人教A版高中数学必修五第一章测试

------------------------------------------- ------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------- -------------------------------------------








第一章测试
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共6 0分．在每小
题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△
ABC< br>中，
AB
＝5，
BC
＝6，
AC
＝8，则△
ABC
的形状是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
B．直角三角形
D．非钝角三角形
5
2
＋6
2
－8
2
3
解析 最大边
AC
所对角为
B
，则cos
B
＝＝－<0，∴
2×5×6 20
B
为钝角．
答案 C
2．在△
ABC
中，已知a
＝1，
b
＝3，
A
＝30°，
B
为锐角，那 么
A
，
B
，
C
的大小关系为( )
A．
A
>
B
>
C

C．
C
>
B
>
A

B．
B
>
A
>
C

D．
C
>
A
>
B

信达

---------------------------------------------- ---------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------- ----------------------------------------



b
sin
A
3
解析 由正弦定理＝，∴sin
B
＝＝.
sin
A
sin
Ba< br>2
∵
B
为锐角，∴
B
＝60°，则
C
＝90 °，故
C
>
B
>
A
.
答案 C
3．在 △
ABC
中，已知
a
＝8，
B
＝60°，
C
＝75°，则
b
等于( )
ab
A．42 B．43
C．46 D.
32
3

解析 由
A
＋
B
＋
C
＝180°，可求得
A
＝45°，由正弦定理，得
a< br>sin
B
8×
3
2
sin
A
＝
8× sin60°
sin45°
＝
2
＝46.
2
答案 C < br>4．在△
ABC
中，
A
＝60°，
a
＝3，则
a
＋
b
＋
c
sin
A
＋sin
B
＋sin
C
等于(
A.
83
B.
239
3

3

C.
263
3
D．23
解析 利用正弦定理及比例性质，得 < br>a
＋
b
＋
ca
3
sin
A
＋sin
B
＋sin
C
＝
sin
A
＝
sin60°
＝
3
3
＝23.
2
答案 D
5．若三角形三边长之比是1:3:2，则其所对角之比是(
A．1:2:3 B．1:3:2
信达
b
)
)
＝

---------------------------------------------- ---------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------- ----------------------------------------



C．1:2:3 D.2:3:2
解析 设三边长分别为
a
，3
a,
2
a
，设最大角为
A
，则cos
A
＝
a
2
＋3
a
2
－2
a
2·
a·3
a
∴
A
＝90°.
2
＝0，
设最小角 为
B
，则cos
B
＝
∴
B
＝30°，∴
C
＝60°.
因此三角之比为1:2:3.
答案 A
2
a
＋3
a
2
－
a
2
3
＝，
2
2 ·2
a
·3
a
2
6．在△
ABC
中，若
a
＝6，
b
＝9，
A
＝45°，则此三角形有( )
A．无解
C．两解
B．一解
D．解的个数不确定
2
9×
2
3 2
bab
sin
A
解析 由＝，得sin
B
＝＝＝>1.
sin
B
sin
Aa
64
∴此三角形无解．
答案 A
7．已知△
ABC
的外接圆半径为
R
，且2
R
(sin
2
A
－sin
2
C
)＝(2
a
－
b
)sin
B
(其中
a
，
b
分别为
A
，
B
的对边)，那么角
C
的大小为( )
A．30°
C．60°
B．45°
D．90°
解析 根据正弦定理，原式可化为
?
a
2
c
2
?
b??
－
2
R
2
2
a
－
b
)· ，
2
＝(
2
R
?
4
R
4
R?
∴
a
2
－
c
2
＝(2
a
－
b
)
b
，∴
a
2
＋
b
2
－
c
2
＝2
ab
，
信达

