高中数学必修5解三角形教案

第2章 解三角形
2.1.1 正弦定理
教学要求：通过对任意三角 形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内
容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜 三角形的两类
基本问题.
教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.
教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股
定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？
2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角
形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确
量化？ →引入课题：正弦定理
二、讲授新课：
1. 教学正弦定理的推导：
①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA=
ab
sinB= sinC=1 即c=
cc

abc
.
??
sinAsinBsinC
② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上 的高是CD，根据三角函数的定义，
有
CD?asinB?bsinA
,则
高 ？），从而
ac
ab
. 同理，（思考如何作
?
?
sinA sinC
sinAsinB
abc
.
??
sinAsinBsin C
③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S
△
ABC
=< br>111
absinC?acsinB?bcsinA
.
222
Ca
b
A
O
B
D
1abc
两边同除以
abc
即得：==.
2sinAsinBsinC
证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴
同理
c
aa
??CD?2R
，
sinAsinD
bc
=2R，＝2R.
sinBsinC

r
r
uuuruuuruuur
uuu
证明三：（向量法）过A作单 位向量
j
垂直于
AC
，由
AC
+
CB
=< br>AB
边同乘以
r
单位向量
j
得…..
④ 正弦定 理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角
及其一边可以求其他边；已知三角形的任 意两边与其中一边的对角可以求
其他角的正弦值.
2. 教学例题：
① 出示例1 ：在
?ABC
中，已知
A?45
0
，
B?60
0< br>，
a?42
cm，解三角形.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已
知两角一边

② 出示例2：
?ABC中，c?6,A?45
0
,a?2,求b和B,C
.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知
两边及一边对角

③ 练习：
?ABC中，b?3,B?60
0
,c?1,求a和A,C
.
在
?ABC
中，已知
a?10
cm，
b?14
cm，A?40
0
，解三角形（角度精确到
1
0
，
边长精确到 1cm）

④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？

3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对
角的讨论.
三、巩固练习：
1.已知
?
ABC中，
?
A=60°，< br>a?3
，求
2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题.


a?b?c
.
sinA?sinB?sinC

2.1.2 余弦定理（一）
教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并
会运 用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
教学难点：向量方法证明余弦定理.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？
2. 练习：在△ABC中，已知
c?10
，A=45?，C=30?，解此三角形. →变式
3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？
二、讲授新课：
1. 教学余弦定理的推导：
① 如图在
?ABC
中，
AB
、
B C
、
CA
的长分别为
c
、
a
、
b
.
uuuruuuruuur
∵
AC?AB?BC
，
uuur
2
uuuruuuruuur
2
uuuruuuruuuruuuruuur uuur
∴
AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)
?AB?2AB?BC?B C

C
b
A
c
a
B
uuur
2< br>uuuruuuruuur
2
o
?AB?2|AB|?|BC|cos(180 ?B)?BC
?c
2
?2accosB?a
2
.
即
b
2
?c
2
?a
2
?2accosB
，→
② 试证：
a
2
?b
2
?c
2
?2bcc osA
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abco sC
.
③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去
这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
用符号语言表示
a
2
?b2
?c
2
?2bccosA
，…等； → 基本应用：已知两
边及夹角
④ 讨论：已知三边，如何求三角？
b
2
?c
2
?a
2
→ 余弦定理的推论：
cosA?
，…等.
2bc
⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？
2. 教学例题：
① 出示例1：在
?< br>ABC中，已知
a?23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b
→ 讨论：如何求A？（两种方法） （答案：
b?22
，
A?60
0
）
→ 小结：已知两边及夹角

②在
?
ABC中，已知
a?13cm
，
b?8cm
，
c?16cm
，解三角形.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已
知两角一边


3. 练习：
① 在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.

② 在ΔABC中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解这个三角形.

4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余
弦定理的特例；

余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求
第三边.
三、巩固练习：
1. 在
?
ABC中，若
a
2
? b
2
?c
2
?bc
，求角A. （答案：A=120
0
）
2. 三角形ABC中，A＝120°，b＝3，c＝5，解三角形.
→ 变式：求sinBsinC；sinB＋sinC.
3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.

