人教A版高中数学必修五第一二章综合测试(答案)

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高中数学必修5第一二章综合测试
一、选择题：(每小题4分，共计40分)
1． △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c=
2
,b=
6
,B =120
o
，则a等于（ D ）
A．
6
B．2 C．
3
D．
2

2．在△ABC中，已知b=2，B=45°， 如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取
值范围是 （ A ）
A．
2?a?22
B．
2?a?4
C．
2?a?2
D．
2?a?22

3．在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若( a
2
+c
2
-b
2
)tanB=
3
ac, 则角B的值为（D）
A.
??
6
B.
3
C.
?
6
或
5
?
6
D.
?
2
?
3
或
3

4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ D ）
A.
5
B.
3
4
C.
3
2
D.
7
18
8

5． 已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别
为α、β（α＞β ）则A点离地面的高AB等于 （ A ）
A．
asin
?
si n
?
asin
?
sin
?
acos
?
co s
?
acos
?
sin(
?
?
?
)
B．
cos(
?
?
?
)
C．
sin(
?
?
?
)
D．
cos
?
cos(
?
?
?
)

6．已知等差数列{a
n
}满足a
2
+a
4
=4, a
3
+a
5
=10，则它的前10项的和S
10
=（ C ）
A．138 B．135 C．95 D．23
7．已知{aa
1
n
}是等比数列，
2
=2, a
5
=
4
，则a
1
a
2
+ a
2
a
3
+…+ a
n
a
n+1
=（ C ）
A．16(
1?4
?n
) B．16(
1?2
?n
) C．
32
(
1?4
?n
) D．
32
3
(
1?2
?n
3
)
8 如果a
1
,a
2
,…, a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d?0
，则 ( B )
A
a
1
a
8
?a
4
a
5
B
a
1
a
8
?a
4
a
5
C
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
D
a
1
a
8
?a
4
a
5

[解析]：因为
a
1
,a
2
,,a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d?0

2
故
a
1
a
8
?a
1
(a
1
?7d)?a1
?7a
1
d,
a
2
a
8
?a
4
a
5

4
a
5
?(a
1
?3 d)(a
1
?4d)?a
1
?7a
2
；故
a
1
1
d?d
9、3、已知数列{a
n
}满足a
1
=0， a
n+1
=a
n
+2n，那么a
2003
的值是 （ C ）
A、2003
2
B、2002×2001 C、2003×2002 D、2003×2004
10、已知等差数列{a
n
}中，|a
3
|=|a
9
|，公差d<0，则使前n项和S
n
取最大值的正整数n是
(B)
A、4或5 B、5或6 C、6或7 D、8或9
二、填空题：(每小题4分，共计20分)
11．已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 （0，2）
12．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为
a
、b、c ,若(
3
b – c)cosA=acosC，则cosA=
3
3

13．若AB=2, AC=
2
BC ，则S
△
ABC
的最大值
22

14． 在等比数列{a
n
}中，若a
9
·a
11
=4，则数列｛< br>log
1
a
n
｝前19项之和为___－19 ___
2< br>[解析]：由题意a
n
>0,且a
1
·a
19
=a
2
·a
18
=…=a
9
·a
11
=
a
2
10

又a
9
·a
11
=4 ，故
a
1
a
2
?a
19
=
2
19

故
log
1
a
1
?log
1
a
2
+…+
log
1
a
19
=
log
1
(a
1
a
2
?a
19
)??19

22 22
15．已知函数f(x)=2
x
,等差数列{a
x
}的公差为< br>2
.若f(a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+a
10
)=4,则

log
2
[f(a
1
)f(a
2
)f(a
3
)…f(a< br>10
)]= －6


三、解答题：(共计40分)
16．(本题10分)△ABC中，∠A=45°，AD⊥BC，且AD=3，CD=2，求三角形的面 积
S.
解：记
?BAD?
?
,?CAD?
?
,

?tan
?
?
3

h
,tan?
?
2
h
,
?tan45??tan
?
(?< br>?
)?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?

