高中数学必修5三角函数课件

仁智教育


三角函数
?
正角:按逆时针方向 旋转形成的角
?
1、任意角
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角
< br>?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2、角
?
的顶点与原点重合 ，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称
?
为第几象限角 ．
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360? 180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360? 180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?1 80,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
? ?
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

????
???
????
????
?
??
?
?
4、已知
?
是第几象 限角，确定
?
n??
?
所在象限的方法：先把各象限均分
n
等份，再
?
n
*
从
x
轴的正半轴的上方起，依次将各区域标 上一、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应
的标号即为
?
终边所落 在的区域．
n
l
．
r
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
6、半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
?
180
?
?
?
7、弧度制与角度制的换算公式：
2
?
?360
，
1?
，
1?
?
?57.3
?
．
?
180
?
?
?


1
?
?

仁智教育

8、若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
，半径为
r
，弧长为
l< br>，周长为
C
，面积为
S
，则
11
l?r
?< br>，
C?2r?l
，
S?lr?
?
r
2
． < br>22
9、设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离
是
r r?
?
x
2
?y
2
?0
，则
sin
?
?
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
10、 三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，
第四象限余弦为正 ．
11、三角函数线：
sin
?
???
，
cos
?
???
，
tan
?
???
．
y
22< br>12、同角三角函数的基本关系：
?
1
?
sin
?
? cos
?
?1

P
T
?
sin
2
?
?1?cos
2
?
,cos
2
?
?1?sin< br>2
?
?
；
?
2
?
sin
?
??
sin
?
?tan
?
cos
?
,cos
?
?
??
．
tan
?
??
13、三角函数的诱导公式：
sin
?
?tan
?

cos
?
OMA
x
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k???
．
?
2
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
??
?
?tan
?
．
?
3
?
sin< br>?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．
?
4
?
s in
?
?
?
?
?
?sin
?
，
c os
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
． 口诀：函数名称不变，符号看象限．{符号看象限，就是把α看作是某一个锐角（例如30°、
45 °、60°之类），然后π+α、π-α、-α就看作是π与这个锐角相加减或者相反后的角，然
后根据 这个角在第几象限，来判断三角函数的正负。例如把α看作是30°，所以π+α为
210°第三象限角 ，所以sin为负、cos为负、tan为正，也就是诱导公式二了。结论：当把
把α看作是某一个锐角 时，π+α、π-α、-α就分别为第三、第二、第四象限角了，又例如：
sin（3π+α）先化成s in【2π+（π+α）】，再化成sin（π+α），因为π+α第三象限角，而第三
象限角的sin 为负，所以sin（π+α）=-sinα，用等式表示为sin（3π+α）=sin【2π+（π+α）】< br>=sin（π+α）=-sinα}




2

仁智教育

?
5
?
sin
??
??
?
??
?
?
?
?
?
? cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin?
．
?
6
?
si
?
n?
?< br>?
?
?
2
??
2
??
2
?
?
c
?
o
，
s
?
?
?
cos?
?
?
?
??sin
?
．
?
2?
口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．（这里的符号看象限，跟上面的一样道理，不同的
是π减小到一半而已，其他没变，同样把α看作是某一个锐角，然后来判断）
14、函数
y? sinx
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1
?倍（纵
坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有
点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到 函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图
象．
函数
y?sinx
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
得到函数
1
?
倍（纵坐标不变），
y?sin
?
x
的图象； 再将函数
y?sin
?
x
的图象上所有点向左（右）平移
?
个单位长度，
?
得到函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标伸
长（缩短）到原来的
?
倍（横坐标不变），得到 函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象．
函数
y??sin
?
?
x?
?
??
??0,?
?0
?
的性质：
①振幅：
?
；②周期：
? ?
2
?
?
；③频率：
f?
1
?
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．
?2
?
函数
y??sin
?
?
x?
?
?
??
，当
x?x
1
时，取得最小值为
y
min
；当< br>x?x
2
时，取得最大
值为
y
max
，则
? ?



3
11?
?
y
max
?y
min
?
，
??
?
y
max
?y< br>min
?
，
?x
2
?x
1
?
x1
?x
2
?
．
222

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性
质

函
数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图象

定义域
值域
当
x?2k
?
?

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
?
?1,1
?

?
2
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
R

?
k??
?
y
max
?1
； 当
既无最大值也无最小值
时，
y
max
?1
；当
最值
x?2k
?
?
x?2k
?
?
?

?
2

时，

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
?
k??
?
ymin
??1
．
周期性
奇偶性
2
?

2
?

?

奇函数 奇函数 偶函数
??
??

2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
在
?
k
?
?,k
?
?
?