2.1 .3 正弦定理和余弦定理（练习）
教学要求：进一步熟悉正、余 弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定
理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角 恒等式.
教学重点：熟练运用定理.
教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.
教学过程：
一、复习准备：
1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.
2. 讨论各公式所求解的三角形类型.
二、讲授新课：
1. 教学三角形的解的讨论：
① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
(i) A＝
?
?
，a＝25，b＝50
2
； (ii) A＝，a＝25
2
，b＝50
2
；
66
(iii) A＝
??
506
，a＝，b＝50
2
； (iiii) A＝，a＝50，b＝50
2
.
3
66
分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？

② 用如下图示分析解的情况. （A为锐角时）
已知边a,b和
?
A
C
b
A
H
a无解
a
A
B
a=CH=bsinA
仅有一个解< br>b
a
A
C
b
a
B1
H
a
B 2
a?b
仅有一个解
A
H
B
C
b
C
a
CH=bsinA有两个解


② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.
(i) A＝
2
?
2
?
，a＝25，b＝50
2
； (ii) A＝，a＝25，b＝10
2

33
例1.根据下列条件，判断解三角形的情况
(1) a＝20，b＝28，A＝120°.无解
(2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解
(3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解
(4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解


2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：

① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的
余弦.
分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求
角.

② 出示例3：在ΔABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断三角形的类型.
分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判
断
a2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角 ??
ABC
是直角三角形
结论：活用余弦定理，得到：
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是钝角??
A BC
是钝角三角形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角??
ABC
是锐角三角形

③ 出示例4：已知△ABC中，
bcosC?ccosB
，试判断△ABC的形状.
分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？

3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.

三、巩固练习：
1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且
的值
2. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosA:cosB:cosC＝ .
3. 作业：
sinA2
a?b
求
?
，
si nB3
b

2.2三角形中的几何计算

一、 设疑自探 正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的
几何计算问题中有着广泛的应用。
对于本节课你想了解哪些内容？
（1）怎样运用正弦定理、余弦定理处理三角形中的计算问题？
（2）处理三角形中的计算问题应该注意哪些问题？
二、解疑合探
例一：如图所示，在梯形ABCD中，AD||BC，AB?5，AC?9，

?BCA?30?，?ADB?45?.求BD的长.

A D




B C
例二：如图 所示，已知在四边形ABCD中，AD?CD,AD?10，
AB?14，?BDA?60?，?BCD ?135?，求BC的长。
答案：BC?82


D C



A B

例三：如图所示，已知圆O的半径是1，点C在直径AB的延长线
上，BC?1，点P是圆O上 半圆上的一个动点，以PC为边作等边三
角形PCD,且点D与圆心分别在PC的两侧。
（1） 若?POB?
?
,试将四边形OPDC的面积y表示成
?
的函数；
（ 2）求四边形OPDC面积的最大值。







A
O

D
P
C
B

A
例五:如图所示，在等腰?ABC中，底边 BC?1，底角B的平分线

BD交AC于D,求BD的取值范围。
解：??ABC? ?C,??A?180??2?ABC,
?ABC3
?BDC??A??ABD?180??2 ?ABC??180???ABC
22
在?BCD中，由正弦定理，得
BDBCBD1
?,即?,
3
sinCsin?BDCsin?ABC
sin(180??? ABC)
2
sin?ABC
?BD?
3
sin(?ABC)
2
?ABC?ABC
2sin?cos
22
?
?ABC?ABCsin?ABC?cos?cos?ABC?sin
22
?ABC
2cos
2
?
?ABC
4cos
2
?1
。
2
2< br>?
?ABC1
4cos?
?ABC
2

cos
2
?ABC
?0???45?,
2
2?ABC
??cos?1,< br>22
2
?BD的取值范围为（，2）.
3
D
B
C四、运用拓展
（1）在?ABC中，A?60?，AB?16，S
?ABC
?2 203，求BC及
?ABC的外接圆和内切圆的半径。
答案：BC?49，R?
493 113
，r?
33


(2)在?ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，且B?2A,
b
< br>求的取值范围。
a
b
答案：的取值范围是（1，2）
a

§3 解三角形的实际应用举例
教学目标
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。
2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
3、培养和提高分析、解决问题的能力。
教学重点难点
1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。
2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
教学过程
一、复习引入
1、正弦定理：
abc
???2R

sinAsinBsi nC
222
b
2
?c
2
?a
2
2、余弦定理：
a?b?c?2bccosA,
?
cosA?

2b c
c
2
?a
2
?b
2
b?c?a?2cacosB ,
?
cosB?

2ca
222
a
2
?b
2
?c
2

c?a?b?2abcosC
，
?
cosC?

