题情境，让学生自主观察、分析、探索、归纳 和交流，培
养学生的自主探索能力。
（2）建模能力——通过运用等差数列的前n项和公式解 决问题，使学生自主获得数学建
模的方法，培养学生建模、解模的能力。
（3）逻辑思维能力 ——通过由浅入深的分析和循序渐进的变式问题的探讨及解决问题后
的反思，培养学生的逻辑思维能力。
3、品德目标：
（1）科学发展观——通过从具体到抽象，从特殊到一般的探索，引导学生走 进“数学再
创造”的情境中，逐步树立科学发展观。
（2）理性思维——通过有梯度的变式题目的分析，使学生养成“联系与转化”的理性思
维。
（3）优化思维品质——采用启发式引导法，使学生通过实践——认识——再实践——再
认识， 提高辩证分析问题的能力，优化思维品质，培养健康的心理素质，使学生懂得只有通
过自己不断亲身实践 才能获得新知的道理。
三、教法、学法分析
1、教法分析
按现代教育观，课堂教 学应充分发挥“教为主导，学为主体，练为主线”的教学思想。
本节课运用“引导探索发现法”，采用“ 情境引入——自主探究——成果交流——变式应用—
—反思回授”等五个环节，并使用多媒体辅助教学， 引导学生动手动脑去观察、分析、探索、
归纳获得解决问题的方法，把教学过程变为渴望不断探索真理并 带着美好感情色彩的意向活
动。
2、学法指导
“授人以鱼，不如授人以渔”。教是 为了不教，教给学生好的学习方法，让他们会学习，
并善于用数学思维去分析问题和解决问题，受益终身 。
本节课根据教材特点，激“疑”生“趣”，学生自主探究，学会从具体到抽象，从特殊到
一 般，由浅入深去分析、探索，循序渐进地发现等差数列的普遍规律，从而得出等差数列的
前n项和公式， 在应用公式解决问题时，引导学生理论联系实际，抽象出数量关系，建立数

2

学模型，获得解决问题的方法，带领学生踏上“再创造”之旅。
四、教学过程分析
教学
环节
通过复习等
差数列的定义、通项公式及等差数
2、等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d (n?N
*
)
。
列的性质，以旧悟
新，为学习新 知识
3、等差数列
{a
n
}
中，若
p?q?m?n
，则
a
p
?a
q
?a
m
?a
n
（
p
、
q
、
埋下伏笔。
1、等差数列的定义：
a< br>n
?a
n?1
?d(n?2,n?N
*
)
，
d
为常数。
。
m
、
n?N
*
）
200 多年前，德国著名数学家Gauss（高斯）10岁读小学时，老师出了一
道数学题：
1?2? 3????100??
据说，当其他同学忙于把100个数逐项
相加时，高斯经过思考后很快得 出其结果是5050。
师：“小高斯快速算出
1?2?3????100
的和，成为 千古美谈。同学们，
我们也能成长为高斯。这节课我们研究《等差数列的前n项和》，就是与高斯
比一比，我们也能快速算出
1?2?3????100
，并且把这种方法推广到更
一 般的等差数列前n项和的求法中去。”
这个问题实际上就是本节课要学习的内容：（板书课题）
2.3等差数列的前n项和
以问题激发
兴趣，以问题产生
好奇。课堂开始，
我说：“小高斯快
速算出1+2+3+?
+100的和，成为
千古美谈，同学
们，我们也能成为
高斯。这节课我们
研究《等差数列的
前n项和》，就是与高斯比一比，我
们也能快速算出
1+2+3+?+100，并
且把这种方法推< br>广到更一般的等
差数列前n项和
的求法中去。”
学生的情绪
高涨起来，六即分
组讨论探究下列
四个问题。
讨论后各小
组汇报研究性成
果。
小组A的成
果主要利用了等
差数列中与首末
项等距离的两项
的和等于首末两
项和的性质。
教 学 设 计 设计意图
复
习
回
顾
引
入
情
境
分
析
展
示
课
题

·



·








一般地,等差数列的前n项和用
s
n
表示,即
s
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
现在分小组讨论探究下面的问题：
1、1，2，3，??，98，99，100从数列 角度来看，这是什么数列？高斯
用什么方法快速算出这个数列的和？
2、高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般数列的前n项和
吗？
3、这些方法用到了等差数列哪一个性质？
4、能否用高斯的速算法求下列等差数列的前n项和：
（1）计算
a
1?a
2
?a
3
???a
n?2
?a
n?1?a
n
??

