高中数学 倒数-高中数学专题梳理之函数与导数
1.1 数列的概念
课后篇巩固探究
A组
1
.
将正整数的前5个数作如下排列:
①
1,2,3,4,5;
②
5,4,3,2
,1;
③
2,1,5,3,4;
④
4,1,5,3,2
.
则
可以称为数列的是 (
)
A.
①
B.
①②
C.
①②③
D
.①②③④
解析:4个都构成数列
.
答案:D 2
.
已知数列{
a
n
}的通项公式为
a
n=
,则该数列的前4项依次为(
)
A.1,0,1,0
B.0,1,0,1
C.,0,,0 D.2,0,2,0
解析:把
n=
1,2,3,4分别代入
a
n
=
中,依次得到0,1,0,1
.
答案:B
3
.
数列1,,…的一个通项公式是(
)
A.
a
n
=
B.
a
n
=
C.
a
n
=
D.
a
n
=
解析:1
=
1
2
,
4
=
2
2
,9
=
3
2
,16
=<
br>4
2
,1
=
2
×
1
-
1,3
=
2
×
2
-
1,5
=
2
×
3<
br>-
1,7
=
2
×
4
-
1,故
an
=
.
答案:A
4
.
已知数列
{
a
n
}的通项公式
a
n
=
,若
a
k
=
,则
a
2
k
=
A. B.99
C. D
.
143
解析:由
a
k
=
,于是
k=
6(
k=-
6舍去)
.
) (
因此
a
2
k
=a
12
=
答案:C
5
.
已知数列
A.1个
C.3个
.
,…,则三个数0
.
98,0
.
96,0
.
94中属于该数
列中的数只有(
)
B.2个
D.以上都不对
解析:由已知
可得该数列的一个通项公式
a
n
=.
令
a
n
=0
.
98,解得
n=
49,令
a
n
=
0
.
96,解得
n=
24,
令
a
n
=0
.
94,解得
n=
?N
+
.
故只有0
.
98和0
.
96是该数列中的项
.
答案:B
6
.
已知曲线
y=x+
1,点(
n
,
a
n
)(
n
∈N
+
)位于该曲线上,则
a
10
= .
解析:由题意知
a
n
=n+
1,因此
a
10
=
10
+
1
=
101
.<
br>
答案:101
7
.
数列,3,,3,…的一个通项公式是
.
,…,即,…,每
22
2
解析:数列可化为
个根号里
面可分解成两数之积,前一个因式为常数3,后一个因式为2
n-
1,故原数列的通项公
式为
a
n
=
,
n
∈N
+
.
答案:
a
n
=
8
.
已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
=
,则
-
3是此数
列的第
项
.
解析:令
答案:9
-
3,得
-
3,解得
n=
9
.
9
.
写出下列各数列的一个通项公式:
(1)4,6,8,10,…
(2),…
(3),
-
1,,
-
,
-
,…
(4)3,33,333,3 333,…
解(1)各项是从4开始的偶数,所以
a
n
=
2
n+
2
.
(2)数列中的每一项
分子比分母少1,而分母可写成2,2,2,2,2,…,2,故所求数列的
通项公式可写为
a
n
=
12345
n
.
n+
1
(
3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(
-
1)这个因式,忽略负号,将第二项<
br>1写成,则分母可化为3,5,7,9,11,13,…,均为正奇数,分子可化为
1
+
1,2
+
1,3
+
1,4
+
1,5
+1,6
+
1,…,故其通项公式可写为
a
n
=
(
-
1)·
222222
n+
1
.
(4)将数列
各项写为,…,分母都是3,而分子分别是
10
-
1,10
-
1,1
0
-
1,10
-
1,…,所以
a
n
=
(1
0
-
1)
.
10
.
已知数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
=
3
n-
28
n
.
(1)写出数列的第4项和第6项;
(2)问
-
49是不是该
数列的一项?如果是,应是哪一项?68是不是该数列的一项呢?
解(1)
a
4=
3
×
16
-
28
×
4
=-
64,
2
234
n
a
6
=
3
×
36
-
28
×
6
=-
60
.