2ab
222
二、例题讲解
引例：我军有A、B两个小岛相距10海里，敌 军在C岛，从A岛望C岛和
B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中 率，
须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。
解：
A?60
0
B?75
0
∴
C?45
0

由正弦定理知
C
A
60
0
BC10

?< br>00
sin60sin45
10sin60
0
?BC??56
海里
0
sin45



75
0
B

例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆
BC
的 长度
（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点
B
与车厢支点
A之间的距离为1.95m，
AB
与水平线之间的夹角为
60
0
2 0

，
AC
长为
1.40m，计算
BC
的长（保留三 个有效数字）．
分析：这个问题就是在
?ABC
中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,
?

BAC?60??6?20'?66?20'
求BC的长，由于已知的两 边和它们的夹角，所以可
根据余弦定理求出BC。
解：由余弦定理，得
C
BC

2
?AB
2
?AC
2
?2AB?ACcosA

1.40m
?

1.95
2
?1.40
2
?2?1.95?1.40?cos66?20'
?

3.571
A
60
0
?
6
0
20

D

BC?1.89(m)
1.95m
B

答：顶杠BC长约为1.89m.
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。
2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等
等。
3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角
形中解决。
练1.如图,一艘船以32海里时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的
北偏东
200
, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东
S
65
0< br>方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）
65
0
?
45< br>0
B
115
0
解：
AB?16

由正弦定理 知
ABBS
sin45
0
?
sin20
0

20
0
A

10sin20
0
BS??7.7
海里
0
sin45
答：灯塔S和B处的距离约为
7.7
海里
例2.测量高度问题
如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线 上
的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是
?
?45
0
和
?< br>?60
, Ｃ、Ｄ间的距离是
12m.已知测角仪器高1.5m.求烟囱的高。
B
0
图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？
分析：因为AB?AA
1
?A
1
B
，又
AA
1
? 1.5m

所以只要求出
A
1
B
即可
解：在
?BC
1
D
1
中，
?
?
D
1
D
C
1
C
A
1
A
?BD1
C
1
?180
0
?60
0
?120
0
，
?C
1
BD
1
?60
0
?45
0
?15
0

由正弦定理得：
C
1
D
1
BC
1
?

sin?C
1
BD
1
sin?BD
1
C
1
C
1
D
1
sin?B D
1
C
1
12sin120
0
BC
1
?? ?(182?66)m

0
sin?C
1
BD
1
sin15
从而：
A
1
B?
2
BC
1
?18?63?28.392m

2
因此：
AB?A
1
B?AA
1
?28.39 2?1.5?29.892?29.89m

答：烟囱的高约为
29.89m

练习：在山顶铁塔上
B
处测得地面上一点
A
的俯角
?
?60
0
，在塔底
C
处测得
点
A
的俯角
?
?45
，已知铁塔
BC
部分高
32
米，求山高
C D
。
解：在△ABC中，∠ABC=30°，
∠ACB =135°，
∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC)
=180°－(135°+30°)=15°
D
A
0
B
3 2
?=60
0
C
?
?=45
0

又B C=32,
由正弦定理
BCAC

?
sin?BACsin? ABC
BCsin?ABC32sin30
0
得：
AC???
0sin?BAC
sin15
课堂小结
16
6?2
4
?16(6?2)m

1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意 ，分清已知与所求，根据
题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为：






检验（答）
实际问题
画图形
数学模型
解
三
角
形

正弦定理余弦定理综合应用
一、知识梳理
1．内角和定 理：在
?ABC
中，
A?B?C?
?
；
sin(A?B)?
sinC
；
cos(A?B)?
?cosC

111
S
?ABC
?absinC?bcsinA?acsinB
222
面积公式 : 在三角形中大边对大
角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
abc
???2R
形式一：
sinAsinBsinC
(解三角形的重要工具)
形式二：
?
a?2RsinA
?
?
b?2RsinB
?
c?2RsinC
?
(边角转化的重要工具)
形式四：形式三：
a:b:c?sinA:sinB: sinC
sinA?
abc
,sinB?,sinC?
2R2R2R

