高中数学必修5《正弦定理》教案

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《正弦定理》教学设计

一．教材分析：
三角形是最基本的几何图形，有着极其广泛的应用。在实际问题中，经常遇< br>到解任意三角形的问题，因此必须进一步学习任意三角形的边角关系和解任意三
角形的一些基本方 法。
重点:正弦定理的发现与证明，及利用定理解三角形。
难点:锐角三角形中正弦定理的证明；已知两边及其一边对解三角形的情况。
二．学情分析:
本节课是在学生已经于初中学习了直角三角形的边角关系和解直角三角形
的方法，在高中学习了三角函 数与平面向量的基础上的深化拓展。故在此引入正
弦定理,使“解三角形”的学习变得合情合理，学生思 想上易于接受。
三．教学目标：
1.知识与能力目标
①掌握正弦定理,能利用正弦定理解三角形,判断解的个数;
②培养学生归纳、猜想、论证能力能力；
③培养学生的创新意识与逻辑思维能力。
2.过程与方法目标
①分析研究正弦定理的探索过程；
②体验先猜想后证明，由特殊到一般，分类讨论的方法。
3.情感态度价值观目标
通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，激发学生的求知欲望，给学生成
功的体验，感受数学活动 的探索与创造，数学的严谨性以及数学结论的确定性。
四．设计理念：
建构主义认为：教师 的角色是学生建构知识的帮助者、引导者和忠实支持者。
因此为了有效的突出重点，突破难点，达到三维 教学目标，本节课采用支架式教
学法。教师引导学生质疑、探索、反思，以生活中的实际问题引入，以正 弦定
理的发现为基本内容，让学生由问题开始，从而得出猜想、证明猜想，并逐步
得到深化。
学生以自主探究,合作交流为主要学习方式,结合“观察——归纳——猜想—
—证明——应用” 的方法将直角三角形、三角函数的知识应用于对任意三角形边
角关系的探究。体现学生的主体地位，提升 学生的数学思维能力。
五．教学过程设计及简要分析：
（一） 创设情境，引入课题；
问题一：索马里海盗日益猖獗，为保护商船我国坚决予以出兵打击海盗。某
日我A舰队 突然发现其正东处有一海盗舰艇B正以30节的速度朝正北方向追击
商船,我方决定全速拦截海盗。已知 我方舰队A的速度为60节问怎样确定航行角
度使得两舰恰好相遇？ （A=）
分析：利用直 角三角形中，30
0
所
对的边等于斜边的一半得A=30
0

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问题二：如果其他条件 不变，划线部分改为“海盗舰艇朝北偏西400方向追
击商船”，此时我方舰队A又如何确定航行角度， 使得两舰恰好相遇？

分析：由特殊情况到一般情况
学生多数会想到做高转化为直
角三角形，但限于非特殊角的
存在,学生较难计算.引入课题
（二）
归纳猜想，证明定理；
abc
1、回顾直角三角形的边角关系， 引导学生从
sinA?，sinB?，s inC?
的表
ccc
达式中发现联系（都有C）；
abc
2.继续引导学生观察特点得
c?

，c?，c?
s inAsinBsinC
abc
在直角三角形中成立。

???
sinAsinBsinC
abc
3.提出猜想 是否对任意三角形都成立？(让学生探寻证
??
sinAsinBsinC
明)
4.证明定理——分直角和锐角三种情况
锐角的情况由学生叙述，老师板书；钝角课后学生完成。

证：
C作CD⊥AB，则有 过
C

bb

sinA=CD=
ab
CDsinA
=

sinAsinB
b
a
aa

sinB=CD=
CDsinB


ac
=
A
B
同理可得，过B作BE⊥AC，则有
c
D

sinAsinC

提出问题：是否有其他方法证明正弦定理？
（三）
结构研究，分析定理；
正弦定理（law of sines）：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比
abc
相等，即
??
sinAsinBsinC
abbcac
???
（1）等价于 ，，；
sinAsinBsinBsinCsinAsinC
（2）正弦定理说明同一三角 形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同
a?ksinA
b?ksinB
c? ksinC
sinA?ta
sinB?tb
sinC?tc
一正数，即存在正 数k使
辨析题：
或，
t?
1
；
k
(1)在?ABC中，若a?b?c,则A?B?C;

