高中数学必修五课外辅导班资料

1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理

从容说课 < br>本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切
的联系，与 已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引
入正弦定理内容时，让学 生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大
边对大角，小边对小角的边角关系.我 们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”
在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已 知三角形的两条边及其所夹的角,根据三
角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角 形.我们仍然从量化的角度
来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的 另一边和两个
角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了
新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．
教学重点1.正弦定理的概念；
2.正弦定理的证明及其基本应用．
教学难点1.正弦定理的探索和证明；
2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．
教具准备直角三角板一个
三维目标
一、知识与技能
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．
二、过程与方法
1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；
2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理；
3.进行定理基本应用的实践操作．
三、情感态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.培养学生探索数学规律的 思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的
联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统 一．
教学过程
导入新课

师如右图，固定△
ABC
的 边
CB
及∠
B
，使边
AC
绕着顶点
C
转动 ．
师思考：∠
C
的大小与它的对边
AB
的长度之间有怎样的数量关系？
生显然，边
AB
的长度随着其对角∠
C
的大小的增大而增大．
师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

师在初中，我们已 学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式
关系．如右图，在Rt△
ABC
中，设
BC
=
A
,
AC
=
B
,
AB
=
C
,根据锐角三角函数中正弦函数 的定
义，有
abcabc
=sin
A
， =sin
B
，又sin
C
=1=,则
???c
.从而在直角三角
c
c csinAsinBsimC
形
ABC
中，
abc
.
??
sinAsinBsimC
推进新课
[合作探究]
师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）
生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如右图，当△
ABC
是锐角三角形时，设边
AB
上的高是
CD
，根据任意角三角函数的定义，有
CD
=
A
sin
B
=
B
sin
A
,则
abcbabc
，同理，可得.从而.
????
sinAsi nBsinCsinBsinAsinBsinC
（当△
ABC
是钝角三角形时，解法 类似锐角三角形的情况，由学生自己完成）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc
.
??
sinAsinBsinC
师是否可以用其他方法证明这一等式？
生可 以作△
ABC
的外接圆，在△
ABC
中,令
BC
=
A
,
AC
=
B
,
AB
=
C
,根据 直径所对的圆周角是直角以
及同弧所对的圆周角相等，来证明
abc
这一关系． ??
sinAsinBsinC
师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此 问题，我们一起来看下面的证法.
在△
ABC
中,已知
BC
=< br>A
,
AC
=
B
,
AB
=
C
,作△
ABC
的外接圆,
O
为圆心,连结
BO
并延长交圆于
B′
,
设
BB′
=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所 对的圆周角相等可以得到
∠
BAB′
=90°，∠
C
=∠
B′
，

∴sin
C
=sin
B′
=
sinC?sinB
?
?
c
.
2R

c
?2R
.
sinC
ab
同理,可得
?2R,?2R
.
sinAsinB
abc
∴
???2R
.
sinAsin BsinC
∴
这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式
abc
.
??
sinAsinBsinC
点评:上述证法采用了初 中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角
三角形进而求证,此证法在巩固平面几 何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学
生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这 一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为
下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.
[知识拓展]
师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出, 定理
反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?
生向量的数 量积的定义式
A
·
B
=|
A
||
B
|C
osθ,其中θ为两向量的夹角.
师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?
生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=
Co
s(90°-θ)进行转化.
师这一转 化产生了新角90°-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,
辅助向量选取了 单位向量j,而j垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,
这是作辅助向量j垂直 于三角形一边的原因.
师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得
AC?CB?AB

而添加垂直于
AC
的单位向量j是关键,为了 产生j与
AB
、
AC
、
CB
的数量积,
而在上面向 量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.
师下面,大家再结合课本进一步体会向 量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中
所用到的向量知识点.
点评: (1)在 给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以
及两向量垂直的充要条件 的运用.
(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.
向量法证明过程:
(1)△
ABC
为锐角三角形,过点
A
作单位向量j垂直于
90°-
A
,j与
AC
,则j与
AB< br>的夹角为
CB
的夹角为90°-
C
.


由向量的加法原则可得
AC?CB?AB
,
为了与图中有关角的三角函数建 立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积
运算,得到

j?(AC?CB)?j?AB

由分配律可得
AC?j?CB?j?AB
.
∴|j|

AC
Co
s90°+|j|
CB
Co
s(90°-
C
)=|j|
AB
Co
s(90°-
A
).
∴
A
sin
C
=
C
sin
A
.
∴
ac
.
?
sinAsinC
另外,过点
C作与
CB
垂直的单位向量j,则j与
90°+
B
,可得
AC
的夹角为90°+
C
,j与
AB
的夹角为
cb
.
?
sinCsinB
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误 解为j与
90°-
C
,j与
∴
AC
的夹角为
AB< br>的夹角为90°-
B
)
abc
.
??
sinAs inBsinC
(2)△
ABC
为钝角三角形,不妨设
A
＞90°, 过点
A
作与
AC


垂直的单位向量j,则j与
A B
的夹角为
A
-90°,j与
CB
的夹角为90°-
C.
+j·
CB
=j·由
AC?CB?AB
,得j·
AC
AB
,
即
A
·
Co
s(90°-
C
)=
C
·
Co
s(
A
-90°),
∴
A
sin
C
=
C
sin
A
.
∴
ac

?
sinAsinC
另外,过点
C
作与
CB
垂直的单位向量j,则j与
90°+
B
.
AC
的夹角为90°+
C
,j与
AB
夹角为
bc
.
?
sinBsinC
abc
??
∴（形式1）.
simA sinBsinC
同理,可得
综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均 成立.
师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用.
[教师精讲] < br>（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即
存在正 数k使
A
=ksin
A
，
B
=ksin
B
，
C
=ksin
C
；

abc

??
sinAsinBsinC
abcbac
等价于 (形式2).
?,?,?
sinAsinBsinCsinBsinAsinC
（2）
我们通过观 察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问
题.
①已知 三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如
a?
bsinA
.这类问题由于两角已 知,
sinB
a
sinB
．此
b
故第三角确定,三角形唯一 ,解唯一,相对容易,课本P
4
的例1就属于此类问题.
②已知三角形的任意两边与 其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sinA?
类问题变化较多,我们在解题时要分清题 目所给的条件．
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．
师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.
［例题剖析］
【例1】在△< br>ABC
中，已知
A
=32.0°,
B
=81.8°,
A
=42.9
c
m,解三角形.
分析:此题属于已知两角和其中一角所对 边的问题,直接应用正弦定理可求出边
B
,若求边
C
,
再利用正弦定 理即可.
解：根据三角形内角和定理，
C
=180°-(
A
+< br>B
)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;
根据正弦定理， asinB42.9sin81.8
o
?
b
=≈80.1(
c< br>m);
sinA
sin32.0
o
asinC42.9sin66. 2
o
?
c
=≈74.1(
c
m).
o
sinA
sin32.0
[方法引导]
(1)此类问题结果为 唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角
和180°求出第三角,再利用 正弦定理.
(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.
【例2】在△
ABC
中，已知
A
=20
c
m，
B
=28
cm，
A
=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精
确到1
c
m）．
分析:此例题属于
B
sin
A
＜
a
＜
b
的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,
使学 生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.
解：根据正弦定理，
bsinA28sin40
o
?
sin
B
=≈0.899 9.
a20
因为0°＜
B
＜180°，所以
B
≈64°或
B
≈116°.
（1）当
B
≈64°时，
C
=180°-（
A
+
B
）=180°-（40°+64°）=76°，
asinC20sin76
o
?
C
=≈30(
c
m).
sinA
sin40
o

（2）当
B
≈116°时，
C
=180°-（
A
+
B
）=180°-（40°+116°）=24°，
asinC20sin24
o
?
C
=≈13(
c
m).
sinA
sin40
o
[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定 理求角有两种可能,但是都不符合题意,
可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对 角时解三角形的各种情形.
当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这 一点,我们通过
下面的例题来体会.
变式一：在△
ABC
中,已知
A
＝60,
B
＝50,
A
＝38°,求
B
(精确到 1°)和
C
(保留两个有效数字).
分析:此题属于
A
≥
B
这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性
质来排除
B
为钝角的情形.
解：已知
B
<
A
,所以
B<
A
,因此
B
也是锐角.
bsinA50sin38
o
?
∵sin
B
=≈0.513 1,
a60
∴
B
≈31°.
∴
C
=180°- (
A
+
B
)=180°-(38°+31°)=111°.
asinC60sin111
o
?
∴
C
=≈91.
o
sinA
sin38
[方法引导]
同样是已知两边和一边对角 ,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于
本题,如果没有考虑角
B
所受限制而求出角
B
的两个解,进而求出边
C
的两个解,也可利用三
角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意
的解. 变式二：在△
ABC
中,已知
A
＝28,
B
＝20,< br>A
＝120°,求
B
(精确到1°)和
C
(保留两个有效数< br>字).
分析:此题属于
A
为钝角且
A
>
B
的情形,有一解,可应用正弦定理求解角
B
后,利用三角形内角
和为180°排除角
B
为钝角的情形.
bsinA20sin120
o
?
解： ∵sin
B
=≈0.618 6,
a28
∴
B
≈38°或
B
≈142°(舍去).
∴
C
=180°-（
A
+
B
）=22°.
∴
C
=
asinC28sin22?
?
≈12.
sinAsin120?
[方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角< br>B
为钝角的排除也可以结合
三角形小角对小边性质而得到.
(2)综合上述例 题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边
的对角解三角形.
(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.
师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：
1.在△
ABC
中(结果保留两个有效数字)，

(1)已知
C
=
3
,
A
=45°,
B
=60°，求
B
;
(2)已知
B< br>＝12,
A
＝30°,
B
＝120°,求
A
. 解：(1)∵
C
=180°-(
A
+
B
)=180°- (45°+60°)=75°，
bc
，
?
sinBsinC
∴
B
=
csinB3sin60?< br>?
≈1.6.
sinCsin75?

ab
，
?
sinAsinB
bsinA12sin30?
∴
A
=≈6.9.
?
sinBsin120?
(2)∵
点评:此题为正 弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的
学生进行在黑板上解答,以 增强其自信心.
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1):
(1)< br>B
=11,
A
=20,
B
=30°;(2)
A
=28,
B
=20,
A
=45°;
(3)
C
=54,
B
=39,
C
=115°;(4)
A
=20,B
=28,
A
=120°.
ab
.
?
sinAsinB
asinB20sin30?
∴sin
A
=≈0.909 1.
?
b11
解： (1) ∵
∴
A
1
≈65°，
A
2
≈115°.
当
A
1
≈65°时，
C
1
=180°-(
B
+
A
1
)=180°-(30°+65°)=85°，
∴
C1
=
bsinC
1
11sin85?
≈22.
?sinsinBsin30?
当
A
2
≈115°时，
C
2
=180°-(
B
+
A
2
)=180°-(30°+11 5°)=35°,
bsinC
2
11sin35?
≈13.
?< br>sinBsin30?
bsinA20sin45?
(2)∵sin
B
=≈0.505 1,
?
a28
∴
C
2
=
∴B
1
≈30°，
B
2
≈150°.
由于
A< br>+
B
2
=45°+150°＞180°,故
B
2
≈1 50°应舍去(或者由
B
＜
A
知
B
＜
A
, 故
B
应为锐角).
∴
C
=180°-(45°+30°)=105°.
asinC28sin105?
≈38.
?
sinAsin45?
bc
?
(3)∵,
sinBsi nC
bsinC39sin115?
?
∴sin
B
=≈0.654 6.
c54
∴
C
=
∴
B
1
≈41°,< br>B
2
≈139°.
由于
B
＜
C
,故
B
＜
C
,∴
B
2
≈139°应舍去.
∴当B
=41°时，
A
=180°-(41°+115°)=24°,

csinA54sin24?
≈24.
?
sinCsin115?
bsinA28sin120?
(4) sin
B
= =1.212＞1.
?
a20
A
=
∴本题无解.
点评:此练习目的是使学生进 一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知
角的正弦值求角的两种可能,又要结合题 目的具体情况进行正确取舍.
课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了正弦定理的证明方法 ,同时了解了向量的工具性作用,并
且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、 一边解三角形;已知两边
和其中一边的对角解三角形.
布置作业
（一）课本第10页习题1.1 第1、2题.
（二）预习内容：课本P
5
～P
8
余弦定理
[预习提纲]
(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.
(2)余弦定理如何与向量产生联系.
(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.
板书设计
1.正弦定理:
正弦定理
2.证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:
abc
(1)平面几何法 (1)已知两角和一边
??
sinAsinBsinC
(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角