--- -------------------------------------------------- --------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------- ---------------------------------


a
2
＋
b
2
－
c
2
2
∴co s
C
＝＝，∴
C
＝45°.
2
ab
2
答案 B
8．在△
ABC
中，已知si n
2
A
＋sin
2
B
－sin
A
sin< br>B
＝sin
2
C
，且满足
ab
＝4，则该三角形的面 积为( )
A．1
C.2
B．2
D.3
解析 由＝＝＝ 2
R
，又sin
2
A
＋sin
2
B
－si n
A
sin
B
＝
sin
A
sin
B
sin
C
sin
2
C
，
可得
a
2＋
b
2
－
ab
＝
c
2
.
a bc
a
2
＋
b
2
－
c
2
13∴cos
C
＝＝，∴
C
＝60°，sin
C
＝. 2
ab
22
1
∴
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝3.
2
答案 D
9．在△
A BC
中，
A
＝120°，
AB
＝5，
BC
＝7，则
8
A.
5
5
C.
3
解析 由余弦定理，得
5
B.
8
3
D.
5
sin
B
的值为( )
sin
C
AB
2
＋
AC
2
－
BC
2
cos
A
＝，解得
AC
＝3.
2
AB
·
AC
sin
BAC
3
由正弦定理＝＝.
sin
CAB
5
信达

----------------------------------------- --------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------- ---------------------------------------------



答案 D
10．在三角形
ABC
中，
AB< br>＝5，
AC
＝3，
BC
＝7，则∠
BAC
的大小为( )
2π
A.
3
3π
C.
4
5π
B.
6
π
D.
3
AB
2
＋
AC
2
－
BC
2
5
2
＋3< br>2
－7
2
解析 由余弦定理，得cos∠
BAC
＝＝＝
2
AB
·
AC
2×5×3
12π
－，∴∠
BAC
＝.
23
答案 A
11．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20°， 现要将倾斜角
改为10°，则坡底要加长( )
A．0.5km
C．1.5km
B．1km
3

2
解析 如图，
AC
＝
AB
·sin20°＝sin20°，
BC
＝
AB
·cos20°＝cos20°，
DC
＝＝2cos
2
10°，
tan10°
AC
∴
DB
＝
DC
－< br>BC
＝2cos
2
10°－cos20°＝1.

答案 B
信达

-------------------------------- -----------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起 点------------------------------------------------- ----



12．已知△
ABC
中，
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.若
a
＝
c
＝6
＋2，且
A
＝75° ，则
b
为( )
A．2
C．4－23
B．4＋23
D.6－2
解析 在△
ABC
中，由余弦定理，得
a
2< br>＝
b
2
＋
c
2
－2
bc
cosA
，∵
a
＝
c
，∴0＝
b
2
－2bc
cos
A
＝
b
2
－2
b
(6＋2 )cos75°，而cos75°＝
231
cos(30°＋45°)＝cos30°cos4 5°－sin30°sin45°＝(－)
222
11
22
＝(6－2)，∴
b
－2
b
(6＋2)cos75°＝
b
－2
b(6＋2)·(6
44
－2)＝
b
2
－2
b
＝ 0，解得
b
＝2，或
b
＝0(舍去)．故选A.
答案 A
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填
在题中横线上)
1 3．在△
ABC
中，
A
＝60°，
C
＝45°，
b
＝4，则此三角形的最小
边是____________．
解析 由
A＋
B
＋
C
＝180°，得
B
＝75°，∴
c< br>为最小边，由正弦
定理，知
c
＝
b
sin
C
4sin45°
＝＝4(3－1)．
sin
B
sin75°
答案 4(3－1)
14．在△
ABC
中，若
b
＝2
a
，
B
＝
A
＋60°，则
A
＝________.
解析 由
B
＝
A
＋60°，得
13
sin
B
＝sin(
A
＋60°)＝sin
A
＋cos
A
.
22
又由
b
＝2
a
，知sin
B
＝ 2sin
A
.
信达

----------------- -------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------------------------------- -------------------