（2）计算
a
1
?(a
1
?d)?(a
1
?2d)???[a
1
?(n?1)d]??
学生阅读、小组讨论时，老师要眼观六路，耳听八方，对每个学生在自觉
和小组讨论中遇 到的难题，要进行适当点拔，使他们的学习走上正轨，然后各
小组汇报研究性学习成果，进行全班交流。
A组小组长说：1，2，3，??，98，99，100是首项为1，末项为100，
公差为1 的等差数列，高斯的算法是：
（1+100）+（2+99）+??+（50+51）=
101?50?5050
。

3

教学
环节
教 学 设 计
B组小组长说：也可以写成算式的形式：
s?1?2???50?51???99?100

?s?100?99???51?50???2?1


2s?101?101???101?101???101?101

设计意图 小组B的成
果是把正整数列
前100项顺序、倒
序后两相加进行
求和，在 此处发现
数列求和常用的
方法——倒序求
和法。
引
入
情< br>境
分
析
展
示
课
题
新
课
讲< br>授
推
导
公
式



·





·
·

s?
101?(1?100)
?5050
。
2
师：很好， 这种方法就是把数列各项的顺序倒过来再相加的方法，我们把
这种方法称为“倒序求和法”。这种倒序求 和法运用了等差数学哪一个性质？
B组小组长说：运用了等差数列中与首末两项等距离的两项的和等于 首末
两项和的性质。即在等差数列
{a
n
}
中，若
p?q? m?n
，则
a
p
?a
q
?a
m
?a
n
*
（
p
、
q
、
m
、
n?N< br>）。
教师因势设问：“能把倒序求和法推广到一般的等差数列的前n项和吗？” 我因势设问：
C组小组长说：可以运用高斯算法——倒序求和法可计算： “能把倒序求和
法推 广到一般的
s
n
?a
1
?a
2
?a
3???a
n?2
?a
n?1
?a
n

等差数列 的前n
项和吗？”如此一
?s
n
?a
n
?a
n?1
?a
n?2
???a
3
?a
2
?a
1
问，引出了“思维
冲浪”，学生主体
性自然张扬，给
2s
n
?(a
1
?an
)?(a
2
?a
n?1
)???(a
n?1
?a
2
)?(a
n
?a
1
)

“再发现”加了一
把激情。
?a
1
?a
n
?a< br>2
?a
n?1
?a
3
?a
n?2
???a< br>n?2
?a
3
?a
n?1
?a
2
?a
n
?a
1

小组C的成
果是把一般形式
?2s
n
?n(a
1
?a
n
)
，
的等差数列前n
n(a
1
?a
n
)
项倒序相加进行
?s
n
? ( ? )

求和，得出等差数
2
D组小组长说：同理运用高斯算法——倒序求和法也可计算： 列 前n项和的公
s
n
?a
1
?(a
1
?d)???[ a
1
?(n?2)d]?[a
1
?(n?1)d]

?s< br>n
?[a
1
?(n?1)d]?[a
1
?(n?2)d]?? ?(a
1
?d)?a
1

式
( ? )
。
小组D的成
果是把用通项公
式表示的等差数
列前n项倒序相
2s
n
?[2a
1
?(n? 1)d]?[2a
1
?(n?1)d]???[2a
1
?(n?1)d]?[ 2a
1
?(n?1)d]

加后求和，得出等
n(n?1)
差数列的前n项
?s
n
?na
1
?d (??)