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(2)在?ABC中，若A?B, 则sinA?sinB;
(3)在?ABC中，若sinA?sinB,则A?B;
（四）例题练习，应用定理；


例1 在△ABC中，若A=45°,B=60°,a=8cm，解三角形.
C
解：根据三角形内 角和定理，C=180
o
-(A+B)=75
o
ab8b
由正弦定理=得=
sinAsinBsin45
o
sin60
o

8
o
即b=sin60=46(cm)
sin45
o
asinC8sin75
O
同理可得c===43+4(cm)
O
sinAsin45
a
b
B
c
A
例1由教师板书，用来示范正弦定理的应用；解答过程 中，强调解三角形画
图须标出已知边和角，并注意解答格式的规范性。
?
例2 在△ABC中,已知a= ，b= ，B=，解三角形.
4
解：根据由正弦定理sinA=< br>asinB3
=
b2
π2π
∵033

π
（1）A=......
3
2π
（2）A=......
3
y
1
o
-1
?
?
2
2
?
3
?
2
x
例题2在有两种解，学生较难把握，因此画出正弦函数图像，便于学生思考。

练习 索马里海盗日益猖獗，为保护商船我国坚决予以出兵打击海盗。某日我A
舰队突然发现其正东处有一海盗 舰艇朝北偏西40
0
方向追击商船,我方决定全速
拦截海盗。已知我方舰队A的速度为 60节问怎样确定航行角度使两舰恰好相遇


30tsin50
o
解：由正弦定理sinA=≈0.385
60t
∵0
o
o
∴A≈22.6或157.4
∵aO
∴A?22.6
O



（五）小结巩固，提高认识

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1.正弦定理具有对称和谐美；
2.“先猜想后证明”是一种常用的科学研究问题的思路和方法;
3.正弦定理可以解决的三角形的类型：两角一边，两边一对角类型的三角形;
4.在解两边和其中一边对角的三角形时可能出现两解、一解、无解的情况。
【任务拓展】如 果已知一个三角形的两边及其夹角，要求第三边，怎么办？发现
正弦定理不适用了，那么自然过渡到下一 节内容，余弦定理。布置作业，预习
下一节内容。
【课后作业】必做题：1.课本P4 练习1(1)，练习2(2)；
2.在ΔABC中，若a=22,b=25,A=133
0
,解三角形。
选做题：1.在ΔABC中，AB=,AC=1,且B=30
0
,求此三角形的面积；
2.正弦定理的证明。
六．课后反思
本节课重在创设建构主义 学习环境。在教师的引导下，学生完成了对知识的建
构，形成了完备的知识体系。问题是本节课启发探究 的主线，学生以其主体地位
参与其中，获得了知识，提升能力。
正弦定理的证明方法很多，本节课从学生的“最近发展区”入手去设计问题，
思路自然,是学生们易于 接受的一种证明方法.
例题2的已知两边及一边对角的类型，课堂上已涉及两解、一解的情况 ，无
解的情况由学生课后完成并总结归纳。

教案设计说明
正弦定理是三 角形边角关系的量化，是解三角形的重要依据之一。本节是新授课，
内容仅一课时
。
秉承着建构主义教学观，以教材为依托，以问题为主线，以探究为手段，为
学生创设良好的学习环境。学 生是知识的主动建构者；教师是教学的组织者、指
导者、意义建构的帮助者、促进者；教材成为学生主动 建构意义的对象；媒体成
为创设情境、进行协作学习和会话交流的认知工具。因此，我将教学程序设计为
1.创设情境，建立模型；2.归纳猜想，证明定理；3.结构研究，分析定理；
4.例题练 习，定理应用；5.小结反思，巩固提高。五个环节。通过巧妙设计问题，
引导学生深入思考，从而突出 重点，突破难点，达到教学的三维目标。
在教材的基础上，本节课创设了“打击索马里海盗”的问题情 境，激发学生
的兴趣；在课本P4例题2的基础上，对例题的数据进行改变，便于学生的计算，
而将情境问题作为最后的练习，加强数学教学与信息技术的结合，在解三角形的
过程中鼓励学生利用计算 器进行一些繁杂的计算，更好、更快地实现对新知的探
索与发现。