新编人教a高中数学必修5全册教案导学案含答案

人教版高中数学必修5
全册教案
基因详解

目 录

1.1正弦定理
1.2余弦定理
2.1数列的概念
2.2等差数列
2.3等差数列的前n和
2.4等比数例
2.5等比数例的前n项和
3.1不等式关系
3.2不等式一元二次不等式及其解法
3.3一元二次不等式（组）与简单线性规划问题
3.4基本不等式

第一章 解斜三角形
1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方
法；会运 用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题
2. 过程与方法:让学生从已有的几何 知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关
系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一 般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用
的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想 指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情
推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函 数、正弦定理、向量的数量积等知识间
的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：正弦定理的推导即理解
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三 角形中揭示边角关系：
a
sin
A
?
b
sin
B< br>?
c
sin
C
，接着就一般斜
三角形进行探索，发现也有这一 关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，
让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学过程
1[创设情景]
如图 1．1-1，固定
?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
2[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的 等
式关系。如图1．1-2，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数
a
b
c
?sin
A
，
?sin
B
，又
sin
C
?1?
, A
c
c
c
abc
则
???
c
b c
sin
A
sin
B
sin
C< br>abc
从而在直角三角形ABC中， C a B
??
sin
A
sin
B
sin
C
的定 义，有
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3 ，当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的

定义，有CD=
a
sin
B
?
b
sin
A
,则
同理可得
从而
a
sin
A
?
b
sin
B
， C
c
sin< br>C
?
?
b
sin
B
?
， b a
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量 来研究
这个问题。
（证法二）：过点A作
j
?
AC
， C
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

则
j
?
AB
?
j< br>?(
AC
?
CB
)
A B
∴
j
?
AB
?
j
?
AC
?< br>j
?
CB

j

j ABcos
?
90
0
?A
?
?0?jCBcos
?
90
0
?C
?

∴
csinA?asinC
，即
同理，过点C作
j?BC
，可得
从而
ac

?
sinAsinC
bc

?
si nBsinC
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角 形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同 一正数，即
存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
si n
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin< br>A
?
b
sin
B
，
c
sin
C?
b
sin
B
，
a
sin
A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
β
②已知 三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sin
A
?sinB
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3[例题分析]
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
b
sin
A
；
sin
B
a
b

解：根据三角形内角和定理，
C?180
0
?(A?B)


?180
0
?(32.0
0
?81.8
0
)

?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
证明：如图在ΔA BD和ΔCAD中，由正弦定理，
得
BDAB
?

DCAC
BDABDCACAC
???
，，
sin
?sin
?
sin
?
sin(180
0
?
?)sin
?
BDAB
?

DCAC
00
两式相除得
五巩固深化反馈研究
A
β


0
B
180
α
1已知ΔABC 已知A=60，B=30，a=3；求边b=（） :
?
α
D
Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ
3
D
2

C
（2）已知ΔABC 已知A=45
0
，B=75
0
，b=8；求边ａ＝（）
A 8 B 4 C 4
3
-3 D 8
3
-8
（3）正弦定理的内容是————————————
（4）已知a+b=12 B=45
0
A=60
0
则则
则a=------------------------，b=------------------- -----
（5）已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其 三边长分别为
--------------------------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明
六，课堂小结（有学生自己总结）
七 板书设计略
五 [课堂小结]（由学生归纳总结）
a?bsinA?sinB
??

csinC

1.1.1 正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，

a
?
= 。
sinA
a
2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即
?
，
sinA
1.在RtΔABC中，∠C=90
0
, csinA= ,csinB= ，即
同理得 ，故有
a
?
。
sinA
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|=
= ，即
aa
?
，故有
?
。
sinAsinA
【典例解析】一 新课导入，推导公式
（1）直角三角形中
（2）斜三角形中
正弦定理是
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
BDAB
?

