人教A版高中数学必修五学业分层测评5

高中数学学习材料
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学业分层测评（五）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知方程x
2
sin A＋2xsin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c
的关系满足( )
A．b＝ac
C．a＝b＝c
B．b
2
＝ac
D．c＝ab
【解析】 由方程有重根，∴Δ＝4sin
2
B－4sin Asin C＝0，即sin
2
B＝sin Asin
C，∴b
2
＝ac.
【答案】 B
2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S
△
ABC
＝3，则角A的对边的长为( )
A.57 B.37 C.21 D．13
11
【解析】 ∵S
△
ABC
＝
2
bcsin A＝
2
×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理
1
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos 60°＝1＋16－2×1×4×
2
＝13.
∴a＝13.
【答案】 D
3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S
△
ABC
＝2，则此三角形的外 接圆的半径R
＝( )
1
A.
2
B．1

C．22
52
D．
2

12
【解析】 S
△
ABC
＝
2
acsin B＝
4
c＝2，∴c＝42.
2
b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝1＋32－82×
2
＝25，
b
∴b＝5.∴R＝
2sin B
＝
【答案】 D
4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
3
A.
2

C.
3＋6
2

33
B.
2

D．
3＋39

4
52
＝
2
.
2
2×
2
5
【解析】

在△ABC中，由余弦定理可知：
AC
2
＝AB
2
＋BC
2
－2AB·BCcos B，
1
即7＝AB
2
＋4－2×2×AB×
2
.
整理得AB
2
－2AB－3＝0.
解得AB＝－1(舍去)或AB＝3.
故BC边上的高AD＝AB·sin B＝3×sin 60°＝
【答案】 B
5． 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若三边的长为连
续的三个正整数，且A>B >C,3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为( )
A．4∶3∶2
C．5∶4∶3
B．5∶6∶7
D．6∶5∶4
33
.
2

【解析】 由题意知：a＝b＋1，c＝b－1，
b
2
＋c
2
－a
2
所以3b＝20acos A＝20(b＋1)·
2bc

b
2
＋?b－1?
2
－?b＋1?
2
＝20(b＋1)·，
2b?b－1?
整理得7b
2
－27b－40＝0，
解之得：b＝5(负值舍去)，可知a＝6，c＝4.
结合正弦定理可知sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4.
【答案】 D
二、填空题
6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长
为 ．
【解析】 画出三角形知AD
2
＝AB
2
＋BD
2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝3.
【答案】 3
7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x
2
－
7x－6＝0的根，则此三角形的面积是 cm
2
.
3
【解析】 解方程5x
2
－7x－6＝0，得x＝2或x＝－
5
，
34
∵|cos α|≤1，∴cos α＝－
5
，sin α＝
5
.
14
故S
△
＝
2
×3×5×< br>5
＝6(cm
2
)．
【答案】 6
8．(2016·郑州 模拟)在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面
积为 ．
【解析】 由余弦定理得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B，
即49＝a
2
＋25－2×5×acos 120°.
整理得a
2
＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)．
11153
∴S
△
ABC
＝
2
acsin B＝
2
×3×5sin 120°＝
4
.
【答案】
153
4

三、解答题
9．已知△ABC的三内角 满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin
2
C，求证：a
2
＋
b
2
＝5c
2
. 【导学号：05920063】
【证明】 由已知得cos
2
Acos
2
B－sin
2Asin
2
B＝1－5sin
2
C，
∴(1－sin
2
A)(1－sin
2
B)－sin
2
Asin
2
B＝1－5sin
2
C，
∴1－sin
2
A－sin
2< br>B＝1－5sin
2
C，
∴sin
2
A＋sin
2
B＝5sin
2
C. < br>?
a
??
b
??
c
?
由正弦定理得，所以< br>?
2R
?
2
＋
?
2R
?
2
＝5
?
2R
?
2
，
??????
即a
2
＋b
2
＝5c
2
.
10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD
＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
【解】 (1)由题设及余弦定理得
BD
2
＝BC
2
＋CD
2
－2BC·CDcos C＝13－12cos C，
BD
2
＝AB
2
＋DA
2
－2AB·DAcos A＝5＋4cos C． ②
1
由①，②得cos C＝
2
，故C＝60°，BD＝7.
(2)四边形ABCD的面积
11
S＝
2
AB·DAsin A＋
2
BC·CDsin C
1
?
1
?
＝
?
2
×1×2＋
2
×3×2
?
·sin 60°＝23.
??
[能力提升] →→→→
1．已知锐角△ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为3，则AB· AC的
值为( )
A．2
C．4
B．－2
D．－4
①
1
→→
【解析】 由题意S
△
ABC
＝
2
|AB||AC|sin A＝3，

3
得sin A＝
2
，又△ABC为锐角三角形，
→→→→
1
∴cos A＝
2
，∴AB·AC＝|AB||AC|cos A＝2.
【答案】 A
2．在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，
则角A的值为( )
πππ3π
A.
4
B.
3
C.
2
D．
4

【解析】 由题意知，sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos
B·sin C，在等式－2cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边除以cos B·cos C
得tan B＋tan C＝－2，tan(B＋C)＝
【答案】 A
3．(2015·天津高考)在△ABC中，内 角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
1
已知△ABC的面积为315，b－c＝2，co s A＝－
4
，则a的值为 ．
115
【解析】 在△ABC中，由cos A＝－
4
可得sin A＝
4
，
tan B＋tan C
π
＝－1＝－tan A，所以角A＝
4
.
1－tan Btan C
?
?
所以有
?
b－c＝2，?
1
?
?
?
－
4
?
，a＝b＋c－2 bc×
?
??
222
115
bc×
24
＝315，

?
a＝8，
解得
?
b＝6，
?
c＝4.


【答案】 8
4．(2015·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分 别为a，b，c.向量m
＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．
【解】 (1)因为m
∥
n，所以asin B－3bcos A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝3.

π
由于03
.
(2)法一 由余弦定理，得a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
π
而a＝7，b＝2，A＝
3
，
得7＝4＋c
2
－2c，即c
2
－2c－3＝0.
因为c>0，所以c＝3.
133
故△ABC的面积为
2
bcsin A＝
2
.
法二 由正弦定理，得
7221
＝，从而sin B＝
π
sin B7
.
sin
3
27
又由a>b，知A>B，所以cos B＝
7
.
π
??
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
?
B＋
3
?

??
ππ
321
＝sin Bcos
3
＋cos Bsin
3
＝
14
.
133
所以△ABC的面积为absin C＝.
22