最新人教版高中数学必修五综合测试题及答案2套

∴
∴
a
n
＋1
111
＝＝＋·，
22a
n
a
n
＋
1
2a
n
1
11
1
－1
?
， －1＝
?
2
?
a
n
?
a
n
＋
1
2
又a
1
＝，
3
11
∴－1＝，
a
1
2
?
1
?
11
∴数列
?
a
－1
?
是以为首项，为公比的等 比数列．
22
?
n
?
?
1
??
1
?
(2)由(1)知数列
?
a
－1
?
是等比数列，设数列
?
a
－1
?
的前n项和为T
n
，
?n
??
n
?
1
??
1
?
n
?
1－
2
??
2
??
1
?
n
则T< br>n
＝＝1－
?
?
2
?
，
1
1－< br>2
1
?
n
?
1
?
n
. ∴S
n
＝T
n
＋n＝1－
?
＋n＝n＋1－
?
2??
2
?
22．(本小题满分13分)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至
少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算 ，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的
平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了 使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应
建为多少层？
购地总费用
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
建筑总面积
解析： 设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则
2 160×10 000
f(x)＝(560＋48x)＋
2 000x
10 800
＝560＋48x＋.
x
10 800
∵x≥10，∴48x＋≥1 440，
x
当且仅当x＝15时，等号成立．
∴f(x)≥2 000.
因此，当x＝15时，f(x)取得最小值f(15)＝2 000.
答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．

模块综合检测(B)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出 的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)

1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos
2
A＝2a，
则
b
a
＝( )
A．23 B．22
C．3 D．2
解析： 由正弦定理，得sin
2
Asin B＋sin Bcos
2
A＝2sin A，
即sin B(sin
2
A＋cos
2
A)＝2sin A.
故sin B＝2sin A，所以
b
a
＝2.
答案： D
2．等比数列公比为2，且前4项之和为1，则前8项之和为( )
A．15 B．17
C．19 D．21
解析： 由
S
8
－S
4
S
＝q
4
得S
8
＝17.
4
答案： B
3．如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A．cb
2
＜ab
2
B．c(b－a)＞0
C．ab＜ac D．ac(a－c)＜0
解析： 若b＝0，则cb
2
＝ab
2
，∴A不一定成立．
答案： A < br>4．数列{a
1
n
}的通项公式为a
n
＝
n＋1＋n
，已知它的前n项和S
n
＝6，则项数n等于(
A．6 B．7
C．48 D．49
解析： 将通项公式变形得：
a
1
n
＝
n＋1＋n

＝
n＋1－n
?n＋1＋n??n＋1－n?

＝n＋1－n，则S
n
＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n＋1－n)
＝n＋1－1，由S
n
＝6，则有n＋1－1＝6，∴n＝48.
答案： C
5．在△ABC中，b＝asin C，c＝acos B，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形但不是直角三角形
)

B．直角三角形但不是等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
a
2
＋c
2
－b
2
解析： 由c＝acos B得，c＝a×，
2ac
∴a
2
＝b
2
＋c
2< br>，∴△ABC为直角三角形，
c
∴b＝asin C＝a×＝c，
a
∴△ABC是等腰直角三角形．
答案： D
6．不等式2x
2
－x－1>0的解集是( )
1
－，1
?
A．
?
?
2
?
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析： ∵Δ＝1＋8＝9>0，
∴方程2x
2
－x－1＝0有两个不相等的实数根，
1
解得x
1
＝－，x
2
＝1.
2
1
－∞，－
?
∪(1，＋∞)． ∴2x
2
－x－1>0的解集为
?
2
??
答案： D y≥0，
?
?
7．设变量x，y满足约束条件
?
x－y＋1≥0 ，
?
?
x＋y－3≤0，
A．－2
C．6
B．(1，＋∞)
1
－∞，－
?
∪(1，＋∞) D．
?
2
??

则z＝2x＋y的最大值为( )
B．4
D．8
解析： 作出可行域，如图阴影部分所示，易求得A(－1，0)， B(3,0)，C(1,2)，由可行
域可知，z＝2x＋y过点B(3,0)时，z有最大值，且z< br>max
＝6.