DCAC
【达标练习】
1. 已知ΔABC 已知A=60
0
，B=30
0
，a=3；求边b=（） :
Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ
3
D
2

（2）已知ΔABC 已知A=45
0
，B=75
0
，b=8；求边ａ＝（）
A 8 B 4 C 4
3
-3 D 8
3
-8
-（3）正弦定理的内容是————————————
（4）已知a+b=12 B=45
0
A=60
0
则则则

则a=---------------------- --，b=------------------------
（5）已知在ΔABC中,三内角的 正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分
别为---------------- ----------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明
a?bsinA?sinB
??

csinC
参考答案
【预习达标】
bcbcbc
a
?
1．a,b,. asinB ,, ,=.
?
sinBsinCsinB
sinA
sinCsinBsinC
b bc
3. .bsinA asinB ,, =.
sinBsinBsinC
【典例解析】

如图1．1-3 ，当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的
定义， 有CD=
a
sin
B
?
b
sin
A
,则< br>同理可得
从而
a
sin
A
?
b
sin
B
， C
c
sin
C
?
?
b
sin
B
?
， b a
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量 来研究
这个问题。
（证法二）：过点A作
j
?
AC
， C
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

则
j
?
AB
?
j< br>?(
AC
?
CB
)
A B
∴
j
?
AB
?
j
?
AC
?< br>j
?
CB

j

j ABcos
?
90
0
?A
?
?0?jCBcos
?
90
0
?C
?

∴
csinA?asinC
，即
同理，过点C作
j?BC
，可得
从而
ac

?
sinAsinC
bc

?
si nBsinC
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角 形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

例1解：根据三角形内角和定理，

C?180
0
?(A?B)


?180< br>0
?(32.0
0
?81.8
0
)

?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得
A
ββ
B
0
α
180
?
α
D
BDABDCACAC
???
，，
sin
?
sin
?
sin
?
sin(180
0
?
?
)sin?
BDAB
?
两式相除得
DCAC
C
【双基达标】
1．（1）C（2）D（3）
bc
a
=.（4）36-12
6

?
sinA
sinBsinC
12
6
-24（5）2, 2.5, 3
，
abc
???k
，则
a?ksinA,b?k sinB,c?ksinC

sinAsinBsinC
a?bksinA?ksin BsinA?sinB
???

cksinCsinC
2．证明：设

§1.1.2 正弦定理
【三维目标】：
一、知识与技能
1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题
2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．
二、过程与方法
让学生 从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学
生通过观察，推导，比较 ，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生处理解三角形问题的运算能力；
【教学重点与难点】：
重点：正弦定理的探索及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【授课类型】：新授课
四教学过程
一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？
二、例题讲解
例 1试推导在三角形中
abc
===
2R
sinAsinBsinC
其中R是外接
圆半径

证明 如图所示，∠
A
＝∠
D

C
bc
aa
?2R
，
?2R

??CD?2R
同理 ∴
sinAsinD
sinBsinC
abc
∴===
2R

sinAsinBsinC
例2 在
?ABC中，b?3,B?60
0
,c?1,求a和A,C

a< br>b
A
O
B
D
c
bccsinB1?sin60
0
1
：∵
?b?c,B?60
0
,?C?B,C
?,?s inC???
，
sinBsinCb2
3
为锐角，
?C?30
0
,B?90
0
∴
a?b
2
?c
2
?2

例3
?ABC中，c?6,A?45
0
,a?2,求b和B,C

解accsinA6?sin45
0
3
?
?,?sinC???

sinAsinCa22
?csinA?a?c,?C?60
0
或1200

csinB6sin75
0
?当C?60时，B?7 5,b???3?1
，
0
sinC
sin60
00
csi nB6sin15
0
?当C?120时，B?15,b???3?1

sin C
sin60
0
00
?b?3?1,B?75
0
,C?60
0
或b?3?1,B?15
0
,C?120
0

五、巩固深化，反馈矫正
1试判断下列三角形解的情况：
已知
b?11,c?12,B?60
0
则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2已知
a?7,b?3,A?110
0
则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在
?ABC
中，三个内角之比
A:B:C?1:2:3
，那么
a:b:c
等于____
4.在
?ABC
中，, B=135 C=15 a=5则此三角形的最大边长为_____
5在
?ABC
中，已知
a?xc m,b?2cm,B?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x
的取值范围是 _____
6.在
?ABC
中，已知
b?2csinB
，求
?C
的度数
00
六、小结
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对 角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，
即存在正数
k
使
a?ksinA, b?ksinB,c?ksinC
；
（2）
abcabbcac
==等价于 =，=，=，即
sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinC
可得正弦定理的变形形式：
1）
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
；
2）
sinA?
abc
,sinB?,sinC?
；
2R2R2R
bsinA
；
sinB
a
sinB
。
b
3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：
1）两 角和任意一边，求其它两边和一角；如
a?
2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可 求其它的边和角．如
sinA?
一般地，已知角A 边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）．
外接圆法）如图所示，∠
A
＝∠
D

a=bsinA有一解 a
>bsinA有两解 a>b 有一解 a>b有一解
七板书设计 略
1.1.2正弦定理学案
— 预习达标
1 正弦定理的内容是——————————————————
2 在三角形ABC中已知c=10 A=45
0
C=30
0
，则边 a=---------，边b=-------，角B=------
3在三角形ABC中，已知a =20cm，b=28cm，A=40，则角B=-------------（可借助计算器）
二 典例解析
0
例 1试推导在三角形中
abc
===
2R其中R 是外接圆半
sinAsinBsinC
径