22
??
单调性

上是增函数；在
?
k???
上是增函数；
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
3
?
??
2k
?
?,2 k
?
?
??
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．

?
k??
?
上是减函数．
4

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对
对称性
称中心对称中心
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称轴
?
对称轴
x ?k
?
?
k??
?

无对称轴
x?k
?
?
?
k??
?

2
?< br>??
k
?
?,0
?
?
k??
?
< br>?
2
??
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
2
??


三角恒等变换知识点
1、同角关系：
⑴商的关系：①
tan
?< br>?
ysin
?
xcos
?
?
②
cot
?
??

xcos
?
ysin
?
yx
?cos
?
?tan
?
④
cos
?
??sin
?
?cot
?

rr
⑵倒数关系：
tan
?
?cot
?
?1
③
sin
?
?
⑶平方关系：
sin
?
?cos
?
?1

2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴
c os
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?

⑶
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
s in
?
；⑷
sin
?
?
?
?
?
? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

⑸
tan
?
?
?
?
?
?
22tan
?
?tan
?

?
（
tan< br>?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
? ?
1?tan
?
tan
?
?
）
1?tan
?
tan
?
tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
??
）
1?tan
?
tan
?
⑹
tan
?
?
?
?
?
?
3、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin2
?
?2sin
?
cos
?
?1 ?sin2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?< br>)
2

cos2
?
?cos
2
?
? sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?


tan2
?
?

2tan
?

2
1?tan
?
5

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4、万能公式：
2tan
?
2tan< br>?
1?tan
2
?
tan2
?
?
cos2< br>?
?
①
sin2
?
?
② ③
22
2
1?tan
?

1?tan
?
1?tan
?
5、
asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)




解三角形知识点


1．正弦定理:
abc
???2R
或变形：
a:b:c?sinA:sinB :sinC
.
sinAsinBsinC
?
b
2
?c2
?a
2
?
cosA?
222
2bc
?
a?b?c?2bccosA
?
?
2
a
2
?c
2
?b
2
?
22
2．余弦定理：
?
b?a?c?2accosB
或
?
cosB?
. < br>2ac
?
?
c
2
?b
2
?a
2?2bacosC
?
?
b
2
?a
2
?c
2
?
cosC?
2ab
?
3．（1）两类正弦定理解三角形的问题 ：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.
2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两
角.

4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
< br>5．解题中利用
?ABC
中
A?B?C?
?
，以及由此推得的 一些基本关系式进行三角变换
的运算，如：
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)? ?cosC,tan(A?B)??tanC,


sin



6
A?BCA?BCA?BC
?cos,cos?sin,tan?cot
.
222222

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平面向量知识点


1平面向量的坐标运算：
?
??
?
(1) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

????
(2) 若
A
?< br>x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

(3) 若
a
=(x,y)，则
?
a
=(
?
x,
?
y)
??
?
?
?
?
(4) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
，则
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

?
?
?
?
(5) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
，则
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2

?
?
若
a?b
，则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?0


2两个向量的数量积：
?
?
?
?
?
?
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为
?
，则
a
·︱
b
︱cos
?

b
=︱
a
︱ ·
?
?
?
?
叫做
a
与
b
的数量积 （或内积） 规定
0?a?0

















7

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类型1：已知角度的化简求值
1.
(cos
?
12121212< br>?
4
?
?sin
4
等于（ ） 2.
cos< br>88
????
?sin
?
)(cos
?
?sin?
)?
（ ）
3..
sin6?cos24?sin78?cos48
的值为（ ）
4.求
cos
?
11
cos
2
?
3
?< br>4
?
5
?
coscoscos?
（ ）
11 111111
5.
2?sin
2
2?cos4
的值等于（ ）.
6.
代数式
sin15cos75?cos15sin105?
．
2cos10°－sin20°
7.的值是 ( )
sin70°
8.
oooo
13
??
.
sin10?cos10?
sin65
o
＋sin15
o
sin10
o
9.求值：
ooo
sin25－cos15cos803tan12
?
?3
10.求的值．
?
2
sin12
?
4cos?2
?
11.
tan70?tan50?3tan70t an50?

0000
12.

