高中数学必修5正余弦定理教案

?高中数学必修5正余弦定理教案
?

●教学目标?
(一)知识目标?
1.三角形的有关性质；?
2.正、余弦定理综合运用.?
(二)能力目标?
1.熟练掌握正、余弦定理应用；?
2.进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质；?
3.综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题.?
(三)德育目标?
通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功 能，反映了
事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.?
●教学重点?
正、余弦定理的综合运用.?
●教学难点?
1.正、余弦定理与三角形性质的结合；?
2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.?
●教学方法?
启发式?
1.启发学生在求解三角形问题时，注意三角形性质、三角 公式变形与正弦、余弦定理产
生联系，从而综合运用正弦、余弦定理达到求解目的；?
2.在 题设条件不是三角形基本元素时，启发学生利用正、余弦建立方程，通过解方程组
达到解三角形目的.?
●教具准备?
投影仪、幻灯片?
第一张：正、余弦定理内容(记作§5.9.4 A)
正弦定理：
abc
???2R;

sinAsinBsinC
余弦定理：
a
2
?b
2
?c
2
?2bcc osA,

b
2
?c
2
?a
2
?2cac osB,
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC.< br>b
2
?c
2
?a
2
,

cosA?
2bc
c
2
?a
2
?b
2cosB?,
2ca
a
2
?b
2
?a
2
cosC?.
2ab

第二张：例题1、2(记作§5.9.4 B)?
［例1］在△ABC中， 三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角
形的三边长.?
［例2］如图， 在△ABC中，AB＝4cｍ，AC＝3cｍ，角平分线AD＝2cｍ，求此三角
形面积.

第三张：例题3、4(记作§5.9.4 C)?
［例3］已知三角形的一个角为60°， 面积为10
3
cｍ
2
，周长为20cｍ，求此三角形
的各边长.
［例4］在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长.
●教学过程?
Ⅰ.复习回顾?
师：上一节课，我们一起研究了正、余弦定理的边角 转换功能在证明三角恒等式及判断
三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公 式及三角形有关性质
来求解三角形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容(给出投影片§5.9 .4 A).
?Ⅱ.讲授新课?
师：下面，我们通过屏幕看例题.(给出投影片§5.9.4 B)?
［例1］分析：由于 题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建
立边角关系.其中sin2α利用正弦 二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边
长的方程，从而达到求边长的目的.?
解：设三角形的三边长分别为
ｘ
，
ｘ
＋1，
ｘ
＋2 ，其中
ｘ
∈Ｎ
*
，又设最小角为α，则?
xx?2x?2
??

sin
?
sin2
?
2sin
?
?cos
?
x?2
?cos
?
?①
2x
又由余弦定理可得
ｘ
2
＝（
ｘ
＋1）
2
＋（
ｘ
＋2）
2
－2（
ｘ
＋1）（ｘ
＋2）cosα②?
将①代入②整理得：
ｘ
2
－3
ｘ
－4＝0?
解之得
ｘ
1
＝4，
ｘ
2
＝－1(舍)?
所以此三角形三边长为4，5，6.?
评述： (1)此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方
程；?
(2 )在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作
用，以引起学生对三 角公式的重视.?
1
AB·AC·sinA，
2
1A
需求出sin A，而△ABC面积可以转化为
Ｓ
△ADC
＋
Ｓ
△ADB
， 而
Ｓ
△ADC
＝AC·ADsin，
Ｓ
△ADB
2
2
1AA
＝AB·AD·sin，因此通过
Ｓ
△ABC
＝
Ｓ
△ADC
＋
Ｓ
△ADB
建立关于含有sinA，sin的方程，而< br>2
22
［例2］分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式
Ｓ
△ABC
＝