例2 在
?ABC中，b?3,B?60
0
,c?1,求a和A,C

例3
?ABC中，c?6,A?45
0
,a?2,求b和B,C

三 达标练习
1试判断下列三角形解的情况：
已知
b?11,c?12,B?60
0
则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
2已知
a?7,b?3,A?110
0
则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在
?ABC
中，三个内角之比
A:B:C?1:2:3
，那么
a:b:c
等于____
4.在
?ABC
中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为_____
5.在
?ABC
中，已知
a?xcm ,b?2cm,B?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，则
x的取值范围是_ ____
6.在
?ABC
中，已知
b?2csinB
，求
?C
的度数
学案答案
一预习达标1
0
00
abc
0
== 2 10
2
， 5
6
+5
2
3 64 或
sinAsinBsinC
116
二典例解析
例1证明 如图所示，∠
A
＝∠
D

C
bc
aa
?2R
，
?2R

??CD?2R
同理 ∴
sinAsinD
sinBsinC
a
b
A
O
B
D
∴
abc
===
2R

sinAsinBsinC
例2 在
?ABC中，b?3,B?60
0
,c?1,求a和A,C

c< /p>

bccsinB1?sin60
0
1
：∵
?b?c,B ?60
0
,?C?B,C
?,?sinC???
，
sinBsinC b2
3
为锐角，
?C?30
0
,B?90
0
∴
a?b
2
?c
2
?2

例3
?ABC中，c?6,A?45
0
,a?2,求b和B,C

课题:
1．1．2余弦定理
授课类型：新授课
【教学目标】
1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及 证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定
理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法 :利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定
理解决两类基本的解三角形 问题，
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、< br>余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重、难点】
重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【教学过程】
[创设情景] C
如图1．1-4，在
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和
?
C，求边c b a
A c B
(图1．1-4)
[探索研究]
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
AB
?
c
，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

c< br>?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
?
a
?
a
?
b
?
b
?2a
?
b

C

a
B
22
?
a
?
b
?2
a
?
b
从而
c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C
(
图1．1-5)

2
????
同理可证
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bccos
A

b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角
的余弦的积的两 倍。即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由< br>三边求出一角？
（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc

a
2
?c
2
?b
2

cosB?
2ac
b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba
[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦定理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若
?
ABC中，C=
90
0
，则
cosC ?0
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
【典例分析】
例1．在
?
ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
⑴解：∵
b
2
?a
2< br>?c
2
?2accosB

=
(23)
2
? (6?2)
2
?2?23?(6?2)
cos
45
0

=
12?(6?2)
2
?43(3?1)

=
8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?( 23)
2
1
⑵解法一：∵cos
A???,

2bc2
2?22?(6?2)
∴
A?60
0
.

a23
?sin45
0
,
解法二：∵sin
A?sinB ?
b
22
又∵
6?2
＞
2.4?1.4?3.8,

23
＜
2?1.8?3.6,

∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,

∴
A?60
0
.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。
【变式训练1】
．在△ABC中，若(a?c)(a?c)?b(b?c)
，则
?A?

解：
a?c?b?bc,b?c?a??bc,cosA??
222222
1
,A?120
0

2
例2．在
?
ABC中，已知
a?134.6cm
，
b?87.8cm
，
c?161.7cm，解三角形

（见课本第8页例4，可由学生通过阅读进行理解）
例3. 例2.在△ABC中，
BC
=
a
，
AC
=
b
，且
a
，
b
是方程
x?23x?2?0
的两根，
2
2cos
?
A?B
?
?1
。
（1） 求角C的度数；
（2） 求
AB
的长；
（3）求△ABC的面积。
解：(1)
cosC?cos[
?
?
?
A?B
?
]

2
??cos
?
A?B
?
??
1
?C?1 20
0

2
?
a?b?23
（2）因为
a< br>，
b
是方程
x?23x?2?0
的两根，所以
?
< br>?
ab?2
?AB
2
?b
2
?a
2
?2abcos120
0

