高中数学必修五复习题(基础题)

必修五复习卷
1、在△ ABC 中， B



45 ，C



60 ， c

1, 则 b =___________



；






2、
在△

ABC

中

,

如果
c

3a
,B=30

0
,

那么角

C=


，那么
、在△


中，如果

3


ABC


a=3,b=5,c=6


4、在


cosC

等于 ___________
；




ABC



中。若


b

1

， c




3 ，
c



2


3




，则 a=___________







；











已知


ABC
中

a

5,

b


3, C


120
,

b
2


c
2



则
sin A
=



5、在△ ABC 中， A＝ 60°，b＝1，c = 1, 则 C=

6、在⊿ ABC中，已知 a
2

7、
在△

ABC

中，

a


8,

b

2ba ，则


C=_________
；

8

0
5 ，

C=30
，则三角形面积为



___________
；


、在△ ABC 中， A ＝60°，b＝1，其面积为


3 ，则 c =


___________
；

＝1, d=2 则 a


；

；


中，已知


9、在等差数列


a
n


a
1


4
=____________

3
=___________


s


10、


a
n



a
5


10, a
12


31,

中，已知


a
1

=_____


，则



=______


=________

等差数列


；
d


；
q

；

3 2 8
a
7

64

11、在等差数列 a
n


、等差数列

中，已知前 15 项的和
S


90

；


，则
a
8

= ___________

12


{ a
n
}


15

中，若

a

，则

1
aa

13、
已知等比数列


a
n

的首项
a
1
=2
，公比

q=

，

则
s
n
= ___________
；



2




14、等比数列 a
n


中， a
3
=12，a
5
=48，那么
q
=


15、若数列
m，m

2，2m


_
；
a
7
=


_
；


1
成等比数列，则

m = ___________
；



16、在正项等比数列


a
n

中， ,

且

a
3
a
7

= 64 , 则
a
5

17、
设
{



=


___________

；




}
为等比数列

,

其中


a
n


a
3
a
4

5,则
a
1
a
2
a
5
a
6



；







___________


18、
设数列

{

a
n
}

的前

n

项和
S
n


19、数列 1,2,3,4







n
2

，则
a
8

=


, 5

, ? , n
n




111
2


, 的前 n 项之和等于 ___________
；

4


8




0




































x

1


20、不等式






x



2


的解集是


；


第 1页共7页

21、
若不等式

ax

2

bx 2 0
的解集为
x |




1

x

2


1

，则 a－ b=

3










；

22、不等式
x
2



4
的解集为

___________________
；

若
x
2
2ax 2
≥

0

恒成立，则实数

a
的取值范围是
______________
；



23、若不等式 x-2y+a ＜ 0 所表平面区域包含点（

0,1），则 a 的取值范围是

___________
；


24、原点 O和点 A（ 1，1）在直线 x+y=a 两侧，则 a 的取值范围是 ___________
；



、
设变量 x， y 满足约束条件











x＋ y≤3，

x－ y≥－ 1，


则目标函数 z＝ 4x＋ 2y 的最大值为
_____
；













25









y≥ 1，


26、若 x＜ 0 , 则
y


x




1
x

的最大值是



27、
函数

y

x(3

2 x) (0


x

1)
的最大值是


28、
已知

x
＞

3，则函数

y
＝


2

＋
x
的最小值为

________．







x

－

3






29、设
x

0, y

0

且
x




2 y 1
,

求


1

x

1

y

的最小值



.


30、若 x、y∈R
+
, x+4y=20,则 xy 的最大值为 ___________
；



31
、
函数




x
2
-4x+1
（
x

＞ 0 ）的最小值
___________
；


x





31、下列结论正确的是



（


）

1

lg x

2


A 当
x


0且 x

1时 , lg x


C
当

x





二、解答题



B


当 x


0 时 , x


1

2

2时 , x





1
x


的最小值为 2












D
当

0



x

2时 , x





1
x

x

无最大值

2

32、
解不等式

①


33、设函数
f (x)

⑴若对于一切实数

⑵对于
x





x

2x

3 0

②
x
2


2x

3
＞

0




mx
2
mx

1

x, f (x)
＜

0

恒成立，求实数

m
的取值范围；


1,3 , f (x)
＜

m

5
恒成立，求实数

m

的取值范围。

a
2
2, S
5

33、已知等差数列 { a
n
} 的前
n
项和为
S
n
,


0
．

（ 1）求数列 { a
n
} 的通项公式；





第 2页共7页

（ 2）当
n
为何值时 ,

S
n

取得最大值．




解析：（ 1）因为
a

2




2, S


0
， 所以



a
1

5a
1


d


2,







5



5

4d


2




0.