(
2)设3
n-
28
n=-
49,解得
n=
7或
n=
(舍去),
∴n=
7,即
-
49是该数列的第7项
.
2
设3
n-
28
n=
68,解得
n=
或
n=-
2
.
2
∵
?N
+
,
-
2?N
+
,
∴
68不是该数列的项
.
B组
1
.
数
列2,
-
,4,
-
,…的通项公式是(
)
A.
a
n
=
2(
n
∈N
+
) B.
a
n
=
n
(
n
∈N
+
)
C.
a
n
=
(
n
∈N
+
) D.
a
n
=
(
n
∈N
+
)
解析:将数列各项改写为,
-
答案:C
2
.
已知数列{< br>a
n
}的通项公式
a
n
=
,
-
,… ,观察数列的变化规律,可得
a
n
=
(
n
∈N
+< br>)
.
,则
a
n
·
a
n+
1
·
a
n+
2
等于(
)
A. B. C. D.
解析:
∵a
n
=
,
a
n+
1
=
,
a
n+
2
=
,
∴a
n·
a
n+
1
·
a
n+
2
=
答 案:B
.
3
.
根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜 测第
n
个图形中有(
)个点
.
A.
n-n+
1
C.
n
2
2
B.2
n-n
D.2
n-
1 2
2
解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1
×
2
+1,2
×
3
+
1,3
×
4
+
1,4< br>×
5
+
1,故第
n
个图形中
点的个数为(
n -
1)
n+
1
=n-n+
1
.
答案:A
4
.
用火柴棒按下图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则 所用火柴棒数
a
n
与所搭三角形的个数
n
之间的关系式可以
是
.
解析:
∵a
1
=
3 ,
a
2
=
3
+
2
=
5,
a
3
=
3
+
2
+
2
=
7,
a4
=
3
+
2
+
2
+
2
=9,…,
∴a
n
=
2
n+
1
.
答案:
a
n
=
2
n+
1
5
.< br>在数列,…中,有序数对(
a
,
b
)可以是
.
解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:1
×
3,2
×< br>4,3
×
5,4
×
6,…,分子的规律
是:5
,5
+
5,5
+
5
+
7,5
+
5
+
7
+
9,…,
所以解得
a=
,
b=-.
答案:
6
.
导学号33194000已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
=a
·2
+b
,且
a
1
=-
1,
a
5
=-
31,则
n
a
3
= .
解析:由已知得
n
3
解得
即
a
n
=-<
br>2
+
1,于是
a
3
=-
2
+
1=-
7
.
答案:
-
7
7
.
如图,有
m
(
m
≥2)行(
m+
1)列的士兵队列
.
· · · … · · · ·
· · · … · · · ·
… … … … … … … …
· · · … · · · ·
· · ·
… · · · ·
· · · … · · · ·
(1)写出一
个数列,用它表示当
m
分别为2,3,4,5,6,…时队列中的士兵人数;
(2)
写出(1)中数列的第5,6项,用
a
5
,
a
6
表示; <
br>(3)若把(1)中的数列记为{
a
n
},求该数列的通项公式
an
;
(4)求
a
10
,并说明
a
10
所表示的实际意义
.
解(1)当
m=
2时,表示2行3列,人数为6;
当
m=
3时,表示3行4列,人数为12,依此类推,故所求数列为6,12,20,30,42,…
.
(2)队列的行数比数列的序号大1,因此第5项表示的是6行7列,第6项表示7行8列,
故
a
5
=
42,
a
6
=
56
.
(3)根据对数列的前几项的观察、归纳,猜想数列的通项公式
.
前4项分别为6
=
2
×
3,12
=
3
×
4,20
=
4
×
5,30
=
5
×
6
.
因此
a
n
=
(
n+
1)(
n+
2)
.
(4)由(3)知
a
10
=
11
×
12
=
132,
a
10
表示11行12列的士兵队列中
士兵的人数
.
8
.
(2)求
a
2
017
;
(3)是否存在
m
,
k
∈N
+
,满足
a
m
+a
m+
1
=a
k
?若存在,
求出
m
,
k
的值,若不存在,说明理由
.