?
?
a?b
?
?ab?10?AB?10

（3）
S
?ABC
?
2
13

absinC?22
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必
直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
【变式训练2】
在△ABC中，A?120
0
,c?b,a?21,S
解：
S
?ABC
?
2
ABC
?3
，求
b,c
。
1
bcsinA?3,bc?4,

2
22

a?b?c?2bcosA,b?
所以
b?1,c?4

【课堂演练】
c?
，而
5
c?b

1．边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A．
90
B．
120
C．
135
D．
150

0000
5
2
?8
2
?7
2
1
?,
?
?60
0
,180
0
?60
0
?120
0
为所求 解： 设中间角为
?
，则cos
?
?
2?5?82
答案：B
2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形
解：长为6的边所对角最大，设它为
?
， 则
cos
?
?

?0??
?
?90?

答案：A
D. 锐角或钝角三角形
16?25?361
??0

2?4?58

3.如果 等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.
5

18
B.
3

4
C.
7
3
D.
8
2
解：设顶角为C，因为
l?5c,∴a?b?2c
，
a
2
?b
2
?c
2
4c
2
?4c
2
?c
2
7
??
由余弦定理得：
cosC?
2ab2?2c?2c8
答案：D
4.在
?ABC
中，角A、B、C的对边分别为
a
、
b
、
c，若
(a
2
?c
2
?b
2
)tanB?3ac
，则
角B的值为（ ）
A.
?

6
22

2
B.
??
5
?
C.或
366
D.
?
2
?
或
33

(a
2
+c
2
?b
2
)3cosB
3co sB
解：由
(a?c?b)tanB?3ac
得即
cosB=

=
2ac2sinB
2sinB
?sinB=
答案：D
?
2
?
3
,又B为△ABC的内角，所以B为或
33
2
13
，则最大角的余弦是（ ）
14
1111
A．
?
B．
?
C．
?
D．
?

5678
1
222
解：
c?a?b?2abcosC?9,c?3
，
B
为最大角，
cosB??

7
5．在△ABC中，若
a?7,b?8,cosC?
答案：C
6. 在
?ABC
中，
bcosA?acosB
，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
b
2
?c
2< br>?a
2
a
2
?c
2
?b
2
?a?< br>
b?

2bc2ac

即2b
2
?2a
2
，?a?b

答案：C
[课堂小结]
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。
作业：第11页[习题1.1]A组第3（1），4（1）题。

§1．1．2余弦定理
【课前学案】

【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在ΔABC中过A做AD垂直BC于D，则AD=b ,DC=b ,BD=a .由勾股定理
得c= = = ；同理得
a= ；b= 。
2．cosA= ；cosB= ；cosC= 。
【典例解析】
例1 在三角形ABC中，已知a=3,b=2,c=
19
,求此三角形的其他边、角的大小及其面积（精
确到0.1）
例2 三角形ABC的顶点为A（6，5），B（-2，8）和C（4，1），求∠A（精确到0.1）
例 3已知
△ABC
的周长为
2?1
，且
sinA?sinB?2sin C
．
（I）求边
AB
的长；
（II）若
△ABC
的面积为
22
2
1
sinC
，求角
C
的度数．
6
【双基达标】
1. 已知a,b,c是
?ABC
三边之长，若满足等式(a＋b－c) (a＋b+c)=ab,则角C大小为（ ）
oo o o
A. 60 B. 90C. 120D.150
2．已知
?ABC
的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3．已知
?ABC
，求证：
222
（1）如果
a?b
=
c
，则∠C为直角；
222
（2）如果
a?b
>
c
，则∠C为锐角；
222
（3）如果
a?b
<
c
，则∠C为钝角.
4．已知a:b:c=3:4:5,试判断三角形的形状。
5．在△ABC中，已知
tanB?
1
3,cosC?,AC?36
，求△ABC的面积
3
6．在
?ABC中，?B?45?,AC?10,cosC?
（1）
BC??

25
,求
5
（2）若点
D是AB的中点，求中线CD的长度。

【典例解析】
例1（见教材）
例2（见教材）
例3解：（I）由题意及正弦定理，得
AB?BC?AC?2?1
，
BC?AC?2AB
，
两式相减，得
AB?1
．
（II ）由
△ABC
的面积
111
BCACsinC?sinC
，得
BCAC?