1.1.2 余弦定理
从容说课
课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹
的角,根据三角形 全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从
量化的角度来研究这个问题， 也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另
一边和两个角的问题”．这样，用联系的观 点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的
知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实 基础上，使学生能够形成良好的知
识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比 如对于余弦定理的证
明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过 向量知
识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．
在证明了余弦定理及其推论以后 ，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个
思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方 之间的关系，余弦定理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并 进而指出，“从余弦定理以
及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那 么第三边所对
的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方 ，
那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生
注 意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定
理达到求解、求 证目的.
启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,
注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.
教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;
2.余弦定理在解三角形时的应用思路;
3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．
教具准备 投影仪、幻灯片两张
第一张:课题引入图片(记作1.1.2
A
)

如图(1),在R t△
ABC
中,有
A
+
B
=
C

问题:在图(2)、(3)中,能否用
b
、
c
、
A
求解a
?
第二张:余弦定理(记作1.1.2
B
)
余弦定理:三 角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的
积的两倍.
222222222
形式一:
a
=
b
+
c
-2
bcco
s
A
，
b
=
c
+
a
-2
caco
s
B
,
c
=
a
+
b
-2
abco
s
C
,
222
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
? b
2
a
2
?b
2
?c
2
形式二:
co
s
A
=,
co
s
B
=,
co
s
C
=.
2bc2ca2ab
三维目标
一、知识与技能

1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;
2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;
3.能利用计算器进行运算.
二、过程与方法
1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;
2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
三、情感态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.通过三角函数、余弦定理 、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与
辩证统一．
教学过程
导入新课
师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在 三角形已
知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2
A
,如图(1)，在直角三角形中,根 据两直角边
及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三
边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.

在△
ABC
中,设
BC
=
A
,
AC
=
B,
AB
=
C
,试根据
B
、
C
、
A
来表示
A
.
师 由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以 应添加辅助线构成直角三角形，
在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作
CD< br>垂直于
AB
于
D
，那么在Rt△
BDC
中，边
A
可利用勾股定理用
CD
、
DB
表示,而
CD
可 在Rt△
ADC
中利用边角关系表示,
DB
可利
用
AB-
AD
转化为
AD
,进而在Rt△
ADC
内求解. < br>解：过
C
作
CD
⊥
AB
,垂足为
D
,则在Rt△
CDB
中,根据勾股定理可得
A
2
=
CD
2
+
BD
2
. 222
∵在Rt△
ADC
中,
CD
=
B
-AD
,
2222
又∵
BD
=(
C
-
AD
)=
C
-2
C
·
AD
+
AD
,
2222222
∴
A
=
B
-
AD
+< br>C
-2
C
·
AD
+
AD
=
B
+
C
-2
C
·
AD
.
又∵在Rt△
A DC
中,
AD
=
B
·
CO
s
A
,
222
∴
a
=
b
+
c
-2ab
c
os
A
.
222
类似地可以证明
b
=
c
+
a
-2
caco
s
B
.
c
2
=
a
2
+
b
2
-2ab
c
os< br>C
.
另外,当
A
为钝角时也可证得上述结论,当
A
为直角时，
a
2
+
b
2
=
c
2
也 符合上述结论,这也正是我
们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻 灯片1.1.2
B
)
推进新课
1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的
积的两倍.
在幻灯片1.1.2
B
中我们可以看到它的两种表示形式:
形式一: a
2
=
b
2
+
c
2
-2
bc co
s
A
,
b
2
=
c
+
a2
-2
caco
s
B
,

c
2
=
a
2
+
b
2
-2
abco
s< br>C
.
形式二:
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
,
2bc
c
2
?a
2
?b
2
cosB?
,
2ca
a
2
?b
2
?c
2
cosC?.
2ab
师 在余弦定理中,令
C
=90°时,这时
co< br>s
C
=0,所以
c
=
a
+
b
,由此 可知余弦定理是勾股定理的
推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采 用向量法证明,
以进一步体会向量知识的工具性作用.
[合作探究]
2.向量法证明余弦定理
(1)证明思路分析
师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因
A、
B
均未知，所以较难求边
C
．由于余弦定理中涉及到的角是以
余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些
向量知识产生 联系呢?
222

生 向量数量积的定义式
a
·
b
=|
a
||
b
|
co
sθ,其中θ为
A
、
B
的夹角.
师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别 .首先因为无须进行
正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系 上仍然通
过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角
C
,则构造
CB?CA
这一数量积以使出现
CO
s
C
.同样在证明过程中应注意两向量夹角
是以同起点为前提.

(2)向量法证明余弦定理过程:
如图，在△
ABC
中,设
AB< br>、
BC
、
CA
的长分别是
c
、
a
、
b
.
由向量加法的三角形法则，可得
AC?AB?BC
,
∴
22
AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)?AB?2AB?BC?BC?AB? 2ABBCcos(180??B)?BC
?c
2
?2accosB?a
2< br>,
22

即
B
=
C
+
A
-2
ACCO
s
B
.
由向量减法的三角形法则，可得
B C
∴
222
?AC?AB
,
2

22
BC ?BC?(AC?AB)?(AC?AB)?AC?2AC?AB?AB?AC?2AC?ABcosA?AB< br>?b
2
?2bccosA?c
2
即
a
=
b< br>+
c
-2
bcco
s
A
.
由向量加法的三 角形法则,可得
∴
222
2
AB?AC?CB?AC?BC
,
22

AB?AB?(AC?BC)?(AC?BC)?AC?2AC?BC?BC?AC? 2AC?BCcosC?BC
?b
2
?2bacosC?a
2
,即
c
=
a
+
b
-2
abco
s
C
.
[方法引导]
(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.
(2)在证明过程中 应强调学生注意的是两向量夹角的确定,
222
2
2
AC
与
AB
属于同起点向量,则
夹角为
A
;
AB
与
BC< br>是首尾相接,则夹角为角
B
的补角180°-
B
;
AC
与
BC
是同终点,
则夹角仍是角
C
.
[合作探究]
师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能
否由 三边求出一角？
生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：
b< br>2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?a
2
?c
2
cosA?, cosB?,cosC?
.
2bc2ac2ba
师 思考：勾股定理指出了直角三角 形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间 的关系？
222
生（学生思考片刻后会总结出）若△
ABC
中，
C
=90°，则
co
s
C
=0，这时
c
=
a
+
b
.由此可知
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．
师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的
平方 ，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对
的角是钝角，如果 两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，
余弦定理可以看作是勾股定理 的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变
成可定量计算的公式了．
师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2
B
) 通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有
关三角形 的问题:
(1)已知三边,求三个角.
这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P
8
例4属这类情况.

(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
这类问题第三边确定 ,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形
所产生的判断取舍等问题.
接下来,我们通过例题来进一步体会一下.
［例题剖析］
【例1】在△
ABC
中，已知
B
=60
c
m，
C
=34
c
m，
A
=41°，解三角形（角度精确到1°，边长
精确到1
c
m）.
解：根据余弦定理，
a
2
=
b
2
+
c
2
-2
bcco
s
A
=602
+34
2
-2·60·34
co
s41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,
所以
A
≈41
c
m.
由正弦定理得sin
C
=
csinA34?sin 41?34?0.656
≈≈0.544 0,
?
a4141
因为
C
不是三角形中最大的边，所以
C
是锐角.利用计数器可得
C
≈33 °,
B
=180°-
A
-
C
=180°-41°-33° =106°.
【例2】在△
ABC
中，已知
a
=134.6
c
m，
b
=87.8
c
m，
c
=161.7
c
m，解三角形.
解：由余弦定理的推论,得
b
2
?c
2
?a
2
87.8
2
?161.7
2
?134.6
2
?
co
s
A
=≈0.5 54 3,
A
≈56°20′;
2bc2?87.8?161.7
c
2
?a
2
?b
2
134.6
2
?161.72
?87.8
2
?
co
s
B
=≈0.839 8,
B
≈32°53′;
2ca2?134.6?161.7
C
=180°-(
A
+
B
)=180°-(56°20′+32°53′)=9 0°47′.
[知识拓展]
补充例题：
【例1】在△
ABC
中,已知
a
=7,
b
=10,
c
=6,求
A
、
B
和
C
.(精确到1°)
分析:此题属于已知三角形三边求角 的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的
形式二.
b
2
?c
2
?a
2
10
2
?6
2
?7
2< br>??0.725
, 解：∵
cosA?
2bc2?10?6
∴
A
≈44°.
a
2
?b
2
?c
2
7
2
?10
2< br>?6
2
113
??
∵
c
os
C
=≈ 0.807 1,
2ab2?7?10140
∴
C
≈36°.
∴
B
=180°-(
A
+
C
)=180°-(44°+36° )=100°.
[教师精讲]
(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形 内角和为180°,可用余弦定理求出
两角,第三角用三角形内角和定理求出.
(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.
【例2】在△
ABC
中,已 知
a
=2.730,
b
=3.696,
c
=82°28′, 解这个三角形(边长保留四个有效
数字,角度精确到1′).
分析:此题属于已知两边及其夹 角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在

第三边求出后其余角求解有 两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是
利用两边和一边对角利用正弦定理求解, 但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需
对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之 间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.
22222
解：由
c
=
a
+
b
-2
abco
s
C
=2.730+3.696 -2×2.730×3.696×
co
s82°28′,
得
c
≈4.297.
b
2
?c
2
?a< br>2
3.696
2
?4.297
2
?2.730
2?
∵
c
os
A
=≈0.776 7,
2bc2?3.696?4.297
∴
A
≈39°2′.
∴
B
=180°-(
A
+
C
)=180°-(39°2′+82°2 8′)=58°30′.
[教师精讲]
通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正 弦定理与余弦定理都可选用,那么求边
用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦. < br>【例3】在△
ABC
中,已知
A
=8,
B
=7,B
=60°,求
C
及S
△
ABC
.
分析:根 据已知条件可以先由正弦定理求出角
A
,再结合三角形内角和定理求出角
C
, 再利用
正弦定理求出边
C
,而三角形面积由公式S
△
ABC
=
1
ac
sin
B
可以求出.
2
222
若用余弦定理求
C
,表面上缺少
C
,但可利用余弦定理
b
=
c
+
a
-2
caco
s
B
建立关于
C
的方程,亦
能达到求
C
的目的.
下面给出两种解法.
解法一:由正弦定理得
87
,
?
sinAsin60?
∴
A
1
=81.8°,
A
2
=98.2°,
∴
C
1
=38.2°,
C
2
=21.8°.
7c
,得
c
1
=3,
c
2
=5,
?
sin60?sinC
11
∴S
△
ABC
=
a c
1
sinB?63
或S
△
ABC
=
ac
2
sinB?103
.
22
由
解法二:由余弦定理得
b< br>=
c
+
a
-2
caco
s
B
,
22
∴7=
c
+8-2×8×
cco
s60°,
2
整理得
c
-8
c
+15=0,
解之,得
c
1
=3,
c
2
=5.∴S
△
ABC
=
22
11
ac
1
sinB?63
或S
△
A BC
=
ac
2
sinB?103
.
22
[教师精讲]
在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味
之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程
的 观点去解决,故解法二应引起学生的注意.
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适 用范围;已知三边求角或已
知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定 理建立方程的
解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.
课堂练习
1.在△
ABC
中:
(1)已知
c
=8,
b=3,
b
=60°,求
A
;
(2)已知
a
= 20,b
B
=29,
c
=21，求
B
;