2
和的公式
( ?? )
。

4

教学
环节
教 学 设 计
E组小组长抢答:由下列算法也可以得到公式
( ? )
：
设计意图 小组E的成
果是利用通项公
式的变式，倒序相
加后进行求和同
样可以推导 出等
差数列的前n项
和的公式
( ? )
、
s
n
? a
1
?(a
1
?d)?(a
1
?2d)???[a
1
?(n?1)d]

?s
n
?a
n
?(a
n
?d)?(a
n
?2d)???[a
n
?(n?1)d]


2s
n
?(a
1
?a
n
)?(a
1
?a
n
)?(a
1
?a
n
)???(a
1
?a
n
)

n(a
1
?a
n
)
?s
n
? ( ? )

2
以
a
n
?a
1
?(n?1 )d
代入也可得到公式
(??)
的形式。
师：非常好。公式
( ? )
、
(??)
称为等差数列的前n项和公式，用这些公式
可求得等差数列的前 n项和。
( ?? )
。
这样，等差数
列的前n项和的
公式的推 导过程，
就成了学生研究
性思维学习成果
的展示过程，在这
个“过程”中，学
生学会了怎样学
习和怎样思考，在
连续的变式推理
过程中，创造性思
维品质在不断的
追问、假设、探究
和想象中培养起
来。
新
课
讲
授
推
导
公
式
引导学生比较得出：若已知等差数列首项为
a
1
，末项为
a
n
，项数为
n
，



·





n(a
1
?a
n
)
求和；若已知等差数列首项为
a
1
， 公差
2
n(n?1)
d
求和较为简便。为
d
，项数为
n
，则直接运用公式
(??)
s
n
?na
1
?< br>2
可直接运用公式
( ? )
s
n
?
从公式的结构特 点可知，公式化共包含五个量
a
1
，
a
n
，
n，
d
，
s
n
，只要知
道其中三个量，就可以求出其余两 个量。
思考：比较两个公式
( ? )
、
(??)
，说说它们分别从哪些角度反映等差数列
的性质？
















5

教学
环节
请同学们解下列一组题。
计算下列各题：
（1）
1?2?3???n
。
教 学 设 计 设计意图
讲授
新
课
熟
悉
公
式
初
步
应用
公
式



·



·






1、推导出公
式 之后，通过常用
的正整数列、正奇
数列、正偶数列的
（2）
1?3?5??? (2n?1)
。
求和，使学生初步
熟悉等差数列的
（3）
2?4?6???2n
。
前n项和的公式。
（4）
1?2?3?4?5?6???(2n?1)?2n
。

2、通过练习
生：直接利用等差数列的前n项的公式
( ? )
求得： （4），使学生明白
n(1?n)
一些题目表面看
（1）原式
?
（这是正整数列之和）。
来没有等差数列
2
n(1?2n?1)
的规律，只 要认真
?n
2
（这是正奇数列之和）（2）原式
?
。
观察 ，深入分析，
2
n(2?2n)
进行适当分组，局
?n
2
? n
（这是正偶数列之和）（3）原式
?
。
部是符合等差数
2
师：第（4）题中的数列不是等差数列，但在解题时我们应仔细观察，由列规律的。从中培
此及彼，由 表及里，去伪存真，寻找规律，可能某局部成等差数列（学生在老养学生的分析能
师引导下会悟到）。 力，提高拓展能力
生甲：把正数项与负数项分开，正好组成正奇数列与正偶数列之差。 和创新能力，也 培
养“联系与转化”
?
原式
?[1?3?5?
?
?(2n? 1)]?(2?4?6?
?
?2n)
的理性思维，为进
22
?n?( n?n)
。
一步运用等差数
??n
列的前n项和的
生乙：原数列虽 然不是等差数列，但还有一个规律，相邻两个正整数之差公式解应用题打
下知识基础和思
为1， 即依次相邻两项结合都为
?1
，可得另一解法：
想方法基础。
原式?(1 ?2)?(3?4)?(5?6)?
?
?[(2n?1)?2n]
??1?1?
?
?
?1