类型
3tan11??3tan19??tan11??tan19?
=

2.未知角度的求值与化简
1.已知x为第三象限角，化简
1?cos2x?
（ ）
A.
2sinx
B.
?2sinx
C.
2cosx
D.
?2cosx

π4
2．已知x∈(－,0)，cosx＝，则tan2x等于 ( )
25
8

仁智教育
772424
A． B．－ C． D．－
242477
1
3．已知α∈(0,π)，且 sinα＋cosα＝，则tanα的值为 ( )
5
443343
A．－ B．－ 或－ C．－ D． 或－
334434
4. 已知
sin
?
?cos
?
?
1
，则
sin2
?
?
（ ）
3
11
8
8
A．
?
B．
?
C． D．
22
9
9
5. 已知
cos2
?
?
244
，则
cos
?
?sin
?
的值为（ ）
3
A．
?
4
2
2
B． C． D．1
9
3
3
6、已知
x?
?
2k
?
?
（ ）
A、
?
?
?< br>3
?
?
3
?
?
?
?
,2k
?
?
?
?
k?Z
?
，且
cos
?
?x
?
??
，则
cos2x
的值是
5
44
?
?
4
?
724247
B、
?
C、 D、
25252525
7、已知
sin
?
cos2x
?
??
?
?
12
?
?
的值为（ ）
?x
?
?
?
?x?
?
，则式子
?
?
?
2
??
4?
13
?
4
cos
?
?x
?
?
4
?
1024512
B、 C、 D、
?

13131313
1?cosx?sinx
??2
，则
sinx
的值为 （ ） 8、已知
1?cosx?sinx
A、
?
A、

9.已 知
?
为第二象限角，
25sin
?
?sin
?
?2 4?0
，则
cos
2
443
15
B、
?
C、
?
D、
?

555
5
?
2
的值为（ ）.
9

仁智教育
A．
?
3

5
B．
?
3

5
C．
2

2
D．
?
4

5
2cos
2
x? sin2x
10.设
(2cosx?sinx)(sinx?cosx?3)?0
，则 的值为（ ）.
1?tanx
A．
8

5
B．
5

8
C．
2

5
D．
5

2
2sin2
?
cos
2
?
??
（ ） 11.
1?cos2
?
cos2
?
1

2
cos2
?
?sin2
?
12.已知
sin
??2cos
?
?0
，求的值.
1?cos
2
?

A.
tan
?
B.
tan2
?
C. 1 D.

13．
已 知α12．已知cosθ＋cos
2
θ＝1，则sin
2
θ＋sin
6
θ＋sin
8
θ＝
sinx cosx
14．f(x)＝的值域为
1＋sinx＋cosx
4m－ 6
15．等式sinα＋3cosα＝有意义，则m的取值范围是 ( )
4－m
7777
A．(－1,) B．[－1,] C．[－1,] D．[―,―1]
3333
16.已知sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=2
.(1)求实数m的范围.(2)当m取最小值时，求
sin(α+β)的值.





17.已知不等式
f
?
x
?
?32sin
xxx6
cos?6cos
2
??m? 0
对于任意的
4442
10

仁智教育
?
5??
?x?
恒成立，则实数
m
的取值范围是（ ）.
66
A.
m?3
B.
m?3
C.
m??3
D.
?3?m?3


类型3：两角和与差的诱导公式的运用
1.下列命题中不正确的是（ ）..
．．．
A．存在这样的
?
和
?
的值，使得
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

B．不存在无穷多个
?
和
?
的值，使得
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

C．对于任意的
?
和
?
，都有
cos(
?
?
?
)?cos< br>?
cos
?
?sin
?
sin
?

D．不存在这样的
?
和
?
值，使得
cos(
?
?< br>?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

2.若
3sinx?3cosx?23sin(x?
?
)
，
?
?(??,?)
，则
?
等于（ ）.
A．－
?

6
B．
?

6
C．
5?

6
D．
?
5?

6
3
.若均
?
,
?
为锐角，
sin?
?
253
,sin(
?
?
?
)?,则cos
?
?
（ ）
55
A.
252525
2525
B. C. D.
?
或
5255
525
312
?
?
?
，
?
?
?
,
?
?
，
sin
?
??，
?
是第三象限角，则
cos
?
?
?
?
?
的
513
?
2
?
4、已知
cos
?< br>??
值是 （ ）
A、
?
33635616
B、 C、 D、
?

65656565
54
5、已知< br>?
和
?
都是锐角，且
sin
?
?
，
cos
?
?
?
?
?
??
，则
sin
?
的值是
135
（ ）
A、

33165663
B、 C、 D、
65656565
11

仁智教育
6、设
cos
?
x?y
?
sinx?sin
?x?y
?
cosx?
（ ）
A、
?
y
12
，且
y
是第四象限角，则
tan
的值是
2
13
2332
B、
?
C、
?
D、
?

3223
7、已知
?
?
?
0,
（ ）
A、
?

?
?
?
?
4
?
?
，
?
?
?
0,
?
?
，且
ta n
?
?
?
?
?
?
11
，
tan< br>?
??
，则
2
?
?
?
的值是
27
5
?
2
?
7
?
3
?
B、
?
C、
?
D、
?

63124
παα5π
8．已知0＜α＜，tan＋cot＝，则sin(α－)的值 为
22223
9、已知
sinx?
1
，
sin
?
x?y
?
?1
，则
sin
?
2y ?x
?
?

