高中数学必修五1.1正弦定理

第一章 解斜三角形
1．1．1正弦定理
（一）教学目标
1．知 识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方
法；会运用正弦定 理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题
2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发 ,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关
系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出 正弦定理，并进行定理基本应用
的实践操作。
3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处 理解三角形问题的运算能力；培养学生合情
推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦 定理、向量的数量积等知识间
的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点
重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。
难点：正弦定理的推导即理解
（三）学法与教学用具
学法：引导学生首先从直角三 角形中揭示边角关系：
a
sin
A
?
b
sin
B< br>?
c
sin
C
，接着就一般斜
三角形进行探索，发现也有这一 关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，
让学生发现向量知识的简捷，新颖。
教学用具：直尺、投影仪、计算器
（四）教学过程
1[创设情景]
如图 1．1-1，固定
?
ABC的边CB及
?
B，使边AC绕着顶点C转动。 A
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大而增大。能否
用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B
2[探索研究] (图1．1-1)
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的 等
式关系。如图1．1-2，在Rt
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数
a
b
c
?sin
A
，
?sin
B
，又
sin
C
?1?
, A
c
c
c
abc
则
???
c
b c
sin
A
sin
B
sin
C< br>abc
从而在直角三角形ABC中， C a B
??
sin
A
sin
B
sin
C
的定 义，有
(图1．1-2)
思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
（由学生讨论、分析）
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3 ，当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的
定义， 有CD=
a
sin
B
?
b
sin
A
,则< br>a
sin
A
?
b
sin
B
， C

1

同理可得
从而
c
sin
C
?
?
b
sin
B
?
， b a
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量 来研究
这个问题。
uruuur
（证法二）：过点A作
j
?
AC
， C
uuuruur
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

uruururuuuruur
则
j
?
AB
?
j
?(
AC
?
CB
)
A B
uruururuuururuurur
∴j
?
AB
?
j
?
AC
?
j
?
CB

j

uur
ruu urruuur
jABcos
?
90
0
?A
?
?0 ?jCBcos
?
90
0
?C
?

∴
csinA?asinC
，即
ac
?

sinA sinC
ruuur
bc
?
同理，过点C作
j?BC
，可得
sinBsinC
从而
a
s in
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学 生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同 一正数，即
存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
si n
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
等价于
a
sin< br>A
?
b
sin
B
，
c
sin
C?
b
sin
B
，
a
sin
A
?
c
sin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
?
β
②已知 三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sin
A
?sinB
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
3[例题分析]
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
b
sin
A
；
sin
B
a
b
C?180
0
?(A?B)


2

?180
0
?(32.0
0
?81.8
0
)


?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

sinA
sin32.0
0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
证明：如图在ΔA BD和ΔCAD中，由正弦定理，
得
BDAB

?
DCAC
BDAB
DCACAC
??
?
，， < br>0
sin
?
sin
?
sin
?
sin(18 0?
?
)sin
?
BDAB

?
DCAC
A
β
两式相除得
五巩固深化反馈研究
0
B
α
180
1已知ΔABC 已知A=60
0
，B=30
0
，a=3；求边b=（） :
?
α
D
Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ
3
D
2

C
（2）已知ΔABC 已知A=45
0
，B=75
0
，b=8；求边ａ＝（）
A 8 B 4 C 4
3
-3 D 8
3
-8
（3）正弦定理的内容是————————————
（4）已知a+b=12 B=45
0
A=60
0
则则
则a=------------------------，b=------------------- -----
（5）已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其 三边长分别为
--------------------------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明
六，课堂小结（有学生自己总结）
七 板书设计略
五 [课堂小结]（由学生归纳总结）
a?bsinA?sinB

??
csinC

1.1.1 正弦定理 学案
【预习达标】
在ΔABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，
1.在RtΔABC中，∠C=90
0
, csinA= ,csinB= ，即
a
?
= 。
sinA

3

2. 在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，则|CD|= = ，即
同理得 ，故有
a
?
，
sinA
a
?
。
sinA
3. 在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，则|CD|=
= ，即
aa
?
，故有
?
。
sinAsinA
【典例解析】一 新课导入，推导公式
（1）直角三角形中
（2）斜三角形中
正弦定理是
例1．在
?ABC
中，已知
A?32.0
0
，
B?81.8
0
，
a?42.9
cm，解三角形。
例2 如图，在ΔABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：
BDAB