答案： C
8．在△ABC中，角A，B，C所对 边的长分别为a，b，c，若a
2
＋b
2
＝2c
2
，则co s C的

最小值为( )
A.
3

2
B．
2

2
1
C．
2
解析： 利用余弦定理求解．
a
2
＋b
2
－c
2
c
2
∵cos C＝＝，
2ab2ab
又∵a
2
＋b
2
≥2ab，∴2a b≤2c
2
，
1
∴cos C≥.
2
答案： C
1
D．－
2
9．当点(x，y)在直线x＋3y＝2上移动时，z＝3x
＋27
y
＋1的最小值是( )
3
A．39
C．1＋22
B．7
D．6
1
解析： z＝3
x＋27
y
＋1≥23
x
·27
y
＋1＝7.当且仅当3
x
＝27
y
，即x＝1，y＝时，等号成
3
立．故选B.
答案： B
7
10．在△ABC中，b
2
－bc－2c
2
＝0，a＝6，cos A＝，则△ABC的面积S为( )
8
A.
15

2
B．15
D．3 C．2
解析： ∵b
2
－bc－2c
2
＝0，
∴(b－2c)(b＋c)＝0.
∵b＋c≠0，∴b－2c＝0.∴b＝2c，
7
∴6＝c
2
＋4c
2
－2c·2c×，
8
∴c＝2，b＝4.
11
∴S＝bcsin A＝×2×4×
22
答案： A
4915
1－＝.
642
11．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g药品，他先将5 g的砝码放在左盘，
将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此
学生实际所得药品( )
A．小于10 g B．大于10 g

C．大于等于10 g D．小于等于10 g
解析： 设左、右臂长分别为t
1
，t
2
，第一次称的药品为x
1
g，第二次称的药品为x
2
g，
t
1
t
2
?则有5t
1
＝x
1
t
2
，x
2
t1
＝5t
2
，所以x
1
＋x
2
＝5
?
?
t
＋
t
?
>5×2＝10(g)，即大于10 g.
21
答案： B
12．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－ a)?(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，
则( )
A．－1＜a＜1
13
C．－＜a＜
22
B．0＜a＜2
31
D．－＜a＜
22
解析： 因为(x－a)?(x＋a)＝(x－a) (1－x－a)，又不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x
恒成立，所以(x－a)(1－x －a)＜1对任意实数x恒成立，即x
2
－x－a
2
＋a＋1＞0对任意实数
13
x恒成立，所以相应方程的Δ＝(－1)
2
－4(－a
2
＋a＋1)＜0，解得－＜a＜.故选C.
22
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
解析： 利用三边长是公比为2的等比数列，可把三边长表示为a，2a,2a，再利用余
弦定理求解．
设三角形的三边长从小到大依次为a，b，c，
由题意得b＝2a，c＝2a.
a
2
＋b
2
－c
2
a
2
＋2a
2< br>－4a
2
2
在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝－.
2ab4
2×a×2a
答案： －
2

4
x＋2y ≥0，
?
?
14．设z＝x＋y，其中x，y满足
?
x－y≤0，< br>?
?
0≤y≤k，

若z的最大值为6，则z的最小值为________．
解析： 如图，x＋y＝6过点A(k，k)，k＝3，z＝x＋y在点B处取得最小值，

B点在直线x＋2y＝0上，∴B(－6,3)，
∴z
min
＝－6＋3＝－3.

答案： －3
1 5．已知△ABC中三边a，b，c成等差数列，a，b，c也成等差数列，则△ABC的
形状为___ _____．
解析： 由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b，
由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b，
②
2
－①得2ac＝2b， < br>即b
2
＝ac，①平方得a
2
＋2ac＋c
2
＝4b
2
，
将b
2
＝ac代入得a
2
＋2ac＋c2
＝4ac，
即(a－c)
2
＝0，∴a＝c.
又∵a＋c＝2b，∴2a＝2b，
∴a＝b，∴a＝b＝c.
答案： 等边三角形
16．已知log
2
(x＋y)＝log
2
x＋log
2
y，则xy的取值范围是____________．
解析： 由已知得x＋y＝xy，又x＞0，y＞0，
∴xy＝x＋y≥2xy，∴xy≥4.
答案： [4，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演
算步骤)
17．(本小题满分12分)已知{a
n
}是首 项为19，公差为－2的等差数列，S
n
为{a
n
}的前n
项和．
(1)求通项a
n
及S
n
；
(2)设{b
n－a
n
}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b
n
}的通项公式 及前n项和T
n
.
解析： (1)∵{a
n
}是首项为a
1
＝19，公差为d＝－2的等差数列，∴a
n
＝19－2(n－1)＝
1< br>21－2n，S
n
＝19n＋n(n－1)×(－2)＝20n－n
2
.
2
(2)由题意得b
n
－a
n
＝3
n1
，
－
①
②
即b
n
＝a
n
＋3
n1
，
－
∴b
n
＝3
n1
－2n＋21，
－
∴ T
n
＝S
n
＋(1＋3＋…＋3
n
－
1
3
n
－1
)＝－n＋20n＋.
2
2
18．(本小题满分1 2分)(2012·江西高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，
c.已知3cos( B－C)－1＝6cos Bcos C.
(1)求cos A；
(2)若a＝3，△ABC的面积为22，求b，c.
解析： (1)由3cos(B－C)－1＝6cos Bcos C，

得3(cos Bcos C－sin Bsin C)＝－1，
11
即cos(B＋C)＝－，从而cos A＝－cos(B＋C)＝.
33
122
(2)由于0＜A＜π，cos A＝，所以sin A＝.
33
1
又S
△
ABC
＝22，即bcsin A＝22，解得bc＝6.
2
由余弦定理a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，得b
2
＋c
2
＝13，
???
?
bc＝6，
?
b＝2，
?
b＝3，
??< br>解方程组
22
得或
?

