人教版高中数学必修5测试题及答案全套【最新整理】

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第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
Ⅰ 学习目标
1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.
2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．在△ABC中，若BC＝
2
，AC＝2，B＝45°，则角A等于( )
(A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150°
2．在△ ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝3，cosC＝－
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
1
，则c等于( )
4
3．在△ABC中，已知
cosB?
5
(A)
4
32
,sinC?
，AC＝2，那么边AB等于( )
53
(C)
20

9
5
(B)
3
(D)
12

5
4．在△ABC中，三个内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知B＝30°，c＝150，b＝50
3
，那么这个三角
形是( )
(A)等边三角形 (B)等腰三角形
(C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，如 果A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于( )
(A)1∶2∶3 (B)1∶
3
∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶
2
∶
3

二、填空题
6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B ＝45°，C＝75°，则b＝________.
7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分 别是a，b，c，若a＝2，b＝2
3
，c＝4，则A＝________.
8．在 △ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cosBcosC＝1－cosA，则△ABC 形状是________
三角形.
9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a， b，c，若a＝3，b＝4，B＝60°，则c＝________.
10．在△ABC中，若tanA＝2，B＝45°，BC＝
5
，则 AC＝________.
三、解答题
11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分 别是a，b，c，若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC.
12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝
13
.
(1)求角B的大小；
(2)若D是BC的中点，求中线AD的长.
13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.

1

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14 ．在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x
2
－2
3
x＋ 2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积.

测试二 解三角形全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若b
2
＋c
2
－a
2
＝bc，则角A等于( )
(A)
π

6
(B)
π

3
(C)
2π

3
A?BC
?cos

22
(D)
5π

6
2．在△ABC中，给出下列关系式：
①sin(A＋B)＝sinC ②cos(A＋B)＝cosC ③
sin
其中正确的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝3，sinA＝
(A )4
8
(B)
3
23
，sin(A＋C)＝，则b等于( )
34
(C)6 (D)
27

8
4．在△ABC中，三 个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，sinC＝
2
，则此三角形的 面积是( )
3
(A)8 (B)6 (C)4 (D)3
5．在△ABC 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2 sinBcosC，
则此三角形的形状是( )
(A)直角三角形 (B)正三角形
(C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形
二、填空题
6．在△A BC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝
2
，b＝2，B＝45°，则角 A＝________.
7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2 ，b＝3，c＝
19
，则角C＝________.
8．在△ABC中，三个内角A ，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝4，cosA＝，则此三角形的面积为________.
9．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，C(4，4)，则cosA＝________ .
10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，那么边BC 上的中线AD的长为________.
三、解答题
11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a＝3，b＝4，C＝60°.
(1)求c；
(2)求sinB.
12．设向量a，b满足a·b＝3，|a|＝3，|b|＝2.
(1)求〈a，b〉；
(2)求|a－b|.
13．设△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，若BD⊥OA于D.
(1)求高线BD的长；
(2)求△OAB的面积.
14．在△ABC中，若si n
2
A＋sin
2
B＞sin
2
C，求证：C为锐角.
2

3
5

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abc
???2R
，其中R为△ABC外接圆半径)
sinAsinBsinC
Ⅱ 拓展训练题
15．如图，两条直路OX与OY相交 于O点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX、OY上的A、
(提示：利用正弦定理
B两点，| OA |＝3km，| OB |＝1km，两人同时都以4kmh的速度行走，甲沿XO
方向，乙沿
OY
方向.
问：(1)经过t小时后，两人距离是多少(表示为t的函数)？
(2)何时两人距离最近？




16．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对 边，且
cosBb
cosC
??
2a?c
.
(1)求角B的值；
(2)若b＝
13
，a＋c＝4，求△ABC的面积.


3

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第二章 数列
测试三 数列
Ⅰ 学习目标
1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数.
2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.
3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{a
n
}的前四项依次是：4，44，4 44，4444，…则数列{a
n
}的通项公式可以是(
(A)a
n
＝4n (B)a
n
＝4
n

(C)a
4
n
＝
9
(10
n
－1) (D)a
n
＝4×11
n

2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是( )
(A)30 (B)35 (C)36 (D)42
3．数列{a
n
}满足 ：a
1
＝1，a
n
＝a
n
－
1
＋3n，则 a
4
等于( )
(A)4 (B)13 (C)28 (D)43
4．156是下列哪个数列中的一项( )
(A){n
2
＋1} (B){n
2
－1} (C){n
2
＋n} (D){n
2
＋n－1}
5．若数列{a
n
}的通项公式为an
＝5－3n，则数列{a
n
}是( )
(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对
二、填空题
6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：
(1)
1,
23
,
1
2
,
2
5
,
1
3,?,a
n
＝________；
(2)0，1，0，1，0，…，a
n
＝________.
．一个数列的 通项公式是a
n
2
7
n
＝
n
2
?1
.
(1)它的前五项依次是________；
(2)0.98是其中的第________项.
8．在数列{a
n
}中， a
1
＝2，a
n
＋
1
＝3a
n
＋1，则a
4
＝________.
9．数列{a
n
}的通项公式为
a
n
?
1
1?2?3???(2n?1)
(n∈N
*
)，则a
3
＝________.
10．数列{a
n
}的通项公 式为a
n
＝2n
2
－15n＋3，则它的最小项是第________项.
三、解答题
11．已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝14－3n.
(1)写出数列{a
n
}的前6项；
(2)当n≥5时，证明a
n
＜0.
12．在数列{a中，已知a
n
2
?n?1
n
}
n
＝
3
(n∈N
*
).
(1)写出a
10
，a
n
＋
1
，
a
n
2
；
(2)79
2
3
是否是此数列中的项？若是，是第几项？
13．已 知函数
f(x)?x?
1
x
，设a
n
＝f(n)(n∈N< br>＋
).

)
4

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(1)写出数列{a
n
}的前4项；
(2)数列{a
n
}是递增数列还是递减数列？为什么？

测试四 等差数列
Ⅰ 学习目标
1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题.
2．掌握等差数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．数列{a
n
}满足：a
1
＝ 3，a
n
＋
1
＝a
n
－2，则a
100
等 于( )
(A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－198
2．数列 {a
n
}是首项a
1
＝1，公差d＝3的等差数列，如果a
n
＝2008，那么n等于( )
(A)667 (B)668 (C)669 (D)670
3．在等差数列{a
n
}中，若a
7
＋a
9
＝16 ，a
4
＝1，则a
12
的值是( )
(A)15 (B)30 (C)31 (D)64
4．在a和b(a≠b)之间插入n个数，使它们与a，b组成等差数列，则该数列的公差为( )
b?ab?ab?ab?a
(A) (B) (C) (D)
nn?1n?1n ?2
5．设数列{a
n
}是等差数列，且a
2
＝－6，a
8
＝6，S
n
是数列{a
n
}的前n项和，则( )
(A)S
4
＜S
5
(B)S
4
＝S
5
(C)S
6
＜S
5
(D)S
6
＝S
5

二、填空题
6．在等差数列{an
}中，a
2
与a
6
的等差中项是________.
7．在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
2
＝5，a< br>3
＋a
4
＝9，那么a
5
＋a
6
＝____ ____.
8．设等差数列{a
n
}的前n项和是S
n
，若S17
＝102，则a
9
＝________.
9．如果一个数列的前n 项和S
n
＝3n
2
＋2n，那么它的第n项a
n
＝____ ____.
10．在数列{a
n
}中，若a
1
＝1，a
2
＝2，a
n
＋
2
－a
n
＝1＋(－1)
n
(n∈N
*
)，设{a
n
}的前n项和是S
n
，则 S
10
＝________.
三、解答题
11．已知数列{a
n
}是等差数列，其前n项和为S
n
，a
3
＝7，S
4
＝24．求数列{a
n
}的通项公式.

12．等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
10
＝30，a
20
＝50.
(1)求通项a
n
；
(2)若S
n
＝242，求n.

13．数列{a
n
}是等差数列，且a
1
＝50，d＝－0.6．
(1)从第几项开始a
n
＜0；
(2)写出数列的前n项和公式S
n
，并求S
n
的最大值.

Ⅲ 拓展训练题
14．记数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若3a
n
＋
1
＝3a
n
＋2(n∈N
*
)，a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
99
＝90，求S
100
．

测试五 等比数列
Ⅰ 学习目标
1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题.
2．掌握等比数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.
Ⅱ 基础训练题
5

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一、选择题
1．数列{a
n
}满足：a
1
＝3，a
n
＋
1
＝2a
n
，则a
4
等于( )
3
(A) (B)24 (C)48 (D)54
8
2．在各项都为正数的 等比数列{a
n
}中，首项a
1
＝3，前三项和为21，则a
3＋a
4
＋a
5
等于( )
(A)33 (B)72 (C)84 (D)189
3．在等比数列{a
n
}中，如果a
6
＝6，a
9
＝9，那么a
3
等于( )
316
(A)4 (B) (C) (D)3
29
4．在等比数列{an
}中，若a
2
＝9，a
5
＝243，则{a
n
}的前四项和为( )
(A)81 (B)120 (C)168 (D)192
－
5．若数列{a
n
}满足a
n
＝a
1
q
n
1
(q＞1)，给出以下四个结论：
①{a
n
}是等比数列； ②{a
n
}可能是等差数列也可能是等比数列；
③{a
n
}是递增数列； ④{a
n
}可能是递减数列.
其中正确的结论是( )
(A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
二、填空题
6．在等比数列{a
n
}中,a
1
，a
10
是方程3x
2
＋7x－9＝0的两根，则a
4
a
7< br>＝________.
7．在等比数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
2
＝3，a
3
＋a
4
＝6，那么a
5
＋a
6
＝________.
8．在等比数列{a
n
}中，若a
5
＝9，q＝
1
，则{a
n
}的前5项和为_______ _.
2
827
9．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的 乘积为________.
2
3
10．设等比数列{a
n
}的公比 为q，前n项和为S
n
，若S
n
＋
1
，S
n
，S
n
＋
2
成等差数列，则q＝________.
三、解答题
11．已知数列{a
n
}是等比数列，a
2
＝6，a
5＝162.设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若S
n
＝242，求n.

12．在等比数列{a
n
}中，若a
2
a
6
＝36，a
3
＋a
5
＝15，求公比q.

13．已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c ＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c.

Ⅲ 拓展训练题
14 ．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列.a
ij
表示位于第i行第j列的数，其中a
24
＝， a
42
＝1，a
54
＝
a
11
a
12

a
21
a
22

a
31
a
32

a
41
a
42

… …
a
i1
a
i2

… …
(1)求q的值；
(2)求a
ij
的计算公式.



a
13

a
23

a
33

a
43

…
a
i3

…
a
14

a
24

a
34

a
44

…
a
i4

…
a
15

a
25

a
35

a
45

…
a
i5

…
…
…
…
…
…

…
1
8
5
.
16
a
1j

a
2j

a
3j

a
4j

…
a
ij

…
…
…
…
…
…

…
6

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测试六 数列求和
Ⅰ 学习目标
1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和.
2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( )
(A)15 (B)17 (C)19 (D)21
2．若数列{a
n
}是 公差为
1
2
的等差数列，它的前100项和为145，则a
1
＋a< br>3
＋a
5
＋…＋a
99
的值为( )
(A)60 (B)72.5 (C)85 (D)120
3．数列{a
n
}的通项公式a
n
＝(－1)
n
－
1
·2n(n∈N
*
)，设其前n项和为S
n
，则S
100
等于( )
(A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200
4．数列
?
?
1
?
2n?1)(2n?1)
?
的前n项和为( )
?
(
?
(A)
n
2n?1
(B)
2n
2n?1
(C)
n
4n?2
(D)
2n
n?1

5．设数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
，a
1
＝1，a
2
＝2，且a
n
＋
2
＝a
n
＋3(n＝1，2，3，…)，则S
100
等于( )
(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950
二、填空题 < br>6．
1
?
1
?
1
???
1
＝___ _____.
2?13?24?3n?1?n
7．数列{n＋
1
2
n
}的前n项和为________.
8．数列{a
n
}满足：a
1
＝1，a
n
＋
1
＝2a
n
，则a
22
1
＋a
2
2
＋…＋a
n
＝________ .
9．设n∈N
*
，a∈R，则1＋a＋a
2
＋…＋a
n
＝________.
10．
1?
1
2
?2?
1
4
?3?
11
8
???n?
2
n
＝___ _____.
三、解答题
11．在数列{a
n
}中，a
1
＝－11，a
n
＋
1
＝a
n
＋2(n∈N
*)，求数列{|a
n
|}的前n项和S
n
.