< br>(3)已知
a
=33,
c
=2,
b
=150°,求< br>B
;
(4)已知
a
=2,
b
=2，
c=3+1,求
A
.
222222
解： (1)由
a
=
b
+
c
-2
bcco
s
A
，得
a
=8+3-2×8×3
co
s60°=49.∴
A
=7.
c
2
?a
2
?b
2
20
2
?21
2
?29
2
?0
.∴
B
=90°. (2)由
co sB?
,得
cosB?
2ca2?20?21
(3)由
b
=
c
+
a
-2
caco
s
B
,得
b
=(33)+2-2×33×2
co
s150°=49.∴
b
=7.
222222
b
2
?c
2
?a
2
(2)< br>2
?(3?1)
2
?2
2
2
(4)由
cos A?
,得
cosA?
.∴
A
=45°.
?
2bc
2
22(3?1)
评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注 意运算的准确性及解题
效率.
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).
(1)
a
=31,
b
=42,
c
=27;
(2)
a
=9,
b
=10,
c
=15.
b
2
?c
2
?a
2
42
2
?27
2
?31
2
解：(1)由
cosA?
,得
cosA?
≈0.675 5,∴
A
≈48°.
2bc2?42?27
c
2
?a
2
?b
2
31
2
?27
2
? 42
2
?
由
cosB?
≈-0.044 2,∴
B
≈93°.
2ca2?31?27
∴
C
=180 °-(
A
+
B
)=180°-(48°+93°)≈39°.
b< br>2
?c
2
?a
2
10
2
?15
2< br>?9
2
,
得
cosA?
(2)由≈0.813 3,
2bc2?10?15
∴
A
≈36°.
c
2
?a
2
?b
2
15
2
?9
2
?10
2
?
由
cosB?
≈0.763 0,
2ca2?9?15
∴
B
≈40°.
∴
C
=18 0°-(
A
+
B
)=180°-(36°+40°)≈104°.
评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行
较复杂的运算 .同时,增强解斜三角形的能力.
课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明 方法,同时又进一步了解了向量的工具
性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题 :
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．
布置作业
课本第8页练习第1（1）、2（1）题.

1.1.3 解三角形的进一步讨论
从容说课
本节课中，应先通过 分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出
正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能 用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之
亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中， 我们应指导学生对利用正弦定理和余弦
定理解斜三角形的问题进行归类，列表如下：
解斜三角形时可用的定理和
公式
余弦定理
a
2
=
b
2
+
c
2
-2
bcco
s
A

b
2
=
a
2
+
c
2
-2
acco
s
B

c
2
=
b
2
+< br>a
2
-2
baco
s
C

正弦定理
适用类型
（1）已知三边
（2）已知两边及其夹角
备注
类型（1）（2）有解时只有一
解
（3）已知两角和一边
abc
（4）已知两边及其中一边的
???2R

对角
sinAsinBsinC
三角形面积公式 （5）已知两边及其夹角
类型（3）在有解时只有一解，
类型（4）可有两解、一解或
无解

1
S?bcsinA?

2
1
acsinB?

2
1
absinC

2
同时应指出，在解斜三角形问题时， 经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的
主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换 找出角与角之间的关系，进而解决问题；
（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地 ，当已知三角形三边或三边
数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦 定理或余弦定
理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及
公式．
教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情
形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;
2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；
3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．
教具准备 投影仪、幻灯片
第一张:课题引入图片(记作1．1．3A)
正弦定理:
abc
???2R
；
sinAsinBsinC
222222222
余弦定理:
a
=
b
+
c
-2
bcco
s
A
,
b
=
c
+
a-2
caco
s
B
,
c
=
a
+
b
-2
abco
s
C
，
b
2
?c2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?
,
cosB ?
,
cosC?
.
2bc2ca2ab

第二张:例3、例4(记作1．1．3
B
)
[例3]已知△
ABC
,
BD
为角
B
的平分线,求证:
AB
∶
BC
＝
AD
∶
DC
.
22
[例4]在△
ABC
中,求证:
a
sin2
B
+
b
sin2
A
=2
ab
sin
C.
第三张:例5(记作1．1．3C)
[例5]在△
ABC
中,< br>bco
s
A
=
aco
s
B
,试判断三角形的 形状.
三维目标
一、知识与技能
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情
形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
二、过程与方法
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数
公式及三 角形有关性质求解三角形问题．
三、情感态度与价值观
通过正、余弦定理，在解三角形问题 时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反
映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能 ，从而从本质上反映了事物之间的内
在联系．
教学过程
导入新课
师 前 面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理
解三角形的有关题 型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3
A
).
从 幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可
以进行边与角 之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能
在判断三角形形状和证明 三角恒等式时的应用.
推进新课
思考：在△
ABC
中，已知
A< br>=22
c
m，
B
=25
c
m,
A
= 133°，解三角形．（由学生阅读课本第9
页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三 角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形 下解三角形的问题．
【例1】在△
ABC
中，已知
A
,
B
,
A
，讨论三角形解的情况.
师 分析：先由
sinB?
bsinAasinC
可进一步求出
B
；则
C
=180°-(
A
+
B
),从而
c?
.
asinA
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况． < br>1.当
A
为钝角或直角时，必须
a
＞
b
才能有且只有 一解；否则无解．
2.当
A
为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
＜
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
＞
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
=
b
sin
A
，则只有一解；

（3）若
a
＜
b
sin
A
，则无解．
（以上解答过程详见课本第9到第10页）
师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解 三角形时，只有当
A
为锐角且
b
sin
A
＜
a＜
b
时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．
（1）
A
为直角或钝角

（2）
A
为锐角

【例2】在△
ABC
中，已知
a
=7,
b
=5,
c
=3，判断△
ABC
的类型．
分析：由余弦定理可知
a
2
=
b
2
+
c
2
?
A
是直角
?
△
ABC
是直角三角形，
a
2
＞
b
2
+
c
2
?
A
是钝角
?
△
ABC
是钝角三角形，
a
2
＜
b
2
+
c
?
A
是锐角△
ABC
是锐角三角形。
（注意：
A
是锐角 △
ABC
是锐角三角形 ）
222222
解：∵7＞5+3,即
a
＞
b
+
c< br>，
∴△
ABC
是钝角三角形．
[教师精讲]
1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
2．正弦 定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例
如：在判断三角形形状 时，经常把
a
、
b
、
c
分别用2Rsin
A
、2Rsin
B
、2Rsin
C
来代替．
3.余弦定理的主要作 用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边
角之间的转化．
（1）已知三边，求三个角．
（2）已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
22 2
4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式
a
=
b
+
c
-2
bcco
s
A
中含有未知数时，这
便成为方程，式中 有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求
A
或
B
或
C
或
co
s
A
．
师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片1.1.3B)

［例题剖析］

【例3】分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角
B
的平分线
BD
将
△
ABC
分成了两个三角形：△
ABD< br>与△
CBD
,故要证结论成立,可证明它的等价形式:
AB
∶
BC
＝
AD
∶
DC
,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形 内边的比等于所对角的正弦值的比,
故可利用正弦定理将所证继续转化为
BCDC
,再 根据相等角正弦值相等,
?
sin?BDCsin?DBC
互补角正弦值也相等即可证 明结论.
ABADABsin?ADB
,即,
??
sin?ADBsin ?ABDADsin?ABD
BCDCBCsin?BDC
在△
BCD
内,利 用正弦定理得,即,
??
sin?BDCsin?DBCDCsin?DBC
证明: 在△
ABD
内,利用正弦定理得
∵
BD
是角
B
的平 分线,∴∠
ABD
=∠
DBC

∴sin∠
ABD
=sin∠
DBC
.
∵∠
ADB
+∠
BDC
=180°,
∴sin∠
ADB
=sin(180°-∠
BDC
)=sin∠
BDC
.
ABsin?ADBsin?BDCBC
.
???
ADsin?ABDsin?DBCDC
ABAD
∴.
?< br>BCDC
∴
评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意 互补角的正弦
值相等这一特殊关系式的应用.
［例题剖析］
【例4】分析:此题所 证结论包含关于△
ABC
的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角
的关系通过 正弦定理转化为边的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化
为角的关系,一般是通过 正弦定理.
另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如sin2
B
=2 sin
bco
s
B

等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.
证明一: (化为三角函数) a
2
sin2
B
+
b
2
sin2
A< br>=(2Rsin
A
)
2
·2sin
B
·
CO
s
B
+(2Rsin
B
)
2
·2sin
A
·
co
s
A
=8R
2
sin
A
· sin
B
(sin
A
co
s
B
+
cos
A
sin
B
)=8R
2
sin
a
s in
b
sin
C
=2·2Rsin
A
·2Rsin
B
·sin
C
=2
ab
sin
C
.
所以原式得证.
证明二: (化为边的等式)
2ba
2
?c2
?b
2
2ab
2
?c
2
?a
22
??b??
左边=
A
·2sin
Bco
s
B
+
B
·2sin
Aco
s
A
=
a?
=
2R2ac2R2bc
22
2
ab
2
abc
(a?c
2
?b
2
?b
2
?c
2
?a< br>2
)?2c
2
?2ab??2absinC
=
2Rc2Rc2R
[教师精讲]
由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A
=2Rsin
A
,
B
=2Rsin
B
,C
=2Rsin
C
,在转化为角
的关系式后,要注意三角函数公式的运用 ,在此题用到了正弦二倍角公式

sin2
A
=2sin
A·
co
s
A
,正弦两角和公式sin(
A
+
B
)=sin
A
·
co
s
B
+
co
s
A
·sin
B
;由角向边转化,要
结合正弦定理变形式以及余弦定 理形式二.
三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意义上来看,< br>这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.
【例5】分析:三角形形状的判断,可以 根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的
运用上,可以考虑两种途径,将边转化为角,将角 转化为边,下面,我们从这两个角度进行分
析.
解法一:利用余弦定理将角化为边. b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
22222222
?a?
∵
bco
sA
=
aco
s
B
,∴
b?
.∴
b+
c
-
a
=
a
+
c
-
b.∴
a
=
b
.
2bc2ac
∴
a
=
b
.
故此三角形是等腰三角形.
解法二:利用正弦定理将边转化为角.
∵
bc o
s
A
=
aco
s
B
,又
B
=2 Rsin
B
，
A
=2Rsin
A
,∴2Rsin
b co
s
A
=2Rsin
Aco
s
B
.
∴ sin
Aco
s
B
-
co
s
A
sinB
=0.∴sin(
A
-
B
)=0.∵0＜
A
,
B
＜π,∴-π＜
A
-
B
＜π.
∴
A
-
B
=0,即
A
=
B
.
故此三角形是等腰三角形.
评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形 ,一个方向是边,走代数变形之
路,通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通 常是运用正弦定理.要
求学生要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理.
(2)解法二中用到 了三角函数中两角差的正弦公式,但应注意在根据三角函数值求角时,一定
要先确定角的范围.另外,也 可运用同角三角函数的商数关系,在等式sin
Bco
s
A
=sin
Aco
s
B
两
端同除以sin
A
sin
B
,得
co
t
A
=
co
t
B
,再由0＜A
,
B
＜π,而得
A
=
B
.
课堂小结
通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角关系转换时的桥梁作用,并利用 正、
余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中,要求大家重点体会正、余
弦定理的边角转换功能.
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形形状的判定方法.
布置作业
1.在△
ABC
中,已 知
sinAsin(A?B)
222
?
,求证:
a
、
b
、
c
成等差数列.
sinCsin(B?C)
证明: 由已知得sin(
B
+
C
)sin(
B
-
C
)=sin(
A
+
B
)sin(
A
-
B
),
co
s2
B
-< br>co
s2
C
=
co
s2
A
-
co< br>s2
B
,
1?cos
2
B1?cos
2
A 1?cos
2
B
??
2cos2
B
=co
O
s2
A
+
co
s2
C
,2·=
222
∴2sin
B
=sin
A
+sin
C
.
222
由正弦定理,可得2
b
=
a
+
c
,
222
即
a
、
b
、
c
成等差数列. 2.在△
ABC
中,
A
=30°,
co
s
B< br>=2sin
B
-3sin
C
.
(1)求证:△
ABC
为等腰三角形;(提示
B
=
C
=75°)
222

