人教版高中数学必修五 第一章疑难规律方法

1 正弦定理的几种证明方法

正弦定理是 解斜三角形及其应用问题(测量)的重要定理，而证明它的方法很多，展开的思维空间很大，
研究它的证 明，有利于培养探索精神，思维的深度广度和灵活度.
正弦定理的内容：
abc
＝＝.
sin Asin Bsin C
1.向量法
→
证明：在△ABC中做单位向量i⊥AC，则
→→→
i·AB＝i·(AC＋CB)，
→→
|i||AB|sin A＝|i||CB|sin C，
故
ac
＝，
sin Asin C
ab
同理可证＝.
sin Asin B
即正弦定理可证
2.高线法
abc
＝＝.
sin Asin Bsin C

证明：在△ABC中做高线CD，则在Rt△ADC和Rt△BDC中，
CD＝bsin A，
CD＝asin B，
即bsin A＝asin B，
ab
＝，
sin Asin B
同理可证：
ac
＝，
sin Asin C
即正弦定理可证.

3.外接圆法

证明：做△ABC的外接圆O，过点C连接圆心与圆交于点D，连接AD，设圆的半径为R，
∴△CAD为直角三角形，且b＝2Rsin D，且D＝B，
b
∴b＝2Rsin B，即＝2R.
sin B
同理：
∴
ac
＝2R，＝2R，
sin Asin C
abc
＝＝.
sin Asin Bsin C
4.面积法

111
∵S
△
ABC
＝bcsin A＝absin C＝acsin B，
222
abc
∴正弦定理可证：＝＝.
sin Asin Bsin C

2 细说三角形中解的个数

解三角形时，处理 “已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比
较棘手的问题.下 面对这一问题进行深入探讨.
1.出现问题的根源
我们作图来直观地观察一下.不妨设已知 △ABC的两边a，b和角A，作图步骤如下：①先作出已知角A，
把未知边c画为水平的，角A的另一 条边为已知边b；②以边b的不是A点的另外一个端点为圆心，边a
为半径作圆C；③观察圆C与边c交 点的个数，便可得此三角形解的个数.
显然，当A为锐角时，有如图所示的四种情况：

当A为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：

根据上面的分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解.若A为锐角 ，只有当a不
小于bsin A时才有解，随着a的增大得到的解的个数也是不相同的.当A为钝角时，只有当a大于b时才有
解.
2.解决问题的策略
(1)正弦定理法
已知△ABC的两边a，b和角A，求B.
abbsin A
根据正弦定理＝，可得sin B＝.
sin Asin Ba
若sin B>1，三角形无解；若sin B＝1，三角形有且只有一解；若0小关系确定A，B的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B的两个解 的取舍.
(2)余弦定理法
已知△ABC的两边a，b和角A，求c.
利用余弦 定理可得a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A，
整理得c
2
－2bccos A－a
2
＋b
2
＝0.
适合问题的上述一元二次方程的解c便为此三角形的解.
(3)公式法
当已知△ABC的两边a，b和角A时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：
A<90°
a≥b
一解

aa>bsin A
二解
a＝bsin A
一解
a无解
A≥90°
a>b
一解
a≤b
无解

3.实例分析
例 在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝ 2(其中角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述
条件的△ABC有多少个？
分析 此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断△ABC解的情况.
ab
解 方法一 由正弦定理＝，
sin Asin B
可得sin B＝
21
sin 45°＝<1.
22
又因为a>b，所以A>B，故B＝30°，
所以符合条件的△ABC只有一个.
方法二 由余弦定理，得
2
2
＝c
2
＋(2)
2
－2×2×ccos 45°，
即c
2
－2c－2＝0，解得c＝1±3.而1－3<0，
故仅有一解，所以符合条件的△ABC只有一个.
方法三 A为锐角，a>b，故符合条件的△ABC只有一个.