3
3??12?
3
,?)
，
sin(
?
?
?
)??
，
si n(
?
?)?
，则
cos(
?
?)?
.
44134
5
11
?
?
?
)
的值为 .
,cos
?
?cos
?
?
，则
tan(43
10．函数y＝5sin(x＋20°)－5sin(x＋80°)的最大值是 。
11.已知
?
,
?
?(
12.已知
sin
?
?sin
?
?
13
．已知
?
,
?为锐角，
cos
?
?
1
10
,cos
?
?
1
5
,则
?
?
?
的值为

．
sin(
?
?)
15
4
,
求
14.
已知α为第二象限角，且 sinα=

4
sin2
?
?cos2
?
?1





?
15.已知
0?
?
?
?
2
，
tan
?
2
?
1
tan
?< br>2
?
?
?
5
?
，试求
sin
??
?
?
的值．
3
?
2
?

12

仁智教育


sin2
?
?2co s
2
?
1
?
?
?
16.已知
tan
?
?
?
?
??
，试求式子的值．
1?tan
?
42
??

17．
已知
?< br>?
?
?
?
?
3
?
123
,cos(
?
?
?
)?,sin(
?
?
?
)??,求 sin2
?
．
24135





18
. 已知
?
?(0,
?
4
),
??(0,
?
),且tan(
?
?
?
)?
12
,tan
?
??
1
7
，
求
tan (2
?
?
?
)
的值及角
2
?
?
?
．







类型4：解三角形
1. 在
?ABC
中,
a?1,b?2,A?3 0
?
,
则
B?
（ ）
A .
45
?
B
45
?
或
135
?
C
135
?
D 无解
2. 在
?ABC
中，若< br>(a?b?c)(b?c?a)?3bc,
则
A
等于（ ）
A
30
?
B
150
?
C
60
?
D
120
?

a?b?c< br>3.△ABC中，若
A?60
?
，
a?3
，则
nsi Asni?snBi?C
等于
1
3
A 2 B
2
C
3
D
2

4．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形
13
（
( )
D．正三角形
）

仁智教育 5.在△
ABC
中，若
sinA?sinB?cosAcosB
，则△< br>ABC
一定为（ ）.
A．等边三角形

A＋B
6．在△ABC中，已知tan＝sinC，则以下四个命题中正确的是 ( ) < br>2
(1)tanA·cotB＝1．(2)1＜sinA＋sinB≤2．(3)sinA＋co sB＝1．(4)cosA＋cosB＝
sinC．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
7．在△ABC中，sinA＋cosA＝
2
，AC＝2，AB＝3，则tanA= ，△ABC的面积为
2
2
2222
B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
2
8
．
在
?ABC
中，已知tanA ,tanB是方程
3x?7x?2?0
的两个实根，则
tanC?
．

9
．
△ABC中，已知
cosA?
35
,cosB?,求sinC的值

513


13
，
tanB?.

45
（1）求角
C
的大小. （2）若
?ABC
最大边的边长为
17
，求最小边的边长.
10.在
?ABC
中，
tanA?






11.在△ABC中，已知
(a?b?c)(a?b?c)?3ab，且
2cos
的形状.



14
AsinBs?in,C
试确定△ABC

仁智教育
类型5：与平面向量有关三角函数
??
?
1、某物体受到恒力是
F ?1,3
，产生的位移为
s?
?
sint,?cost
?
， 则恒力物体所做的
??
功是 （ ）
A、
3?1
B、
2
C、
22
D、
3

??
??
? ?
2、已知向量
a?
?
2cos
?
,2sin
?< br>?
，
?
?
?
90,180
?
，
b?
?
1,1
?
，则向量
a
与
b
的夹角为
（ ）
A、
?
B、
?
?45
?
C、
135
?
?
?
D、
45
?
?
?

?
??
3
. 已知A、B、C是
?ABC
三内角，向量
m?(?1,3),
n?(cosA ,sinA),
且m.n=1
(1)求角A;
(2)若





?
???
a??3sin
?
x,c os
?
x
4.已知，
b?
?
cos
?
x, cos
?
x
?
?
?
?0
?
，令函数
f
?
x
?
?a
?
b
，
1?sin2B< br>??3,求tanC
.
22
cosB?sinB
??
且f
?
x
?
的最小正周期为
?
．
（1） 求
?
的值；
（2） 求
f
?
x
?
的单调区间．






15

仁智教育
?
?< br>?
23cosx?2sinx
?
5.将函数
f
?
x< br>?
?
的图像按向量得到
a?,?2
?2
??
平移，< br>2
5?2cosx?23sinxcosx
?
6
?
函数
g
?
x
?
的图像．
（1） 化简
f
?
x
?
的表达式，并求出函数
g
?
x
?
的表示式；
（2） 指出函数
g
?
x
?
在
?
?
?
??
?
,
?
上的单调性；
22
??


16