?
b＋c＝13，
? ?
c＝2.
??
c＝3
?

19．(本小题满分12分 )已知不等式ax
2
－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax
2
－(ac＋b)x＋bc<0.
解析： (1)因为不等式ax
2
－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}， 所以x
1
＝1与x
2
＝b是
方程ax
2
－3x＋2 ＝0的两个实数根，且b>1.
?
1＋b＝
a
，
由根与系数的关系 ，得
?
2
1×b＝.
?
a
?
?
a＝1，< br>解得
?
所以a＝1，b＝2.
?
?
b＝2.
3



(2)不等式ax
2
－(ac＋b)x＋bc<0，即x
2
－(2＋c)x＋2c<0，
即(x－2)(x－c)<0.
当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为?.
综上，当c>2时，不等式ax
2
－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2当c<2时，不等式 ax
2
－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c当c＝2时，不等式ax
2
－(ac＋b)x＋bc<0的解集为?.
20 ．(本小题满分12分)设S
n
是公差不为0的等差数列{a
n
}的前n项和 ，且S
1
，S
2
，S
4
成等比数列．
a
2
(1)求的值；
a
1
(2)若a
5
＝9，求a
n
及S
n
的表达式．
解析： (1)设等差数列{a
n
}的公差是d.
∵S
1
，S
2< br>，S
4
成等比数列，∴S
2
2
＝S
1
S4
，

即(2a
1
＋d)
2
＝a
1
(4a
1
＋6d)，
化简得d
2
＝2a
1
d，注意到d≠0，
a
2< br>a
1
＋d
3a
1
∴d＝2a
1
.∴＝＝＝3 .
a
1
a
1
a
1
(2)a
5
＝ a
1
＋4d＝9a
1
＝9，∴a
1
＝1，d＝2.
n?a
1
＋a
n
?
2
∴a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝2n－1，S
n
＝＝n.
2
21．(本小题 满分13分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方
向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以 10海里时的速度从岛
屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方
向追 赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解析： (1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.

在△ABC中，由余弦定理，得
BC
2
＝AB
2
＋AC
2
－2AB×AC×cos∠BAC
＝12
2
＋20
2
－2×12×20×cos 120°＝784.
解得BC＝28.
BC
所以渔船甲的速度为＝14海里时．
2
答：渔船甲的速度为14海里时．
(2)方法一：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
ABBC
由正弦定理，得＝.
sin αsin 120°
3
12×
2
33ABsin 120°
即sin α＝＝＝.
BC2814
33
答：sin α的值为.
14
方法二：在△ABC中，
因为AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α，

AC
2
＋BC
2
－AB
2
由余弦定理，得cos α＝，
2AC ×BC
20
2
＋28
2
－12
2
13
即c os α＝＝.
14
2×20×28
因为α为锐角，
所以sin α＝1－cos
2
α＝
33
答：sin α的值为.
14
22．(本小题满分13分)热心支持教育事业的李先生虽然并不富裕，但每年都要为山区
小学捐款．今 年打算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的数量之
和尽可能多，但椅子 数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少
才合适？
解析： 设桌子、椅子各买x张和y张，
则所买桌椅的总数为z＝x＋y.
x≤y，
??
依题意得不等式组
?
y≤1.5x，
?
?
50x＋2 0y≤2 000，
?
?
y＝x，
由
?
解得
?50x＋20y＝2 000，
?
13
?
2
33
1－< br>?
?
14
?
＝
14
.


其中x，y∈N
*
.


?
?
200< br>?
y＝
7
.
x＝25，
2
200
x＝，7


?
?
?
?
y＝1.5x，
?< br>由解得
?
75
?
50x＋20y＝2 000，
?
?
y＝.
?
200200
?
设点A的坐标为
?
?7
，
7
?
.
75
25，
?
， 点B的坐标为
?
2
??

200200
??
75< br>，25，
?
，O(0,0)为顶点的△则前面的不等式组所表示的平面区域是以A
?
，B
7
??
2
??
7
AOB的边界及其内部( 如图中阴影所示)．令z＝0，得x＋y＝0，即y＝－x.作直线l
0
：y＝－
75
75
25，
?
时，亦即x＝25，y＝时，z取最大值． x.由图形可知， 把直线l
0
平移至过点B
?
2
??
2

因为x，y∈N
*
，所以x＝25，y＝37时，z取最大值．
故买桌子25张，椅子37张较为合适．