12． 已知函数f(x)＝a
1
x＋a
2
x
2
＋a
3x
3
＋…＋a
n
x
n
(n∈N
*
，x ∈R)，且对一切正整数n都有f(1)＝n
2
成立.
(1)求数列{a
n
}的通项a
n
；
(2)求
1
a
?
1
a
???
1
.
1
a
2
a
23
a
n
a
n?1
13．在数列{a
1
n
}中，a
1
＝1，当n≥2时 ，a
n
＝
1?
2
?
1
4
???
1
2
n?1
，求数列的前n项和S
n
.

Ⅲ 拓展训练题
14．已知数列{a
n
}是等差数列，且a
1
＝2，a
1
＋a
2
＋a
3
＝12.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)令b
n
＝a< br>n
x
n
(x∈R)，求数列{b
n
}的前n项和公式.

7

【复习资料、知识分享】

测试七 数列综合问题
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．等差数列{a
n
}中，a
1
＝1，公差d≠0，如果a
1
，a
2
，a5
成等比数列，那么d等于( )
(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2
2．等比数列{a
n
}中，a
n
＞0，且a
2
a
4
＋2a
3
a
5
＋a
4
a
6
＝25，则a
3
＋a
5
等于( )
(A)5 (B)10 (C)15 (D)20
3．如果a
1
，a
2
，a
3
，…，a
8
为各项都是正数的等差数列，公差d≠0，则 ( )
(A)a
1
a
8
＞a
4
a
5
(B)a
1
a
8
＜a
4
a
5

(C)a
1
＋a
8
＞a
4
＋a
5
(D)a
1
a
8
＝a
4
a
5

4 ．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a
1
∈(0，1)，由关系式an
＋
1
＝f(a
n
)得到的数列{a
n
}满足 a
n
＋
1
＞a
n
(n∈N
*
)，则该函数 的图象是( )

5．已知数列{a
n
}满足a
1
＝0，
a
n?1
?
a
n
?3
(n∈N
*< br>)，则a
20
等于( )
3a
n
?1
(C)
3
(D)(A)0
二、填空题
(B)－
3

3

2
?1
a,
?
1
?
2
n
6．设数列{a
n
}的首项a
1
＝，且
a
n?1
?
?
4?
a?
1
,
n
?
4
?
n
为偶 数,
则a
2
＝________，a
3
＝________. n
为奇数.
7．已知等差数列{a
n
}的公差为2，前20项和等于15 0，那么a
2
＋a
4
＋a
6
＋…＋a
20
＝________.
8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3 个小时，这种细菌可以由1个繁殖成
________个.
9．在数列{a
n
}中，a
1
＝2，a
n
＋
1
＝a
n
＋3 n(n∈N
*
)，则a
n
＝________.
10．在数列{a
n
}和{b
n
}中，a
1
＝2，且对任意正整数n等式3a
n
＋
1
－a
n
＝0成立，若b
n
是an
与a
n
＋
1
的等差中项，则{b
n
}
的前n项和为________.
三、解答题
11．数列{a
n
}的前 n项和记为S
n
，已知a
n
＝5S
n
－3(n∈N
*
).
(1)求a
1
，a
2
，a
3
；
(2)求数列{a
n
}的通项公式；
(3)求a
1
＋a< br>3
＋…＋a
2n
－
1
的和.

12．已知 函数f(x)＝
2
2
*
(x＞0)，设a＝1，a
1
n?1
·f(a
n
)＝2(n∈N)，求数列{a
n
}的通项公式.
2
x?4

13．设等差数列{a
n
}的前n项和为Sn
，已知a
3
＝12，S
12
＞0，S
13
＜ 0.
(1)求公差d的范围；
(2)指出S
1
，S
2
， …，S
12
中哪个值最大，并说明理由.

8

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Ⅲ 拓展训练题
14．甲、 乙两物体分别从相距70m的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙
每分钟走5m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后 立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始
运动几分钟后第二次相遇 ？

15．在数列{a
n
}中，若a
1
，a
2< br>是正整数，且a
n
＝|a
n
－
1
－a
n－
2
|，n＝3，4，5，…则称{a
n
}为“绝对差数列”.
(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；
(2)若“绝对差数 列”{a
n
}中，a
1
＝3，a
2
＝0，试求出通项an
；
(3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

测试八 数列全章综合练习
Ⅰ 基础训练题
一、选择题
1．在等差 数列{a
n
}中，已知a
1
＋a
2
＝4，a
3＋a
4
＝12，那么a
5
＋a
6
等于( )
(A)16 (B)20 (C)24 (D)36
2．在50和350间所有末位数是1的整数和( )
(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877
3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax< br>2
＋bx＋c的图象与x轴的交点个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定
4．在等差数列{a
n
}中，如果前5项的和为S
5
＝20，那么a
3
等于( )
(A)－2 (B)2 (C)－4 (D)4
5．若{a
n
}是等差数列，首项a
1
＞0，a
2007
＋a
2008
＞0，a
2007
·a
2008＜0，则使前n项和S
n
＞0成立的最大自然数n是( )
(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015
二、填空题
6．已知等比数列{an
}中，a
3
＝3，a
10
＝384，则该数列的通项a
n
＝________.
7．等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋a
3
＝－24，a
18
＋a
19
＋a
20
＝78，则此数列前20项和S
20
＝________. 8．数列{a
n
}的前n项和记为S
n
，若S
n
＝n< br>2
－3n＋1，则a
n
＝________.
a?a?a
9 ．等差数列{a
n
}中，公差d≠0，且a
1
，a
3
，a< br>9
成等比数列，则
a
3
?a
6
?a
9
＝________.
4710
10．设数列{a
n
}是首项为1的正数 数列，且(n＋1)a
n?1
－na
n
＋a
n
＋
1
a
n
＝0(n∈N
*
)，则它的通项公式a
n
＝_ _______.
三、解答题
11．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
3
＋a
7
－a
10
＝8，a11
－a
4
＝4，求S
13
.

12．已知 数列{a
n
}中，a
1
＝1，点(a
n
，a
n＋
1
＋1)(n∈N
*
)在函数f(x)＝2x＋1的图象上.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
；
(3)设cn
＝S
n
，求数列{c
n
}的前n项和T
n
.

13．已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足条件Sn
＝3a
n
＋2.
(1)求证：数列{a
n
}成等比数列；
(2)求通项公式a
n
.

14．某渔业公司今年初用98万元购 进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修
费在内，每年所需费用均比 上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.
(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；
9

22

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(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？
(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？

Ⅱ 拓展训练题
15．已知函数f(x)＝
(1)求a
n
；
22
(2)设 b
n
＝a
2
是否存在最小正整数m，使对任意n∈N
*
有b
n
＜
n?1
＋a
n?2
＋…＋a
2n?1
，
1
x
2
?4
(x＜－2)，数列{a
n
}满足a
1
＝1，a
n
＝f(－
1
a
n
?1
)(n∈N
*
).
m
成立？若存在，求出m
25
的值，若不存在，请说明理由.



16．已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为 点Q，记作Q＝f(P).
设P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
＝f(P
1
)，P
3
＝f(P
2
)，…，P
n
＝f(P
n
－
1
)，….如果存在一个圆，使 所有的点P
n
(x
n
，y
n
)(n∈N
*
)
都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P
n
(x
n
，y
n
)的一个收敛圆.特别地，当P
1
＝f(P
1
)时，则称点P1
为映射
f下的不动点.
若点P(x，y)在映射f下的象为点Q(－x＋1，
1
y).
2
(1)求映射f下不动点的坐标；
(2)若P
1
的坐标为(2， 2)，求证：点P
n
(x
n
，y
n
)(n∈N
*< br>)存在一个半径为2的收敛圆.



10

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第三章 不等式
测试九 不等式的概念与性质
Ⅰ 学习目标
1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.
2．理解不等式的基本性质及其证明.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．设a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
(A)a＞b
?
a－c＞b－c (B)a＞b
?
ac＞bc
(C)a＞b
?
a
2
＞b
2
(D)a＞b
?
ac
2
＞bc
2

2．若－1＜< br>?
＜
?
＜1，则
?
－
???
的取值范围是( )
(A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0)
3．设a＞2，b＞2，则ab与a＋b的大小关系是( )
(A)ab＞a＋b (B)ab＜a＋b (C)ab＝a＋b (D)不能确定
11
4．使不等式a＞b和
?
同时成立的条件是( )
ab
(A)a＞b＞0 (B)a＞0＞b (C)b＞a＞0 (D)b＞0＞a
5．设1＜x＜10，则下列不等关系正确的是( )
(A)lg
2
x＞lgx
2
＞lg(lgx) (B)lg
2
x＞lg(lgx)＞lgx
2

(C)lgx
2
＞lg
2
x＞1g(lgx) (D)lgx
2
＞lg(lgx)＞lg
2
x
二、填空题
6．已知a＜b＜0，c＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号：
(1)(a－2)c________(b－2)c； (2)
cc
________； (3)b－a________|a|－|b|.
ab
a
的取值范围是________.
b
7．已知a＜0，－1 ＜b＜0，那么a、ab、ab
2
按从小到大排列为________.
8．已知6 0＜a＜84，28＜b＜33，则a－b的取值范围是________；
9．已知a，b，c∈R， 给出四个论断：①a＞b；②ac
2
＞bc
2
；③
ab
?< br>；④a－c＞b－c.以其中一个论断作条件，
cc
另一个论断作结论，写出你认为正确 的两个命题是________
?
________；________
?
_ _______.(在“
?
”的
两侧填上论断序号).
a?
32
10．设a＞0，0＜b＜1，则P＝
b
三、解答题
11．若a＞b＞0，m＞0，判断

与
Q?b
(a?1)(a?2)
的大小关系是________.
bb?m
与的大小关系并加以证明.
aa?m
a
2
b2
12．设a＞0，b＞0，且a≠b，
p??
a
,q?a?b
.证明：p＞q.
b
注：解题时可参考公式x
3
＋y
3
＝ (x＋y)(x
2
－xy＋y
2
).

Ⅲ 拓展训练题
13．已知a＞0，且a≠1，设M＝log
a
(a
3
－a＋1)， N＝log
a
(a
2
－a＋1).求证：M＞N.

< br>14．在等比数列{a
n
}和等差数列{b
n
}中,a
1＝b
1
＞0，a
3
＝b
3
＞0，a
1
≠a
3
，试比较a
5
和b
5
的大小.

11

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测试十 均值不等式
Ⅰ 学习目标
1．了解基本不等式的证明过程.
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知正数a，b满足a＋b＝1，则ab( )
(A)有最小值
1
4
(B)有最小值
1
2
(C)有最大值
1
4
(D)有最大值
1
2

2．若a＞0，b＞0，且a≠b，则( )
a?b
2
(A)
?
a?b
2
(B)
ab?
a?b
2
ab?
2

?
a
2
?b
2
2
2
(C)
ab?
a
2
?b
2
a?
(D)
a
2
?b
2
a?
2
?
b
2

2
?ab?
b
2

3．若矩形的面积为a
2
(a＞0)，则其周长的最小值为( )
(A)a (B)2a (C)3a (D)4a
4．设a，b∈R，且2a＋b－2＝0， 则4
a
＋2
b
的最小值是( )
(A)
22
(B)4 (C)
42
(D)8
5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
(A)ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
(B)ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
(C)ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
(D)ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
二、填空题
6． 若x＞0，则变量
x?
9
x
的最小值是________；取到最小值时，x ＝________.
7．函数y＝
4x
x
2
?1
(x＞ 0)的最大值是________；取到最大值时，x＝________.
8．已知a＜0，则
a?
16
a?3
的最大值是________.
9．函数f(x)＝2log
2
(x＋2)－log
2
x的最小值是 ________.
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝3，且a，b，c成等比数列，则b的 取值范围是________.
三、解答题
11．四个互不相等的正数a，b，c，d成等 比数列，判断
a?d
2
和
bc
的大小关系并加以证明.
1 2．已知a＞0，a≠1，t＞0，试比较
1
2
log
log
t?1
a
t与
a
2
的大小.