?
DCAC
【达标练习】
1. 已知ΔABC 已知A=60
0
，B=30
0
，a=3；求边b=（） :
Ａ ３ Ｂ ２ Ｃ
3
D
2

（2）已知ΔABC 已知A=45
0
，B=75
0
，b=8；求边ａ＝（）
A 8 B 4 C 4
3
-3 D 8
3
-8
-（3）正弦定理的内容是————————————
（4）已知a+b=12 B=45
0
A=60
0
则则则

则a=---------------------- --，b=------------------------
（5）已知在ΔABC中,三内角的 正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分
别为---------------- ----------
（6）．在ΔABC中，利用正弦定理证明
a?bsinA?sinB

??
csinC
参考答案
【预习达标】
bcbcbc
a
1．a,b,. asinB ,, ,=.
?
?
sinBsinCsinB
sinA
sinCsinBsinC
bbc
3. .bsinA asinB ,, =.
sinBsinBsinC
【典例解析】

4

如图1．1-3，当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三 角函数的
定义，有CD=
a
sin
B
?
b
sin< br>A
,则
同理可得
从而
a
sin
A
?
b
sin
B
， C
c
sin
C
?
?
b
sin
B
?
， b a
a
sin
A
b
sin
B
c
sin
C
A c B
(图1．1-3)
思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量 来研究
这个问题。
uruuur
（证法二）：过点A作
j
?
AC
， C
uuuruur
由向量的加法可得
AB
?
AC
?
CB

uruururuuuruur
则
j
?
AB
?
j
?(
AC
?
CB
)
A B
uruururuuururuurur
∴j
?
AB
?
j
?
AC
?
j
?
CB

j

uur
ruu urruuur
0
jABcos
?
90?A
?
?0?jCB cos
?
90
0
?C
?

∴
csinA?asinC
，即
ac
?

sinA sinC
ruuur
bc
?
同理，过点C作
j?BC
，可得
sinBsinC
从而
a
s in
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学 生课后自己推导）
从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

例1解：根据三角形内角和定理，

5

C?180
0
?(A?B)


?180< br>0
?(32.0
0
?81.8
0
)


?66.2
0
；
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
0
b???80.1(cm)
；
sinA
sin32.0
0
根据正弦定理，
asinC42.9sin66.2
0
c???74.1(cm).

0
sinA
sin32.0
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例2证明：如图在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，
得
A
ββ
B
α
180
0
?
α
D
BDAB
DCACAC
??
?
，，
sin
?sin
?
sin
?
sin(180
0
?
?)sin
?
BDAB
两式相除得
?
DCAC
C
【双基达标】
1．（1）C（2）D（3）
bc
a
=.（4）36 -12
6

?
sinA
sinBsinC
12
6
-24（5）2, 2.5, 3
，
abc
???k
，则
a?ksinA,b?k sinB,c?ksinC

sinAsinBsinC
a?bksinA?ksinBsinA?sinB

???
cksinCsinC
2．证明：设

6

§1.1.2 正弦定理
【三维目标】：
一、知识与技能
1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题
2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.
3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．
二、过程与方法
让学生 从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学
生通过观察，推导，比较 ，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
三、情感、态度与价值观
1.培养学生处理解三角形问题的运算能力；
【教学重点与难点】：
重点：正弦定理的探索及其基本应用。
难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
【授课类型】：新授课
四教学过程
一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？
二、例题讲解
例 1试推导在三角形中
abc
===
2R
sinAsinBsinC
其中R是外接
圆半径

证明 如图所示，∠
A
＝∠
D

C
bc
aa
∴
??CD?2R
同理
?2R
，
?2R

sinAsinD
sinBsinC
abc
∴===
2R

sinAsinBsinC
例2 在
?ABC中，b?
a
b
A
O
B
D
c
3,B?60
0
,c?1,求a和A, C

bccsinB1?sin60
0
1
?b?c,B?60
0
,?C?B,C
?,?sinC???
，：∵
sinBsinCb23
为锐角，
?C?30
0
,B?90
0
∴
a?b
2
?c
2
?2

例3
?ABC中，c?6,A?45
0
,a?2,求b和B,C

解accsinA
??,?sinC??
sinAsinCa
6?sin45
0
3
?