263
AC
2
?BC
2
?AB2
由余弦定理，得
cosC?

2ACBC

( AC?BC)
2
?2ACBC?AB
2
1
?
，所以
C?60
．
?
2ACBC2
【课堂演练】
1．边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A．
90
B．
120
C．
135
D．
150

2. 以4、5、6为边长的三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角或钝角三角形
3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.
0000
5

18
B.
3

4
C.
7
3
D.
8
2
4.在
?ABC
中，角A、B、C的对边分别为
a、
b
、
c
，若
(a
2
?c
2
?b
2
)tanB?3ac
，则
角B的值为（ ）
??
5
?
?
2
?
C.或 D. 或
36633
13
5．在△ABC中，若
a?7,b?8,cosC?
，则最大角的余弦是（ ）
14
1111
A．
?
B．
?
C．
?
D．
?

5678
A. B.
6. 在
?ABC
中，
bcosA?acosB
，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
?

6

【课后训练题】
1．在△ABC中，若
a?7,b?3,c?8
，则其面积等于（ ）
A．
12
B．
21
C．
28
D．
63

2
2. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、
x
，则
x
的取值范围是 ．
3．在△ABC中，若
(a?c)(a?c)?b(b?c)
，则
?A?

4．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能组成（ ）三角形。
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等腰 5.△ABC中，若a
4
+b
4
+c
4
=2(a
2
+b
2
)c
2
则∠C的度数（ ）
A、60
0
B、45
0
或135
0
C、120
0
D、30
0

6.设a,a+1,a+2是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 ( )
A.
0?a?3
B.
1?a?3
C.
3?a?4
D.4a
2
?b
2
?c
2
7. △ABC中，a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若<0,则△ABC
2ab
（ ）
8.在△ABC中，a=1,B=45
0
,
S
?ABC
?2
,则△ABC的外接圆的直径是 .
9.在△ABC中,
sinA?sinB+sinBsinC+sinC
,则角A= .
三．解答题
10. 在四边形ABCD中，
BC?a，DC?2a，
四 个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10，
求AB的长。
11.在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断三角形的形状.
12.在
? ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，且满足
cos
（I）求
?ABC
的面积； （II）若
b?c?6
，求
a
的值．
222
A25
，
AB?AC

?3
．
?
25

课题:
§1．1．2余弦定理应用
授课类型：习题课
【教学目标】
1． 掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。
2． 较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。
【教学重、难点】
重点：熟练应用余弦定理。
难点：解三角形，判断三角形的形状。
【教学过程】
【知识梳理】
1．余弦定理：
(1)形式一：
a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA
，
b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosB
，
c
2
?a
2
?b
2
?2ab?cosC

222222222
b?c?aa?c?ba?b?c
形式二：
cosA?
，
cosB?
，
cosC?
，（角到边的转换）
2bc2ac2ab
2.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角 三角形
3.三角形ABC中
a
2
?
b
2
?< br>c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角? ?ABC是锐角三角形
4.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【典例应用】
题型一 根据三角形的三边关系求角
例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3 ＋1)∶(3 －1)∶10 ，求最大
角.
abc
解：∵
sinA
＝
sinB
＝
sinC
＝k
∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(3 +1)∶(3 －1)∶10
设a＝(3 ＋1)k，b＝(3 －1)k，c＝10 k (k＞0)
a
2< br>＋b
2
－c
2
则最大角为＝
2ab

(3 ＋1)
2
＋(3 －1)
2
－10
2
1
＝ ＝－
2

2×(3 ＋1) (3 －1)
∴C＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理 的变形式：a＝2RsinA，
b＝2RsinB，c＝2RsinC，这一转化技巧，应熟练掌握.在 三角形中，大边对大角，所以角C
最大。
[变式训练1]
在△ABC中，若
(a?b?c)(b?c?a)?3bc,
则
A?
( )
A．
90
B．
60
C．
135
D．
150

解：
(a?b?c)( b?c?a)?3bc,(b?c)
2
?a
2
?3bc,

0000
b
2
?c
2
?a
2
1
s??A, ?

b?c?a?3bc,coA
2bc2
2220
6

0
答案：B
题型二：题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形
2
例2.在△ABC中，
BC
=
a
，
AC
=
b，且
a
，
b
是方程
x?23x?2?0
的两根，
2cos
?
A?B
?
?1
。
（3） 求角C的度数；
（4） 求
AB
的长；
（3）求△ABC的面积。