Ⅲ 拓展训练题
13．若正数x，y满足x＋y＝1，且不等式
x?y?a
恒成立，求a的取值范围.
14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f(x)＝x＋
a
x
(a＞0)在 (0，＋∞)上的单调性；
(2)设函数f(x)＝x＋
a
x
(a＞0)在 (0，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的解析式.

12

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测试十一 一元二次不等式及其解法
Ⅰ 学习目标
1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
2．会解简单的一元二次不等式.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．不等式5x＋4＞－x
2
的解集是( )
(A){x|x＞－1，或x＜－4
}

(C){x|x＞4，或x＜1
}

2．不等式－x
2
＋x－2＞0的解集是( )
(A){x|x＞1，或x＜－2
}

(C)R
3．不等式x
2
＞a
2
(a＜0)的解集为( )
(A){x|x＞±a}

(D)
?

(B){x|－a＜x＜a
}

(D){x|x＞a，或x＜－a}
(B){x|－2＜x＜1}
(B){x|－4＜x＜－1
}

(D){x|1＜x＜4
}

(C){x|x＞－a，或x＜a
}

1
4．已知不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解集为
{x|??x?2}
，则不等式cx
2
＋bx＋a＜0的解集是( )
3
1
}

2
1
(C){x－2＜x＜
}

3
(A){x|－3＜x＜

1
}

2
1
(D){x|x＜－2，或x＞
}

3
(B) {x|x＜－3，或x＞
5．若函数y＝px
2
－px－1(p∈R)的图象永远在x 轴的下方，则p的取值范围是( )
(A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0)
二、填空题
6．不等式x
2
＋x－12＜0的解集是________.
3x?1
7．不等式
?0
的解集是________.
2x?5
8．不等式|x
2
－1|＜1的解集是________.
9．不等式0＜x
2
－3x＜4的解集是________.
10．已知关 于x的不等式x
2
－(a＋
11
)x＋1＜0的解集为非空集合｛x|a＜x ＜}，则实数a的取值范围是________.
aa
三、解答题
11．求不等式x
2
－2ax－3a
2
＜0(a∈R)的解集. < br>?
x
2
?y
2
?2x?0
12．k在什么范围内取值 时，方程组
?
有两组不同的实数解？
3x?4y?k?0
?
Ⅲ 拓展训练题
13．已知全集U＝R，集合A＝{x|x
2
－x－6＜0}，B＝{x |x
2
＋2x－8＞0}，C＝{x|x
2
－4ax＋3a
2
＜0}.
(1)求实数a的取值范围，使C
?
(A∩B)；
(2)求实数a的取值范围，使C
?
(
U
A)∩(
U
B).

14．设a∈R，解关于x的不等式ax
2
－2x＋1＜0.

13

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测试十二 不等式的实际应用
Ⅰ 学习目标
会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．函数
y?
1
4?x
2
的定义域是( )
(B){x|－2≤x≤2
}

(D){x|x≥2，或x≤－2
}

(A){x|－2＜x＜2
}

(C){x|x＞2，或x＜－2
}

2．某村办服装厂生产某种风衣，月销 售量x(件)与售价p(元件)的关系为p＝300－2x，生产x件的成本r＝500＋
30x(元) ，为使月获利不少于8600元，则月产量x满足( )
(A)55≤x≤60 (B)60≤x≤65
(C)65≤x≤70 (D)70≤x≤75
3．国家为了加强 对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产
销100 万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r元，则每年产销量减少10r万瓶，要使每年在此项经营
中所收附加税不少于112万元，那么r的取值范围为( )
(A)2≤r≤10 (B)8≤r≤10
(C)2≤r≤8 (D)0≤r≤8
4．若关于x的不等式(1＋ k
2
)x≤k
4
＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
(A)2∈M，0∈M (B)2
?
M，0
?
M
(C)2∈M，0
?
M (D)2
?
M，0∈M
二、填空题
5．已知矩形的周长为36cm，则其面积的最大值为________. 6．不等式2x
2
＋ax＋2＞0的解集是R，则实数a的取值范围是________.
7．已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(x)＜3的解集为________.
8．若不等式|x＋1|≥kx对任意x∈R均成立，则k的取值范围是________.
三、解答题
9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.

10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这 段距离为“刹车距离”.
刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40kmh的弯道上，甲乙 两车相向而行，发现情况不对
同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m，乙 车的刹车距离略超过10m.已知甲
乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(kmh)之间分别有如 下关系：s
甲
＝0.1x＋0.01x
2
，s
乙
＝0.05 x＋0.005x
2
．问
交通事故的主要责任方是谁？

Ⅲ 拓展训练题
11．当x∈[－1，3]时，不等式－x
2
＋2x＋a＞0恒成立，求 实数a的取值范围.



12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形 )的左右两边留有宽为4cm的空白，上下留有都为6cm的空白，中间
排版面积为2400cm
2
.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？



14

【复习资料、知识分享】

测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
Ⅰ 学习目标
1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知点A(2，0)，B(－1，3)及直线l：x－2y＝0，那么( )
(A)A，B都在l上方 (B)A，B都在l下方
(C)A在l上方，B在l下方 (D)A在l下方，B在l上方
?
x?0,
?
2．在平面直角坐标系中，不 等式组
?
y?0,
所表示的平面区域的面积为( )
?
x?y?2
?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3．三条直线y＝x，y＝－x，y＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )
?
y?x,
?
(A)
?
y??x,

?< br>y?2.
?
?
y?x,
?
(B)
?
y??x ,

?
y?2.
?
?
y?x,
?
(C)< br>?
y??x,

?
y?2.
?
?
y?x,< br>?
(D)
?
y??x,

?
y?2.
??
x?y?5?0,
?
4．若x，y满足约束条件
?
x?y?0 ,
则z＝2x＋4y的最小值是( )
?
x?3,
?
(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)10
5．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要 ，软
件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
(A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，不等式组?
?
x?0
所表示的平面区域内的点位于第________象限.
y ?0
?
7．若不等式|2x＋y＋m|＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m的 取值范围是________.
?
x?1,
?
8．已知点P(x，y)的坐 标满足条件
?
y?3,
那么z＝x－y的取值范围是________.
?
3x?y?3?0,
?
?
x?1,
y
?
9．已知点 P(x，y)的坐标满足条件
?
y?2,
那么的取值范围是________. x
?
2x?y?2?0,
?
10．方程|x|＋|y|≤1所确定的曲线 围成封闭图形的面积是________.
三、解答题
11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：
?
x?1,
?
(1)3x＋2y＋6＞0 (2)
?
y??2,

?
x?y?1?0.
?

15

【复习资料、知识分享】



12．某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg，价 格为140元；另一
种是每袋24kg，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？



Ⅲ 拓展训练题
13．商店现有75公斤奶糖和120公 斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每
袋装250克奶糖和750克 硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9
元.问每一 种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？

14．甲、乙两个粮库要向A，B两镇 运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A镇需大米70吨，
B镇需大米110吨， 两个粮库到两镇的路程和运费如下表：

路程(千米) 运费(元吨·千米)

甲库 乙库 甲库 乙库
A镇 20 15 12 12
B镇 25 20 10 8
问：(1)这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？
(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？


测试十四 不等式全章综合练习
Ⅰ基础训练题
一、选择题
1．设a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式中一定正确的是( )
11
(A)ac
2
＞bc
2
(B)
?
(C)a－c＞b－c (D)|a|＞|b|
ab
?
x?y?4?0,
?
2．在平面直角坐标系中，不等式组
?
2x?y?4?0,
表示的平面区域的 面积是( )
?
y?2
?
3
(A) (B)3 (C)4 (D)6
2
3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为 10m，则这个矩形的面积最大值
是( )
(A)50m
2
(B)100m
2
(C)200m
2
(D)250m
2

x
2
?x?2
4．设函数f(x)＝，若对x＞0恒有xf(x)＋a＞0成 立，则实数a的取值范围是( )
2
x
(A)a＜1－2
2
(B)a＜2
2
－1 (C)a＞2
2
－1 (D)a＞1－2
2

(D)|a|＞1
5．设a，b∈R，且b(a＋b＋1)＜0，b(a＋b－1)＜0，则( )
(A)a＞1 (B)a＜－1 (C)－1＜a＜1
二、填空题
6．已知1＜a ＜3，2＜b＜4，那么2a－b的取值范围是________，
a
的取值范围是_____ ___.
b
16

【复习资料、知识分享】

7．若不等式x
2
－ax－b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a＋b＝____ ____.
＋
8．已知x，y∈R，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________.
9．若函数f(x)＝
2
x
2
?2ax??a
?1
的定义域为R，则a的取值范围为________.
10．三个同学对问题“关于x的不等式x2
＋25＋|x
3
－5x
2
|≥ax在[1，12]上恒成立， 求实数a的取值范围”提出各
自的解题思路.
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象.”
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是________.
三、解答题
x?8
11．已知全集U＝R，集合A＝{x| |x－1|＜6
}
，B＝{x|＞0}.
2x?1
(1)求A∩B；
(2)求(
U
A)∪B.



12．某工厂用 两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；
若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过 6000
元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日 产量最大？



Ⅱ 拓展训练题
13．已知数集A＝{a< br>1
，a
2
，…，a
n
}(1≤a
1
＜a2
＜…＜a
n
，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a< br>i
a
j
与
数中至少有一个属于A.
(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
(2)证明：a
1
＝1，且



a
j< br>a
i
两
a
1
?a
2
???a
n?1
???a
?1
?a
n
.
a
1
?1
?a
2n
17

【复习资料、知识分享】

测试十五 必修5模块自我检测题

一、选择题
1．函数
y?x
2
?4
的定义域是( )
(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞)
(C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )
a
(A)a－b＜0 (B)0＜＜1
b
(C)
ab
＜
a?b

2
(D)ab＞a＋b
?
x?1,
?
3．设不等式组
?
y? 0,
所表示的平面区域是W，则下列各点中，在区域W内的点是( )
?
x?y?0
?
1111
(A)
(,)
(B)
(?,)

2323
1111
(C)
(?,?)
(D)
(,?)

2323
4．设等比数列{a
n
}的前n 项和为S
n
，则下列不等式中一定成立的是( )
(A)a
1
＋a
3
＞0 (B)a
1
a
3
＞0 (C)S
1
＋S
3
＜0 (D)S
1
S
3
＜0
5．在△ABC中，三个内角A，B，C的对 边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于( )
(A)1∶
3
∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶
3
∶1 (D)3∶2∶1
6．已知等差数列{a
n
}的前20项和S
20
＝340，则a
6
＋a
9
＋a
11
＋a
16
等于( )
(A)31 (B)34 (C)68 (D)70
7．已知正数x、 y满足x＋y＝4，则log
2
x＋log
2
y的最大值是( )
(A)－4 (B)4 (C)－2 (D)2
8．如图，在限速为90kmh的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为0.08 km，距测速区
终点B的距离为0.05 km，且∠APB＝60°.现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速
度介于( )

(A)60～70kmh (B)70～80kmh
(C)80～90kmh (D)90～100kmh
二、填空题
9．不等式x(x－1)＜2的解集为________.
10．在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则cos(A＋C)的值为________.
11．已知{a
n
}是公差为－2的等差数列，其前5项的和S
5
＝ 0，那么a
1
等于________.
12．在△ABC中，BC＝1，角C＝12 0°，cosA＝
2
，则AB＝________.
3
?
x?0, y?0
?
13．在平面直角坐标系中，不等式组
?
2x?y?4?0
，所表示的平面区域的面积是________；变量z＝x＋3y的最大
?
x?y?3?0< br>?
18

【复习资料、知识分享】

值是________.
14．如图，n
2
(n≥4)个正数排成n行n列 方阵，符号a
ij
(1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N)表示位于第i行第j列的正数.< br>已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q.若a
11
＝
则q＝________；a
ij
＝________.
11
，a
24
＝1，a
32
＝，
24

三、解答题
15．已知函数f(x)＝x
2
＋ax＋6.
(1)当a＝5时，解不等式f(x)＜0；
(2)若不等式f(x)＞0的解集为R，求实数a的取值范围.