22
?csinA?a?c,?C?60
0
或120
0


7

csinB
?当C?60时，B?75,b??
sinC
00
00
6sin75
0
?3?1
，
0
sin60
csinB6sin15
0
?当C?120时，B?15,b? ??3?1

sinC
sin60
0
?b?3?1,B?75
0
,C?60
0
或b?3?1,B?15
0
,C?120
0

五、巩固深化，反馈矫正
1试判断下列三角形解的情况：
0
已知
b?11,c?12,B?60
则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
0
2已知
a?7,b?3,A?110
则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在
?ABC
中，三个内角之比
A:B:C?1:2:3
，那么
a:b:c
等于____
4.在
?ABC
中，, B=135
0
C=15
0
a=5则此三角形的最大边长为_____
0
5在
?ABC
中，已知
a?xcm,b?2cm,B?45
，如果利用正弦定理解三角形 有两解，则x
的取值范围是_____
6.在
?ABC
中，已知
b ?2csinB
，求
?C
的度数
六、小结
（1）正弦定理说明同 一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，
即存在正数
k
使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC
；
（2）
abcabbca c
==等价于=，=，=，即
sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCs inAsinC
可得正弦定理的变形形式：
1）
a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
；
2）
sinA?
abc
,sinB?,sinC?
；
2R2R2R
bsinA
；
sinB
a
sinB
。
b
3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：
1）两 角和任意一边，求其它两边和一角；如
a?
2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可 求其它的边和角．如
sinA?
一般地，已知角A 边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）．
外接圆法）如图所示，∠
A
＝∠
D


8

a=bsinA有一解 a
>bsinA有两解 a>b 有一解 a>b有一解
七板书设计 略
1.1.2正弦定理学案
— 预习达标
1 正弦定理的内容是——————————————————
2 在三角形ABC中已知c=10 A=45
0
C=30
0
，则边 a=---------，边b=-------，角B=------
3在三角形ABC中，已知a =20cm，b=28cm，A=40
0
，则角B=-------------（可借助计算 器）
二 典例解析
例 1试推导在三角形中
abc
===
2 R其中R是外接圆半
sinAsinBsinC
径

例2 在
?ABC中，b?
例3
?ABC中，c?
3,B?60
0
,c?1,求a和A,C

6,A?45
0
,a?2,求b和B,C

三 达标练习
1试判断下列三角形解的情况：
0
已知
b?11,c?12,B?60
则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
0
2已知
a?7,b?3,A?110
则三角形ABC有（）解
A 一 B 两 C 无解
3.在
?ABC
中，三个内角之比
A:B:C?1:2:3
，那么
a:b:c
等于____
4.在
?ABC
中， B=135
0
C=15
0
a=5 ,则此三角形的最大边长为_____
0
5. 在
?ABC
中，已知
a?xcm,b?2cm,B?45
，如果利用正弦定理 解三角形有两解，则
x的取值范围是_____
6.在
?ABC
中，已知< br>b?2csinB
，求
?C
的度数
学案答案
一预习达标1
116
二典例解析
例1证明 如图所示，∠
A
＝∠
D

C
0
abc
0
== 2 10
2
， 5
6
+5
2
3 64 或
sinAsinBsinC
bc
aa
??CD?2R
同理 ∴
?2R
，
?2R

sinAsinD
sinBsinC
a
b
A
O
B
D
∴
abc
===< br>2R

sinAsinBsinC
例2 在
?ABC中，b?
c
3,B?60
0
,c?1,求a和A,C

9

bccsinB1?sin60
0
1
?b?c,B?60
0
,?C?B,C
?,?sinC???
，：∵
sinBsinCb2
3
为锐角，
?C?30
0
,B?90
0
∴
a?b
2
?c
2
?2

例3
?ABC中，c?6,A?45
0
,a?2,求b和B,C



10