评 析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。方程的根往往不必
直接求出，要充分 利用两根之和与两根之差的特点。
[变式训练]
1在△
ABC
中，A?60,AC?16,面积S?2203,求BC的长

2. 钝角△
ABC
的三边长为连续的自然数，求三边的长。
题型三：判断三角形的形状
例3.在
?ABC
中，若
bsinC?csinB?2bccosBcosC
，试判断
?ABC
的形状.
2222

解：方法一：
由正弦定理和已知条件得：
sinBsinC?sinCsinB?2sinBsinCcos BcosC
，
∵
sinBsinC?0
，∴
sinBsinC?c osBcosC
，即
cos(B?C)?0
，
∵B、C为
?ABC
的内角，∴
B?C?90
，
A?90

故
?ABC
为直角三角形.
方法二：
原等式变形为：
b
2
(1?cos
2
C)?c
2
(1?cos
2B)?2bccosBcosC
，
即：
b?c?bcosC?ccosB?2bccosBcosC
，
由余弦定理得：
222222
2222
a
2
?b
2
?c
2
22
a
2
?c
2
?b
2
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
b?c?b()?c()?2bc??

2 ab2ac2ac2ab
[(a
2
?b
2
?c
2
) ?(a
2
?c
2
?b
2
)]
2
22
222
b?c?a

?
b?c?
?
2
4a
故
?ABC
为直角三角形.
222
评述：判断三角形的形状，一般是从题 设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角
变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的 某种特殊关系，然后利用平面几何
知识即可判定三角形的形状。
[变式训练2]
1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三
角形
a
2
?c
2
?b
2
解： 由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.
ac
答案：C
2. 在
?ABC
中，
bcosA?acosB
，则三角形为（ ）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由余弦定理可将原等式化为
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
?a?

b?

2bc2ac

即2b
2
?2a
2
，?a?b

答案：C
[典例训练]
1．在△ABC中，若
C?90
0
,a?6,B?3 0
0
，则
c?b
等于（ ）
A．
1
B．
?1
C．
23
D．
?23

2．若
A
为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
1
A．
sinA
B．
cosA
C．
tanA
D．
tanA
3．在△ABC中，角
A,B
均为锐角，且
cosA?sinB,
则△ABC的形状是（ ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是
3
，这条高与底边的夹角为
60
0，则底边长为（ ）
A．
2
B．
3
C．
3
D．
23

2
5．在△
ABC
中，若
b?2asinB
，则
A
等于（ ）
A．
30
0
或60
0
B．
45
0
或60
0
C．
120
0
或60
0
D．
30
0
或150
0

6．边长为
5,7,8
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A．
90
0
B．
120
0
C．
135
0
D．
150
0

7.在△A BC中，若
acosA?bcosB?ccosC,
则△ABC的形状是什么？
8．在△ABC中，求证：
abcosBcosA
??c(?)

b aba
9．在△ABC中，设
a?c?2b,A?C?
?
3
10．已 知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。
[课堂小节]：熟练应用余弦定理解三角形，判断三角形的形状。
[课下作业]：[典例训练]部分的5、7、10
,
求
sinB
的值。

:
§1．1．2余弦定理应用
[课前学案]
[课前回顾]
1.∠A=60°，∠B=30°，a=3, 则b= ,c= ,∠C=
2.∠A=45°，∠B=75°，b=8, 则a= ,c= ,∠C= .
3.在?ABC中，s in
2
A+sin
2
B=sin
2
C

,则?ABC是 。
4．在?ABC中，acosA=bcosB

,则?ABC是 。
abc
??
5.在?ABC中，s

,则?ABC是 。
cosAcosBcosC
6. 在?ABC中，a
2
+b
2
=c
2
,则?ABC是 三角形。
7.在?ABC中，a
2
+b
2
>c
2
, a
2
+c
2
>b
2
c
2
+b
2
>a
2
则?ABC是 三角形。
8. 在?ABC中，a
2
+b
2
2
,则?ABC是 三角形。
9. 在?ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13则?ABC是 三角形。
a
2
?(b?c)
2
?1
,则∠A= 。 10. 在?ABC中，
bc
11．a=4,b=3,∠C=60°,则 c= .
12.a=2,b=4,c=3,则∠B= 。
13．在?ABC中，b=4,c=3,BC边上的中线
S＝ 。