导学号
33194001在数列{
a
n
}中,
a
1
=
2,
a
17
=
66,通项公式是关于
n
的一次函数
.<
br>
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;
解(
1)设
a
n
=kn+b
(
k
≠0),则由
a
1
=
2,
a
17
=
66得,
解得
所以
a
n
=
4
n-
2
.
(2)
a
2 017
=
4
×
2
017
-
2
=
8 066
.
(3)由
a
m
+a
m+
1
=a
k
,得4
m-
2
+
4(
m+
1)
-
2
=
4
k-
2,
整理后可得4
m=
2
k-
1,
因为
m
,
k
∈N
+
,所以4
m
是偶数,2
k
-
1是奇数,
故不存在
m
,
k
∈N
+
,
使等式4
m=
2
k-
1成立,
即不存在
m
,k
∈N
+
,使
a
m
+a
m+
1
=a
k
.
1
.
2
数列的函数特性
课后篇巩固探究
A组
1
.
数列{
n
2
-
4
n+
3}的图像是(
)
A.一条直线
B.一条直线上的孤立的点
C.一条抛物线
D.一条抛物线上的孤立的点
解析:
a
22n
=n-
4
n+
3是关于
n
的二次函数,故其图像是抛
物线
y=x-
4
x+
3上一群孤立的点
.
答案:D
2
.
已知数列{
a
n
}的通项公式是<
br>a
n
=
,则这个数列是 (
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
解析:
∵a
n+
1
-a
n
=
=>
0,
∴a
n+
1
>a
n
,
∴
数列{
a
n
}是递增数列
.
答案:A
3
.
若数列{
a
n
}的通项公式
a
n=
,则在数列{
a
n
}的前20项中,最大项和最小项分别是(
)
A.
a
1
,
a
20
B.
a
20
,
a
1
C.
a
5
,
a
4
D.
a
4
,
a
5
解析:由于
a
n
==
1
+
,因此当1≤
n
≤4时,{
a
n
}是递减的,且
a
1
>
0
>a
2
>a<
br>3
>a
4
;当
5≤
n
≤20时,
a
n
>
0,且{
a
n
}也是递减的,即
a
5
>a
6
>
…
>a
20
>
0,因此最大的是
a
5
,最小的是
a
4
.
答案:C
4<
br>.
已知{
a
2
n
}的通项公式
a
n
=n+
3
kn
,且{
a
n
}是递增数列,则实数
k
的取值范围是(
)
A.
k
≥
-
1
B.
k>-
C.
k
≥
-
D.
k>-
1
解析:因为{
a
}是递增数列,所以
a
∈N
22
n
n+
1
>a
n
对
n
+
恒成立
.
即
(
n+
1)
+
3
k
(
n+
1)
>
n+
3
kn
,整理得
k>-
)
,当
n=
1时,
-
答案:D
取最大值
-
1,故
k>-
1
.
5
.
给定函数
y=f
(
x
)的图像,对任意
a
n<
br>∈(0,1),由关系式
a
n+
1
=f
(
a
n
)得到的数列{
a
n
}满足
a
n+
1
>
a
n
(
n
∈N
+
),则该函数的图像是(
)
解析:由
a
n+
1
>a
n
可知数列{
a
n
}为递增数列,又由
a
n+
1
=f
(
a
n
)
>a
n
可知,当
x
∈(
0,1)时,
y=f
(
x
)的图
像在直线
y=x
的
上方
.
答案:A
6
.
已知数列{
a
n
}的通项公式是
a
n
=
,其中
a
,
b均为正常数,则
a
n+
1
与
a
n
的大小关系是
.
解析:
∵a
n+
1
-a
n
=
=>
0,
∴a
n+
1
-a
n
>
0,故
a
n+
1
>a
n
.
答案:
a
n+
1
>a
n
7
.<
br>已知数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
=
2<
br>n-
5
n+
2,则数列{
a
n
}的最小值是
.
解析:
∵a
n
=
2
n-
5
n+
2
=
2
2
2
,
∴
当
n=<
br>1时,
a
n
最小,最小为
a
1
=-
1
.
答案:
-
1
8
.