16．已知{a
n
}是等差数列，a
2
＝5，a
5
＝14.
(1)求{a
n
}的通项公式；
(2)设{a
n
}的前n项和S
n
＝155，求n的值.

17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B是锐角，c＝10，且
( 1)证明角C＝90°；
(2)求△ABC的面积.

18．某厂生产甲、乙两种 产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配
给该厂的煤至多5 6吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？
用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元)
甲种产品 7 2 8
乙种产品 3 5 11

1
19．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosA＝.
3
B?C
(1)求
sin
2
?cos2A
的值；
2
(2)若a＝
3
，求bc的最大值.

20．数列{a
n
}的前n项和是S
n
，a
1
＝5，且a
n
＝S
n
－
1
(n＝2，3，4，…).
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)求证：

11113
???????

a
1
a
2
a
3
a
n
5
cosAb4
??
.
cosBa3
19

【复习资料、知识分享】

20

【复习资料、知识分享】

参考答案
第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．D 5．B
提示：
4．由正弦定理，得sinC＝
3
2
，所以C＝60°或C＝120°，
当C＝60°时，∵B＝30°，∴A＝90°，△ABC是直角三角形；
当C＝120°时，∵B＝30°，∴A＝30°，△ABC是等腰三角形.
5．因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，
由正弦定理
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC< br>＝k，
得a＝k·sin30°＝
1
3
2
k，b＝k·si n60°＝
2
k，c＝k·sin90°＝k，
所以a∶b∶c＝1∶
3
∶2.
二、填空题
6．
26
3
7．30° 8．等腰三角形 9．
3?37
52
2
10．
4

提示：
8．∵A＋B＋C＝π，∴－cosA＝cos(B＋C).∴2cosBcosC＝1－cosA＝c os(B＋C)＋1，
∴2cosBcosC＝cosBcosC－sinBsinC＋1，∴cos( B－C)＝1，∴B－C＝0，即B＝C.
9．利用余弦定理b
2
＝a
2＋c
2
－2accosB.
10．由tanA＝2，得
sinA?2
ACBC
5
，根据正弦定理，得
sinB
?
sinA
，得AC＝
52
4
.
三、解答题
11．c＝2
3
，A＝30°，B＝90°.
12．(1)60°；(2)AD＝
7
.
13．如右图，由两点间距离公式，

得OA＝
(5?0)
2
?(2?0)
2
?29
，
同理得
OB?145,AB?232
.由余弦定理，得
cosA＝
OA
2
?AB
2
?OB
2
2?OA?AB
?
2
2
，
∴A＝45°.

21

【复习资料、知识分享】

14．(1)因为2cos(A＋B)＝1，所以A＋B＝60°，故C＝120°.
(2)由题意，得a＋b＝2
3
，ab＝2，
又AB
2
＝ c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC＝(a＋b)
2
－2ab－2abcosC
＝12－4－4×(
?
1
2
)＝10.
所以AB＝
10
.
(3)S
△
ABC
＝
1
2
absinC＝
1
2
·2·
33
2
＝
2
.
测试二 解三角形全章综合练习
1．B 2．C 3．D 4．C 5．B
提示：
5．化简(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3 bc，得b
2
＋c
2
－a
2
＝bc，
由余弦定理 ，得cosA＝
b
2
?c
2
?a
2
2bc
?
1
2
，所以∠A＝60°.
因为sinA＝2sinBcosC，A＋B＋C＝180°，
所以sin(B＋C)＝2sinBcosC，
即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.
所以sin(B－C)＝0，故B＝C.
故△ABC是正三角形.
二、填空题
6．30° 7．120° 8．
24
5
9．
5
5
10．
3

三、解答题
11．(1)由余弦定理，得c＝
13
；
(2)由正弦定理，得sinB＝
239
13
.
12．(1)由a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉，得〈a，b〉＝60°；
(2)由向量减法几何意义，
知|a|，|b|，|a－b|可以组成三角形，
所 以|a－b|
2
＝|a|
2
＋|b|
2
－2|a|·|b| ·cos〈a，b〉＝7，
故|a－b|＝
7
.
13．(1)如右图，由两点间距离公式，

得
OA?(5?0)
2
?(2?0)
2
?29
，
同理得
OB?145,AB?232
.
由余弦定理，得

22

【复习资料、知识分享】

cosA?< br>OA
2
?AB
2
?OB
2
2?OA?AB
?
2
2
,

所以A＝45°.
故BD＝AB×sinA＝2
29
.
(2)S
1
△
OAB
＝
2
·OA·BD＝
1
2
·
29
·2
29
＝29.
14．由正弦定理
a
sinA
?
bc
sinB
?
sinC
?2R
，
得
a
2R
?sinA,
bc
2R
?sinB,
2R
?sinC
.
因为sin
2
A＋sin
2
B＞sin
2
C， < br>所以
(
a
)
2
?(
b
)
2
?(
c
)
2
2R2R2R
，
即a
2
＋b
2
＞c
2
.
a
2< br>?b
2
所以cosC＝
?c
2
2ab
＞0，
由C∈(0，π)，得角C为锐角.
15．(1)设t小时后甲、乙分别到达P、Q点，如图，

则|AP|＝4t，| BQ|＝4t，因为|OA|＝3，所以t＝
?
4
h时，P与O重合.
故当t∈[0，
?
4
]时，
|PQ|
2
＝(3－ 4t)
2
＋(1＋4t)
2
－2×(3－4t)×(1＋4t)×cos60 °；
当t＞
?
4
h时，|PQ|
2
＝(4t－3)
2
＋(1＋4t)
2
－2×(4t－3)×(1＋4t)×cos120°.
故得|PQ|＝
48t
2
?24t?7
(t≥0).
(2)当t ＝
?
?24
2?48
?
1
4
h
时，两人距 离最近，最近距离为2km.
16．(1)由正弦定理
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
所以等式
cosBb cosB2R
cosC
??
2a?c
可化为
cosC
??< br>sinB
2?2RsinA?2RsinC
，
即
cosBsinB
cosC
??
2sinA?sinC
，
2sinAcosB＋sinCcosB＝－cosC·sinB，
故2sinAcosB＝－cosCsinB－sinCcosB＝－sin(B＋C)，
因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)，
故cosB＝－
1
2
，
所以B＝120°.
(2)由余 弦定理，得b
2
＝13＝a
2
＋c
2
－2ac×cos12 0°，

23

【复习资料、知识分享】

即a
2
＋c
2
＋ac＝13
又a＋c＝4，
解 得
?
?
a?1
?
a?3
，或
?
.
c?3
c?1
?
?
所以S
△
ABC
＝
1 1
3
33
acsinB＝×1×3×＝.
24
22
第二章 数列
测试三 数列
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．C 5．B
二、填空题
6．(1)
a
2
1?(?1)
n
n
?
n?1
(或其他符合要求的答案) (2)
a
n
?
2
(或其他符合要求的答案)
7．(1)< br>1
2
,
4
5
,
9
10
,
1 6
17
,
25
26
(2)7 8．67 9．
1
15
10．4
提示：
9．注意a
n
的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.
10．将数列{an
}的通项a
n
看成函数f(n)＝2n
2
－15n＋3，利用 二次函数图象可得答案.
三、解答题
11．(1)数列{a
n
}的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；
(2)证明：∵n≥5，∴－3n＜－15，∴14－3n＜－1，
故当n≥5时，a
n
＝14－3n＜0.
12．(1)
a
109n
2
?3n?1n
4
?n
2
10
?
3
,a
3
,a
?1
n?1
?
n
2
?
3
；
(2)79
2
3
是该数列的第15项.
13．(1)因为a＝n－
1
8
n
，所以a，a
315
n1
＝0
2
＝
2
，a
3
＝
3
，a4
＝
4
；
(2)因为a
n
＋
1
－a
n
＝[(n＋1)
?
1
n?1
]－(n－
1
n
)＝1＋
1
n(n?1)

又因为n∈N
＋
， 所以a
n
＋
1
－a
n
＞0，即a
n
＋1
＞a
n
.
所以数列{a
n
}是递增数列.
测试四 等差数列
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．B 5．B
二、填空题
6．a
4
7．13 8．6 9．6n－1 10．35
提示：
10．方法一：求出前10项，再求和即可；
方法二：当n为奇数时，由题意，得a
n
＋
2
－a
n
＝0，所以a
1
＝a
3＝a
5
＝…＝a
2m
－
1
＝1(m∈N
*).
当n为偶数时，由题意，得a
n
＋
2
－a
n
＝2，
即a
4
－a
2
＝a
6
－a
4< br>＝…＝a
2m
＋
2
－a
2m
＝2(m∈N
*
).

24

【复习资料、知识分享】

所以数列{a
2m
}是等差数列.
故S
10
＝ 5a
1
＋5a
2
＋
5?(5?1)
2
×2＝35.
三、解答题
11．设等差数列{a
n
}的公差是d，依题意得
?
?
a
1
?2d?7,
?
解得
?
a?3,< br>?
?
4a
4?3
?
1
1
?
2
d?24.
?
d?2.

∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2n＋1.
12．(1)设等差数列{a
n
}的公差是d，依题意得
?
?a
1
?9d?30,
?
a
1
?19d?50.
解得
?
?
a
1
?12,
?
d?2.
∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝a
1
＋(n－1) d＝2n＋10.
(2)数列{a
n
}的前n项和S
n
＝n×12 ＋
n?(n?1)
×2＝n
2
2
＋11n，
∴S
n
＝n
2
＋11n＝242，解得n＝11，或n＝－22(舍).
13． (1)通项a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝50＋(n－1)×(－0.6)＝ －0.6n＋50.6.
解不等式－0.6n＋50.6＜0，得n＞84.3.
因为n∈N
*
，所以从第85项开始a
n
＜0.
(2)S
n
＝na
1
＋
n(n?1)
2
d＝50n＋
n(n?1)
2
×(－0.6)＝－0.3n
2
＋50.3n.
由(1)知：数列{a
n
}的前84项为正值，从第85项起为负值，
所以 (S
n
)
max
＝S
84
＝－0.3×84
2＋50.3×84＝2108.4.
14．∵3a
n
＋
1
＝3 a
n
＋2，∴a
n
＋
1
－a
n
＝
2
3
，
由等差数列定义知：数列{a
2
n
}是公差为3
的等差数列.
记a
1
＋a
3
＋a
5
＋…＋a
99
＝A，a
2
＋a
4
＋a
6
＋…＋a
100
＝B，
则B＝(a
1
＋d)＋(a
3＋d)＋(a
5
＋d)＋…＋(a
99
＋d)＝A＋50d＝90＋100
3
.
所以S
100
＝A＋B＝90＋90＋
1 00
3
＝213
1
3
.
测试五 等比数列
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．B 5．D
提示：
5．当a
1
＝0时，数列{a
n
}是等差数列；当 a
1
≠0时，数列{a
n
}是等比数列；
当a
1
＞ 0时，数列{a
n
}是递增数列；当a
1
＜0时，数列{a
n
}是递减数列.
二、填空题
6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2
提示：
10．分q＝1与q≠1讨论.
当q＝1 时，S
n
＝na
1
，又∵2S
n
＝S
n
＋
1
＋S
n
＋
2
，
∴2na
1
＝(n＋1)a
1
＋(n＋2)a
1
，
∴a
1
＝0(舍).

