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人教版高中数学必修五 基本不等式的应用 附详细答案解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 23:33
tags:高中数学必修五

高中数学苏教版必修一教案-高中数学必修四三角函数课程标准


基本不等式的应用

1.已知
p,q?R
,
pq? 100
,则
p
2
?q
2
的最小值是( )
A.200 B.100 C.50 D.20
2.设a,b是实数,且a+b=3,则2
a
+2
b
的最小值是( )
A.6 B.
42
C.
26
D.8
3.已知
a?0,b?0
,且
a?b?2
,则( )
A.
ab?
11
B.
ab?
C.
a
2
?b
2
?2
D.
a
2
?b
2
?3

22
4.建造一个容积为8 m
3
,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底 和池壁的造价每平方米分别为
180元和80元,那么水池的最低总造价为( )
A.1 000元 B.2 000元 C.2 720元 D.4 720元
5.在三棱锥
O?ABC
中,OA,OB,OC两两垂直,OC= 1,OA=x,OB=y,x+y=4,则三棱锥
O?ABC

积的最大值是( )
3
21
A. B. C.1 D.
3
33
6.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m
2
、形 状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁
丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
7.有一块半径为2 m的半圆形钢板,裁成矩形的钢板,则矩形钢板的最大面积为



m
2
.


8.某公司租地建仓库,每月租金
y< br>1
与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费
y
2
与到
车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用
y
1

y
2
分别为2万元和8
万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站
千米处.


9.一批货物随17列货车从A市以v千米时匀 速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了
?
v
?
安全,两列货车的间 距不得小于
??
千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要

?
20
?
2
小时(不计货车的身长).


★10.某种汽车的购车费用为10万元,每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费
第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元.求这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少.

< p>
a
2
b
2
c
2
11.(1)已知
a, b,c?0
,求证:
???a?b?c
;
bca
(2)已知
a?0,b?0
,
a?b?1
,求证:













1 2.如图,公园想建一块面积为144平方米的矩形草地,一边靠墙,另外三边用铁丝网围住,现有
44 米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余),若利用x米墙,
(1)求x的取值范围;
(2)求最少需要多少米铁丝网.(精确到0.1米)


111
???8
.
abab


参考答案
< br>1.
【解析】
p
2
?q
2
?2pq?200
,当且仅当
p?q?10

p?q??10
时,等号成立.
【答案】A
2.
【解析】
2
a
?2
b
? 22
a
?2
b
?22
a?b
?22
3
?4 2
,
当且仅当
2
a
?2
b
,即
a?b?
3
时,等号成立.
2
∴2
a
+2
b
的最 小值是
42
,故选B.
【答案】B
3.
【解析】取
a?1,b?1
,则
ab?1
,排除A项;

a?0,b?2
,则
ab?0
,
a
2
? b
2
?4
,排除B,D两项,故选C.
【答案】C
4.
【解析】设水池底面一边长为
xm
,则另一边为
4
m
,
x
16
?
4
???
总造价
y?4?180?
?
4x?
?
?80?320
?
x?
?
?720
?1 280?720?2000
,
x
?
x
???
当且仅当x?0

x?
【答案】B
4
,即x=2时,等号成立.

水池的最低总造价为2000元.
x
111
?
1
?
11
5.
【解析】
V?? OA?S
?OBC
?OA?
?
?OB?OC
?
?x?y?1 ?xy
.
336
?
2
?
32
因为
x?y ?4,x?0,y?0
,所以
4?x?y?2xy
,所以
xy?4
.
所以
V?
【答案】A
6.
【解析】设直角三角形框架的两直角边分别为
am,bm
,则ab=4.
122
xy?
,当且仅当
x?y?2
时,等号成立.
积的最大值为.
633
所用铁丝长度
l?a?b?a
2
?b< br>2
?2ab?2ab?4?22?6.828
,
当且仅当a=b=2时取等号.
【答案】C
7.
【解析】设垂直于直径的边长为x m,
则另一边长为
24?x
2
m,则
S?2x4?x
2

?
x
2
?4?x
2
?
2
S?4x
?
4?x
?
?4?
??
?4?2?16
,
2??
222
2
当且仅当
x
2
?4?x
2
,即
x?2
时,等号成立,
故当
x?2
时,S=4,即S的最大值为4.
【答案】4
8.< br>【解析】设仓库建在离车站d千米处,设
y
1
?
k
1
,y
2
?k
2
d
,
d



y
1
?2?
k
1
20
,得
k
1
? 20
,

y
1
?
.
10d
44
,

y
2
?d
.
55

y
2
?8?10k
2
,得
k
2?

y
1
?y
2
?
当且仅当
【答案】 5
204d204d
??2??8
,
d5d5
204d
,即d=5时,两项费用之和最小.
?
d5
9.
【解析】设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则
?
v
?
400?16
??
?
20
?
?< br>400
?
16v
?2
400
?
16v
?8< br>(小时),
t?
vv400v400
2
当且仅当
【答案】8
40016v
,即v=100时等号成立,此时t=8小时.
?
v400< br>10.
【解析】设汽车使用x年时,它的年平均费用最少.由于“年维修费第一年是0.2万元, 以后
逐年递增0.2万元”,可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数 列,
因此,汽车使用x年时总的维修费用为
设汽车的年平均费用为y万元,则
x
?
0.2?0.2x
?
2
万元.
10?0.9 x?
y?
当且仅当
x
?
0.2?0.2x
?
10x
10x
10?x?0.1x
2
2
?1?2??3
,
?1??
?
x10
x10
xx
10x
?
,即x= 10时,y取得最小值.
x10
故这种汽车使用10年时,它的年平均费用最少.
a
2
b
2
c
2
11.
【证明】(1)
∵< br>a,b,c,,,
均大于0,
bca
a
2
a
2a
2
?b?2a
,当且仅当
?b
,即a=b时等号成立;
?b?2
bb
b
b
2
b
2
b
2
?c?2?c?2b
,当且仅当
?c
,即b=c时等号成立;
cc
c
c
2
c
2
c
2
?a?2?a?2c
,当且仅当
?a
,即a=c时等号成立.
aa
a
a
2
b
2
c
2
以上三式相加得
?b??c??a?2a?2 b?2c
,
bca
当且仅当a=b=c时等号成立.
a
2
b
2
c
2

???a?b?c
.
bca


(2)
11111a?b
?
11
?
??????2
?
?
?
.
abababab
?
ab
?< br>∵
a+b=1,a>0,b>0,

??

??
1
a
1
b
1
a
1
b
a?ba?bab
??2???2?2?4
,
abba
11
?8
(当且仅当
a?b?
时等号成立).
ab2
12.
【解析】(1)由于矩形草地的面积是144平方米,一边长是x米,
则另一边长为

y?x?2?
144144
米,则矩形草地所需铁丝 网长度为
y?x?2?
.
xx
144
?44
?
x ?0
?
,解得
8?x?36
,故x的取值范围是[8,36].
x
288
?242
,
x
(2)由基本不等式,得
y?x?
当且仅当
x?
288
,即
x?17.0
时,等号成 立,
x

y
min
?242?34.0
,故最少需要约3 4.0米铁丝网.

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