高中数学必修五不等式方法与题型总结

不等式的题型方法总结
1 不等式性质
1、不等式的性质：课本性质请自己整理。
注意：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要
注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
如（1）对于实数
a,b,c
中，给出下列命题：①
若a?b,则ac
2
?bc
2
；②< br>若ac
2
?bc
2
,则a?b
；③
若a?b?0,则 a
2
?ab?b
2
；④
若a?b?0,则
11
a< br>?
b
；⑤
若a?b?0,则
b
a
?
a
b
；⑥
若a?b?0,则a?b
；⑦
若c?a?b?0,则
ac?a
?
b
c?b
；⑧
若a?b,
1
a
?
1
b
，则
a?0,b?0
。
其中正确的命题是____ __（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知
?1?x?y?1
，
1?x?y?3
，则
3x?y
的取
值范围是______（答：
1?3x?y?7< br>）；（3）已知
a?b?c
，
且
a?b?c?0,
则
c
a
的取值范围是______（答：
?
?
?
?2,?1
?
2
?
?
）
2.比较大小的常用方法：（1）作差 ：作差后通过分
解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商
（常用于分数指数幂的 代数式）；（3）分析法；（4）平
方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单
调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”
比，与“1”比，然后再比较它们的大小） 或放缩法 ；
(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函
数、二次函数、三角函数 的图象），直接比较大小。其
中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
一、
a?b
与0比较大小。
1、基本功练习
1.1 比较
(1?
2
a
)
3
?2
与
4?(1?
2< br>3
a
)
的大小。
解析：注意立方和差公式。
a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b
2
)

a
3
?b
3
?(a?b)(a
2
?ab?b< br>2
)

1.2 比较
x
2
?2123
与< br>3x?2120
的大小，其中
x?R
。
a
2
1
2
1
1.3
a,b
都是正数， 比较
(
b
b
)
2
?(
a
)
2与
a?b
的
大小。
1.4 比较
x
6
?2 019
与
x
4
?x
2
?2018
的大小，其中x?R
。
1.5 已知
a,b,c,d?
{正实数}，且
b ?c
，比较
ab?d
与
ac?bc?d
的大小。
1.6 已知
x?0,x?1,m?n?
，
0
比较
x
m
?< br>1
x
m
与
x
n
?
1
x
n< br>的大小。
1、综合能力提升
2.1 已知正数
a,b,c
满足lga
、
lgb
、
lgc
成等差数列，
比较
a
2
?b
2
?c
2
与
(a?b?c)
2的大小。
2.2 已知
A?202?0x2
4
，
B?2x3
?x
2
?2019
，
x?R
，比较
A
与
B
的大小。
2.3 设
a,b
都是正实数，且
a?b
，比较
a
5
?b
5
与
a
3
b2
?a
2
b
3
的大小。
2.4 设
a,b< br>都是正实数，
m,n?N
*
，且
1?m?n
，比
较< br>a
n
?b
n
与
a
n?m
b
m
?a
m
b
n?m
的大小。
二、
a
b
作商与1比较大小。
1、基本功练习
1.1 比较
16
18
与
18
16
的大小
1.2 比较
a?3?a?4
与
a?4?a?5
的大小。
1.3 比较
2
n?1?n
的大小。
2、能力提升
a
1
2.1 设
a,b
都是正实数，比较
?b
与< br>(a
b
b
a
)
a?b
2
的大小。

2.2 设
a,b
都是正实数，且
a?b
，比较a
a
b
b
与
a
b
b
a
的大小。
解析：即可用作商也可用作差。
2.3 已知
x?{yy?lgt,1 ?t?10}
，比较
log
a
(1?x)
与
log
a
(1?x)
的大小。
3、
2
a,
3
b
可将二者同时变为2×3次方后比较大小，
去根号。
4、
1?x
p?q?(x
p
?x
q
)?(1?x
p
)(1?x
q
)
，因式分解的
一种题型。
5、特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此
法尤其适用于不成立的命题。
2 基本不等式
1、基本不等式证明不等式。（应用）
1.1 设
a, b,c
都是正数，求证：
bccaa
a
?
b
?
c< br>?a?b
b
?c
。
解析：不等号两边同时乘以2.
1.2 已知
a,b
是正数，
2c?a?b
，求证：
（1）
c
2
?ab

（2）
c?c
2
?ab?a?c?c
2
?ab

解析：第一问不等号两边同时平方。
第二问变型为
a?c?c
2
?ab
然后两边同时平
方。
1.3
a,b,c
都是正数，求证：
a
2
?b
2
?b
2
?c
2
?c
2
?a
2
?2 (a?b?c)
。
解析：找
a
2
?b
2
与
(a?b)
的关系。注意：
a
2
?b
2
?2ab
，两边同时加
a
2
?b
2
即可。
1.4
a,b ,c
是不全相等的正数，求证：
a(b
2
?c
2
)?b(c
2
?a
2
)?c(a
2
?b
2
)?6ab c
。
1.5 设
a,b,c
是正数，求证：
a
3
?b
3
?c
3
?
1
3
(a
2
? b
2
?c
2
)(a?b?c)
。
解析：本题属于难题：要 由基本不等式引申得到
(a
2
?b
2
)(a?b)?2ab(a?b )
，所以
a
3
?b
3
?