25

【复习资料、知识分享】

当q≠1，S
n
＝a
1
(1?q
n
)
1?q
.又∵2S
n
＝S
n
＋
1
＋S
n
＋
2
，
∴ 2×
a
1
(1?q
n
)a
1
(1?q
n? 1
)a
1
(1?q
n?2
1?q
＝
1?q
?
)
1?q
，
解得q＝－2，或q＝1(舍).
三、解答题
11．(1)a
n
＝2×3
n
－
1
； (2)n＝5.
12．q＝±2或±
1
2
.
?
a?c? 2b,
?
a?2
?
a?
13．由题意，得
?
?(a?1)(c?4)?(b?1)
2
，解得
?
?
b?5
，或
?
11
?
b?5
.
?
?
a?b? c?15.
?
?
c?8
?
?
c??1
5
1 4．(1)设第4列公差为d，则
d?
a
?
1
54
?a5?2
24
?
168
3
?
1
16
.
故a
44
＝a
54
－d＝
5
16
?
11a
1
16
?
4
，于是q
2
＝
a44
?
4
.
42
由于a
ij
＞0，所以q＞0，故q＝
1
2
.
(2)在第4列中，a
i4
＝a
24
＋(i－2)d＝
11 1
8
?
16
(i?2)?
16
i
.
由于第i行成等比数列，且公比q＝
1
2
，
所以，a
ij
＝a
i4
·q
j
－
4
＝
1
i?(
1
)
j?4
?i?(
1
)
j
1622.
测试六 数列求和
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．C
提示：
1．因为a
5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
＝(a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)q
4
＝1×2
4
＝16，
所以 S
8
＝(a
1
＋a
2
＋a
3
＋a
4
)＋(a
5
＋a
6
＋a
7
＋a
8
)＝1＋16＝17.
2．参考测试四第14题答案.
3．由通项公式，得a
1
＋a
2
＝a
3
＋a
4
＝a
5
＋a
6
＝…＝－2，所以S
100
＝50×(－2)＝－100.
4．
1
1?3
?
1
3?5
???
1
(2n?1 )(2n?1)
?
1
2
(1?
1
3
)?
1
2
(
1
3
?
1
5
)???
12
(
1
2n?1
?
1
2n?1
)
< br>?
1
2
[(1?
1
3
)?(
1111n3
?
5
)???(
2n?1
?
2n?1
)]?
2n?1
.
5．由题设，得a
n
＋
2
－a
n
＝3，所以数列{a
2n
－
1
}、{a
2n
} 为等差数列，
前100项中奇数项、偶数项各有50项，
其中奇数项和为50×1＋
50?49
2
×3＝3725，偶数项和为50×2＋
50?49
2
×3＝3775，
所以S
100
＝7500.
二、填空题
6．
n?1?1
7．
n(n?1)
1
2
?
1
2
n
?1
8．
3
(4
n
－1)

26

【复习资料、知识分享】

?
?
(a?0)
9．
?
1,
?
n?1,(a?1)
10．
2?< br>1
?
2
n?1
?
n
2
n

?
1?a
n?1
?
1?a
,(a?
?
0,且a?< br>?
1)
提示：
6．利用
1
n?1?n
?n?1?n
化简后再求和.
8． 由a
a
a
2
n
＋
1
＝2a
n
，得
a
n?1
n
?2
，∴
a
n?1
n
2
＝4，
故数列{a
2
n
}是等比数列，再利用等比数列求和公式求和.
10．错位相减法.
三、解答题
11．由题意，得a
n
＋
1
－a
n
＝2，所以数列{a
n
}是等差数列，是递增数列.
∴a
n
＝－11＋2(n－1)＝2n－13，
由a
n
＝2n－13＞0，得n＞
13
2
.
所以，当n≥7时，a
n
＞0；当n≤6时，a
n
＜0.
当n≤6时，S
n
＝|a
1
|＋|a
2
|＋…＋|a
n
|＝－a
1
－a
2
－…－a
n

＝－ [n×(－11)＋
n(n?1)
2
×2]＝12n－n
2
； 当n≥7时，S
n
＝|a
1
|＋|a
2
|＋…＋|a< br>n
|＝－a
1
－a
2
－…－a
6
＋a
7
＋a
8
＋…＋a
n

＝(a
1
＋a< br>2
＋…＋a
n
)－2(a
1
＋a
2
＋…＋a
6
)
＝n×(－11)＋
n(n?1)
2
×2－2[6× (－11)＋
6?5
2
×2]＝n
2
－12n＋72.
?
12n?n
2
S
,(n?6)
n
＝
?
?7 )
(n∈N
*
).
?
n
2
?12n?72,(n
12．(1)∵f(1)＝n
2
，∴a
1
＋a
2
＋ a
3
＋…＋a
n
＝n
2
. ①
所以当n＝1时，a
1
＝1；
当n≥2时，a
1
＋a2
＋a
3
＋…＋a
n
－
1
＝(n－1)
2
②
①－②得，a
n
＝n
2
－(n－1)2
＝2n－1.(n≥2)
因为n＝1时，a
1
＝1符合上式.
所以a
n
＝2n－1(n∈N
*
).
(2)
1< br>aa
?
1
???
1
?
111
3
?< br>3?5
???

12
a
2
a
3
a< br>n
a
n?1
1?(2n?1)(2n?1)
?
1111111
2
(1?
3
)?
2
(
3
?
5)???
2
(
2n?1
?
1
2n?1
)

?
1
2
[(1?
1
3
)?(
1
3
?
111
5
)???(
2n?1
?
2n?1< br>)]

?
1
2
(1?
1n
2n?1
)?
2n?1
.
1
1?(1?
1
13．因为
a< br>n
?1??
1
?
1
2
n
)
24??
2
n?1
??2?
1
1?
1
2
n ?1
(n?2)
.
2

27

【复习资料、知识分享】

111
所以
S
n
?a
1
?a
2
???a
n
?1?(2?)?(2 ?
2
)???(2?
n?1
)

2
22
1 11
?1?2(n?1)?(?
2
???
n?1
)

2
22
11
(1?
n?1
)
1
2
?2n ?1?
2
?2n?2?
n?1
.
1
2
1?
2
14．(1)a
n
＝2n；
(2)因为b
n
＝2nx
n
，
所以数列{b
n< br>}的前n项和S
n
＝2x＋4x
2
＋…＋2nx
n
.
当x＝0时，S
n
＝0；
n(2?2n)
当x＝1时，S
n
＝2＋4＋…＋2n＝＝n(n＋1)；
2
当x≠0且x≠1时，S
n
＝2x＋4x
2
＋…＋2nx
n
，
xS
n
＝2x
2
＋4x
3
＋…＋2nx
n
＋
1
；
两式相减得(1－x)S
n
＝2x＋2x
2
＋…＋2x
n
－2nx
n
＋
1< br>，
x(1?x
n
)
所以(1－x)S
n
＝2－2n x
n
＋
1
，
1?x
2x(1?x
n
)2 nx
n?1
?
即
S
n
?
.
2
1 ?x
(1?x)
(x?1)
?
n(n?1),
?
综上，数列 {b
n
}的前n项和
S
n
?
?
2x(1?x
n
)2nx
n?1

?,(x?1)
?
?
(1? x)
2
1?x
?
测试七 数列综合问题
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．B
提示：
5． 列出数列{a
n
}前几项，知数列{a
n
}为：0，－
3
，
3
，0，－
3
，
3
，0….不难发现循环规律，即a
1
＝a
4
＝a
7
＝…＝a
3m
－
2＝0；
a
2
＝a
5
＝a
8
＝…＝a
3m
－
1
＝－
3
；
a
3
＝a
6
＝a
9
＝…＝a
3m
＝
3
.
所以a
20
＝a
2
＝－
3
.
二、填空题
1
33
11
6．
;
7．85 8．512 9．n
2
－n＋2 10．2[1－()
n
]
24
3
22
三、解答题
333
11．(1)
a< br>1
?,a
2
??,a
3
?
.
41664< br>3
(2)当n＝1时，由题意得a
1
＝5S
1
－3，所以a< br>1
＝；
4
当n≥2时，因为a
n
＝5S
n
－3，
28

【复习资料、知识分享】

所以a
n
－
1
＝5S
n
－
1
－3；
两式相减得a
n
－a
n
－
1
＝5(S
n
－S
n
－
1
)＝5a
n
，
即4a
n
＝－a
n
－
1
.
由a
1
＝
3
≠0，得a
n
≠0.
4a
1
所以
a
n
??
(n≥2，n∈N
*
).
n?1
4
31
由等比数列定义知数列{a
n
}是首 项a
1
＝，公比q＝－的等比数列.
44
31
所以
an
??(?)
n?1
.

44
31
(1?n
)
16
?
4
(1?
1
)
. (3) a
1
＋a
3
＋…＋a
2n
－
1
＝
4
n
1
5
16
1?
16
2
12．由a2
n?1
·f(a
n
)＝2，得
a
n?1
?< br>2
?2
，
2
a
n
?4
2
*
化简得a
2
n?1
－a
n
＝4(n∈N).
2
由等差数列定义知数列{a
2
n
}是首项a
1
＝1，公差d＝4的等 差数列.
所以a
2
n
＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
由f(x)的定义域x＞0且f(a
n
)有意义，得a
n
＞0.
所以a
n
＝
4n?3
.
1
?
S?12a ??12?11d?0
121
?
?
2a?11d?0
?
2< br>?
?
1
13．(1)
?
，
1a?6d?0
?
S?13a??13?12d?0
?
1
131
?
2
?
又a
3
＝a
1
＋2d＝12
?
a
1< br>＝12－2d，
∴
?
24
?
24?7d?0
，故< br>?
＜d＜－3.
3?d?0
7
?
(2)由(1)知：d＜0 ，所以a
1
＞a
2
＞a
3
＞…＞a
13
.
13
∵S
12
＝6(a
1
＋a
12
)＝6 (a
6
＋a
7
)＞0，S
13
＝(a
1
＋ a
13
)＝13a
7
＜0，
2
∴a
7
＜ 0，且a
6
＞0，故S
6
为最大的一个值.
n(n?1)
14．(1)设第n分钟后第1次相遇，依题意有2n＋＋5n＝70，
2
整理得n
2
＋13n－140＝0.解得n＝7，n＝－20(舍去).
∴第1次相遇是在开始运动后7分钟.
n(n?1)
(2)设第n分钟后第2次相遇，依题意有2n＋＋5n＝3×70，
2
整理得n
2
＋13n－420＝0.解得n＝15，n＝－28(舍去).
∴第2次相遇是在开始运动后15分钟.
15．(1)a
1
＝3，a
2
＝1，a
3
＝2，a
4
＝1，a
5
＝1，a< br>6
＝0，a
7
＝1，a
8
＝1，a
9
＝0， a
10
＝1.(答案不唯一)
(2)因为在绝对差数列{a
n
}中 ，a
1
＝3，a
2
＝0，所以该数列是a
1
＝3，a
2
＝0，a
3
＝3，a
4
＝3，a
5
＝0，a< br>6
＝3，a
7
＝3，a
8
＝0，….
29

【复习资料、知识分享】

即自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3，
?
a
3n?1< br>?3,
?
所以
?
a
3n?2
?3,
(n＝0 ，1，2，3，…).
?
a
?
3n?3
?0,
(3)证明 ：根据定义，数列{a
n
}必在有限项后出现零项，证明如下：
假设{a
n
}中没有零项，由于a
n
＝|a
n
－
1
－a
n
－
2
|，所以对于任意的n，都有a
n
≥1，从而
当 a
n
－
1
＞a
n
－
2
时，a
n< br>＝a
n
－
1
－a
n
－
2
≤a
n
－
1
－1(n≥3)；
当a
n
－
1
＜a
n
－
2
时，a
n
＝a
n
－
2
－a
n
－
1
≤a
n
－
2
－1(n ≥3)；
即a
n
的值要么比a
n
－
1
至少小1， 要么比a
n
－
2
至少小1.
?
a
2n?1
(a
2n?1
?a
2n
),
令c
n
＝
?
(n＝1，2，3，…).
a(a?a),
2n
?
2n2n?1< br>则0＜c
n
≤c
n
－
1
－1(n＝2，3，4，…) .
由于c
1
是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项c
n
＜0，
这与c
n
＞0(n＝1，2，3，…)矛盾，从而{a
n
}必有零项 .
若第一次出现的零项为第n项，记a
n
－
1
＝A(A≠0)，则 自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，
即
?
a
n?3k< br>?0,
?
?
a
n?3k?1
?A,
(k＝0，1，2 ，3，…).
?
a
?
n?3k?2
?A,
所以绝对差数列 {a
n
}中有无穷多个为零的项.
测试八 数列全章综合练习
一、选择题
1．B 2．A 3．A 4．D 5．C
二、填空题
6．3·2
n
－
3
7．180 8．a
n
＝
?
提示：
10．由(n＋1)a
n?1
－na
n
＋a
n
＋
1
a
n
＝0，得[( n＋1)a
n
＋
1
－na
n
](a
n
＋< br>1
＋a
n
)＝0，
n?1
?
因为a
n＞0，所以(n＋1)a
n
＋
1
－na
n
＝0，即a
，
n
n?1
a
a
a
12n?11
所以
a
n
?
a
2
?
a
3
?
?
?
a
n
?
??
?
?
?
.
12n?1
23nn
三、解答题
11．S
13
＝156.
12．(1)∵点(a
n
，a
n
＋
1
＋1)在函数 f(x)＝2x＋1的图象上，
∴a
n
＋
1
＋1＝2a
n
＋1，即a
n
＋
1
＝2a
n
.
22
(n?1)
?
?1,
1
6
9． 10．a
n
＝(n∈N
*
)
7
n
?
2n ?4,(n?2)
a
n
∵a
1
＝1，∴a
n
≠0， ∴
a
n?1
＝2，
a
n
∴{a
n
}是公比q＝2的等比数列，
∴a
n
＝2
n
－
1
.
30