37
, 则∠A= ，a= ,
2
[达标演练]
??
1．在
?ABC
中，
a?5
，
B?105
，
C?15
，则此三角形的最大边的长为__________．
??
2．在
?ABC
中，
a?b?12
，
A?60
，
B?45
，则
a?
_________，
b?
________．
?
3．在
?ABC
中，已知
b?3
，
c?33
，< br>B?30
，则
a?
___________．
??
4．在< br>?ABC
中，
a?6
，
B?30
，
C?120
，则
?ABC
的面积是（ ）
A．
9
B．
18
C．
93
D．
183
< br>5．在
?ABC
中，若
?
sinAcosB
?
，则< br>B
的值为（ ）
ab
???
A．
30
B．
45
C．
60
D．
90
6．在
?ABC
中，若
b?2asinB
，则这个三角形中角
A
的值是（ ）
A．
30
或
60
B．
45
或
60
C．
60
或
120
D．
30
或
150

7．在
?ABC
中，“A?B
”是“
sinA?sinB
”的（ ）
??????
??

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
BC
中，
osC? ccosA
的值为8．在
?A
角
A
、
B
、
C
所对的边分别为
a
、
b
、
c
，则
ac< br>（ ）
A．
b
B．
9已知两线段
a?1
，
b?
A．
(0,
b?c
C．
2cosB
D．
2sinB

2

2
，若以
a
、
b
为边作三角形，则
a
边所对的角< br>A
的取值范围（）
?
]
B．
(0,)
C．
(0,]
D．
(,)

62463
?
?
?
??
10．在
?ABC
中，
B?60
，若此 三角形最大边与最小边之比为
(3?1):2
，则最大内角
（）
A．
45
B．
60
C．
75
D．
90
????

11．在
?ABC
中，角
A
、
B
的对边分别为
a
、
b
，且
A?2B
，则
A．
(0,3)

a
的取值范围是（ ）
b
B．
(1,2)
C．
(,1)
D．
(0,2)

1
2
? ?
12．（1）在
?ABC
中，已知
A?30
，
B?120
，
b?5
，求
C
及
a
、
c
的值；
?
（2）在
?ABC
中，已知
A?45
，
AB?6
，
BC?2
，解此三角形．
，C
的对边分别为13.(文科做) （07山东文17）在
△ABC
中，角
A，B
a，b，c，tanC?37< br>．
（1）求
cosC
；
（2）若
CBCA?
5< br>，且
a?b?9
，求
c
．
2

:
§1．1．2余弦定理应用
[课后训练题]
1. 在
?ABC
中，若（a-c cosB）sinB=（b-c cosA）sinA, 则这个三角形是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰或直角三角形
2.设a，a+1，a+2为锐角三角形的三边长，则a的取值范围是（ ）
A. 43. 在ΔABC中，已知
a?b?bc?c
，则角A为（ ）
A
222
??
2
?
?
2
?
B C D 或
33
363
4．若钝角三角形三内角的度数成等差数列 ，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范
围是（ ）
A．（1，2） B．（2，+∞） C．[3，+∞
)
D．（3，+∞）
5.
?ABC< br>中，
A?
?
3
，BC=3，则
?ABC
的周长为 （ ）
A．
43sin
?
B?
?
?
?
?
?
??
?
?3
B．
43sin
?
B?
?
?3

3
?6
??
C．
6sin
?
B?
?
?
?< br>?
?
??
D．
?36sinB?
???
?3

3
?
6
??
?
,a=
3
,b=1，则c=
3
6．在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=
(A)1 (B)2 ()
3
－1 (D)
3

a
2
?b
2
?c
2
7.已知
?ABC
的三边分别为a，b，c，且
S
?ABC
＝，那么角C＝ .
4
8.在
?ABC
中，若
A?120?
，AB=5，B C=7，则AC=__________
9。已知ΔABC的顶点为A（2，3），B（3，-2）和 C（0，0）。求（1）∠ACB；（2）AB；（3）
∠CAB；（4）∠ABC。
10． 在
?ABC
中，已知
a?bsinB
＝,且cos(A－B)＋cosC＝1 －cos2C.
asinB?sinA
试确定
?ABC
的形状.
11．在△ABC中，A最大，C最小，且A=2C ，a+c=2b，求此三角形的三边之比。
12． 在
?ABC
中，
?A、?B、?C
所对的边长分别为
a、b、c
，设
a、b、c
满足条件
b
2
?c
2
?bc?a
2
和
c1
??3
，求
?A
和< br>tanB
的值
b2