13
∴2sin< br>A
＝sin
A
＋cos
A
.
22
33
即sin
A
＝cos
A
.
22
3
∵cos
A
≠0，∴tan
A
＝.
3
∵0°<
A
<180°，∴
A
＝30°.
答案 30°
15．在△
ABC
中，
A
＋
C
＝2
B
，
BC
＝5，且△
ABC
的面积为103，
则
B
＝________，
AB
＝________.
解析 由
A< br>＋
C
＝2
B
及
A
＋
B
＋
C
＝180°，得
B
＝60°.
1
又
S
＝
AB
·
BC
·sin
B
，
2
1
∴103 ＝
AB
×5×sin60°，∴
AB
＝8.
2
答案 60° 8
16．在△
ABC
中，已知(
b
＋
c
):(
c
＋
a
):(
a
＋
b
)＝8:9: 10，则
sin
A
:sin
B
:sin
C
＝___ _____.
解析
b
＋
c
＝8
k
，
?
?
设
?
c
＋
a
＝9
k
，
?
?
a
＋
b
＝10
k
，

可得
a
:
b
:
c
＝11:9:7.
∴s in
A
:sin
B
:sin
C
＝11:9:7.
答案 11:9:7
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
信达

---------------- -------------------------------------------------- -奋斗没有终点任何时候都是一个起点--------------------------------- --------------------



a
2
s in
A
cos
B
17．(10分)在△
ABC
中，若
2
＝，判断△
ABC
的形状．
b
cos
A
si n
B
a
2
a
cos
B
解 依据正弦定理，得
2
＝·，所以
a
cos
A
＝
b
cos
B
.再由正
bb
cos
A
弦定理，得sin
A
cos
A
＝sin
B
cos
B
，即sin2
A
＝ sin2
B
，因为2
A,
2
B
∈
π
(0, 2π)，故2
A
＝2
B
，或2
A
＋2
B
＝ π.从而
A
＝
B
，或
A
＋
B
＝，即△2
ABC
为等腰三角形，或直角三角形．
18．(12分)锐角三角形
ABC
中，边
a
，
b
是方程
x
2
－23< br>x
＋2＝0
的两根，角
A
，
B
满足2sin(
A
＋
B
)－3＝0.求：
(1)角
C
的度数；
(2)边
c
的长度及△
ABC
的面积．
解 (1)由2sin(
A
＋
B
)－3＝0，
3
得sin(
A
＋
B
)＝.
2
∵△
ABC
为锐角三角形，
∴
A
＋
B
＝120°，∴∠
C
＝60°.
(2)∵
a
，
b
是方程
x
2
－23
x< br>＋2＝0的两个根，
∴
a
＋
b
＝23，
ab
＝2.
∴
c
2
＝
a
2
＋
b
2
－2
ab< br>cos
C

＝(
a
＋
b
)
2
－3
ab
＝12－6＝6.
∴
c
＝6.
1133S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝×2×＝.
2222
信达

------------------------ -------------------------------------------奋斗没有终点任 何时候都是一个起点----------------------------------------- ------------




19．(12分)如右图，某货 轮在
A
处看灯塔
B
在货轮的北偏东75°，
距离为126nmile ，在
A
处看灯塔
C
在货轮的北偏西30°，距离为
83nmile， 货轮由
A
处向正北航行到
D
处时，再看灯塔
B
在北偏东120°，求：
(1)
A
处与
D
处的距离；
(2)灯塔
C
与
D
处的距离．
分析 (1)要求
AD
的长，在△
ABD
中，
AB
＝126，
B
＝4 5°，可
由正弦定理求解；(2)要求
CD
的长，在△
ACD
中，可 由余弦定理求解．
解 (1)在△
ABD
中，∠
ADB
＝60°，
B
＝45°，
AB
＝126，由正
AB
sin
B< br>弦定理，得
AD
＝＝
sin∠
ADB
2
126×2
3
2
＝24(nmile)．
(2)在△
ADC
中，由余弦定理，得
CD
2
＝
AD
2
＋
AC
2
－2
AD
·
AC
·cos30°.
解得
CD
＝83(nmile)．
信达

--------------------------------------------- ----------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------ -----------------------------------------