??????
n个
??n
师：从以上 解题过程反思，可以看到一些题目表面上好像没有什么规律，
在解题时只要我们仔细观察、寻找规律，是 会找到好的解题方法的。











6

教学
环节
教 学 设 计
*
例1、求集合
M?m|m?7n,n?N且m?100< br>的元素个数，并求这些
设计意图
讲
授
新
课
建
立
数
学
模
型
解
应
用
题
1、在应 用等
差数列的前n项
元素的和。 和的公式解应用
引导学生清楚地认识到，要找到解应 用题的方法，必须运用理论联系实际题时，使学生学会
的方法，抽象出数量关系，建立相应的数学模型， 这是寻找解题方法的关键。运用理论联系实
求等差数列的和，要特别注意数列的项数n是什么。 际的方法抽象出
师：元素
m
的个数应根据什么条件确定？ 数量关系，建立相
应的数学模型，即
生：应根据
m
、
n
的范围、条件确定，由
m?100
，得
7n?100
，
1002
等差数列模型，从
?n??14
，又
?n?N
*
，
而获得解题方法，
77
培养学生学数学、
?满足上面不等式的正整数n共有14个,

用数学的意识和
能力。
所以集合M的元素m共有14个
。

师：请把这14个元素从小到大列出来。 2、分别用公
生：7，14，21，??，98。
式
( ? )
、公式
师：这是一个什么数列？
??



·










生：这个数列是等差数列，记为
?
a
n?
，其中首项
a
1
?7
，末项
a
14
?98
，
( ?? )
解答，使学
项数
n?14
，公差d?7
，根据等差数列的前n项和公式得：
s
14
?
n(a< br>1
?a
n
)
14?(7?98)
??735
。
22
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735。
师：可能用公式
(??)
解答吗？
生：可以，有：
s
n< br>?na
1
?
生认识到掌握题
目的数量关系后，
可以从多角度去
解应用题，培养学
生发散思维。
n(n?1)14?(14?1)
d?14?7??7?735
。
22
师：比较一下，这两种方法有什么不同之处？
生：用公式
( ? )< br>要先求出
a
n
，再运用公式。用公式
(??)
不需求
a
n
就可以
直接运用公式，显然用公式
(??)
方法简单。











7

教学
环节
教 学 设 计
例2 、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工
程的通知》。某市据此提出了 实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用
10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网，据 测算，2001年该市用于
“校校通”工程的经费为500万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投 入
的资金都比上一年增加50万元，那么从2001年起的未来10年内，该市在“校
校通”工 程中的总投入是多少？
对此例题，老师先启发引导，然后让学生练习，如有不懂再点拔。实施“校校通”工程的经费，每年是多少？总投入经费是多少？想一想这个问题的数量
关系与我们所学过的哪 些数学规律类似？500万，50万，未来10年的“10年”，
工程总投入等相当于数学理论中什么量 ？从中建立求解的数学模型。
学生甲：根据题意，从2001年起到2010年该市每年投入“校校通 ”工程
的经费都比上一年增加50万，可以建立一个等差数列
?
a
n
?
，表示从2001年
起每年投入的资金。其中
a
1
?500,d? 50,n?10
。由公式
(??)
可知，投入金
额为：
设计意图
在解答例2
时，经老师启发引
导后，让学生先练
后讲，巩固学生的
解 题程序，强化应
用意识，加深学生
对解应用题必须
要建立数学模型
的重要性的 认识，
进一步掌握建立
数学模型的方法。
讲
授
新
课
建
立
数
学
模
型
解
应
用
题
巩
固
练
习







·










s
n
?na
1
?
n(n? 1)10?(10?1)
d?10?500??50?7250(万元)
。
22
学生乙：也可以用公式
( ? )
求解：
a
10
?500?(10?1)?50?950
，
s
10
?
n(a
1
?a
n
)
10?(500?950)< br>??7250(万元)
。
22
答：从2001年起到2010年，该市在“校 校通”工程中总投入资金7250
万元。

1、再次强化
数学建模等解题
元素的和。 程序。
2、一位技术人员计划用 下面的办法测试一种赛车：从时速10kmh开始，2、通过学生
每隔2s速度提高20kmh。如果测 试时间为30s，测试距离是多长？ 自己编题来练习，
3、请同学们参考例1、例2和课堂练习题自己 编写一道求等差数列前n进一步巩固对等
项和的练习题。 差数列的前n项

和的公式的理解，
培养学生求异、发
散等思维能力。





*
1、求集合
M?m|m?2n?1,n?N且m? 60
的元素个数，并求这些
??