解得
a
1

所以

4,

d 2
．

4

n 1


a
n



2 6 2n
．







（2）因为
S
n

na
1


n

n

1 d

2


4n

n n

1


n
2

5n

n
5
2


2

25

4

又
n











N
*

，所以当
n

2
或
n

3

时 ,

S
n

取得最大值

6．


34、
已知
{ a
n
}
为等差数列，且
a
3

（Ⅰ）求
{ a
n
}
的通项公式；

（Ⅱ）若等比数列
{ b
n
}
满足
b
1


解：（Ⅰ）设等差数列

6
，
a
6
0
。

8
，
b
2

a
1
a
2
a
3

，求
{ b
n
}
的前

n

项和公式



{ a
n
}
的公差

d

。

6, a
6


0



因为
a
3


所以

a
1

2d

a
1

5d

0


6

解得
a
1


10,d 2




所以
a
n
10

(n

1) 2


2n


12

q


（Ⅱ）设等比数列


{ b }
的公比为

n









因为
b
2

a
1
a
2

a
3


24,b
1

8

所以
8q24

即
q
=3

所以
{ b
n
}
的前
n
项和公式为
S
n


b
1
(1 q
n
)

4(1

3
n
)

1 q






35、已知各项均不为零的
数列
{a
n
}
的前

n

项和为，且
a
n
+3s
n
s
n-1
=0
（

n≥

2），

a
1

=

1

①求证：









1
s
n






3

是等差数列；



②求数列
{a
n
}
的通项公式


36、设 a
1
2, a
2
4, 数列 { b
n
} 满足： b
n

第 3页共7页

a
n 1
a
n
, b
n 1
2b
n

2.

（Ⅰ）求证数列 { b
n
2} 是等比数列 (要指出首项与公比 ),

（Ⅱ）求数列 { a
n
} 的通项公式 .

解：
n 1

(1)
b
2


n 1

2b
b
b

n

2

n 1
2 2(b
n

2),



b
n

2

2,



又
b
1

2

a
2

a
1

4
,


数列
{ b
n

2}
是首项为

4,公比为

2 的等比数列 .

(2)

b
n

2

4 2
n 1
a

b
n

2
n

1
2
.


a
n

n 1
2
n

2.


令
n

1,2,

,( n

1),
叠加得

a
n

2

(2
2

2
3

2
n
) 2(n

1)
,

a
n

( 2

2
2

2
3


2
n
)

2n

2

2(2
n

1)

2n

2

2
n 1
2n.


2

1


37、
数列
a
n

的前
n
项和为
S
n

，
a
1
1
，
a
n 1

2S
n
(n N
*
)
．


（Ⅰ）求数列

a
n

的通项
a
n

；（Ⅱ）求数列

na
n

的前
n
项和
T
n

．


解：（Ⅰ）
a
S
S
n

n

1


1
2S
n

，

n 1
S
n
2S
n

，


3

．


S
n


又
S
1

a
1

1

，


数列
S
n

是首项为

1
，公比为

3

的等比数列，
S
n
3
n 1
(n N
*
)
当
n≥ 2
时，

a
n

2S
n 1

2 3
n 2
( n ≥ 2)
，



，


n

，



a
n

n 2
，

≥
．



3


n

2


（Ⅱ）
T

a


2a

3a

na
，


n 1

2 3 n

当
n 1
时，

T
1

1
；

当
n≥ 2
时，

T
n

1

4

3
0

6 3
1

2n 3
n 2

，????①

3T
n

3

4

3
1

6

3
2


2n

3
n 1
，?????????②

①

②
得：


2T
n

2

4

2(3
1

3
2

3
n 2
)

2n 3
n 1

2

2

3(1

3
n

2
)

2n

3
n 1
1

(1 2n) 3
n

1
．


1

3

第 4页共7页












．

T
n


1

2

n

1

3
2

n 1
(n

≥

2)

．

又

T
1

a
1
1
也满足上式，

1

2

n

1

3
n 1
(n N
*
)
．

2


T
n



38、设
a

n
为等差数列，


S
n

为数列
a
n

的前
n
项和，已知

S
7

7

，
S
15

75

.

（１）

求数列
a
n


的通项公式；

（２）

若
b
n


解： (1)
设等差数列








2

a
n


n
，求数列

{ b
n
}

的前

n

项和

T
n

。


na
1


































a
n

的公差为 d ，则
S
n



1


n n 1 d

2











∵

S
7



7

，
S
15

75
，

7a
1


21d




∴



7 ,



即


a
1

a
1


3d

7d

1 ,

5,

















15a
1


105d

75 ,

2
，

d

1




解得

a
1

∴

数列



a
n

的通项公式为

a
n

n

3


(2)




b
n


2
a


n
n




2
n

3

n


1

2
n


n

8


b
n





























∴

T
n


b
1


b
2

b
3
































(

1

8


1


1



2

2
8


1) (2) (

1

2

3
8


3)




1

2
n

8


)
















1

(2
1

8


2
2


2
3





2
n
) (1 2 3

















n)
























1

( 2
n 1

2)

n(n


1)

8


2


1

(2
n

4


1)


n(n 1)


2


39、
当

a 0, a

mx y

1
时

,函数

f ( x)

log
a
( x

1)

1
的图象恒过定点

A，若点 A

在直线

m
0
上

,求


4
n

2
n
的最小值 .