3 挖掘三角形中的隐含条件

解三角形是高中数学的重要内容，也是高考的一个热点.由于我们对三角公式比较熟悉，做题 时比较容易入
手.但是公式较多且性质灵活，解题时稍有不慎，常会出现增解、错解现象，其根本原因是 对题设中的隐含
条件挖掘不够.下面结合例子谈谈在解三角形时，题目中隐含条件的挖掘.
隐含条件1.两边之和大于第三边
例1 已知钝角三角形的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范围.
[错解] 设角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵c>b>a且△ABC为钝角三角形，∴C为钝角.
由余弦定理得
a
2
＋b
2
－c
2
k2
＋?k＋2?
2
－?k＋4?
2
cos C＝＝
2ab
2k?k＋2?
k
2
－4k－12
＝<0.
2k?k＋2?
∴k
2
－4k－12<0，解得－2又∵k为三角形的边长，
∴k>0.
综上所述，0[点拨] 忽略了隐含条件：k，k＋2，k＋4构成一个三角形，需满足k＋(k＋2)>k＋4.即k>2而不是k>0 .
[正解] 设角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵c>b>a，且△ABC为钝角三角形，
∴C为钝角.

a
2
＋b
2< br>－c
2
k
2
－4k－12
由余弦定理得cos C＝＝<0.
2ab
2k?k＋2?
∴k
2
－4k－12<0，解得－2由两边之和大于第三边得k＋(k＋2)>k＋4，∴k>2，
综上所述，k的取值范围为2温馨点评 虽然是任意两边之和大于第三边，但实际应用时通常不用都写上，只需最小两边
之和大于最大边就行了.

隐含条件2.三角形的内角范围
例2 已知△ABC中，B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________.
ABsin B3
[错解] 由正弦定理，得sin C＝
＝.
AC2
∴C＝60°，∴A＝90°.
11
则S
△
ABC
＝AB·AC·sin A＝×23×2×1＝23.
22
[点拨] 上述解法中在用正弦定理求C时丢了一解.实际上由sin C＝
足条件.
ABsin B3
[正解] 由正弦定理，得sin C＝
＝.
AC2
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，A＝90°，
1
则S
△
ABC
＝AB·AC·sin A＝23；
2
当C＝120°时，A＝30°，
1
则S
△
ABC
＝AB·AC·sin A＝3.
2
∴△ABC的面积是23或3.
温馨点评 利用正弦定解决“已知两边及其中一边 对角，求另一角”问题时，由于三角形内
角的正弦值都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角， 容易把握不准确出错.

tan Aa
2
例3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c.＝，试判断三角形的形状.
tan Bb
2
tan Aa
2
sin Acos Bsin
2
A
[错解] 由
＝和正弦定理，得＝，又A，B∈(0，π)，
tan Bb
2
cos Asin Bsin
2
B
∴
cos Bsin A
＝，即sin Acos A＝sin Bcos B，
cos Asin B
3
可得C＝60°或C＝120°，它们都满
2
即sin 2A＝sin 2B，∴A＝B.∴△ABC是等腰三角形.
[点拨] 上述错解忽视了满足sin 2A＝sin 2B的另一个角之间的关系：2A＋2B＝180°.

tan Aasin Acos BsinA
[正解] 由
＝
2
和正弦定理，得＝，又A，B∈(0，π)，
tan Bbcos Asin Bsin
2
B
∴
cos Bsin A
＝，即sin Acos A＝sin Bcos B，
cos Asin B
22
即sin 2A＝sin 2B∴2A＝2B或2A＋2B＝π.
π
∴A＝B或A＋B＝.
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
温馨点评 在△ABC中，sin A＝sin B?A＝B是成立的，但sin 2A＝sin 2B?2A＝2B或2A＋
2B＝180°.

