高中数学必修5：一元二次不等式 知识点及经典例题(含答案)

一元二次不等式

【知识概述】

本节主要为大家讲解一元二次不等式的解法，以及利用一元二次不等式解决其他相关数
学问题.通过本节 课的学习，要求同学们掌握简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等
式的分式不等式的解法，能够解 决已知二次函数零点的分布考查一元二次方程中未知参数的
取值范围的问题.
三个二次之间的关系（下表中a>0，△=
b
2
－4ac）


二次函数的图象
2
y=
ax?bx?c

△>0 △=0 △<0
一元二次方程

有两相异实根有两相等实根

没有实根

ax
2
?bx?c?0
的根 一元二次不等式
x
1
，x
2
(
x
1
? x
2
)
x
1
?x
2
??
b

2a
ax
2
?bx?c
>0的
解集
一元二次不等 式
?
xx?x
1
或x?x
2
}

?
xx?R,x??
b
}

2a
R
?
xx
1
?x?x
2
}

?

?

ax
2
?bx?c?0
的解集








【学前诊断】

1. [难度] 易

不等式
(x?2)(1?x)?0
的解集是（ ）
A.
{x|x??2或x?1}

C.
{x|x??1或x?2}

2. [难度] 易
方程
mx
2
?(2m?1)x?m?0
有两个不相等的实数根，则实数
m
的取值范围是（ ）
A.
m??






B.
{x|?2?x?1}

D.
{x|?1?x?2}

1

4
B.
m??
1

4
C.
m?
1

4
D.
m??
1
且
m?0

4
3. [难度] 中
2
若不等式
ax?bx?2?0
的解集是(－2，－
1
)，则a=___________，b=_________ ___
4

【经典例题】

例1. 解下列关于
x
的不等式
（1）
(x?5)(3?2x)?6:

（2）
ax
2
?(1?2a)x?2?0
.

例2. 已知不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集为
x 2?x?4
，求不等式
cx
2
?bx?a?0
的
解集.

例3.
2
若关于
x
的不等式
ax?2ax ?3?0
对一切实数
x
都成立，求
a
的取值范围.
??

例4. 若关于
x
的不等式
x?(2?a)x? 2a?0
在区间
?
??,1
?
上总成立，求
a
的取 值范
2
围.

例5.

例6.





【本课总结】


2xx
若对
x?
?
??,?1
?
，不等式(m?m)2?()?1
恒成立，求实数
m
的取值范围.
22
若关于
x
的不等式
3x?2ax?a?0
在区间
?
?1,2
?
上总成立，求
a
的取值范围.
1
2

不等式是高考的基本内容之一，作为重要的工具性知识 ，在高考数学试卷中一直占有较
高的比例，由于不等式内容的高渗透性特征，所以本部分内容的考查形式 比较灵活，可以出
现在各种题型内，如选择、填空、解答题都可以渗透不等式内容，所以新课标卷对不等 式的
考查都是小题和大题兼顾，而且由于高考试卷命题的综合性特征明显，单纯考查不等式的题
目不是很多，常在一些函数、数列、解析几何和实际应用问题的试题中有所涉及，并在其中
充分发挥着工 具性作用，不等式高考题的落脚点在于不等式的基础知识和不等式的解法，特
别是一元二次不等式（包括 含参数和不含参数的）的解法.不等式部分要求考生要有足够的
运算求解能力和转化化归能力，且由于解 题途径的多样性，又对考生的综合运用所学知识分
析和解决问题的能力有较高要求.具体学习时要注意一 下几点：
1.要特别重视四位一体的综合思维模式，即将二次函数、二次方程、二次不等式、二次函数图像作为有机整体进行思考，并能进行必要的转化，此思维模式中包含重要的数学思想，
如数形 结合思想、转化思想等，通过数形结合将抽象问题直观化，通过转化则可将复杂问题
简单化、将陌生问题 熟悉化.
2.解一元二次不等式时，要转化为标准形式，即二次项系数大于零，在此背景下才能直接套用不等式的解集公式.
3.如果不等式的系数中包含字母参数，则在解不等式时一般要进行分 类讨论，在含参问
题的讨论中，充分利用二次函数图像突出其直观性是重要的思想方法.此类问题的难点 在于
含参问题的讨论，许多同学的困惑在于如何确定分类讨论的标准，一般来说此类问题的讨论
分三个层次：先讨论二次项系数的符号，如本题中分k=0,k>0；再讨论判别式的符号；在有
根的情 况下，如有必要再讨论两根之大小关系，若该二次三项式可以因式分解，则不需讨论
判别式而直接讨论两 根之大小..
4. 在含参数的不等式中求参数取值范围,是高考命题的一个趋势.已知不等式恒成立 求
参数的取值范围，是一种重要的数学模型，如(1)
f(x)?a(x?D)
恒成立 ，求参数a的取值
范围；（2）
f(x)?g(x)
恒成立，求式中参数m的取值范围 等，此类数学模型一般有两种
基本解法，一是转化为求函数的最小值：如
f(x)?a(x?D )
恒成立
?f(x)
max
?a(x?D),
二是分离参数法，将参 数m与自变量x进行分离，分离参数是一种重要的方法，可避免分
类讨论的痛苦，在研究不等式恒成立的 问题时非常有效..
5.要关注求解不等式的逆向思维问题，即若给出不等式的解集研究原不等式.


6.要关注在其他数学问题背景中涉及到一元二次不等式的相关问题，此类问题具 有一定
的综合性，对解题方法的选择有一定灵活性.

【活学活用】

1 . [难度] 易
若
0?a?1
，则不等式
(a?x)(x?
A.
a?x?
2. [难度] 中
解关于x的不等式
(x?a)(x?a
2
)?0
.

3. [难度] 中
对于任意实数
x
，一元二次不等式
(2m ?1)x
2
?(m?1)x?(m?4)?0
恒成立，求实数
1

a
1
)?0
的解集是（ ）
a
11
B.
?x?a
C.
x?
或
x?a

aa
D.
x?
1
或
x?a

a
m
的取值范围.