【复习资料、知识分享】

(2)S
1?(1?2
n
)
n
＝
1?2
?2
n
?1
.
(3)∵c
n
＝S
n
＝2
n
－1，
∴T
n
＝c
1
＋c
2
＋c
3
＋…＋c
n
＝(2－1)＋(2
2
－1)＋…＋(2
n
－1)
＝( 2＋2
2
＋…＋2
n
)－n＝
2?(1?2
n
)< br>?n
＝2
n
＋
1
1?2
－n－2.
13． 当n＝1时，由题意得S
1
＝3a
1
＋2，所以a
1
＝－1 ；
当n≥2时，因为S
n
＝3a
n
＋2，
所以S
n
－
1
＝3a
n
－
1
＋2；
两式相减 得a
n
＝3a
n
－3a
n
－
1
，
即2a
n
＝3a
n
－
1
.
由a
1
＝－1≠0，得a
n
≠0.
所以
a
a
n
?
3
n?1
2
(n≥2，n∈N
*
).
由等比数列定义知数列{a}是首项a
3
n1
＝－1，公比q＝
2
的等比数列.
所以a
n
＝－(
3
2
)
n
－
1
．
14．(1)设第n年所需费用为a
n
(单位万元)，则
a
1＝12，a
2
＝16，a
3
＝20，a
4
＝24．
(2)设捕捞n年后，总利润为y万元，则
y＝50n－[12n＋
n(n?1)< br>2
×4]－98＝－2n
2
＋40n－98．
由题意得y＞0，∴2 n
2
－40n＋98＜0，∴10－
51
＜n＜10＋
51
.
∵n∈N
*
，∴3≤n≤17，即捕捞3年后开始盈利.
(3)∵y＝ －2n
2
＋40n－98＝－2(n－10)
2
＋102，
∴当n＝10时，y
最大
＝102．
即经过10年捕捞盈利额最大，共盈利102＋8＝110(万元).
15．(1)由an
＝f(－
1
a
)，得
1
a
2
?1
2
?4
(a
n
＋
1
＞0)，
n< br>?1
n?1
a
n
∴{
1
a
2
}为等 差数列，∴
1
2
＝
1
＋(n－1)·4．
n
a< br>n
a
2
1
∵a
1
＝1，∴a
n
＝< br>1
4n?3
(n∈N
*
).
(2)由
b
2 22
11
n
?a
n?1
?a
n?2
???a
2n?1
?
4n?1
?
4n?5
???
1
8n? 1
，
得b
n
－b
n
＋
1
＝
1< br>4n?1
?
111111
8n?5
?
8n?9
?(< br>8n?2
?
8n?5
)?(
8n?2
?
8n?9)
?
3
(8n?2)(8n?5)
?
7
(8n?2)( 8n?9)

∵n∈N
*
，∴b
n
－b
n
＋
1
＞0，
∴b
n
＞b
n
＋
1
(n∈N
*
)，∴{b
n
}是递减数列.

31

【复习资料、知识分享】

22
∴b
n
的最大值为
b
1
?a
2
?a
3
?
14
.
45
m
成立，
25
若存在最小正整数m，使对任 意n∈N
*
有b
n
＜
只要使b
1
＝
70< br>14m
即可，∴m＞.
?
45259
m
∴对任意n∈N*
使b
n
＜成立的最小正整数m＝8．
25
16．(1)解： 设不动点的坐标为P
0
(x
0
，y
0
)，
?x??x?1
0
?
0
1
?
由题意，得
?
，解得
x
0
?
，y
0
＝0，
1
?y?
2
y
0
?
0
2
?
所以此映射f下 不动点为P
0
(
1
，0).
2
?
x
n? 1
??x
n
?1
?
(2)证明：由P
n
＋
1
＝f(P
n
)，得
?
，
1
y
n?1< br>?y
n
?
2
?
所以x
n
＋
1
－
111
＝－(x
n
－)，y
n
＋
1
＝ y
n
.
222
因为x
1
＝2，y
1
＝2，
所以x
n
－
1
≠0，y
n
≠0，
2
1
2
??1,
y
n?1
?
1
. 所以
y
n
1
2
x
n
?
2
x
n?1
?
由等比数列定义，得数列{x
n
－
首项为x
1< br>－
1
}(n∈N
*
)是公比为－1，
2
13
＝的等比数列，
22
1313
所以x
n< br>－＝×(－1)
n
－
1
，则x
n
＝＋(－1)
n
－
1
×.
2222
1
同理y
n
＝2 ×()
n
－
1
.
2
131
所以P
n(＋(－1)
n
－
1
×，2×()
n
－
1).
222
设A(
3
2
1
n?12
1
，1)，则|AP
n
|＝
()?[1?2?()]
.
22
2
1
n
－
1
)≤2，
2
1
所以－1≤1－2×()
n
－
1
＜1， 2
因为0＜2×(
2
所以|AP
n
|≤
()?1
＜2．
3
2
故所有的点P
n
(n∈N
*
)都在 以A(
1
，1)为圆心，2为半径的圆内，即点P
n
(x
n
，y
n
)存在一个半径为2的收敛
2
32

【复习资料、知识分享】

圆.
第三章 不等式
测试九 不等式的概念与性质
一、选择题
1．A 2．D 3．A 4．B 5．C
提示：
3．∵a＞2，b＞2，∴
a?b
ab?
1
b
?
1
a
?
1
2
?1
2
?1
．∵ab＞0，∴ab＞a＋b.故选A.
5．∵1＜x＜10，∴0＜lgx＜1，∴lg(lgx)＜0．
又lg
2
x－lgx
2
＝lgx(lgx－2)＜0，∴lg
2
x＜lgx
2
．故选C.
二、填空题
6．＞；＜；＝ 7．a＜ab
2
＜ab 8．a－b∈(27，56)，
a
20
b
∈(
11
，3)
9．①
?
④；④
?
①；②
?
①；②
?④(注：答案不唯一，结论必须是上述四个中的两个)
10．P＜Q
提示：
8．由60＜a＜84，28＜b＜33
?
－33＜－b＜－28，
111
3 3
?
b
?
28
，
则27＜a－b＜56，
20< br>11
?
a
b
?3
．
10．∵(a＋
32
)
2
－(a＋1)(a＋2)＝
13
4
＞0，且a＋
2
＞0，(a＋1)(a＋2)＞0，
∴a＋
3
2
＞(a?1)(a?2)
，又∵0＜b＜1，∴P＜Q.
三、解答题
11．略解：
bb?m
a
?
a?m
.证明如下：
∵
bb?mb(a?m)?a(b?m)m(b?a)
a
?
a?m
?
a(a?m)
?
a(a?m)
，
又a＞b＞0，m＞0，∴b－a＜0，a(a＋m)＞0，
∴
bb?m
a
?
a?m
.
12．证明：因为 < br>p?q?
a
2
b
?2
b
?
a
?a? b?
a
3
?b
3
?a
2
b?ab
2
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?ab(a?b)
ab
?
ab

?
(a?b)(a?b)
2
ab
?0
，∴p＞q.
13．证明：∵(a
3
－a＋1)－(a
2
－a＋1)＝a
2(a－1)，
∴当a＞1时，(a
3
－a＋1)＞(a
2
－a ＋1)，又函数y＝log
a
x单调递增，∴M＞N；
当0＜a＜1时，(a
3
－a＋1)＜(a
2
－a＋1)，又函数y＝log
a
x单调递 减，∴M＞N.
综上，当a＞0，且a≠1时，均有M＞N.
14．略解：设等比数列{a
n
}的公比是q，等差数列{b
n
}的公差是d.
由a
3
＝b
3
及a
1
＝b
1
＞0，得a
2d1
q
2
＝b
1
＋2d
?
q
2
＝1＋
a
；
1
由a
1< br>≠a
3
?
q
2
≠1，从而d≠0．

33

【复习资料、知识分享】

4d
2
2d
∴ a
5
－b
5
＝a
1
q
4
－(b
1
＋4d)＝(b
1
＋2d)(1＋
a
)－b
1
－4 d＝＞0．
1
a

1
∴a
5
＞b
5
．
测试十 均值不等式
一、选择题
1．C 2．B 3．D 4．B 5．A
提示：
5．∵正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，
∴ab≤
1< br>4
(a＋b)
2
＝4，c＋d≥2
cd
＝4，
∴等号当且仅当a＝b＝2，c＝d＝2时取到，
∴ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一.
二、填空题
6．6；3 7．2；1 8．－5 9．3 10．[－3，1]
提示：
8．
a?
16
a?3
??(3?a?
16
3?a
)?3??216?3??5
．
当且仅当3－a＝
163?a
，即a＝－1时，
a?
16
a?3
取得最大值－5． < br>9．函数f(x)＝2log
2
(x＋2)－log
2
x的定义域是( 0，＋∞)，
且f(x)＝2log
2
(x＋2)－log
2
x＝
log
(x?2)
2
4
2
x
?log
2< br>(x?
x
?4)
≥log
2
8＝3，
当且仅当x＝2时，f(x)取得最小值3．
10．由a，b，c成等比数列，得b
2
＝ac.
∴(3－b)
2
＝(a＋c)
2
＝a
2
＋c
2
＋2ac≥4ac＝ 4b
2
，整理得b
2
＋2b－3≤0，
解得b∈[－3，1].
三、解答题
11．略解：
a?d
2
?bc
.证明如下：
∵四个互不相等的正数a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc.
∴
bc?ad?
a?d
2
.
又a≠d，∴
a?d
2
?bc
.
12．略解：比较
1
2
log
t?1t?1
a
t
与
log
a
2
的大小，也就是
log
a
t
与
log
a
2
的大小.
又
t?1
2
?t
，从而，当t＝1时 ，
1t?1
2
log
a
t?log
a
2
；
当t≠1，0＜a＜1时，
1
2
log
t?11t?1
a< br>t?log
a
2
；a＞1时，
2
log
a
t ?log
a
2
.
13．略解：∵
(x?y)
2
? x?y?2xy?1?2xy?1?x?y?2
．
当且仅当x＝y＝
1
2< br>时，等号成立，从而
x?y
的最大值为
2
.
∵不等式
x?y?a
恒成立，∴a≥
2
，

34

【复习资料、知识分享】

即a的取值范围是[
2
，＋∞).
14．略解：
(1)用函数单 调性的定义可证明：当x∈(0，
a
]时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当x
∈[
a
，＋∞]时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.证明略.
(2) 由(1)得，当
a
≥2时，f(x)在(0，2]上单调递减，f(x)在(0，2]上的最小 值为f(2)；
当
a
＜2时，f(x)在(0，
a
]上单调递减， 在[
a
，2]上单调递增，从而f(x)在(0，2]上的最小值为f(
a
) .
a
?
2?,a?4,
?
2
∴g(a)＝
?