导学号33194002
已知数列{
a
n
}满足
a
n+
1
=
若a
1
=
,则
a
2
017
= .
解析:
a
1
=
,
a
2
=
2
a
1
-
1
=
,
a
3
=
2
a
2
-
1
=
,
a
4
=
2
a
3
=
,…,所以{
a
n
}是周期为3的周期数列,于是
a
2
017
=a
672
×
3
+
1
=a
1
=.
答案:
9
.已知数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
=n-
2
1
n+
20
.
(1)
-
60是否是该数列中的项
,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?
(2)
n
为何值时,a
n
有最小值?并求出最小值
.
解(1)令
n-21
n+
20
=-
60,得
n=
5或
n=16
.
所以数列的第5项,第16项都为
-
60
.
由
n
-
21
n+
20
<
0,得1
.
(2)由
a
n
=n-
21
n+
20
=
2
2
2
2
,可知对称轴方程为
n==
10
.
5
.
又
n
∈N
+
,故
n=
10或
n=
11时,
a
n
有最小值,其最
小值为11
2
-
21
×
11
+
20
=-<
br>90
.
10
.
已知函数
f
(
x<
br>)
=
(
x
≥1),构造数列
a
n
=f
(
n
)(
n
∈N
+
)
.
(1)求证:
a
n
>-
2;
(2)数列{
a
n
}是递增数列还是递减数列?为什么?
(1)证明由题意可知
a
n
=-
2
.
∵
n
∈N
+
,
∴>
0,
∴a
n
=-
2
>-
2
.
(2)解递减数列
.
理由如下:由(1)知,
a
n
=-
2
.
∵a
n+
1
-a
n
=
=<
0,
即
a
n+
1
n
,
∴
数列{<
br>a
n
}是递减数列
.
B组
1
.
若函数
f
(
x
)满足
f
(1)
=
1,f
(
n+
1)
=f
(
n
)
+
3(
n
∈N
+
),则
f
(
n
)是(
A.递增数列 B.递减数列
C.常数列 D.不能确定
解析:
∵f
(
n+
1)
-f
(
n
)
=
3(<
br>n
∈N
+
),
∴f
(
n+
1)
>f
(
n
),
∴f
(
n
)是递增数列
.
答案:A
)
2
.
设函数
f
(
x
)<
br>=
数列{
a
n
}满足
a
n
=f
(<
br>n
),
n
∈N
+
,且数列{
a
n
}
是递增数列,则实数
a
的取值范围是(
)
A.(1,3)
答案:B
3
.
{
a
n
}的(
)
A.最大项为
a
5
,最小项为
a
6
B.最大项为
a
6
,最小项为
a
7
C.最大项为
a
1
,最小项为
a
6
D.最大项为
a
7
,最小项为
a
6
解析
:令
t=
,
n
∈N
+
,则
t
∈(0,1]
,且
导学号33194003若数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
=
7·
B.(2,3) C. D.(1,2)
-
3·,则数
列
=t
2
.
从而
a
n
=
7
t2
-
3
t=
7
.
又函数
f
(
t
)
=
7
t-
3
t
在
小项.
故选C
.
答案:C
2
上是减少的,在上是增加的
,所以
a
1
是最大项,
a
6
是最
4
.若数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
=-
2n+
13
n
,关于该数列,有以下四种说法:
2
①
该
数列有无限多个正数项;
②
该数列有无限多个负数项;
③
该数列的最大值就是
函数
f
(
x
)
=-
2
x
2
+13
x
的最大值;
④-
70是该数列中的一项
.
其中正确的说法有
.
(填序号)
解析:令
-
2
n+
13
n>
0,得0
a<
br>n
}中有6项是正数项,有无限个负数项,所以
①
错,
②
正确
;当
n=
3时,数列{
a
n
}取到最大值,而当
x=
3
.
25时,函数
f
(
x
)取到最大值,所以
③
错;令
2
-
2
n
2
+
13
n=-
70,得
n=
10或
n=-
(舍去),即
-
70是
该数列的第10项,所以
④
正确
.
答案:
②④
5
.
若数列中的最大项是第
k
项,则
k= .
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