(2)设
D
为△
ABC
外接圆的直径
B
E与边
AC
的交点,且
AB
＝2, 求
AD
∶
CD
的值.
1.2 应用举例
1.2.1 解决有关测量距离的问题
从容说课
解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、 航海等都要用到这方面的知
识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯 角、方位角、
方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可
解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学习这部分知识有助于
增强 学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．
本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题.例1是测 量从一个可到达的点到一个不
可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题 .对于例1可以
引导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用 正
弦定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点
A
、
B
之间的距 离转化为应用余弦定理求
三角形的边长的问题，然后把求未知的
BC
和
AC< br>的问题转化为例1中测量可到达的一点与不
可到达的一点之间的距离问题．
教学重点 分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.
教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．
教具准备 三角板、直尺、量角器等
三维目标
一、知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理 等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常
用的测量相关术语，如:坡度、俯角、方向角、 方位角等.
二、过程与方法
1.首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做 良好铺垫．其次结合学生
的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈 训练”的教
学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒< br>体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样的开
放性题 目要鼓励学生讨论，引导学生从多角度发现问题并进行适当的指点和矫正．
2.通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力.
三、情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；
2.通过解斜三角形在实际中的应用 ,要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题,
以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作 用.同时培养学生运用图形、数学符号表
达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．
教学过程
导入新课
师 前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题， “遥不可及的月亮离我们地
球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的 距离，是什么
神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选
择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不
同的 方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的
空间，不能用全等 三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题

是用以前的方法 所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要
应用，首先研究如何测量距离 ．
推进新课
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题 里的条
件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.
［例题剖析］

【例1】如图，设
A
、
B
两点在 河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在
A
的同侧，在
所在的河岸边选定一点C
，测出
AC
的距离是55 m，∠
BAC
=51°，∠
ACB
=75°．求
A
、
B
两点
的距离.(精确到0.1 m)
师（启发提问）1：△
ABC
中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？
师（启发提问）2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答．
生 从题中可以知道 角
A
和角
C
，所以角
B
就可以知道，又因为
AC< br>可以量出来，所以应该用
正弦定理．
生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不 可到达的点之间的距离的问题，题目条件
告诉了边
AB
的对角，
AC
为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出
AC
的对角，应用正弦定理算 出
AB
边．
解：根据正弦定理，得
ABAC
，
?sin?ACBsin?ABC
AB?
ACsin?ACB55sin?ACB55sin 75?55sin75?
≈65.7(m).
???
sin?ABCsin?ABCs in(180??51??75?)sin54?

答:
A
、
B
两点间的距离为65.7米.
[知识拓展]
变题：两灯塔
A
、
B
与海洋观察站
C
的距离都等于
A
km,灯塔
A
在观察站
C
的北偏东30°，
灯 塔
B
在观察站
C
南偏东60°，则
A
、
B
之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型．

解略：
2a
km.
【例2】如图，
A
、
B
两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量
A
、
B
两点间距离的方法
[教师精讲]
这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需 要构造三
角形，所以需要确定
C
、
D
两点．根据正弦定理中已知三角 形的任意两个内角与一边即可求
出另两边的方法，分别求出
AC
和
BC
，再利用余弦定理可以计算出
A
、
B
的距离．
解：测量者可以在 河岸边选定两点
C
、
D
，测得
CD
=
A
， 并且在
C
、
D
两点分别测得∠
BCA
=α,∠
AC D
=β,∠
CDB
=γ,∠
BDA
=δ，在△
ADC和△
BDC
中，应用正弦定理得

AC?
asin(?
?
?
)asin(
?
?
?
)
?，
sin[180??(
?
?
?
?
?
)]s in(
?
?
?
?
?
)
asin
?
asin
?
?
.
sin[180??(
?
?
?< br>?
?
)]sin(
?
?
?
?
?
)< br>BC?
计算出
AC
和
BC
后，再在△
ABC
中，应用余弦定理计算出
A
、
B
两点间的距离
AB?AC
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?
.
[活动与探究]
还有没有其他的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析．
[知识拓展]
若在河岸边选取相距40米的
C
、
D
两点，测得∠< br>BCA
=60°，∠
ACD
=30°，∠
CDB
=45°，< br>∠
BDA
=60°,略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得
AB
=206.
[教师精讲]
师 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多 种解决问题的方案，但有些过
程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合 题目条件来选择
最佳的计算方式．
〔学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子〕
师 解三角形的 知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去
每个应用题中与生产生活实 际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分
析问题和解决问题的能力及化实际问题为 抽象的数学问题的能力.
下面,我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些应用.
【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄
CB
绕
C
点旋转时，通过连 杆
AB
的传递，
活塞做直线往复运动，当曲柄在
CB
0
位置 时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点
A
在
A
0
处，设连杆
AB
长为340 mm，曲柄
CB
长为85 mm，曲柄自
CB
0
按顺时针方向旋转80°，求活
塞移动的距离（即连杆的端点
A
移动的距离< br>A
0
A
）.（精确到1 mm）

师 用实物模型 或多媒体动画演示，让学生观察到
B
与
B
0
重合时，
A与
A
0
重合，故
A
0
C
=
AB
＋
CB
＝425 mm，且
A
0
A
=
A
0
C
-
AC
．
师 通过观察你能建立一个数学模型吗？
生 问题可归结为：已知△
ABC
中，
BC
＝85 mm，
AB
＝34 mm，∠
C
＝80°，求
AC
．
师 如何求
AC
呢？
生 由已知
AB
、∠
C、
BC
，可先由正弦定理求出∠
A
，再由三角形内角和为180°求出∠
B
，最
后由正弦定理求出
AC
．
解：（如图）在△
ABC
中，由正弦定理可得

sinA?
BCsinC85?sin80?
≈0.246 2.
?
AB340
因为
BC
＜
AB
，所以
A
为锐角.
∴
A
=14°15′，∴
B
＝180°-（
A
＋
C
）＝85°45′.
又由正弦定理，
AC?
ABsinB340?sin85?45
?
≈344.3(mm).
?
sinC0.9848
∴
A
0
A
=
A
0
C
–
AC
=(
AB
+
BC
)-
AC
=(340+85)-344.3=80.7≈81(mm).
答：活塞移动的距离为81 mm．
师 请同学们设
AC
=x，用余弦定理解之，课后完成.
[知识拓展]
变题：我舰在敌岛
A
南偏西50°相距12海里的
B
处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向
以10海里时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向 航行才能用2小时追上敌舰？
师 你能根据方位角画出图吗？
生（引导启发学生作图）
师 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型．
生 例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角.
解：如图，在△
ABC
中,由余弦定理得

BC
=
AC
+
AB
-2·
AB
·
AC
·
co< br>s∠
BAC

=20+12-2×12×20×(-
22
222
1
)=784,
2
BC
=28,
∴我舰的追击速度为14海里时.
又在△
ABC
中,由正弦定理得

ACBCACsinA?,即sinB??
sinBsinABC
20?
3
2
?
53
∴
?ABC?arcsin
53
.
14
2814
53
.
14
答：我舰航行的方向为北偏东50°-
arc
sin
[方法引导]
师 你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗？
生
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
②建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一
个解斜三角形的数学模型．
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
生 即解斜三角形的基本思路：

师 解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况？
生 实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或
余弦定理解之．
生 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个
三角 形中求出问题的解．
生 实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角 形需连续
使用正弦定理或余弦定理．
某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的
A< br>处，观察到点
C
处有一辆汽车沿公路向M
站行驶．公路的走向是M站的北偏东4 0°．开始时，汽车到
A
的距离为31千米，汽车前进
20千米后，到
A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设 汽车前进20千米后到达
B
处．在△
ABC
中，
AC
=31 ，
BC
=20，
AB
=21，由余弦定理得

AC
2
?BC
2
?AB
2
23
cosC??

2AC?BC31
,则
sinC?1?cosC?
22
432
,
2
31

sinC?
123353
,所以sin∠M< br>AC
=sin（120°-
C
）=sin120°
co
sC
-
co
s120°sin
C
=.
3162
在△M
AC
中，由正弦定理得
MC?
ACsin ?MAC31353
???35
，从而有M
B
= M
C
-
BC
=15.
sin?AMC62
3
2
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站．
课堂小结
通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际 问
题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.
布置作业
课本第14页练习 1、2.
板书设计
解决有关测量距离的问题
1.提出问题
2.分析问题 演示反馈
3.解决问题 总结提炼

1.2.2 解决有关测量高度的问题
从容说课
本节的例3、例4和例5是有关测量底部不可到达的建筑 物等的高度的问题．由于底部
不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法去解决,但常常用正弦 定理和余弦定理
计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问< br>题．在例3中是测出一点
C
到建筑物的顶部
A
的距离
CA，并测出点
C
观察
A
的仰角；在例4
中是计算出
AB< br>的长；在例5中是计算出
BC
的长，然后转化为解直角三角形的问题．
本节课 主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角
的意义，二是要会在几个 三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为
解三角形的问题．
教学重点 1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；
2.画出示意图是解应用题的关键，也是本节要 体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作
中加强这方面能力．日常生活中的实例体现了数学知识的生 动运用，除了能运用定理解题之
外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过合作学习和相互提问 补充的方法来让学
生多感受问题的演变过程．
教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；
教具准备 直尺和投影仪
三维目标
一、知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量
的问题.
二、过程与方法
本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知 新中学会
正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在
于让学生 记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广
阔的思考空间.
三、情感态度与价值观
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.
教学过程
导入新课
师 设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水 平飞行的
飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.
推进新课

【例1】
AB
是底部
B
不可到达的一 个建筑物，
A
为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高
度
AB
的方 法．
[合作探究]

师 这个建筑物就不好到达它的底部去测量，如果好去 的话，那就直接用尺去量一下就行了，
那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢？
生 要求建筑物
AB
的高，我只要能把
A
E的长求出来，然后再加上测角仪的高度 E
B
的长就行
了.
师 对了，求
AB
长的关键是先求A
E，那谁能说出如何求
A
E？
生 由解直角三角形的知识，在△ADC
中，如能求出
C
点到建筑物顶部
A
的距离
CA< br>，再测出
由
C
点观察
A
的仰角，就可以计算出
AE的长．
师 那现在的问题就转化成如何去求
CA
的长，谁能说说？
生 应该设法借助解三角形的知识测出
CA
的长．
生 为了求
CA
的长，应该把
CA
放到△
DCA
中，由于基线
DC
可以测量，且β也可以测量，
这样在△
DCA
中就已知两角和一边，所以由正弦定理可 以解出
CA
的长．
解：选择一条水平基线HG，使H、G、
B
三点 在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪器测
得
A
的仰角分别是α、β，
C D
=
A
，测角仪器的高是h，那么，在△
ACD
中，根据正弦定 理
可得
AC?
asin
?
asin
?
sin
?
,
AB
=
A
E+h=
ac
sinα+h=+h .
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?< br>)
师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？
生 要测 量某一高度
AB
，只要在地面某一条直线上取两点
D
、
C
， 量出
CD
=
A
的长并在
C
、
D
两点测出< br>AB
的仰角α、β，则高度
AB?
asin
?
sin
?
?h
，其中h为测角器的高．
sin(
?
?
?
)
【例2】如图，在山顶铁塔上
B
处测得地面上一点
A
的俯角α=5 4°40′，在塔底
C
处测得
A
处的俯角β=50°1′．已知铁塔
BC
部分的高为27.3 m,求出山高
CD
(精确到1 m).