?
2a,0?a?4.
?
测试十一 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．A 5．B
提示：
5．①当p＝0时，y＝－1，适合题意；
②当p≠0时，y＝px
2
－px－1为二次函数，
依题意有
?< br>?
p?0
?
p?0
?
?
??4?p?0
．
2
?
??0
?
(?p)?4p?0
综合①，②知B正确.
二、填空题
6．{x|－4＜x＜3
}
7．
{x|?
51
?x?}
. 8．{x|－
2
＜x＜
2
，且x≠0
}

23
9．{x|－1＜x＜0，或3＜x＜4
}
10．a∈(－∞，－1)∪(0，1)
提示：
10．x
2
－(a＋11
)x＋1＜0
?
(x－a)(x－)＜0．
a
a
1
∵该集合为非空集合，∴a＜.
a
?
a? 0,
?
a?0,
即①
?
2
或②
?
2

?
a?1,
?
a?1.
解①得0＜a＜1；解②得a＜－1．
综合①，②得a＜－1，或0＜a＜1．
三、解答题
11．略解：原不等式
?
(x＋a)(x－3a)＜0．
分三种情况讨论：
①当a＜0时，解集为{x|3a＜x＜－a}；
②当a＝0时，原不等式
?
x
2
＜0，显然解集为
?
；
③当a＞0时，解集为{x|－a＜x＜3a}.
3k
12．略解：由3x－4y＋ k＝0得
y?x?
，代入x
2
＋y
2
－2x＝0，
44
35

【复习资料、知识分享】

25
2
3kk
2
x?(?2)x??0
， 得
16
168
即25x
2
＋(6k－32)x＋k
2
＝0， 令
?
＝(6k－32)
2
－4×25×k
2
＞0，解得 －8＜k＜2．
13．略解：A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x＜－4或x＞2}.
当a＞0时，C＝{x|a＜x＜3a}，当a＝0时，C＝
?
，当a＜0时，C＝{x|3 a＜x＜a}.
?
a?0,
?
(1)A∩B＝{x|2＜x＜3}，欲使A∩B
?
C，则
?
a?2,
解得1≤a≤2；
?
3a? 3.
?
(2)(
U
A)∩(
U
B)＝{x＝|－4≤x≤－ 2}，
?
a?0,
?
欲使(
U
A)∩(
U
B)
?
C，则
?
3a??4,

?
a??2.
?
解得－2＜a＜－
4
.
3
14．略解：①当a＝0时，原不等式
?
x＞
②当a＞0时，由于
?
＝4－4a，所以
(1)当0＜a＜1时，原不等式
?
1
；
2
1?1?a1?1?a
?x?
；
aa
(2)当a≥1时，原不等式解集为
?
.
③当a＜0时，由于
?
＝4－4a＞0，所以
原不等式
?x?
1?1?a
1?1?a
x?
，或.
aa
测试十二 不等式的实际应用
一、选择题
1．A 2．C 3．C 4．A
提示：
2．依题意，有(300－2x)x－(500＋30x)≥ 8600，化简整理为x
2
－135x＋4550≤0，
解得65≤x≤70． < br>3．设产销量为每年x(万瓶)，则销售收入为70x(万元)，从中征收附加税为70x·
题意 得
70(100－10r)·
2
r
(万元)，且x＝100－10r，依< br>100
r
≥112，得r
2
－10r＋16≤0，解得2≤r≤8．
100
4
k
4
?45
2
4．方法－：(1＋k)x ≤k＋4
?
x??(1?k)??
2．
1?k
2
1?k< br>2
5
设
f(k)?(1?k
2
)??2?25?2
．
2
1?k
从而，f(k)的最小值是
25?2
．
这说明只要不大于
25?2
的实数x必是不等式x≤f(k)的解.
由于2＜
25?2
，0＜
25?2
，从而选A.
36

【复习资料、知识分享】

方法二：将x＝0，x＝2分别代入不等式进行检验即可.
二、填空题
5．81cm
2
6．(－4，4) 7．{x|x＜3
}
8．[0，1]
提示：
7．∵x|x－2| ＜3
?
?
?
x?2,
?
x?2x?3?0,
2或
?
?
x?2,
?
x?2x?3?0,
2
?< br>2≤x＜3或x＜2，
∴不等式f(x)＜3的解集为{x|x＜3}.
8．在同一 坐标系中，画出函数y
1
＝|x＋1|和y
2
＝kx的图象进行研究.
三、解答题
9．略解：设直角三角形的两直角边分别为x，y，则x＋y＋
x
2
?y
2
＝2．
∴
2xy?2xy?2,(2?2)xy?2< br>，∴
xy?
∴xy≤6－4
2
，∴S＝
2
2?2?2?2
.
1
xy≤3－2
2
，此时三角形为等腰直角三角形.
2
1 0．略解：由题意：对甲0.1x＋0.01x
2
＞12，得x＜－40(舍)，或x＞30．
对乙来说0.05x＋0.005x
2
＞10，解得x＜－50(舍)，或x＞40．
即x
甲
＞30kmh，x
乙
＞40kmh，∴乙车超过路段限速，应 负主要责任
11．略解：－x
2
＋2x＋a＞0恒成立
?
a＞x< br>2
－2x在区间[－1，3]上恒成立.
由于x
2
－2x在区间[－1，3]上的最大值是3，从而a＞3．
12． 略解：设版面横向长为xcm，则纵向长为
∴纸张的面积S＝(x＋8)(
24002400< br>cm，那么纸张横向长为(x＋8)cm，纵向长为(＋12)cm.
xx
8?2400
2400
＋12)＝2496＋＋12x.
xx
∵x＞0，
当且仅当
8?2400
8?2400
?12x
＝ 3456(cm
2
). ＞0，12x＞0．∴S≥2496＋2
x
x
2400
8?2400
＝12x，即x＝40(cm)，＝60(cm).
xx
∴纸张的宽为40＋8＝48(cm)，长为60＋12＝72(cm)时，纸的用量最小.
测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1．D 2．B 3．A 4．A 5．C
提示：
?
x,y?N,?
x?3,
?
5．设软件买x片，磁盘少买y盒，则约束条件为
?

y?2,
?
?
?
60x?70y?500.
在可行域内 的解为(3，2)、(4，2)、(5，2)、(6，2)、(3，3)、(4，3)、(3，4)，共有7个.
二、填空题
6．四 7．(－2，3) 8．[－3，1] 9．[0，＋∞) 10．2
提示：
10．分类讨论去掉绝对值符号，可得曲线围成的图形是边长为
2
的正方形.
三、解答题
37

【复习资料、知识分享】

11．略.
12．略解：设购买35kg的x袋，24kg的y袋，则
?
?
35x?24y?106,

x?N,y?N.
?
共花费z＝140 x＋120y.画出可行域，做出目标函数z＝140x＋120y对应的一组平行线，观察在点(1，3)处， z
取得最小值500，即最少需要花费500元.
13．略解：设第一种应装x袋，第二种应装y袋，则所获利润z＝0.5x＋0.9y.
?
0.25x?0.5y?75
?
x?2y?300
??
x，y应满足 约束条件
?
0.75x?0.5y?120?
?
3x?2y?480

?
x,y?N
?
x,y?N
??
直线x＋2y＝300与3 x＋2y＝480的交点M(90，105)，
z＝0.5x＋0.9y在M点取最大值，此时z＝0.5×90＋0.9×105＝139.5．
∴第一种装法应装90袋，第二种装法应装105袋，可使利润最大，最大利润是139.5元.
14．略解：设甲库运往A镇x吨大米，乙库运往A镇y吨大米，易知x，y应满足约束条件
?
x?y?70,
?
?
(100?x)?(80?y)?110,

?
x?0,y?0.
?
目标函数是
z＝20·12·x＋25·1 0(100－x)＋15·12·y＋20·8(80－y)＝37800－10x＋20y.
易知目标函数在(0，70)处取最大值，(70，0)处取最小值.
(1)甲库运往A镇70吨、运往B镇30吨，乙库大米全部运往B镇，总运费最小，为37100元.
(2)甲库全部运往B镇，乙库运10吨给B镇，70吨给A镇，总运费最多，为39200元.造成不 该有的损失2100
元.



测试十四 不等式全章综合练习
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．D 5．D
二、填空题
131
6．(－2，4)，
(,)
7．－1 8． 9．－1≤a≤0 10．(－∞，10]
4216
三、解答题
11．解：由|x－1|＜6，得－6＜x－1＜6，解得－5＜x＜7．
1
x?8
由＞0，得(x－8)(2x－1)＞0，解得x＞8，或x＜.
2x?1
2
(1)A∩B＝{x|－5＜x＜7
}
∩{x|x＞8，或x＜< br>(2)∵
U
A＝{x|x≤－5，或x≥7
}
，
∴(
U
A)∪B＝{x|x≤－5，或x≥7
}
∪{x|x＞8，或x＜
11< br>}
＝{x|－5＜x＜
}
.
22
11
}
＝{x|x≥7，或x＜
}
.
22< br>12．解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z＝90x＋100y(千克).
38

【复习资料、知识分享】

?
1 000x?1500y?6000,
?
2x?3y?12,
??
由题意，得< br>?
500x?400y?2000,?
?
5x?4y?20,

?
x?0,y?0.
?
x?0,y?0.
??
上述不等式组表示的 平面区域如右图所示，

阴影部分(含边界)即为可行域.
作直线l：90x＋1 00y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，
且与直 线l的距离最大，此时目标函数达到最大值.这里M点是直线2x＋3y＝12和5x＋4y＝20的交点，容易
解得
M(
1220
,)
，
77
此时z取到最大值
90?
答：当每天提供甲原料
1220
?100??440
．
77
1220
吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品.
774
13．(1)由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，∴该数集不具有性质P.
3
661236
由于1×2，1×3，1×6，2×3，
,,,,,
都属于数集 {1，2，3，6}，
231236
∴该数集具有性质P.
a
(2)∵A ＝{a
1
，a
2
，…，a
n
}具有性质P，∴a
n
a
n
与
a
n
中至少有一个属于A.
n
由 于1≤a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，∴a
n
a
n
＞a
n
，故a
n
a
n
?
A.
a
从而1＝
a
n
∈A，∴a
1
＝1．
n
∵1＝a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，∴a
k< br>a
n
＞a
n
，故a
k
a
n
?
A(k＝2，3，…，n).
由A具有性质P可知
a
n
∈A(k＝1，2，3，…，n).
k< br>aaaa
又∵
a
n
?
a
n
???
a
n
?
a
n
，
nn?121
aaaa
∴< br>a
n
?1,
a
n
?a
2
,?,
a< br>n
?a
n??1
,
a
n
?a
n
.
nn?121
aaaa
从而
a
n
?
a
n< br>???
a
n
?
a
n
?a
1
?a2
???a
n?1
?a
n
，
nn?121
a
∴
a
1
?a
2
???a
n
?a
n
.
?1
?a
?1
???a
?1
a
12n
测试十五 数学必修5模块自我检测题
一、选择题
1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C
提示：
39

【复习资料、知识分享】

6．∵S20
＝
20(a
1
?a
20
)
2
＝3 40，∴a
1
＋a
20
＝34．
∴a
6
＋a9
＋a
11
＋a
16
＝(a
6
＋a
1 6
)＋(a
9
＋a
11
)＝2a
11
＋2a
10
＝2(a
10
＋a
11
)＝2(a
1
＋a< br>20
)＝68．
7．∵正数x、y满足x＋y＝4，
∴xy≤(
x?y
2
)
2
＝4 (当x＝y时取等号).
∴ log
2
x＋log
2
y＝log
2
(xy )≤log
2
4＝2．
即log
2
x＋log
2
y的最大值是2．
8．根据余弦 定理得AB
2
＝AP
2
＋BP
2
－2AP·BP·cos6 0°.
解得AB＝0.07(km).
从而汽车从A地到B地的车速为
0.07
3
×3600＝84(kmh).
二、填空题
9．{x|－1＜x＜2} 10．
?
1
2
11．4 12．
315
10