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边
与它们夹角的余弦的 积的两倍..
形式一：
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA

b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
< br>c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
(解三 角形的重要工具)
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?cosB?cosC?
2bc2ac2ab
形式二：
二、方法归纳
abc
??
(1)已知两角A、B与一边
a
,由A+B+C=π及
sinAsinBsinC
，可求
出角C，再求
b< br>、
c
.
222
(2)已知两边
b
、
c< br>与其夹角A，由
a
=
b
+
c
-2
b
c
cosA，求出
a
，再由余
弦定理，求出角B、C.
(3)已 知三边
a
、
b
、
c
，由余弦定理可求出角A、B、C.
ab
?
(4)已知两边
a
、
b
及其中一边的对角 A，由正弦定理
sinAsinB
，求
ac
?
出另一边
b< br>的对角B，由C=π-(A+B)，求出
c
，再由
sinAsinC
求 出C，
ab
?
而通过
sinAsinB
求B时，可能出一解，两解或 无解的情况

a
=
b
sinA有一解
b
>
a
>
b
sinA有两解
a
≥
b
有一解
a
>
b
有一解
三、课堂精讲例题
问题一：利用正弦定理解三角形
【例1】在
?ABC
中，若
b?5
，
?B?
?
1
,
sinA?
，则
a? .
43
52

3
【例2】在△A BC中，已知
a
=
3
,
b
=
2
,B=45 °,求A、C和
c
.

【适时导练】
1.（1）△ABC中，
a
=8,B=60°,C=75°,求
b
; （2）△ABC中，B=30°,
b
=4,c=8,求C、A、a.

.
问题二：利用余弦定理解三角形
【例3】设
?ABC
的内角
A、B 、C
所对的边分别为
a、b、c
.已知
a?1
，
b?2，
cosC?
1
.
4
（Ⅰ）求
?ABC
的周 长；（Ⅱ）求
cos
?
A?C
?
的值.



【例4】（2010重庆文数） 设
?ABC
的内角A、B、C的对边长分 别为
a
、
b
、
c
,且3
b
2
+3
c
2
-3
a
2
=4
2
b
c
.
2sin(A?)sin(B?C?)
44
的值. (Ⅰ) 求sinA的值；(Ⅱ)求
1?cos2A

【适时导练】
2 在△AB C中，
a
、
b
、
c
分别是角A，B，C的对边，且
cosBb
=-.
cosC2a?c
??
（1）求角B的大小；（2）若< br>b
=
13
，
a
+
c
=4，求△ABC的面积 .


问题三：正弦定理余弦定理综合应用
【例5】（2011山东文数 ）在
?
ABC中，内角A，B，C的对边分别为
a
，
b
，< /p>

cosA-2cosC2c-a
=
．
cosBb
sinC
1
（I）求的值； （II）若cosB=，
?
ABC
的周长为5，求
b
的
4
sinA
c．已知
长。



【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在
?ABC
中，内角A、B、 C的对边长分别为
a
、
b
、
c
，已知
a
2
?c
2
?2b
，且
sinAcosC?3cosAsinC,
求b


3． 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且8 sin
2
2A＝7．
（1）求角A的大小；（2）若a＝
3
，b＋c＝3，求b和c的值．


问题四：三角恒等变形
【例7】（08重庆） 设
?ABC
的内 角A，B，C的对边分别为
a
,b,c，且A=
B?C
－2 cos
2
60
o
，c=3b.求：
a
（Ⅰ）
c
的值；（Ⅱ）cotB +cot C的值.


4.（2009江西卷理）△
ABC
中，
A,B,C
所对 的边分别为
a,b,c
，
tanC?
sinA?sinB
,
sin(B?A)?cosC
.
cosA?cosB
（1）求
A,C
；（2）若
S
?ABC
?3?3
,求
a,c
.



问题五：判断三角形形状
【例8】在△ABC中，在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角A、B、C所对的边，
bcosA＝a
cosB，试判断
?ABC
三角形的形状.


【例9】. 在△ABC中，在
?ABC
中，
a,b,c
分别是角A 、B、C所对的边，

若
cosA
cosB
＝
b
a
，



【适时导练】
5.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三
角形

6.在△ABC中，
a
、
b
、c分别表示三个内角A、B、C的 对边，如果（
a
2
+b
2
）sin（A-B）=（
a
2
-b
2
）sin（A+B），判断三角形的形状.




问题六：与其他知识综合
【例10】已知向量
m?(a?c, b),n?(a?c,b?a),且m?n?0
，其中A，B，
C是△ABC的内角，
a
,
b
,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；
（2）求sinA?sinB
的取值范围.



7（2009浙江文 ）在
?ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，且满足
cos
A25
2
?
5
，
u
AB< br>uur
?
u
AC
uur
?3
．
（I）求
?ABC
的面积； （II）若
c?1
，求
a
的值．



问题7：三角实际应用
【例11】 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距
3
km的C、D
两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，
求A、B之间的距离.