[合作探究]
师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要 在△
ABD
中求
CD
，则关键需要求出哪条边呢？
生 需求出
BD
边．
师 那如何求
BD
边呢？
生 可首先求出
AB
边，再根据∠
BAD
=α求得．
解：在△
ABC
中,∠
BCA
=90°+β,∠
ABC
=90°-α,∠BAC
=α-β,∠
BAD
=α.
根据正弦定理,
BC ABBCsin(90??
?
)BCcos
?
??
=，所以
AB?
.
sin(
?
?
?
)sin(90??
?
)sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?)
在Rt△
ABD
中,得
BD
=
AB
sin ∠
BAD
=
BCcos
?
sin
?
.
s in(
?
?
?
)

将测量数据代入上式,得
B D?
27.3cos50?1
?
sin54?40
?
27.3cos 50?1
?
sin54?40
?
?
≈177(m),
???
sin(54?40?50?1)sin4?39
CD
=
BD
-
BC
≈177-27.3=150(m).
答:山的高度约为150米.
师 有没有别的解法呢？
生 要在△
ACD
中求
CD
，可先求出
AC
．
师 分析得很好，请大家接着思考如何求出
AC
？
生 同理，在△
ABC
中，根据正弦定理求得．（解题过程略）
【例3】如图,一辆汽车 在一条水平的公路上向正东行驶,到
A
处时测得公路南侧远处一山顶
D
在东偏 南15°的方向上,行驶5 km后到达
B
处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,求此山的高度
CD
.

[合作探究]
师 欲求出
CD
，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生 在△
BCD
中.
师 在△
BCD
中，已知
BD
或
BC
都可求出
CD
,根据条件,易计算出哪条边的长？
生
BC
边.
解：在△
ABC
中, ∠
A
=15°,∠
C
=25°-15°=10°,根据正弦定理,
BCABABsinA5sin15?
,≈ 7.452 4(km),
?,BC? ?
sinAsinCsinCsin10?
CD
=
BC
×t
a
n∠
DBC
=
BC
×t
a
n8°≈1 047(m).
答:山的高度约为1 047米.
课堂练习


用同样高度的两个测角仪
AB
和
CD
同时望见气球E在它们的正西方向的上空 ,分别测得
气球的仰角α和β,已知
BD
间的距离为
A
,测角仪的高 度为
B
,求气球的高度.
分析:在Rt△EG
A
中求解EG,只有 角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△E
AC
中有较多
已知条件,故可在△E< br>AC
中考虑E
A
边长的求解,而在△E
AC
中有角β, ∠E
AC
=180°-α两角与
AC
=
BD
=
A
一边,故可以利用正弦定理求解E
A
.
解：在△
AC
E 中,
AC
=
BD
=
A
,∠
AC
E=β,∠
A
E
C
=α-β,根据正弦定理,得
AE?
asin?
asin
?
sin
?
.在Rt△
A
EG中， EG=
A
Esinα=.
sin(
?
?
?
)si n(
?
?
?
)

∴EF=EG+
b
=
asin
?
sin
?
?b
.
sin(
?
?
?
)
asin
?
sin
?
?b
.
sin(
?
?
?
)
答:气球的高度是
评述:此 题也可以通过解两个直角三角形来解决,思路如下:设EG=x,在Rt△EG
A
中,利用co
tα表示
A
G,而Rt△EG
C
中,利用
cotβ表示
C
G,而
C
G-
A
G=
CA
=
BD
=
A
,故可以求出EG,又
GF=
CD
=< br>B
,故EF高度可求.
课堂小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会 审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的
背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化．
布置作业
课本第17页练习第1、3题.

1.2.3 解决有关测量角度的问

从容说课
本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例 6.在这里，能否灵活求解问题的关
键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用 ，这当中有很大的灵活
性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维． 借助计算
机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法．
教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．
教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.
教具准备 三角板、投影仪（多媒体教室）
三维目标
一、知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
二、过程与方法
本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解， 这节课应
通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1～2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的
主体地位 ，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问
题的过程中来，逐步让 学生自主发现规律，举一反三．
三、情感态度与价值观
培养学生提出问题、正确分析问题、 独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的
探索精神.
教学过程
导入新课
设置情境设问
师 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的 一些边和角
求其余边的问题．然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解< br>三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？
生 像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向.
生 飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.
师 实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．
推进新课
【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从
A
出发，沿北偏东75°
的方向航行67.5 n mile后到达海岛
B
,然后从
B
出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile
后到达海岛
C
.如果下次航行直接从
A
出发到达
C
,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少
距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0 .01 n mile)
[合作探究]
学生看图思考．

师 要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75°的方向”．
生 这是方位角．

生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出
AC
边所对的角∠
ABC
，即可用余弦定理算出
AC
边，再 根据正弦定理算出
AC
边和
AB
边的夹角
∠
CAB
，就可以知道
AC
的方向和路程．
师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下面请同学写一下解题过程.
生解：在△
ABC
中，∠
ABC
=180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理，
AC?AB
2
?BC
2
?2 AB?BC?cos?ABC?67.5
2
?54.0
2
?2?67.5?5 4.0?cos137?,
≈113.15.
根据正弦定理,
BCAC
?,
,
sin?CABsin?ABC
BCsin?AB C54.0sin137?
≈0.325 5,
sin?CAB??
AC113.1 5
所以∠
CAB
≈19.0°,75°-∠
CAB
=56.0°.
答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.
师 这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．
【例2】某巡逻 艇在
A
处发现北偏东45°相距9海里的
C
处有一艘走私船，正沿南偏东75 °
的方向以10海里时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里时的速度沿着直线方向追
去 ，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
[合作探究]
师 你 能否根据题意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面
示意图，图画的好坏 有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）
生甲 如右图．

师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢?
生 引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.
生 如图，设该巡逻艇沿
AB
方 向经过x小时后在
B
处追上走私船，则
CB
=10x,
AB
=14x,
AC
=9,∠
ACB
=75°+45°=120°,则由余弦定 理，可得
(14x)=9+(10x)-2×9×10x
co
s120°,∴化简得 32x-30x-27=0，即x=
所以
BC
= 10x =15,
AB
=14x =21.
又因为sin∠
BAC
=
2222
39
或x=- (舍去).
216
BCsin120 ?15353
???
,∴∠
BAC
=38°13′,或∠
BAC=141°47′
AB21214
（钝角不合题意，舍去）.
∴38°13′+45°=83°13′.
答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？
生 同上解得
BC
=15,
AB
=21,
在△
ABC
中，由余弦定理，得

AC
2
? AB
2
?BC
2
81?441?22511
cos?CAB???< br>≈0.785 7,
2AC?AB2?9?2114
∴∠
CAB
≈3 8°13′,38°13′+45°=83°13′.
∴巡逻艇应沿北偏东83°13′的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船．
课堂练习
课本第18页练习.
答案：运用余弦定理求得倾斜角α约为116.23°.
[方法引导]
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角
形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这
时 需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
[知识拓展]

1.如图，海中小岛
A
周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在
B
处测得小岛
A
在船的南偏
东30°，航行30海里到
C
处 ，在
C
处测得小岛
A
在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，
继 续向南航行，有无触礁的危险？
解：在△
ABC
中，
BC
=30，
B
=30°，
∠
ACB
=180°-45°=135°,
∴
A
=15°.
BCAC30AC
,∴.
??
sinAsinBsin15?sin30?
30sin30?
∴
AC??60cos 15??156?152
.∴
A
到
BC
所在直线的距离为
sin15?
由正弦定理知
AC
·sin45°=（15
6
+15< br>2
）·
2
=15（
3
+1）≈40.98＞38（海里），
2
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
2.如图，有两条相交成60°角的直线X X′、YY′，交点是
O
，甲、乙分别在
O
X、
O
Y上，起
初甲在离
O
点3千米的
A
点，乙在离
O
点1千米的
B
点，后来两人同时以每小时4千米的速
度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，

（1）起初，两人的距离是多少？

（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
解：（1）因甲、乙两人起初的位置是
A
、
B
，
则
AB
=
OA
+
OB
-2
OA
·
OBco
s60°=3+1-2×3×1×
∴起初，两人的距离是
7
千米．
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是
P
、
Q
，
则
A
P=4t,
B
Q=4t,
当0≤t≤
当t＞
22222
1
=7,
2
32222
时，PQ=(3-4t)+(1+4t)-2(3-4t)(1+4t)
cos60°=48t-24t+7;
4
3
2222
时,PQ=(4t-3 )+(1+4t)-2(4t-3)(1+4t)
co
s120°=48t-24t+7,
4
2
22
所以，
PQ
=48t-24t+7．
（3）PQ=48t-24t+7=48(t-
∴当
t
=
1
2
)+4,
4
1
时，即在第15分钟末，PQ最短．
4
答：在第15分钟末，两人的距离最短．
课堂小结
在实际问题（航海、 测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定
理相关知识点的熟练运用．应用解三角 形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的
三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该 选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应
用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意 图；②所涉及的三角形，搞
清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．
布置作业
课本第22页习题1.2第9、10、11题.
板书设计
解决有关测量角度的问题
例1 例2 课堂练习
布置作业
备课资料
一、备用例题

1.如图所示，已知
A
、
B
两点的距离为100海里，
B
在
A
的北偏 东30°处，甲船自
A
以50
海里时的速度向
B
航行，同时乙船自< br>B
以30海里时的速度沿方位角150°方向航行．问
航行几小时，两船之间的距离最短 ？
解：设航行x小时后甲船到达
C
点，乙船到达
D
点，在△BCD
中，
BC
=(100-50x)海里，
BD
=30x
海里（0≤x≤2），∠
CBD
=60°，由余弦定理得

C D
2
=(100-50x)
2
+(30x)
2
-2·(10 0-50x)·30x·
co
s60°=4 900x
2
-13 000x+10 000.
130006516
??1
（小时）时，
CD
2
最小，从而得
CD
最小.
2?49004949
16
∴航行
1
小时，两船之间距离最近． < br>49
∴当
x?
2．我炮兵阵地位于地面
A
处，两观察所分别位 于地面点
C
和
D
处，已知
DC
=6 000米，
∠
ACD
=45°,∠
ADC
=75°,目标出现于地面点
B
处时，测得∠
BCD
=30°,∠
BDC
=15°．求炮兵
阵地到目 标的距离（结果保留根号）．
解：在△
ACD
中，∠
CAD
=18 0°-∠
ACD
-
ADC
=60°,
CD
=6 000,∠
ACD
=45°,