sinA＝2sin
AAAA
cos，sin< br>2
＋cos
2
＝1，故sinA可求，从而三角形面积可求.
222 2
解：在△ABC中，
Ｓ
△ABC
＝
Ｓ
△ADB
＋
Ｓ
△ADC
，?
11A1A
·AC·ADsin＋·AB·ADsin
222
22
11A
∴·4·3sinA＝·3·2sin
22
2
A
∴6sinA＝7sin
2
AAA
∴12sincos＝7sin
222
AA7
∵sin
≠0 ∴cos
＝
22
12
A
?
又0＜A＜π ∴0＜＜
22
∴ AB·ACsinA＝
∴sin
A
95
2
A
＝
1? cos
，
?
2
212
AA
795
cos＝， < br>22
72
∴sinA＝2sin
∴
Ｓ
△ABC
＝1
795
·4·3sinA＝（cｍ
2
）.?
2
12
评述：面积等式的建立是求sinA的突破口，而sinA的求解则离不开对三角公式的熟悉.
由此启发学生在重视三角形性质运用的同时，要熟练应用三角函数的公式.另外，在应用同
角的平方关系 sin
2
α＋
cos
2
α＝1时，应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍.
（给出幻灯片§5.9.4 C）?
［例3］分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积 、周长都不是构成三角形的基本
元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建 立方程，这样由于
边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60° 角的余
弦，其二可用面积公式
Ｓ
△ABC
＝
1
absinC 表示面积，其三是周长条件应用.?
2
解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得
?
a
2
?c
2
?b
2
?
cos60??
2ac
?
?
1
?
?acsin60??103

?
2
?
a?b?c?20
?
?

①
?
a?b?c?20
?
?
?
b
2
?a2
?c
2
?ac

②



③
?
ac?40
?
由①式得：b
2
＝［20－（ a＋c）］
2
＝400＋a
2
＋c
2
＋2ac－40（a＋ c） ④?
将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0?
再将③代入得a＋c＝13?
由
?
?
a
1
?5< br>?
a
2
?8
?
a?c?13

解得
?
或
?
?
ac?40
?
c
1
?8
?
c
2
?5
∴b
1
＝7，b
2
＝7?
所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ.?
评述： (1)在方程建立的过程 中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦
形式的面积公式的应用.?
(2)由 条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，
以提高自己的解方程及运 算能力.?
［例4］分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为
ｘ
后， 建立关于
ｘ
的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应
注意余弦定理在建立 方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、
DC可表示为
程.?
解：设B C边为
ｘ
，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝
222
x
，然用利 用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方
2
x
，
2
x
4
2
?()
2
?5
2
AD?BD?AB
2
在 △ADB中，cosADB＝
?,

x
2?AD?BD
2?4?2
x
4
2
?()
2
?3
2
222AD?DC?AC
2
在△ADC中，cosADC＝
?.

x
2?AD?DC
2?4?
2
又∠ADB＋∠ADC＝180°
∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－cosADC.?
xx
42
?()
2
?5
2
4
2
?()
2?3
2
22
∴
??
xx
2?4?2?4?
22
解得，
ｘ
＝2?
所以，BC边长为2.
评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余 弦值互为相反数
这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.?
另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sinA，思路如下：?

由三角形内角平分线性质可得
ABBD5
??
，设BD＝5
ｋ
， DC＝3
ｋ
，则由互补角
ACDC3
∠ADC、∠ADB的余弦值互为相反数 建立方程，求出BC后，再结合余弦定理求出cosA，再
由同角平方关系求出sinA.
师：为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.?
Ⅲ.课堂练习?
1.半径为1的圆内接三角形的面积为0．25，求此三角形三边
长的乘积.?
解： 设△ABC三边为a，b，c.则
Ｓ
△ABC
＝
1
acsinB
2
∴
S
?ABC
acsinBsinB
??

abc2abc2b
b
?2R
，其中R为三角形外接圆半径
sinB
S
?ABC
1
?

abc4R
又
∴
∴abc＝4RS
△ABC
＝4×1×0．25＝1
所以三角形三边长的乘积为1.?
评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理 ：
abc
???2R
，其中R为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式sinAsinBsiCn
1
Ｓ
△ABC
＝
acsinB
发生联系，对abc进行整体求解.
2
2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边 上一点，AD＝5，
AC＝7，DC＝3，求AB.?
解：在△ADC中，
AC< br>2
?DC
2
?AD
2
7
2
?3
2< br>?5
2
11
??,
cosC＝
2?AC?DC2?7?31 4
又0＜C＜180°，∴sinC＝
53

14
在△ABC中，
ACAB
?

sinBsinC
∴AB＝
sinC5356
AC??2?7?.

sinB142
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注 意正、
余弦定理的综合运用.
3.在△ABC中，已知cosA＝
35
，sinB＝，求cosC的值.?
513

解：∵cosA＝
3
2
＜＝cos45°，0＜A＜ π
5
2
∴45°＜A＜90°
4

5
51
∵sinB＝＜＝sin30°，0＜B＜π
132
∴sinA＝
∴0°＜B＜30°或150°＜B＜180°
若B＞150°，则B＋A＞180°与题意不符.?
∴0°＜B＜30° cosB＝
12

13
3124516
????