8

教学
环节
教 学 设 计
师：谁来总结一下，本节课学习了什么内容和方法？
生：1、本节课学习了等差数列的前n项和公式
设计意图
启发、引导学
生 归纳总结，一方
面可以了解学生
听课接受能力的
情况，另一方面可
以培养学生 归纳
总结的能力，使学
生系统记忆本节
课所学习的知识。
s
n
?
归
纳
总
结








n(a
1
?a
n
)
( ? )

2
n(n?1)
s
n
?na
1
?d ( ?? )

2
2、学习了一种崭新的数学方法——倒序求和法。
师：总结得很好，我们还应注意以下几点：
1、公式
( ? )
、
(??)
共有五个量，只要知道其中三个量，就可以求出其他
两个量。这是下一节课要学习的内 容。
2、求等差数列的前n项和，要特别注意公式中的项数n是什么。
3、解应用题时，必 须运用理论联系实际的方法，抽象出数量关系，建立
相应的数学模型，才能找到适当的解题方法。
1、课本
P
53
习题2.3第2题。
2、自己编写一道求等差数列的前n项和的练习题。
3、写一篇学习“等差数列的前n项和”的心得。
4、预习：课本
P
50
—
P
51
。























9
布
置
作
业
1、布置与课
堂例题同类型的
习题做作业，可以
复习、巩固课堂学
习的知识。
2、通过学 生
自己编题和写小
论文，让学生深一
层理解课堂所学
习的知识，提高应
用知识的能力，这
是当前教改的新
措施。
3、预习可以
培养学生的自觉
能力，使学生成为
学习的主人。

教学
环节
教 学 设 计 设计意图
教
学信
息
反
馈
五
分
钟
测
验
如图， 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比通过小测验
它下面一层多放一支，最上 面一层放120支，这个V形架上共放多少支铅笔？ 检查学生对该节
内容学习的情况，
真实地反馈教学

信息，从而在下一

节课及时调控，查
漏补缺，提高教学

质量。







五、板书设计分析
推导过程及例1、 例2安排在黑板中间，突出重点，有利于学生系统理解和掌握知识，培养
学生的理性思维。整个黑板书写 从左向右安排得整齐有序，给学生美的享受，使学生在愉快
的气氛中接受知识。





·






课题



公式


情境引入



公式推导过程


例1



例2


堂上练习



布置课外作业


公式写在开头课题之下，方便学生辨认公式、记忆公式和 运用公式。把情境引入、公式
六、评价分析
综观本节课教学有五大特色：
1、站在数学科的整体高度处理教材，问题的提出与解决融合于数学学习和研究的思维方

10

法中，体现数学的科学价值和人文价值。
2、本节课运用阅读 、讨论、启发、引导发现法，通过情境引入激“疑”生“趣”，让学
生的求知欲高涨起来，使学生在自主 学习中，从“要我学”变为“我要学”，成为学习的主人，
挖掘潜能，在动手动脑的过程中去探索、去创 新，在学习中逐步形成科学发展观。
3、本节课先尝试猜想，后推理证明，培养了学生的理性思维。
4、本节课师生的共同活动始终在平等、融洽、愉悦的气氛中进行，学生得到了包括知识
方法在 内的多方面满足与发展，并共同感悟思潮的跌宕与情感的涌动，有利于学生自主发展
的健康心理的养成。
5、本节课突出数学方法的提出与形成，巧设变式练习，注意技能训练，教学重点突出，
难点分 散，循序渐进，水到渠成地突破难点。
通过五分钟测试反馈的信息，说明本节课的设计和教法是非常恰 当的，符合《新课标》
的要求，教学观念从教学转变为导学。通过学生自主学习，收到了预期的效果，完 成了各项
教学任务，我认为是一次成功的教学。
谢谢！

11