根据正弦定理，有
AD?
CDsin45?2
CD
.
si n60?3
同理，在△
BCD
中，∠
CBD
=180°-∠
BCD
-∠
BDC
=135°,
CD
=6 000,∠
BCD
=30°.
根据正弦定理,有
BD?
CDsin30?2
?CD
.
s in135?2
又在△
ABD
中，∠
ADB
=∠
ADC+∠
BDC
=90°.
根据勾股定理,有
AB?AD
2
?BD
2
?
2142
?CD?CD?100042
.
326
所以炮兵阵地到目标的距离为1 000
42
米.
二、常用术语与相关概念
（1）坡度（亦叫坡角）：坡与水平面的夹角的度数．
（2）坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值．
（3）仰角和俯角：与目标 视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线
在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水 平视线下方时叫俯角．
（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角．
（5）方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．
1.2.4 解决有关三角形计算的问题
从容说课
本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积 问题的常见解法，即在不同已知
条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解 三角形的知识,求出
需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一 个重要
的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系恒等式的证

< br>明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理
和余弦 定理可以证明的问题.
关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题,教科书 直接给出
了计算三角形的高的公式
h
A
=
b
sin
C
=
c
sin
B
,h
B
=
c
s in
A
=
a
sin
C
,h
C
=
a
sin
B
=
b
sin
A
.
这三个公式实 际上在正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两
边及其夹角时的面积公式
S=
111
ab
sin
C
,S=
bc
sin
A
,S=
ca
sin
B
.
222
教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.
教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.
教具准备 三角板、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
二、过程与方法
1.本节课补充了 三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的
特点，循序渐进地具体运用于相关 的题型;
2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行
掌握了两 定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．
三、情感态度与价值观
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；
2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.
教学过程
导入新课
[设置情境]
师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我 们来学习它的另一个表达公式．在
△
ABC
中，边
BC
、
C A
、
AB
上的高分别记为h
A
、h
B
、h
C
，那么它们如何用已知边和角表示？
生h
A
=
b
sin
C
=
c
sin
B
,
h
B
=c
sin
A
=
a
sin
C
,
hC
=
a
sin
B
=
B
sin
A
.
1
ah
,应用以上求出的高的公式如h
A
=
b
sin
C
代入，
2
1
可以推导出下面的三角形面积公式：
S?absinC
，大家能推出其他的几个公式吗？
2
11
生 同理，可得
S?bcsinA
,
S?acsinB
.
22
师 根据以前学过的三角形面积公式
S?
师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的
面积呢？
生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.
推进新课
2
【例1】 在△
ABC
中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1
c
m）.

（1）已知
A
=14.8
c
m,
C
=23.5
c
m,
B
=148.5°;
（2）已知
B
=62.7°,
C
=65.8°,
B
=3.16
c
m;
（3）已知三边的长分别为
A
=41.4
c
m,
B
=27.3
c
m,
C
=38.7
c
m.
师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题 ，与解三角形问题有密切的关系，我
们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需 要的元素，就可以求出
三角形的面积．
〔生口答，师书写过程〕
11
acsinB
，得 S=×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(
c
m
2
).
22
bcbsinC
(2)根据正弦定理，,
?,c?
sinBsinCsinB
11sinCsinA
.
S? bcsinA?b
2
22sinB
解：（1）应用
S?
A
= 180°-(
B
+
C
)= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,
1sin65.8?sin51.5?
2
≈4.0(
c
m). S??3.16
2
?
2sin62.7?
c
2
?a2
?b
2
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
?
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB?
≈0.769 7,
2ca2?38.7?41.4
sinB?1?cos
2
B?1?0.769 7
2
≈0.638 4,
应用
S?
11
acsinB得S=×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(
c
m
2
).
22
生 正弦定理和余弦定 理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧
以及公式的常规变形方向，并进一步 推出新的三角形面积公式．
【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公 园,经过测量得到
这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1
c
m
2
）？
师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．
〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕
解：设
A
=68 m,
B
=88 m,
C
=127m,根据余弦定理的推论，
c2
?a
2
?b
2
127
2
?68
2< br>?88
2
cosB??
≈0.753 2,
2ca2?127?68
sinB?1?0.7532
2
≈0.657 8,
应用S=
11
ac
sin
B
,S=×68×127×0.657 8≈2 840.38(m
2
).
22
2
答：这个区域的面积是2 840.38 m．
【例3】在△
ABC
中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
?
（1 ）;
c
2
sin
2
C

（2）
a< br>+
b
+
c
=2（
bcco
s
A
+< br>caco
s
B
+
abco
s
C
）.
[合作探究]
师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点?
生
等 式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦
定理来证明.
师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或
角都 转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒
等式时经常用的方 法．
证明：（1）根据正弦定理，可设
222
abc
???k
,
sinAsinBsinC
显然 k≠0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
Bsin
2
A?sin
2
B
??
左边==右边.
c
2
k
2
sin
2
Csin
2
C
师 那对于第二小题又该怎么化呢？
生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有 边，而且是两边和两边夹角
的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明.
师 很好，哪位来板演一下？
生 证明：（2）根据余弦定理的推论，
b
2
? c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2< br>a
2
?b
2
?c
2
?ca?ab)
右边=< br>2(bc
2bc2ca2ab
=(
b
+
c
-
a
)+(
c
+
a
-
b
)+(
a
+
b
-
c
)=
a
+
b
+
c
=左边.
222222222222

1.已知在△
ABC
中， ∠
B
=30°,
B
=6,
C
=6
3
,求< br>A
及△
ABC
的面积S.
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问 题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角
形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或 增解，养成检验的习惯,但应用余
弦定理会免去讨论.
答案：
A
=6,S= 9
3
;
A
=12,S=18
3
.
2.判断满足下列条件的三角形形状，
(1)
aco
s
A
=
bco
s
B
;
(2)sin
C
=
sinA?sinB
.
cosA?cosB
提示：利用正弦定理或余弦定 理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运
用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体 会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.
(1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明．
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
?b?
生（余弦定理）得
a?
,
2bc2 ca
∴
c
(
a
-
b
)=
a
-b
=(
a
+
b
)(
a
-
b
) .
22222
∴
a
=
b
或
c
=
a
+
b
.
222442222

∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.
生（正弦定理）得
sin
Aco
s
A
=sin
B co
s
B
.∴sin2
A
=sin2
B
.∴2A
=2
B
.∴
A
=
B
.
∴根据角的关系易得是等腰三角形.
师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，
谁的正确呢？
生 第一位同学的正确．第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2
A
=sin2< br>B
,有可能推出2
A
与2
B
两个角互补，即2
A+2
B
=180°，
A
+
B
=90°.
(2)（解略）直角三角形.
[知识拓展]
如图，在四边形
ABCD< br>中，∠
ADB
=∠
BCD
=75°，∠
ACB
=∠< br>BDC
=45°，
DC
=
3
，求：

(1)
AB
的长;
(2)四边形
ABCD
的面积.
略解：（1）因为∠
BCD
=75°,∠
ACB
=45°，
所以∠
ACD
=30°.
又因为∠
BDC
=45°，
所以∠
DAC
=180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以
AD
=
DC
=
3
.
在△
BCD
中，∠
CBD
=180°-（75°+ 45°）=60°，所以
BDDC3sin75?6?2
?,BD??
.
sin75?sin60?sin60?2
222
在△
ABD
中，
A B
=
AD
+
BD
-2×
AD
×
BD
×
co
s75°= 5,所以,得
AB
=
5
.
(2)S
△
ABD=
3?233?3
1
×
AD
×
BD
×sin7 5°=.同理，S
△
BCD
=.
44
2
6?33
.
4
所以四边形
ABCD
的面积
S?
课堂练习
课本第21页练习第1、2题.

1.3 实习作业
从容说课
本节适当安排了一些实习作业，目的是 让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问
题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达 实习过程和实习结果的能力，增强
学生应用数学的意识和数学实践的能力．教师要注意对于学生实习作业 的指导，包括对于实
际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．
教学重点 数学模型的建立.
教学难点 解斜三角形知识在实际中的应用.
教具准备 测量工具（三角板、测角仪、米尺等）、实习报告
三维目标
一、知识与技能
1.解斜三角形应用;
2.测角仪原理;
3.数学建模.
二、过程与方法
1.进一步熟悉解斜三角形知识;
2.巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力;
3.加强动手操作的能力;
4.进一步提高数学语言表达实习过程和实习结果的能力;
5.增强数学应用意识.
三、情感态度与价值观
1.认识数学在生产实际中的作用;
2.提高学习数学兴趣,树立建设祖国的远大理想.
导入新课
师 前面几节课，我 们一起学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角形的能力,
并且了解到解斜三角形知识在生 产、生活实际的各个方面的应用.
这一节,我们将一起动手应用解斜三角形的知识来研究实际问题.
推进新课
（1）提出问题：问题（一）：测量学校锅炉房的烟囱的高度.
问题（二 ）：如图(1)，怎样测量一水塘两侧
A
、
B
两点间的距离?
问题 （三）：如图(2)，若要测量小河两岸
A
、
B
两点间的距离，应怎样测量？

(1)

(2)
（2）分析问题：
师 问题（一）中的学校锅炉房的烟囱的高度无法用皮尺直接量出，那应该怎么去解决？

生 根据实际情况，应该采取下列措施：
1.根据地形选取测量点;2.测量所需要数据;3.多次重复测 量,但改变测量点;4.填写实习报
告;5.总结改进方案.
实习报告（1）
年 月 日
题目
测量目标
测量底部不能到达的烟囱
AB
的高度

测得数据 测量项目 第一次




第二次




∵α
3
=α
2
-α
1
，
平均值




EF
长(m)
ED
长(m)
α
1

α
2

计算
AD?
ED?sin
?
1
，
sin
?
3
AC
=
AD
·sinα
2
，
∴
AB
=
AC
+
BC
=
AC
+EF
减少误差措施
负责人及参加人
计算者及复核者
备注




指导教师审核意见
师 对于问题二、问题三中的
A
、
B
两点都不能直达，无法用皮尺直接量出，如何间接量出？
应再取点
C
，借助△
ABC
来测量计算．
在△
ABC
中要计算
AB
的长，应采集哪些数据？如何采集？
生 问题二中，先选适当位置
C
，用经纬仪器测出角α，再分别量出
AC、
BC
的长
B
、
A
，则
可求出
A、
B
两点间的距离．
生 问题三中，可在小河的一侧，如在点
B
所在的一侧，选择点
C
，为了算出
AB
的长，可先
测出
B C
的长
A
，再用经纬仪分别测出α、β的值，那么，根据
A
、α、β 的值，就可算出
AB
的长．
生 数据运算：
问题二 计算方法如下： < br>在△
ABC
中，已知
AC
=
B
，
BC
=
A
,
C
=α,则由余弦定理得
AB?a
2
?b
2
?2abcos
?

问题三 计算方法如下：
在△ABC
中，由正弦定理可得
ABBCaasin
?
??
，所以< br>AB?
.
sin
?
sinAsin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)
实习报告（2）
测量目标（附图） 题目 测量一水塘两侧
A
、
B
两点间的距离

测得数据 测量项目 第一次
42.3
34.8
第二次
41.9
35.2
平均值
42.1
35

AC
的长（m）
BC
的长（m）
α
计算
109°2′ 108°58′ 109°
A
、
B
两点间距离 （精确到0.1m），
AC
=42.1 m，
BC
=35 m，
α=109°
∴
AB?

AC,
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?
=
42.1
2
?35
2
?2?42.1?35?cos109? .

