(完整版)高中数学必修5解三角形教案

第2章 解三角形
2.1.1 正弦定理
教学要求：通过对任意三角 形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内
容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜 三角形的两类
基本问题.
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股
定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？
2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角
形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确
量化？ →引入课题：正弦定理
二、讲授新课：
1. 教学正弦定理的推导：
①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA=
ab
sinB= sinC=1 即c=
cc

abc
.
??
sinAsinBsinC
② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上 的高是CD，根据三角函数的定义，
有
CD?asinB?bsinA
,则
高 ？），从而
ac
ab
. 同理，（思考如何作
?
?
sinA sinC
sinAsinB
abc
.
??
sinAsinBsin C
③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S
△
ABC
=< br>111
absinC?acsinB?bcsinA
.
222
Ca
b
A
O
B
D
1abc
两边同除以
abc
即得：==.
2sinAsinBsinC
证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴
同理
c
aa
??CD?2R
，
sinAsinD
bc
=2R，＝2R.
sinBsinC
1

r
r
uuuruuuruuur
uuu
证 明三：（向量法）过A作单位向量
j
垂直于
AC
，由
AC
+
CB
=
AB
边同乘以
r
单位向量
j
得…..
④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角
及其一边 可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求
其他角的正弦值.
2. 教学例题：
① 出示例1：在
?ABC
中，已知
A?45
0
，
B?60
0
，
a?42
cm，解三角形.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已
知两角一边

② 出示例2：
?ABC中，c?6,A?45
0
,a?2,求b和B,C
.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知
两边及一边对角

③ 练习：
?ABC中，b?3,B?60
0
,c?1,求a和A,C
.
在
?ABC
中，已知
a?10
cm，
b?14
cm，A?40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，
边长精确到 1cm）

④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？

3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对
角的讨论.
三、巩固练习：
1.已知
?
ABC中，
?
A=60°，< br>a?3
，求
2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题.


a?b?c
.
sinA?sinB?sinC
2

2.1.2 余弦定理（一）
教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证 明余弦定理的向量方法，并
会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
教学难点：向量方法证明余弦定理.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？
2. 练习：在△ABC中，已知
c?10
，A=45?，C=30?，解此三角形. →变式
3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？
二、讲授新课：
1. 教学余弦定理的推导：
① 如图在
?ABC
中，
AB
、
B C
、
CA
的长分别为
c
、
a
、
b
.
uuuruuuruuur
∵
AC?AB?BC
，
uuur
2
uuuruuuruuur
2
uuuruuuruuuruuuruuur uuur
∴
AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)
?AB?2AB?BC?B C

C
b
A
c
a
B
uuur
2< br>uuuruuuruuur
2
o
?AB?2|AB|?|BC|cos(180 ?B)?BC
?c
2
?2accosB?a
2
.
即
b
2
?c
2
?a
2
?2accosB
，→
② 试证：
a
2
?b
2
?c
2
?2bcc osA
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abco sC
.
③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
用符号语言表示
a
2
?b2
?c
2
?2bccosA
，…等； → 基本应用：已知两
边及夹角
④ 讨论：已知三边，如何求三角？
b
2
?c
2
?a
2
→ 余弦定理的推论：
cosA?
，…等.
2bc
⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？
2. 教学例题：
① 出示例1：在
?< br>ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b
→ 讨论：如何求A？（两种方法） （答案：
b?22
，
A?60
0
）
→ 小结：已知两边及夹角


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