∴
A
处与
D
处的距离为24nmile，灯塔
C
与
D
处的距离为83
nmile.
20．(12分)在△
ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，
A
25
→→
且满足 cos＝，
AB
·
AC
＝3.
25
(1)求△
ABC
的面积；
(2)若
b
＋
c
＝6，求
a
的值．
解 (1)∵cos＝，
25
34
∴cos
A
＝2cos－1＝，si n
A
＝.
255
2
A
25
A
→
·
→
又由
ABAC
＝3，得
bc
cos
A
＝3，∴
bc
＝5.
1
因此
S
△
ABC
＝
bc
sin
A
＝2.
2
(2)由(1)知，
b c
＝5，又
b
＋
c
＝6，
∴
b
＝5，< br>c
＝1，或
b
＝1，
c
＝5.
由余弦定理，得a
2
＝
b
2
＋
c
2
－2
bc
cos
A
＝20.
∴
a
＝25.
π
2 1．(12分)在△
ABC
中，已知内角
A
＝，边
BC
＝2 3，设内角
3
B
＝
x
，周长为
y
.
(1)求函数
y
＝
f
(
x
)的解析式和定义域；
(2)求
y
的最大值．
π
解 (1)△
ABC
的 内角和
A
＋
B
＋
C
＝π，由
A
＝，
B
>0，
C
>0，得
3
信达

----- -------------------------------------------------- ------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------------------- -------------------------------



0<
B
<
2π
3
.应用正弦定理，得
AC
＝
BC
sin
A
·sin
B
＝
23
·s in
x
＝4sin
x
sin
π
.
3
AB
＝
BC
?
2π
sin
A
sin
C
＝4sin
?
?
?
3
－
x
?
?
.
∵
y
＝
AB
＋
BC
＋
CA
， < br>∴
y
＝4sin
x
＋4sin
?
?
2π??
2
?
3
－
x
?
?
＋23
?
?
0<
x
<
π
?
3
?
?
.
(2)
y
＝4(sin
x
＋
31
2
cos
x
＋
2
sin
x
)＋23
＝43sin(
x
＋
π
6
)＋23.
∵
π
6
<
x
＋
π
6
<
5π
6
，
∴当
x
＋
π
6
＝
π
2
，即
x
＝
π
3
时，
y
取得最大值63.
22 ．(12分)△
ABC
中，
A
，
B
，
C
所 对的边分别为
a
，
＝
sin
A
＋sin
B
cos
A
＋cos
B
，sin(
B
－
A
) ＝cos
C
.
(1)求
A
，
C
；
(2 )若
S
△
ABC
＝3＋3，求
a
，
c
.
解 (1)因为tan
C
＝
sin
A
＋sin
B< br>cos
A
＋cos
B
，
即
sin
C
sin
A
＋
cos
C
＝
sin
B
cos
A
＋cos
B
，
所以sin
C
cos
A
＋sin
C
cos
B
＝cos
C
sin
A
＋cos
C
sin
B
，
信达
b
，
c
，tan
C

------ -------------------------------------------------- -----------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------- ------------------------------



即 sin
C
cos
A
－cos
C
sin
A
＝ cos
C
sin
B
－sin
C
cos
B
， 得sin(
C
－
A
)
＝sin(
B
－
C< br>)．
所以
C
－
A
＝
B
－
C
，或
C
－
A
＝π－(
B
－
C
)(不成立 )，
π2π
即2
C
＝
A
＋
B
，得
C
＝，所以
B
＋
A
＝.
33
1
又因为 sin(
B
－
A
)＝cos
C
＝，
2
π 5π
则
B
－
A
＝，或
B
－
A
＝( 舍去)．
66
π5π
得
A
＝，
B
＝.
412
所以
A
＝
ππ
，
C
＝.
43
16＋2
(2)
S
△
ABC
＝
ac
s in
B
＝
ac
＝3＋3，
28
又＝，即＝.
s in
A
sin
C
23
22
acac
得
a< br>＝22，
c
＝23.
信达