51351365
16
.
65
∴cos（A＋B）＝cosA·c osB－sinA·sinB＝
又C＝180°－（A＋B）.?
∴cosC＝cos［18 0°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－
评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时， 应根据已知的三角函数值具体
确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角 接近的特殊角的
三角函数值进行比较.?
Ⅳ.课时小结?
师：通过本节学习，我们 进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了
正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求 大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断
提高三角形问题的求解能力.
Ⅴ.课后作业?
(一)书面作业?
1.课本Ｐ
132
习题5.9 5.?
2.在三角形中，三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的三边长分别
为 .
答案：2，3，4?
3.已知方程a（1－
ｘ
2
）＋2bｘ
＋c（1＋
ｘ
2
）＝0没有实数根，如果a、b、c是△ABC
的三条边的长，求证△ABC是钝角三角形.?
(二)1.预习内容?
课本Ｐ
132
～Ｐ
133
解斜三角形应用举例.
2.预习提纲?
(1)解斜三角形在实际中有哪些应用??
(2)实际中的解斜三角形问题如何转化为纯数学问题??
●板书设计
§5.9.4 正弦定理、余弦定理(四)
1.常用三角公式 2.三角形有关性质 3.学生
练习
①sin
2
A＋cos
2
A＝1? ①面积公式
Ｓ
＝
1
absinC
2
②sin2A＝2sinAcosA? ②角平分线定理

③sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB? ③互补角正弦值相等
④cos
2
A＝1－2sin
2
A ④互补角余弦值互为相反数
●备课资料?
1.正、余弦定理的综合运用?
余弦定 理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得：sin
2
A＝sin
2B＋sin
2
C
－2sinBsinCcosA.
这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说明
之.?
［例1］在△ABC中，已知sin
2
B－sin
2
C－sin2
A＝
3
sinAsinC，求B的度数.
解：由定理得sin
2
B＝sin
2
A＋sin
2
C－2sinAsinCcosB， ?
∴－2sinAsinCcosB＝
3
sinAsinC
∵sinAsinC≠0?
∴cosΒ＝－
3

2
∴B＝150°
［例2］求sin
2
10°＋cos
2
40°＋sin10°cos40°的值.
解：原式＝sin
2
10°＋s in
2
50°＋sin10°sin50°
在sin
2
A＝sin
2
B＋sin
2
C－2sinBsinCcosA中，令B＝10°，C＝5 0°，则A＝120°.
sin
2
120°＝sin
2
10°＋s in
2
50°－2sin10°sin50°cos120°
＝sin
2< br>10°＋sin
2
50°＋sin10°sin50°＝（
3
2
3
）＝.
4
2
［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sin A，试判定△ABC的形状.?
2
解：在原等式两边同乘以sinA得：2cosBsinA sinC＝sinA，由定理得sin
2
A＋sin
2
C－sin
2
Β
＝sin
2
A，
∴sin
2
C＝sin
2
B?
∴B＝C
故△ABC是等腰三角形.?
2.一题多证?
［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形.?
证法一：欲 证△ABC为等腰三角形.可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边
元素，使只剩含角的三角函 数.由正弦定理得a＝
∴2bcosC＝
bsinA

sinB
bs inA
，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsin C.
sinB
∴sinBcosC－cosBsinC＝0
即sin（B－C）＝0，?
∴B－C＝
ｎ
π（
ｎ
∈Ｚ）.?
∵B、C是三角形的内角，?
∴B＝C，即三角形为等腰三角形.?
证法二：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，

又∵a＝2bcosC?
∴2bcosC＝bcosC＋ccosB?
∴bcosC＝ccosB，即
又∵
?
bcosB
?.

ccosC
bsinB
.

csinC
sinBcosB
?,
即tanB＝tanC ∴
sinCcosC
∵B、C在△ABC中，?
∴B＝C?
∴△ABC为等腰三角形.?
a
2
?b
2
?c
2
aa
2
?b
2
?c
2
a
及cosC?,< br>∴
?,
化简后得b
2
＝证法三：∵cosC＝
2ba2b2a b2b
c
2
.?
∴b＝c
∴△ABC是等腰三角形.?