b
例4 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.B＝3A，求的取值范围.
a
bsin Bsin 3A
[错解] 由正弦定理得
＝＝
asin Asin A
＝
sin?A＋2A?sin Acos 2A＋cos Asin 2A
＝
sin Asin A
＝cos 2A＋2cos
2
A＝4cos
2
A－1.
∵0≤cos
2
A≤1，∴－1≤4cos
2
A－1≤3，
bb
∵>0，∴0<≤3.
aa
b
[点拨] 忽略了三角形内角和为180°，及角A，B的取值范围，从而导致
取值范围求错.
a
bsin Bsin 3A
[正解] 由正弦定理得
＝＝
asin Asin A
＝
sin?A＋2A?sin Acos 2A＋cos Asin 2A
＝
sin Asin A
＝cos 2A＋2cos
2
A＝4cos
2
A－1.
∵A＋B＋C＝180°，B＝3A.∴A＋B＝4A<180°，
∴0°2
2
b
∴1<4cos
2
A－1<3，∴1<<3.
a
温馨点评 解三角形问题，角的取值范围至关重要.一些问题，角的取值范围隐含在题目的条
件中，若不仔细审题，深入挖掘，往往疏漏而导致解题失败.


4 正弦、余弦定理三应用

有些题目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解决，但若能构造适当 的三角形，就能利用两定理，题目显
得非常容易，本文剖析几例.

1.平面几何中的长度问题
例1 如图，在梯形ABCD中，CD＝2，AC＝19，∠BAD＝60°，求梯形的高.
分析 如图，过 点D作DE⊥AB于点E，则DE为所求的高.由∠BAD＝
∠ADC＝120°，又边CD与AC的长 已知，故△ACD为已知两边和其中
角，可解三角形.解Rt△ADE，需先求AD的长，这只需在△A CD中应用
解 过点D作DE⊥AB于点E，则DE为所求的高.
由∠BAD＝60°，得∠ADC＝120°，
在△ACD中，由余弦定理得
AC
2
＝AD
2
＋CD
2
－2AD·CD·cos∠ADC，
1
－
?
， 即19＝AD
2
＋4－2AD×2×
?
?
2
?
解得AD＝3或AD＝－5(舍去).
在△ADE中，DE＝AD·sin 60°＝
33
.
2
60°，知
一边的对
余弦定理.
点评 依据余弦定理建立方程是余弦定理的一个妙用，也是函数与方程思想在解三角形中的体现.
2.求范围
例2 如图，在等腰△ABC中，底边BC＝1，∠ABC的平分线BD交AC于点D，求BD的
1
取值范围(注：当0x
分析 把BD的长表示为∠ABC的函数，转化为求函数的值域.
解 设∠ABC＝α.
因为∠ABC＝∠C，所以∠A＝180°－2α，
α
3α
∠BDC＝∠A＋∠ABD＝180°－2α＋＝180°－，
22
因为BC＝1，在△BCD中，由正弦定理得
ααα
2sin cos 2cos
222
sin α2
BD＝＝＝＝，
3α
ααα
1
2
α
sin sin αcos ＋cos αsin 4cos－14cos －
22222
α
cos
2
α
2
α
因为0°<<45°，所以222
αα
2
而当cos 增大时，BD减小，且当cos ＝时，
222
α
2
BD＝2；当cos ＝1时，BD＝，
23
2
?
故BD的取值范围是
?
?
3
，2
?
.
点评 本题考查：(1)三角知识、正弦定理以及利用函数的单调性求值域的方法；(2)数形结合、等 价转化等
思想.

3.判断三角形的形状
→→→→
例3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB·AC＝BA·BC＝k(k∈R).
(1)判断△ABC的形状；
(2)若c＝2，求k的值.
→→→→
解 (1)∵AB·AC＝cbcos A，BA·BC＝cacos B，
→→→→
又AB·AC＝BA·BC，∴bccos A＝accos B，
∴bcos A＝acos B.
方法一 由正弦定理，得sin Bcos A＝sin Acos B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，
∴sin(A－B)＝0，
∵－π∴△ABC为等腰三角形.
方法二 由余弦定理，
b
2
＋c2
－a
2
a
2
＋c
2
－b
2
得b·＝a·，
2bc2ac
∴b
2
＋c
2
－a
2
＝a
2
＋c
2
－b
2
，
∴a
2
＝b
2
，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)知：a＝b.
b
2
＋c
2
－a
2
c
2
→→
∴AB·AC＝bccos A＝bc·＝＝k，
2bc2
∵c＝2，∴k＝1.