算得
AB
≈62.9(m)
负责人及参加人
计算者及复核者
备注








指导教师审核意见
实习报告（3）是对一小河两岸两点实际测量的情况．
实习报告（3）
题目
测得数据
测量一小河两侧
A
、
B
两点间的距离
测量项目 第一次
48.3
42°54′
70°7′
第二次
47.9
43°6′
测量目标（附图）
a
的长（m）
α
β
计算
平均值

48.1

43°
69°53′ 69°
A
、
B
两点间距离 （精确到0.1m）：
A
=48.1 m，
α=43°，
β=69°
∴

AB?
asin
?
48.1?sin69?48.1? sin60?
??
sin(
?
?
?
)sin(43??69 ?)sin112?

算得
AB
≈48.4(m)
负责人及参加人
计算者及复核者
备注







指导教师审核意见
课堂小结
通过本节实习,要求大家进一步熟悉解斜 三角形知识在实际中的应用,在动手实践的过
程中提高利用数学知识解决实际问题的能力,并认识数学在 生产、生活实际中所发挥的作用,
增强学习数学的兴趣.
布置作业
完成实习报告

2.1 数列的概念与简单表示法
2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)
从容说课
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对 实例的分析体会数列的有关概念，
再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊 的函数，最后师生共
同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使 学生能
理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公
式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.
教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
教具准备 课件
三维目标
一、知识与技能
1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际， 激发学生对科学的探究
精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；
2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 课本图211中的正方形数分别是多少？
生 1，3，6，10，….
师 图212中正方形数呢？
生 1，4，9，16，25，….
师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….
生 一些分数排成的一列数：
246810
，，，，，….
315356399

推进新课
［合作探究］
折纸问题
师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣
一定很浓).
生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来 的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次

折的次数，它的厚度和每层纸的面积依 次怎样？
生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①
随着对折数面积依次为
11111
, , , ,…, ,….
24
8
16256
生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太
困难了.
师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的
这 一列一列的数，看它们有何共同特点？
生 均是一列数.
生 还有一定次序.
师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.
［教师精讲］
1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.
注意：
（1）数列的数是 按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，
那么它们就是不同的数列；
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首
项)，第2项 ，…，第
n
项，….同学们能举例说明吗？
生 例如，上述例子均是数列，其中①中 ，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这
个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.
2)根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.
常数数列：各项相等的数列.
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
请同学们观察：课本P
33
的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？
生 这六组数列分别 是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数
列，(6)1. 递增数列，2.递减数列.
［知识拓展］
师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第
n
项？
n
生 256是这数列的第8项，我能写出它的第
n
项，应为
a
n
=2.
［合作探究］
同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，
项 2 4 8 16 32
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
你能从中得到什么启示？
*
生 数列可以看作是一个定义域为正整数集
N
(或它的有限子集{1，2， 3，…，
n
})的函数
a
n
=f(
n
)，当自变量 从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果

f(i) (i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(
n
),….
师 说的很好.如果数列{
a
n
}的第
n< br>项
a
n
与
n
之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公< br>式就叫做这个数列的通项公式.
［例题剖析］
1.根据下面数列{
a
n
}的通项公式，写出前5项：
(1)a
n
=
n
n
;(2)
a
n
=(-1) ·
n
.
n?1
师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中
n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5
项.
生 解：(1)
n
=1,2,3,4,5.
a
1
=
12345
;
a
2
=;
a
3
=;
a
4
=;
a
5< br>=.
23456
(2)
n
=1,2,3,4,5.
a
1
=-1;
a
2
=2;
a
3
=-3;
a
4
=4;
a
5
=-5.
师 好！就这样解.
2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)3，5，7，9，11，…；(2)
246810
，，，，，…；
3 15356399
(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9， …；
(5)2，-6，12，-20，30，-42，….
师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定
的思考时间)
生老师，我写好了！
1?(?1)
n
2n
解：(1)
a< br>n
＝2
n
＋1；(2)
a
n
＝；(3)
a< br>n
＝；
(2n?1)(2n?1)
2
(4)将数列变形为1＋0，2 ＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，
1?(?1)
n
∴
a
n
＝
n
＋；
2
(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，
n+1
∴
a
n
＝(-1)
n
(
n
＋1) .
师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出
的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.
［合作探究］
师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：

定义域
解析式
图象
函数
R或R的子集
y=f(x)
点的集合
数列(特殊的函数)
N
*
或它的有限子集{1，2，…，
n
}
a
n
=f(
n
)
一些离散的点的集合
师 对于 函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公
式来画出其对应图象， 下面同学们练习画数列:
4，5，6，7，8，9，10…;② 1,
111
, , ,…③的图象.
2
3
4
生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.
111
, , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
2
3
4
1
生 与我们学过的反比例函数
y?
的图象有关.
x
师 数列1,
师 这两数列的图象有什么特点？
生 其特点为：它们都是一群孤立的点.
生 它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.
本课时的整个教学 过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，
体现新课程的理念.
课堂小结
对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据 数
列的前
n
项求一些简单数列的通项公式.
布置作业
课本第38页习题2.1
A
组第1题.
板书设计
数列的概念与简单表示法(一)
定义
1.数列 例1
2.项
3.一般形式 例2 函数定义
4.通项公式
5.有穷数列
6.无穷数列
备课资料
一、备用例题
1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
2
2
?13
2
?14
2
?15
2
?1;,;
(1)1，3，5，7；(2);
2345
(3)
?
1111
,
?
,
?
,
?
.
1?22?33?44?5
分析：
(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓ ↓ ↓ ↓
序号： 1 2 3 4

所以我们得到了
a
n
=2
n
-1；
(2)序号： 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓ ↓ ↓ ↓
22222222
项分子： 2-1=(1+1)-1 3-1=(2+1)-1 4-1=(3+1)-1 5-1=(4+1)-1
(n?1)
2
(n?2 )?n
所以我们得到了
a
n
=或；
n?1
n?1
(3)序号: 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
?
1111

?

?

?

3?44?5
1?22?3
↓ ↓ ↓ ↓
?
1111

?

?

?

2?(2?1)4?(4?1)
1?(1?1)3?(3?1)
1
.
n?(n?1)
所以我们得到了
a
n
=-
2.写出下面数列的一个 通项公式，使它的前
n
项分别是下列各数：
1?(?1)
n?1
*
(1)1,0,1,0; 〔
a
n
=,
n
∈
N
〕
2
(2)-
n?1
2
3
456
n
, ,
?
,,
?
; 〔
a
n
=(-1)·〕
(n?1)
2
?1
35< br>3
8
15
24
(3)7,77,777,7 777; 〔
a
n
=
7
n
×(10-1)〕
9
n
(4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔
a
n
=(-1)(6
n
-5)〕
2
n
?1
35917
(5), , ,. 〔
a
n
=〕
2
n?1
2416256
2
点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出
这数列的通项 公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根
据需要把分子和分母同时扩 大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分
子和分母之间的关系.
23.已知数列{
a
n
}的通项公式是
a
n
=2
n
-
n
，那么( )
A
.30是数列{
a
n
}的一项
B
.44是数列{
a
n
}的一项
C.66是数列{
a
n
}的一项
D
.90是数列{
a
n
}的一项
分析：注意到30，44 ，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出
现了这四个数中的某一个，则问 题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正
整数解的方法加以解决.
答案：C

点评：看一个数
A
是不是数列{
a
n
}中的 某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数
n
，
使得
a
n=
A
.
4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为
1
c m就是每200张叠起来刚好为1 cm，
200
现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记 为
a
1
；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为
a
2
，又裁一 为二，叠起来，它的厚度记为
a
3
，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：
a
1
,
a
2
,
a
3
,…,
a
k
,….
你能求出这个数列的通项公式吗？你知道
a

50
，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少
厘米吗？是否有10层楼高呢？
2
n
答案：这个数列的通项公式为
a
n
=，
200
裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm＞56 294 995 km，大于地球
到月球距离的146倍.
二、阅读材料
无法实现的奖赏
相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度 的舍罕王
学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔.
达依尔对他的国王说 ：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就
可以了：在我的棋盘上(它有64个格 )第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四
格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面 一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，
但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.
请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？
2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)
从容说课
这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递 推
公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感
受 及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解
决问题的能力.
教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.
教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.
教具准备 多媒体
三维目标
一、知识与技能
1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.
二、过程与方法
1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;
2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学过程
导入新课

师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等 内容，哪位同学能谈一
谈什么叫数列的通项公式？
生 如果数列{
a
n}的第
n
项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做
这个数 列的通项公式.
师 你能举例说明吗？
*
生 如数列0，1，2，3，…的通项公 式为
a
n
=
n
-1(
n
∈
N
);
*
1,1,1的通项公式为
a
n
=1(
n
∈
N
,1≤
n
≤3);
1,
1111
*
, , ,…的通项公式为
a
n
= (
n
∈
N
).
2
3
4n
［合作探究］
数列的表示方法
师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？
生 图象法，我们可仿 照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数
n
为横坐标，相应
的项
a
n
为纵坐标，即以(
n
,
a
n
)为坐标在平面直角 坐标系中作出点(以前面提到的数列1,
111
,,,…为例，作出一个数列的图象)，所得 的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐
2
3
4
标为正整数，所以这些点都在 y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直
观地看到数列的项随项数由小到大变化而变 化的趋势.
师 说得很好，还有其他的方法吗？
生 ……
师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法
知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来 解决一些实际问题.下面同学们来看右下
图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规 律，看看能否建立它的一些数
学模型.
生 模型一：自上而下

第1层钢管数为4,即14＝1+3;
第2层钢管数为5,即25＝2+3;
第3层钢管数为6,即36＝3+3;
第4层钢管数为7,即47＝4+3;
第5层钢管数为8,即58＝5+3;
第6层钢管数为9,即69＝6+3;
第7层钢管数为10,即710＝7+3.
若用
a
n
表示钢管数，
n
表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且
a
n
=
n
+3(1≤
n
≤7).
师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的 对应规律建立了数列模型，这完全正确，运
用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的 统计与计算带来很多方便.让同
学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)
生 模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,
即
a
1
=4；
a
2
=5=4+1=
a
1< br>+1；
a
3
=6=5+1=
a
2
+1.
依此类推：
a
n
=
a

n
-1
+1(2≤
n
≤7).
师

对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?
生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.
师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.
推进新课
1.递推公式定义：
如果已知数列{
a
n
}的第1项(或前几项) ，且任一项
a
n
与它的前一项
a
n
-1
(或前n
项)间的关系
可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
注意：递推公式也是给出数列的一种方法.
如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.
递推公式为：< br>a
1
=3,
a
2
=5,
a
n
=a
n
-1
+
a

n
-2
(3≤
n
≤8).
2.数列可看作特殊的函数，其 表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、
图象法、解析式法.相对于数列来说也有相 应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析
式法.
［例题剖析］
?
a
1
?1
?
【例1】 设数列{
a
n< br>}满足
?
1
,n＞1
.写出这个数列的前五项.
a?1?
?
n
a
n?1
?
师 分析：题中已给出{
a
n
}的第1项即
a
1
=1，题目要求写出这个数列的前五 项，因而只要再
求出二到五项即可.这个递推公式：
a
n
=1+
1< br>我们将如何应用呢?
a
n?1
生 这要将
n
的值2和
a
1
=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可
以了.
师 请大家计算一下!
生 解：据题意可知：
a
1
=1,
a
2
=1+
1
11
258
=2,
a
3
=1+ =,
a
4
=1+ =,
a5
=
a
1
a
2
a
3
35
3< br>
师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.
【例2】 已知
a
1
=2，< br>a
n
+1
=2
a
n
，写出前5项，并猜想
a
n
.
师 由例1的经验我们先求前5项.
生 前5项分别为2，4，8，16，32.
师 对，下面来猜想第
n
项.
223
n
生 由
a
1
=2，
a
2
=2×2=2，
a
3
=2×2=2观察可得，我猜想
a
n
= 2.
师 很好!
生 老师，本题若改为求
a
n
是否还可这样去解呢?
师 不能.必须有求解的过程.
生 老师，我由
a

n
+1
= 2
a
n
变形可得
a
n
=2
a

n
-1
，即
a
n
?2
，依次向下写，一直到第一项，然后a
n?1
a
n
a
n?1
a
n?2
a< br>2
???
…×
1
?2
n?1
，所以
a
n
=
a
1
·2
n
-1
=2
n
. 将它们乘起来，就有
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a