a?bab
想办法凑出
1
3
等其他部分。
1.6
a,b,c
都是正数，求证：
a
4
?b
4
?c
4
?abc(a?b?c)

1.7 设
a,b
是实数，求证：
log
0.5
(
1
4
a
?
1
4
b
)?a?b?1
。
2、
a?b
2
?ab
求最大值最小值。
注意： 利用重要不等式求函数最值时， “一正二
定三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为：
拆、凑、平方。
如1.
y?x?
1
x
的最小值。 2.
y?
x
2
?3
x
2
的最小值
?2
y?2?3x?
4
(x?0)
3.
x
的最大值。
4.
y?2?3x?
4
x
(x?0)
的最小值
5.若
x?2y?1
，则
2
x
?4
y
的最小值是_ _____
6.正数
x,y
满足
x?2y?1
，则
1?
1
xy
的最小值为_____。
7.常用不等式有：
（1 ）
a
2
?
2
b
2
?
a?
2
b
?ab?
1
2

a
?
1
b
（请尝试自己证明上述不等式) ；
（2）a
、
b
、
c
?
R，
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c
时，取等号）；
（3）若
a?b?0,m?0
，则
b
a
?
b?m
a?m
。

如果正数
a
、
b
满足
ab?a?b?3
，则
ab
的取值范围
是_____ ____（答：
?
9,??
?
）
1.1 设
x,y
都是正实数，且
1
x
?
4
y
?1
，求
x ?y
的最小
值。
解析：令
x?y?(x?y)(
1
?4
xy
)
。
1.2 设
a,b
都是正实数，且
a?b?1
，则
ab
的最大值
是 。
1.3
a,b
是两个不同的正数，且
a
2
?
1< br>4
b
2
?2
，则
2ab
与
a
2b
2
的大小关系是 。
1.4 已知
a?b? c
，则
(a?b)(b?c)
与
a?c
2
的大小
关 系是 。

3 一元二次不等式
1、一元二次不等式的解法
1.1 解不等式
?2x
2
?5x?16?2x?9

1.2 （1）
x
2
?ax?2a
2
?0
，（2）
x(x?a?1)?a

解析：含参问题需要分类讨论。
1.3 解关于
x
的不等式x
2
?(a?a
2
)x?a
2
(a?1)?a
2

1.4 解关于
x
的不等式
3x
2
?mx?m?0
。
1.5 已知
ax
2
?2x?v?0
的解集为
{?
11
3
?x?
2
}
，求
a
和
c
， 并解不等式
?cx
2
?2x?a?0
。
1.6 已知不等式
(m
2
?4m?5)x
2
?4(m?1)x?3?0
对于一切实数 恒成立，求实数
m
的取值范围。
1.7 已知二次函数
f(x)?ax2
?bx(a?0)
满足
1?f(?1?)2?,f3?(
，求
1f(?2)
的取值范围。
2、可以转化为一元二次方程的问题
2.1 解不等式
(x?3)(x?6)?7
x
2
?2x?1
?7

2.2 解关于
x
的不等式
a(x?1)
x?2
?1(a?1)
。
2.3 当
m
为何值时，
x
2
?mx?1
2x2
?2x?3
?1
对任意的
x?R
都
成立。
2.4 设不等式组
?
?
x
2
?x?2?0
?2x
2
?(5?2k)x?5k?0
的整数解只
有
?2
，
k
应取怎样的值。
3、其他函数有关的不等式
3.1 高次不等式 < br>次数超过2次的不等式，应用因式分解求出所有实数根
然后应用穿根法数形结合。（从右上角开始 曲线连接所
有点）。
3.2 平方根有关的不等式不等式
f(x)?g(x),f(x)?g(x),

f(x)?g(x),f(x)?g( x),
解析：此类问题注意：考虑根号有意义；去根号；
变形为我们学过的不等式。
3.3 指数不等式与对数不等式
解析：此类不等式的一般方法有：引入参数变为常
见不等式，应用函数图象研究单调性求解，代数式有意
义，应用计算公式合并。
4、简单的线性规划问题
本部分的题目并不难，方法单一，主要是理解线性
规划的概 念，理解目标函数的几何意义及其在求最优解
问题中的应用。
2、解决数学问题的一般思路。
一、 降幂升幂（降低次方或升高次方）。目的：寻
找共同点，简化难度。
二、 寻找周期性和规律性
三、 寻找对称性。注意：不仅几何题目有对称，代
数中也有对称。比如恒等式和不等式。

四、
五、
六、
七、
八、
九、
与其加法不如试试乘法。
相对比较。比较法
归纳法。由特殊到一般。
逆向思维。假设结论不成立，反证法。
数学问题图像解决。数形结合法。
等值替换。等量代换，参数变型
倒推法。由结论成立推导成立条件。