13．
7
，9 14．
1
，j·(
1
)
i
222

提示：
14．设第一行的等差数列的公差为d，则有
?
?
?
(
1
?3d
?
a
14
?q?a
24
,
?
即
?
?
)q?1,
?
a
?
2

12
?q
2
?a
32
,
?
11
?
?
(
2
?d)q
2
?
4
?
解得d＝
1
2
或d＝－
7
1
18
(舍去).从而q＝
2< br>.
∴a
ij
＝a
1j
·q
i
－
1
＝[a
11
＋(j－1)d]·q
i
－
1
＝
[
1
?
1
(j?1)]?(
1
)
i?1
1
222
?j?(
2
)
i
.
三、解答题
15．解：(1)当a＝5时，f(x)＝x
2
＋5x＋6．
f(x)＜0
?
x
2
＋5x＋6＜0
?
(x＋2)(x＋3)＜0
?
－3＜x＜－2．
(2)若不等式f(x)＞0的解集为R，则a
2
－ 4×6＜0
?
?26?a?26
，
即实数a的取值范围是
(?26,26)
.
16．解：(1)设等差数列{ a
n
}的公差为d，则a
1
＋d＝5，a
1
＋4d＝14， 解得a
1
＝2，d＝3．
所以数列{a
n
}的通项为a
n< br>＝a
1
＋(n－1)d＝3n－1．
(2)数列{a
n
}的 前n项和S
?a
n
＝
n(a
1n
)
2
?< br>3
2
n
2
?
1
2
n
.
由
3
2
n
2
?
1
2
n?155
，化 简得3n
2
＋n－310＝0，
即(3n＋31)(n－10)＝0，所以n＝10．
17．证明：(1)根据正弦定理得< br>cosAsinB
cosB
?
sinA
，
整理为sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B.
∵0＜2A，2B＜π，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π.
∵
b
a
?
4
3
，∴A＋B＝
π
2
，即∠C＝90°
(2)因为△ABC是以角C为直角的直角三角形，且c＝10，易求得a＝6，b＝8．

40

【复习资料、知识分享】

∴△ABC的面积S＝
1
2
ab＝24．
18．略解：设每天生产甲种产品x吨，乙种产品y吨，
?
7x?3y?
则
?
56,
?
2x?5y?45,
目标函数z＝8x＋11y，作出线 性约束条件所表示的平面区域，
?
?
x?0,y?0.
可求得鲞x＝5，y＝7时，z取最大值117万元.
所以，每天生产甲种产品5吨，乙种产品7吨，日产值到达最大值117万元.
19．略解： (1)
sin
2
B?C
2
?cos2A?cos
2
A
2
?2cos
2
A?1?
1?cosA
2
?2c os
2
A?1

1?
1
?
3
?2?
1
29
?1??
1
9
.
b
2
(2)∵ cosA＝
?c
2
?a
2
2bc
?
1
3< br>，
∴
2
3
bc?b
2
?c
2
?3 ?2bc?3
，整理得bc≤
9
4
.
当且仅当b＝c＝
39
2
时，bc取得最大值
4
.
20．(1)解：依题意得
?
?
a
n?1
?S
n
,
?
a
n
?S
n?1
,(n?2,3,4,?)
两 式相减得：
a
nn
＝a
n
，即
a
＋
1< br>－a
a
n?1
?2
n
(n＝2，3，4，…).
∴ a
2
，a
3
，a
4
，…构成首项为a
2
， 公比为2的等比数列.
∵a
2
＝S
1
＝a
1
＝5 ，∴a
n
＝5·2
n
－
2
(n≥2).
∴
a
,(n?1)
n
?
?
?
5
?
5?2< br>n?2
.(n?2,3,4,?)

(2)证明：
1
a
?
1
?
1
???
1
?
1
5
?< br>1
5
?
1
5?2
?
1
5?2
2???
1
5?2
n?2

1
a
2
a< br>3
a
n
1?(
1
)
n?1
?
111 111
5
?
5
(1?
2
?
4
???
1
2
2
n?2
)?
5
?
5
?

1?
1
2
?
1
?
2
[1?(
1< br>)
n?1
123
552
]?
5
?
5
?
5
.

41

【复习资料、知识分享】

单元测试一 解三角形
一、选择题
1．在△ABC中，若AC＝3，A＝30°，B＝45°，则BC等于( )
3632
(C)
32
(D)
22
2．在△ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，c＝6，则cosB等于( )
(A)
6
(B)
(A)
43
29
48
(B)
?
11
24
(C)
36
(D)
11
48

3．在△ABC中，若
cosA
cosB
?
b
a
，则△ABC是( )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等边三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
4．在等腰锐角△ABC中，a＝3，c＝2，则cosA等于( )
(A)
1
3
(B)
123
2
(C)
3
(D)
4

5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别 为a、b、c，A＝
π
3
,a?3
，b＝1，则c等于(
(A)1 (B)2 (C)
3
－1 (D)
3

二、填空题
6．在△ABC中，若a
2
＋ab＝c
2
－b
2
，则角C＝________.
7．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则
AC
cosA
的值等于________.
8．已知△ABC的顶点A(1 ，1)，B(－1，3)，C(3，0)，则cosB＝________.
9．在△ABC中，∠A ＝60°，AC＝16，△ABC的面积S＝220
3
，则BC＝________.
10．若三角形的三边之比为3∶5∶7，则其最大角等于________.
三、解答题
11．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设a＝4，c＝3，cosB＝< br>1
8
.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积.



12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝
5
，b＝3，sinC＝2sinA.
(1)求c的值；
(2)求sinA的值.



13．在△ABC中，cosA＝
?
5
13
，cosB＝
3
5
，BC＝5，求△ABC的面积.




)
42

【复习资料、知识分享】

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
cos



A25
，
AB?AC
＝3，c＝1，求a的值.
?
5
2
43

【复习资料、知识分享】

单元测试二 数列
一、选择题
1．在等差数列{a
n
}中，若a
2
＝3，a
6
＝11，则a
4
等于( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)9
2．在正项等比数列{a
n
}中，若a
4
a
5
＝6，则a
1
a
2
a< br>7
a
8
等于( )
(A)6 (B)12 (C)24 (D)36
3．等差数列{a
n
}的公差不为零，首项a
1
＝1， a
2
是a
1
和a
5
的等比中项，则数列{a
n}的公差等于( )
(A)1 (B)2 (C)－1 (D)－2
4．若数列 {a
n
}是公比为4的等比数列，且a
1
＝2，则数列{log
2< br>a
n
}是( )
(A)公差为2的等差数列 (B)公差为lg2的等差数列
(C)公比为2的等比数列 (D)公比为lg2的等比数列 5．等比数列{a
n
}的前n项和记为S
n
，若S
4
＝ 2，S
8
＝6，则S
12
等于( )
(A)8 (B)10 (C)12 (D)14
6．{a
n
}为等差数列，a
1
＋a3
＋a
5
＝105，a
2
＋a
4
＋a
6
＝99，用S
n
表示{a
n
}的前n项和，则使得S
n< br>达到最大值的n是( )
(A)21 (B)20 (C)19 (D)18
7．如果数列{a
n
}(a
n
∈R)对任意m，n∈N
*
满 足a
m
＋
n
＝a
m
·a
n
，且a
3
＝8，那么a
10
等于( )
(A)1024 (B)512 (C)510 (D)256
8．设f(n)为正整数n(十进制)的各数位上的数字的平方之和，例 如f(123)＝1
2
＋2
2
＋3
2
＝14．记a
1
＝f(2009)，a
k
＋
1
＝f(a
k
)，k ＝1，2，3，…则a
2009
等于( )
(A)85 (B)16 (C)145 (D)58
二、填空题
9．在等差数列{a
n
}中，a< br>3
＝7，a
5
＝a
2
＋6，则a
6
＝___ _____.
10．在等差数列{a
n
}中，a
2
，a
1 1
是方程x
2
－3x－5＝0的两根，则a
5
＋a
8
＝________.
S
1
11．设等比数列{a
n
}的公比< br>q?
，前n项和为S
n
，则
a
4
＝________ .
4
2
12．若数列{a
n
}满足：a
1
＝1， a
n
＋
1
＝2a
n
(n∈N
*
)，则a< br>5
＝______；前8项的和S
8
＝______.(用数字作答)
13．设{a
n
}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b
n
＝a
n
＋1(n＝1，2，…)，若数列{b
n
}有连续四项在集合{－53，－
23，19，37，82}中，则6q＝________.
14．设等比数列{a
n}的前n项和为S
n
，若a
1
＝1，S
6
＝4S
3
，则a
4
＝________.
三、解答题
15．在等差数 列{a
n
}中，a
3
a
7
＝－16，a
4
＋a
6
＝0，求{a
n
}前n项和S
n
.



16．设等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知S
1
，S
3
，S
2
成等差数列.
(1)求{a
n
}的公比q；
(2)若a
1
－a
3
＝3，求S
n
.



17．已知三个数成等差数列，它们的和为30，如果第一个数减去5，第二个数 减去4，第三个数不变，则所得三
个数组成等比数列，求这三个数.



18．已知函数f(x)＝a
1
x＋a
2
x
2
＋a
3
x
3
＋…＋a
n
x
n
(x∈R，n∈N
*
)，且对一切正整数n都有f(1)＝n
2
成立.
(1)求数列{a
n
}的通项a
n
；
44

【复习资料、知识分享】

(2)求
111
. < br>????
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n?1



19．设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知a
1
＝1，S
n
＋< br>1
＝4a
n
＋2．
(1)设b
n
＝a
n< br>＋
1
－2a
n
，证明数列{b
n
}是等比数列；
(2)求数列{a
n
}的通项公式.



45

【复习资料、知识分享】

单元测试三 不等式
一、选择题
1．设S＝{x|2x＋1＞0}，T＝{x|3x－5＜0}，则集合S∩T等于( )
15
(D)
{x|??x?}

23
2．若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式中一定正确的是( )
b
(A)a
2
＞b
2
(B)
?1
(C)2
a
＞2
b
(D)|a|＞|b|
a
x?2
3．不等式
?0
的解集是( )
x?1
(A)(－∞，－1)∪(－1，2) (B)[－1，2]
(C)(－∞，－1)∪[2，＋∞] (D)(－1，2]
(A)
?
(B)
{
x|x＜－
1
}

2
(C)
{
x|x＞
5
}

3
4．设x，y为正数，则(x＋y)(
(A)6
14
?
)的最小值为( )
xy
(C)12 (D)15 (B)9
5．若f(x)是定义在R上的减函数，则满足f(
1
)＞f(1)的实数 x的取值范围是( )
x
(A)(－∞，1) (B)(1，＋∞)
(C)(－∞，0)∪(0，1) (D)(－∞，0)∪(1，＋∞)
6．若关于x的不 等式(1＋k
2
)x≤k
4
＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
(A)2∈M，0∈M (B)2
?
M，0
?
M (C)2∈M，0
?
M (D)2
?
M，0∈M.
二、填空题 < br>7．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(
R
B)＝R，则 实数a的取值范围是________.
8．若实数a满足a
2
＋a＜0，那么a， a
2
，－a，－a
2
由小到大的顺序是________.
9．函数f(x)＝
x?2
lg4?x
的定义域是________. x?3
?
x?y?2?0,
?
10．已知实数x，y满足
?x?y?0,
则z＝2x＋4y的最大值为________.
?
x?1.?
11．已知正实数a，b满足a＋4b＝8，那么ab的最大值是________.
12．如果方程(x－1)(x
2
－2x＋m)＝0的三个根可以作为一个三角形的三条边长， 那么实数m的取值范围是________.
三、解答题
13．已知一元二次不等式x
2
－ax－b＜0的解集是{x|1＜x＜3}，
(1)求实数a，b的值；
(2)解不等式



14．设a∈R，且a≠－1，试比较1－a与
1
的大小.
1?a
2x?a
＞1．
x?b



1 5．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个< br>46

【复习资料、知识分享】

项目，根据预测 ，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％(盈利率＝
盈利额
投资额
×1 00％)，可能的最大
亏损率分别为30％和10％(亏损率＝
亏损额
×100％)， 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的
投资额
资金亏损不超过1.8万元.问投 资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大？



16 ．已知函数f(x)＝
x
2
?2x?a
x
，其中x∈[1，＋∞)
.
(1)当a＞0时，求函数f(x)的最小值g(a)；
(2)若对任意x∈[1，＋∞
)
，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.




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