师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推 公式
求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.
［知识拓展］
已 知
a
1
=2，
a
n
+1
=
a
n< br>-4,求
a
n
.
师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢?
生1 写出：
a
1
=2，
a
2
=-2，
a
3
=-6，< br>a
4
=-10，…
观察可得：
a
n
=2+(
n
-1)(
n
-4)=2-4(
n
-1).
生2 他这种解法不行，因为不是猜出
a
n
，而是要求出
a
n
.
我这样解：由
a
n
+1
-
a
n
=-4依次 向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,
a
n
-
a

n
-1
=-4
a
n
-1
-
a
n
-2
=-4
a
n
-2
-
a
n
-3
=-4
……
?) a
2
?a
1
??4

a
n
?a
1
??4(n?1)
∴
a
n=2-4(
n
-1).
师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.
［教师精讲］
(1)数列的递 推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始
值，那么这个数列是不能确 定的.
例如，由数列{
a
n
}中的递推公式
a
n
+1
=2
a
n
+1无法写出数列{
a
n
}中的任何 一项，若又知
a
1
=1，
则可以依次地写出
a
2
= 3,
a
3
=7,
a
4
=15,….
(2)递推公 式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出
通项公式.
［学生活动］
根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)
(1)< br>a
1
＝0，
a
n
+1
＝
a
n
＋(2
n
-1)(
n
∈
N
)；
(2)
a
1
＝1，
a

n
+1
＝
a
n
(
n
∈
N
)；
a
n
?2
(3)
a
1
＝3，
a
n
+1
＝3
a
n
- 2(
n
∈
N
).
(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)
2
解：(1)
a
1
＝0，
a
2
＝1，a
3
＝4，
a
4
＝9，
a
5
＝16， ∴
a
n
＝(
n
-1).
(2)
a
1＝1，
a
2
＝
2122122
，
a
3
＝=，
a
4
＝，
a
5
＝ =，∴
a
n
＝.
3
6
n?1
3245
0 12
(3)
a
1
＝3＝1+2×3，
a
2
＝7＝1 +2×3，
a
3
＝19＝1+2×3，
a
4
＝55＝1+ 2×3
3
，
a
5
＝163＝1+2×3
4
，∴a
n
＝1＋2·3

n
-1
.
注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.
［合作探究］
一只猴子爬一个8级的梯 子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最
上一级，你知道这只猴子一共可以有多 少种不同的爬跃方式吗？
析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃 二级等情况要
分类考虑周到.

爬一级梯子的方法只有一种.
爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.
若设爬一个
n
级梯子的不同爬法有
a
n
种,
则< br>a
n
=
a
n
-1
+
a
n
- 2
+
a
n
-3
(
n
≥4),
则得到a
1
=1,
a
2
=2,
a
3
=4及< br>a
n
=
a

n
-1
+
a
n
-2
+
a
n
-3
(
n
≥4)，就可以求得
a
8
=81.
课堂小结
师 这节课我们主要学习了数列的另一种 给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与
通项公式的区别，谁能说说？
生 通项公式 反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或
n
项)之间的
关系.
生 对于通项公式，只要将公式中的
n
依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递 推公式则
要已知首项(或前
n
项)，才可求得其他的项.
(让学生自己来总 结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而
达到三维目标的整合.培养学生 的概括能力和语言表达能力)
布置作业
课本第38页习题2.1
A
组第4、6题.
预习内容：课本P
41
～P
44
.

2.2 等差数列

2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式
从容说课
本节课先在具体例子的 基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数
列的通项公式，最后根据这个公式去进行 有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观
察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采 用指导自主学习方法，即学生主动观
察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论— —拓展开放，巩固提高.
在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究. 在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识
的形成和发展 过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体
地位.创设问题情境，引起 学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认
知能力.使学生认识到生活离不开数学， 同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学
问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.
教学重点 理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单
的问题.
教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;
(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式.
教具准备 多媒体课件，投影仪
三维目标
一、知识与技能
1.了解公差 的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是
等差数列;
2.正 确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、
项数、指定的项.
二、过程与方法
1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；
2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.
三、情感态度与价值观
通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新
知的创新 意识.
教学过程
导入新课
师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表 示数列的几种方法——列举法、通项
公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点. 下面我们看这样一些数列
的例子：(课本P
41
页的4个例子)
(1)0，5，10，15，20，25，…;
(2)48，53，58，63，…;
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….
请你们来写出上述四个数列的第7项.
生 第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四
个数列的第7项为10 510.

师 我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.
生 这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7
项为78.
师 说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的
是共同特征.
生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.
师 作差是否有顺序，谁与谁相减？
生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.
师 以上四个数列的共同特征：从第二项起，每 一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等
差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数 列.
这就是我们这节课要研究的内容.
推进新课
等差数列的定义：一般地，如果 一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常
数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫 做等差数列的公差(常用字母“
d
”表示).
（1）公差
d
一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
*（2）对于数列{
a
n
}，若
a
n
-
a

n
-1
=
d
(与
n
无关的数或字母)，
n
≥2，
n
∈
N
，则此数列是等差数
列，
d叫做公差.
师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关 键字，
是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.
因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)
生 从“第二项起”和“同一个常数”.
师 很好！
师 请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
生 数列(1)通项公式为5
n
-5，数列(2)通项公式为5
n
+ 43，数列(3)通项公式为2.5
n
-15.5，….
师 好，这位同学用上节 课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公
式有共同的特点，无论是在求解方法上 ，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们
来共同思考.
［合作探究］
等差数列的通项公式
师 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数 列{
a
n
}的首项是
a
1
，
公差是
d，则据其定义可得什么?
生
a
2
-
a
1
=
d
,即
a
2
=
a
1
+
d
.
师 对，继续说下去!
生
a
3
-
a
2=
d
,即
a
3
=
a
2
+
d< br>=
a
1
+2
d
;
a
4
-
a
3
=
d
,即
a
4
=
a
3
+
d
=
a
1
+3
d
;
……
师 好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?
生 由上述各 式可以归纳出等差数列的通项公式是
a
n
=
a
1
+(
n
-1)
d
.
师 很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知 其首项
a
1
和公差
d
，便可求得其通
项
a
n
了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗?
生 前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：
因为
a
2
-
a
1
=
d
,
a
3
-
a
2
=
d
,
a
4
-
a
3
=
d
,…,
a
n
-
a
n
-1
=
d
.将它们相加便可以得到：
a
n
=
a
1
+(
n
-1)
d
.
师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.
［教师精讲］ < /p>

由上述关系还可得：
a
m
=
a
1
+( m-1)
d
,
即
a
1
=
a
m
-(m-1)
d
.
则
a
n
=
a
1
+(
n
-1)d
=
a
m
-(m-1)
d
+(
n
-1 )
d
=
a
m
+(
n
-m)
d
,
即等差数列的第二通项公式
a
n
=
a
m
+(
n
-m)
d
.(这是变通的通项公式)
由此我们还可以得到
d?
a
m
?a
n
.
m?n
［例题剖析］
【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项;
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
分析（1）
师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?
生1 这题太简单了 !首项和公差分别是
a
1
=8,
d
=5-8=2-5=-3.又因为
n
=20，所以由等差数列的
通项公式，得
a
20
=8+( 20-1)×(-3)=-49.
师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.
分析（2）
生2由
a
1
=-5,
d
=-9-(- 5)=-4得数列通项公式为
a
n
=-5-4(
n
-1).
由题意可知，本题是要回答是否存在正整数
n
，使得-401=-5-4(
n
-1)成立,解之,得
n
=100，
即-401是这个数列的第100项.
师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式
就是
a
n
,
a
1
,
d
,
n
组 成的方程(独立的量有三个).
说明:(1)强调当数列｛
a
n
｝的项数< br>n
已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方
程的正整数解的问题.这类问 题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判
断-401是不是数列的项，关键是求出数 列的通项公式
a
n
，判断是否存在正整数
n
，使得
a
n
=-401
成立.
【例2】 已知数列{
a
n
}的通 项公式
a
n
=p
n
+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定 是等
差数列？若是，首项与公差分别是什么？
例题分析：
师 由等差数列的定义，要判定{
a
n
}是不是等差数列，只要根据什么?
生 只要看差
a
n
-
a
n
-1
(
n
≥ 2)是不是一个与
n
无关的常数.
师 说得对，请你来求解.
生 当n
≥2时，〔取数列{
a
n
}中的任意相邻两项
a
n< br>-1
与
a
n
(
n
≥2)〕
a
n< br>-
a
n
-1
=(p
n
+1)-［p(
n-1)+q］=p
n
+q-(p
n
-p+q)=p为常数,
所 以我们说{
a
n
}是等差数列，首项
a
1
=p+q，公差为 p.
师 这里要重点说明的是：
(1)若p=0，则{
a
n
}是 公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….
(2)若p≠0，则
a
n
是关于
n
的一次式，从图象上看，表示数列的各点(
n
，
a
n
)均在一次函数
y=px+q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q .
(3)数列{
a
n
}为等差数列的充要条件是其通项
a
n
=p
n
+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.
课堂练习
(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知
a
1
=3，
d
=7-3=4.∴该数列的通项公式 为
a
n
=3+(
n
-1)×4，即
a
n
= 4
n
-1(
n
≥1，
n
∈
N
*
) .∴
a
4
=4×4-1=15，
a
10
=4×10-1=39.
评述：关键是求出通项公式.

(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.
解：根据题意可知
a
1
=10，
d
=8-10=-2. < br>所以该数列的通项公式为
a
n
=10+(
n
-1)×(-2) ，即
a
n
=-2
n
+12，所以
a
20
= -2×20+12=-28.
评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.
(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. < br>分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数
n
值，使得
a
n
等于这个数.
解：根据题意可得
a
1=2，
d
=9-2=7.因而此数列通项公式为
a
n
=2+(< br>n
-1)×7=7
n
-5.
令7
n
-5=100， 解得
n
=15.所以100是这个数列的第15项.
(4)-20是不是等差数列0，
?3
理由.
解：由题意可知
a
1
=0，
d?3
,因而此数列的通项公式为
a
n
? ?n?
令
?
1
，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明
2
1
2
7
2
7
.
2
774777.因为
?n???20
没有正整数解，所以-20不是这个
n???20
，解得
n?
7
2222
数列的项.
课堂小结
师（1）本 节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3）在生活中能否运用？(让学生反思、
归纳、总结,这样来 培养学生的概括能力、表达能力)
生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式
a

n
-
a

n
-1
=
d
(
n
≥2);
其次要会推导等差数列的通项公式
a
n
=
a1
+(
n
-1)
d
(
n
≥1).
师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道
a
n
，
a
1
，< br>d
，
n
中任意三个，应用方程的思想，
可以求出另外一个.最后，还要 注意一重要关系式
a
n
=
a
m
+(
n
-m )
d
和
a
n
=p
n
+q(p、q是常数)的
理解与应用.
布置作业
课本第45页习题2.2
A
组第1题，
B
组第1题.