?
5h< br>h
2
?6
?h
2
?5h?6?0?h?6(h??1
不合），

?S?
1
2
?6?5?15
.
17、(本题10分)已知数列{a
n
}为等差数列，公差d≠0，其中
a< br>k
1
，
a
k
2
，…，
a
k
n
恰为等比
数列，若k
1
=1，k
2
=5，k
3< br>=17，求k
1
+k
2
+…+k
n
。
解：设{a
n
}首项为a
1
，公差为d
∵ a
1
，a
5
，a
17
成等比数列
∴ a
5
2
=a
1
a
17

∴（a
1
+4d）
2
=a
1
(a
1
+16d)
∴ a
1
=2d
设等比数列公比为q，则
q?
a
5
a ?4
a
?
n
d
?3

1
a
1
对
a
k
n
项来说，
在等 差数列中：
a
k
k
n
?1
n
?a
1
?(k
n
?1)d?
2
a
1

在等比数列中：< br>a
k
n
?a
1?1
1
q
n?
?a< br>1
3
n

∴
k
n
?2?3
n?1
?1

∴
k
1
?k
2
?
?
k
n
?(2?3
0
?1)?(2?3
1
?1)?
?
?(2?3
n?1
?1) ?2(1?3?
?
?3
n?1
)?n



?3
n
?n?1

∴
k
n
?2?3
n?1
?1

∴
k
1
?k
2
?
?
k
n
?(2?3
0
?1)?(2?3
1
?1)?
?
?(2?3
n?1
?1) ?2(1?3?
?
?3
n?1
)?n



?3
n
?n?1

注：本题把k
1
+k
2
+…+k
n
看成是数列{k
n
}的求和问题，着重分析{ k
n
}的通项公式。这
是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。
18．(本题10分)一缉私艇发现在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正
以10海 里小时的速度沿方位角为105°方向逃窜，若缉私艇的速度为14海里小时，缉
私艇沿方位角45°+ α的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时
间和α角的正弦.（注：方位角是指正 北方向按顺时针方向旋转形成的角）.
解：设缉私艇与走私船原来的位置分别为A、B，在C处两船相 遇，由条件知∠ABC=120
°，AB=12（海里），
设t小时后追及，
?BC?10t,AC?14t
，由正弦定理得
由正弦定 理得
10t
sin
?
?
14t
sin120?
?s in
?
?
53
14
,cos
?
?
1114
；
再由余弦定理得
100t
2
?196t
2?144?2?12?14tcos
?

?12t
2
?33t? 18?0,?t?2或t?
3
4
,

但当
t?
32 1
4
时AC?
2
?12?AB
，不合，
?t?2(小时),sin
?
?
53
14
.
19 、(本题10分)在数列
{a
n
}
中，
a
1
?1< br>，
a
2
?2
，且
a
n?1
?(1?q)a< br>n
?qa
n?1
（
n?2,q?0
）．
(1)设b
n
?a
n?1
?a
n
（
n?N
*< br>），证明
{b
n
}
是等比数列；

(2)求数列
{a
n
}
的通项公式；
(3 )若
a
3
是
a
6
与
a
9
的等差中 项，求
q
的值，并证明：对任意的
n?N
*
，
a
n
是
a
n?3
与
a
n?6
的
等差中项． < br>本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前
n
项和公式，考< br>查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分．
（Ⅰ）证明：由题设
a
n?1
?(1?q)a
n
?qa
n?1
（
n?2
），得
a
n?1
?a
n
?q(a
n
?a
n?1
)
，即
b
n
?qb
n?1
，
n?2
．
q
n?1
?q
n?5
q
n?1
6
?(1?q
．
)

a
n?6
?a< br>n
?
1?q1?q
由①可得
a
n
?a
n?3
?a
n?6
?a
n
，
n?N
*
．
所以对任意的
n?N
*
，
a
n
是
a
n? 3
与
a
n?6
的等差中项．

又
b
1< br>?a
2
?a
1
?1
，
q?0
，所以
{b
n
}
是首项为1，公比为
q
的等比数列．
（Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

a
2
?a
1
?1
，

a
3
?a
2
?q
，
……

a
n
?a
n?1
?q
2
，（
n?2
）．
将以上各式相加，得
a
n
?a
1
?1?q?
?
1?q
n?1
,
?
1?
所以 当
n?2
时，
a
n
?
?
1?q
?
n,
?
?q
n?2
（
n?2
）．
q?1,
q?1.

上式对
n?1
显然成立．
（ Ⅲ）解：由（Ⅱ），当
q?1
时，显然
a
3
不是
a
6
与
a
9
的等差中项，故
q?1
．
由
a
3
?a
6
?a
9
?a
3
可得
q< br>5
?q
2
?q
2
?q
8
，由
q?0
得
q
3
?1?1?q
6
， ①
整理得
( q
3
)
2
?q
3
?2?0
，解得
q
3
??2
或
q
3
?1
（舍去）．于是
q??3
2
．
另一方面，
a
n
?a
n?3
q
n?2
?q
n?1
q
n?1
3
??(q?1)< br>，
1?q1?q