第二章数列
课题 §2.1.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通 项公式，
并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观 察
能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣
●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
4，5，6，7，8，9，10． ①
1111
1，< br>2
，
3
，
4
，
5
，…. ②
1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③
1，1.4，1.41，1.414，…. ④
-1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤
2，2，2，2，2，…. ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列 的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，
那么它们就是不同的数列 ；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或
首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均 是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数
列中的第6项.
⒊数列的一般形式：
a
1
,
a
2
,
a
3< br>,?,
a
n
,?
，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是数列的第n项
1
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“
3
”
是这个数列的第“3”项，等等 < /p>

下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否< br>用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于
上面的 数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
1111
345
项
1

2
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
a
n
?
1
n
来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
⒋ 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n之间的关系可以用一个公式来表示， 那
么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是 不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以
n?1
1?(?1)
n?1
a
n
?|cos
?
|
a
n
?2
2
是，也可以是.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般
表示． 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确
定了，代入项数就可 求出数列的每一项．
5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集 {1，2，3，…，n}）为定义域的函数
a
n
?f(n)
，
当自变 量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、 2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列
f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…
6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列
2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
[范例讲解] 例1 根据下面数列
?
a
n
?
的通项公式，写出前5项：
（1）
a
n
?
n
;(2)a
n
?(?1)
n?n
n?1

分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依 次取1，2，3，4，5，即可得到数列的
前5项
解：（1）
n?1,2,3,4, 5.a
1
?
12345
;a
2
?;a
3
? ;a
4
?;a
5
?;
23456

1
;a
2
?2;a
3
??3;a
4
?4;a
5
? ?5;
2
(2)
n?1,2,3,4,5.a
1
?例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
2
2
?13
2
?14
2
?15
2
?1
;,;;
345
（1）1，3，5，7； （2）
2

1111
（3）-
1?2
，
2?3
，-
3?4
，
4?5
.
解：
（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4
即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，
∴它的一个通项公式是：
a
n
?2n?1
；
（2）序号：1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1
即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分 母的平方减去1，∴它的一个通项
(n?1)
2
n
a
n
?< br>n?1
； 公式是：
1
3 3 4
? ? ?
?
111
1
???
?
（3）序号
1?2

2?3

3?4

4?5

‖ ‖ ‖ ‖
(?1)
1

1111
(?1)
2
(?1)
3
(?1)
2
1?(1?1)

2?(2?1)

3?(3?1)

2?(2?1)

1
n(n?1)

这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒 数，且奇数项为负，偶数项为正，
a
n
?(?1)
n
所以它的一个通 项公式是：

Ⅲ.课堂练习
课本[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
2
4
6810
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)
3
,
15
,
35
,
63
,
99
, ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
2n
1?(?1)
n
aaa
2
解：(1)
n
＝2n＋1； (2)
n
＝
(2n?1)(2n?1)
； (3)
n
＝；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
1?(?1)
n
a
2
∴
n
＝n＋；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴
a
n
＝(－1)
n?1
n(n＋1)
Ⅳ.课时小结 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的
前n项求 一些简单数列的通项公式。
Ⅴ.课后作业
课本习题2.1A组的第1题

§2.1.1数列的概念与简单表示法
【课前预习】
1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是
A、19 B、 20 C、 21 D 、22
2、观察下面数列的特点，用适当的数填空
111
（1） ， ， ， ， ；
4916
351733
（2） ， ， ， ， ， 。
241632
3 .已知数列
?
a
n
?
，
a
n
?kn?5,且a
8
?11
，则
a
17
?
.
4 根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为 .
（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为 .
1524354863
,,,,,,
25101726
（3）数列的一个 通项公式为 .
5.已知数列
1 C 2
?
a
n
?
满足
a
1
??2
，a
n?1
?2?
2a
n
1?a
n
，则
a
4
?
.
1
（1）1，
25

965
,
（2）
864
3.29
2
(n?3)
2
?1
71
?
a
n
?
(1?< br>n
)
n
2
?1
5.
5

10
;（2）an=2+2·(-1)n+1 （3）4. （1）an=
9
【课内探究】
1 展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么
关系？
（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这
个数列的项。
（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1， 3，
2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an}
（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。
3 数列的表示方法
（1）函数y=7x+9 与y=3 x ，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特
点？
（2）定义数列{an}的通项公式
（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析 式，利用一个数列的通项公式，你能确
定这个数列的哪些方面的性质？
（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。
4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，-12，13，-14；
（2）2，0，2，0．
【课后提高】
1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是 .