解: ∵ A(2,1)






∴ 2m+n=1

∴

4
m


2
n

2 4
m

2
n

2

2
2m
n
2

2


第 5页共7页

当且仅当 4m=2n 即或 2m=n 即
m
, n




1

4

1

2

所以
时取等号 .


4
m


2

n

的最小值是
2 2


40、
制订投资计划时

,不仅要考虑可能获得的盈利

,而且要考虑可能出现的亏损

,某投资人


打算投资甲、乙两个项目 ,根据预测 ,甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和50﹪ ,
可能的最大亏损率分别为 30﹪和 10﹪ , 若投资人计划投资金额不超过 10 万元 , 要求确保可能
的资金亏损不超过 1.8 万元 , 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元 , 才能使可能的盈利



最大 ?

解: 设投资人分别用 x、 y 万元投资甲、乙两个项目 ,由题意知 :

x y

10

0.3x 0.1y

1.8

x 0
y 0
目标函数
z

x

0.5 y





当直线
z x 0.5 y
过点

M(4,6)

时

Z

取得最大值

7 万元 .故?

41、已知△ ABC中， S 是△ ABC的面积，若 a=4， b=5，s=5 3 ，求 的长度。


c
42、
在△

ABC

中,

（ 1）求

A,


B, C 所对的边分别为

a,

b, c
，已知

a

（ 2）求△ ABC 的面积．


2
4, b 5, c


61 ．

C 的大小；


解析：（ 1）依题意，由余弦定理得




cosC





4



2
5

( 61)

2

4

5



2
1

．

2






A




解得

C

120

．



（ 2）如图，过点



A 作 AH 垂直 BC 的延长线于 H，

┌

则
AH
=
AC


sin

ACH
=

5sin 60


5 3

．

2






B


CH


所以
S
ABC
=




1
BC

AH
=

1

4

5 3

=
5 3
．












2

2

2


43、在⊿ ABC中，已知 c

（Ⅰ）求出角 C 和 A ；

解：（ 1）


3, b 1, B 30
0
.


（Ⅱ）求⊿ ABC的面积 S；

sin C

sin B

c

b

，
sinC

3

2




c b, C B, C


60
0
,此时 A 90
0
,或者 C

120
0
,此时 A 30
0

（ 2） S= bcsinA=





1
2

3
,

3

2

4

第 6页共7页

44. (本小题 13 分 )如图，在四边形 ABCD 中， AC 平分∠ DAB ，∠ ABC＝ 60°， AC＝12，
AD＝ 10，△ ACD 的面积 S＝ 30，
（1）求∠ CAD 的大小；

A

（ 2）求 AB 的长 .
解 :.
（1）
在△ ADC 中，已知 AC＝ 12， AD ＝10， S
△
ADC
＝ 30，

1

· AD· sin∠ DAC，求得 sin∠DAC ＝

1




D

则由 S ADC＝ ·AC
△

，即∠ DAC ＝30°，

2


2


（2）
∴ ∠BAC＝

30°

而∠ ABC ＝ 60°，故△ ABC 为直角三角形 .

60°



B

C



∵
AC
＝

12，∴
AB
＝
AC

12




cos303
8

3
.





2


45、
某舰艇测得灯塔在它的东

15°北的方向，此舰艇以

30 海里 小时的速度向正东前进， 30


分钟后又测得灯塔在它的东

30°北。若此灯塔周围 10

海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航


行有无触礁的危险？


解析：如图舰艇在

A 点处观测到灯塔

S


在东 15°北的方向上；舰艇航行半小时后到


北


达 B 点，测得 S 在东 30°北的方向上。 在


△ABC 中，可知 AB=30× 0.5=15，



西



15
°


30
°

东



∠ABS=150° ，∠ ASB=15° ，由正弦定理得


A


B


C


BS=AB=15 ，过点 S 作 SC⊥直线 AB ，垂足


南



图 2



为 C，则 SC=15sin30°=7.5。


这表明航线离灯塔的距离为

7.5 海里，而灯塔周围

10 海里内有暗礁，故继续航行有触


礁的危险。


46、
如图，某货轮在

A 处看灯塔 B 在货轮的


北偏东 75 的方向，距离为
12

6
n mile

；在

A

处看灯



北


塔 C 在货轮的北偏西

30
的方向，距离为

8

3
n mile．



120 °




D


货轮由 A 处向正北航行到

D 处时，再看灯塔

B 在北偏东
120
，求：（1） A 处与 D 处之间的距离；


C



（ 2）灯塔 C 与 D 处之间的距离．


30°

解析：（ 1）在△ ABD 中，由已知得∠ ADB=
60

，
B

45

．


75°




A




12

6

2



由正弦定理得

AD

AB sin B

=


2




24
．



sin

ADB


3



2


（ 2）在△ ADC 中，由余弦定理得


CD
2

AD
2

AC
2

-
2AD

AC cos30
．解得

CD

8 3

．


所以 A 处与 D 处之间的距离为

24 n mile ，灯塔 C 与 D 处之间的距离为
8

3
n mile

．


第 7页共7页

B