高中数学必修三主要内容

1. 算法的含义：在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步 骤一定
可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，
等 等。
2. 例子：
1
例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。
算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：
第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。
第二步：依 次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则
n不是质数；若没有这样的 数，则n是质数。
这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。
2
例2 用二分法设计一个求议程x–2=0的近似根的算法。
算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所 求近似根与准确解的差的绝对值不超
过，则不难设计出以下步骤：
2
第一步：令f( x)=x–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x
1
=1，x
2
= 2。
第二步：令m=(x
1
+x
2
)2，判断f(m)是否为0， 若则，则m为所长；若否，则继续判断
f(x
1
)·f(m)大于0还是小于0。 < br>第三步：若f(x
1
)·f(m)>0，则令x
1
=m；否则，令x< br>2
=m。
第四步：判断|x
1
–x
2
|<是否成立 若是，则x
1
、x
2
之间的任意取值均为满足条件的近似根；若
否， 则返回第二步。
例3 写出解二元一次方程组 的算法
2x+y=1②
解：第一步，②-①×2得5y=3；③
第二步，解③得y=35；
第三步，将y=35代入①，得x=15
学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善
老师评一评：本 题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方
程组的解法。下面写出求方程组?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0(A
1
B
2
?B
1
A
2
?0)
的解的算法：
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
第一步：②×A
1
-①×A
2
，得(A
1
B
2
-A
2
B
1
)y+A
1
C
2< br>-A
2
C
1
=0；③
第二步：解③，得
y?
A
2
C
1
?A
2
C
2
；
A< br>1
B
2
?A
2
B
1
第三步：将
y?
A
2
C
1
?A
2
C
2
?B
2
C
1
?B
1
C
2
代入①，得
x?。
A
1
B
2
?A
2
B
1
A
1
B
2
?A
2
B
1
此时我们得到了二元一 次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：
第一步：取A
1
=1， B
1
=-2，C
1
=1，A
2
=2，B
2
=1，C
2
=-1；
第二步：计算
x?
?B
2
C
1
?B
1
C
2
AC?A
2
C
2< br>与
y?
21

A
1
B
2
?A
2
B
1
A
1
B
2
?A
2
B1

第三步：输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。

基础知识应用题
例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。
解：算法如下。
S1 先假定序列中的第一个整数为“最大值”。
S2 将序列中的下一个整数值与“最大值”比较 ，如果它大于此“最大值”，这时你
就假定“最大值”是这个整数。
S3 如果序列中还有其他整数，重复S2。
S4 在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的
最大值。
学生做一做 写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。
老师评一评 在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述
本题的算法。
S1 max=a
S2 如果b>max, 则max=b.
S3 如果C>max, 则max=c.
S4 max就是a,b,c中的最大值。
综合应用题
例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+ 2+…+
n
=
根据加法运算律简化运算过程。
解：算法1：
S1：计算1+2得到3；
S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；
S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；
S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；
S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。
算法2：
S1：取n=6；
S2：计算
n(n?1)
进行，也可以
2
n(n?1)
；
2
S3：输出运算结果。
算法3：
S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；
S2：计算3×7；
S3：输出运算结果。
小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时， 比如1+2+3+…
+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但 比较而言，算
法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。
学生做一做 求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。
老师评一评 算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；

第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；
第三步，再将15乘以7，得到结果105；
第四步，再将105乘以9，得到945；
第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。
算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。
S1 使P=1。
S2 使i=3
S3 使P=P×i
S4 使i=i+2
S5 若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。

2
1、写出解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的一个算法。
2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）
1、解：算法如下
2
S1 计算△=b-4ac
S2 如果△〈0，则方程无解；否则x1=
S3 输出计算结果x1，x2或无解信息。
2、解：算法如下：
S1 使i=1
S2 i被3除，得余数r
S3 如果r=0，则打印i，否则不打印
S4 使i=i+1
S5 若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。

2
1、写出解不等式
x
-2
x
-3<0的一个算法。 2
解：第一步：
x
-2
x
-3=0的两根是
x
1
=3，
x
2
=-1。
2
第二步：由
x
-2
x
-3<0可知不等式的解集为{
x
| -1<
x
<3}。
2
评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如
ax
+
bx
+
c
>0的不等式的解的步骤（为方
便，我们设
a
>0）如下：
第一步：计算△=
b?4ac
；
2
第二步：若△>0，示出方程两根
x
1,2
{
x
|
x
>
x
1
或
x
<
x
2
}；
?b?b
2
?4ac
?
（设
x
1
>
x
2
），则不等式解集为
2a
第三步：若△= 0，则不等式解集为{
x
|
x
∈R且
x
??
b
}；
2a
第四步：若△<0，则不等式的解集为R。
2、求过P(
a
1
,
b
1
)、Q(
a
2
,
b
2)两点的直线斜率有如下的算法：
第一步：取
x
1
=
a
1
，
y
1
=
b
1
，
x
2
=
a
2
，
y
1
=
b
2
；
第二步：若
x
1
=
x
2
；
第三步：输出斜率不存在；
第四步：若
x
1
≠
x
2
；

第五步：计算
k?
y
2
?y
1
；
x
2
?x
1
第六步：输出结果。
3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。
解 ：算法：第一步：取
x
1
=-2，
y
1
=-1，
x
2
=2，
y
2
=3；
第二步：计算
y?y
1
x?x
1
?
；
y
2
?y
1
x
2
?x
1
第三步：在第二步结 果中令
x
=0得到
y
的值m，得直线与
y
轴交点(0,m) ；
第四步：在第二步结果中令
y
=0得到
x
的值n，得直线与x
轴交点(n,0)；
第五步：计算S=
1
|m|?|n|
；
2
第六步：输出运算结果
3. 程序框图的概念：是一种用规定的图形，指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的
图形。
4. 基本概念：
（1）起止框图： 起止框是任何流程图都不可缺少的，它表 明程序的开始和结束，所
以一个完整的流程图的首末两端必须是起止框。
（2）输入、输出框： 表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要输
入、输出的位置。图1-1中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步，它的作用
是输入未 知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值
写 在输入框内，它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出
框，它们分别位 于由判断分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的
输出分框负责输出D≠0时未 知数x1,x2的值，右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果，
即输出无法求解信息。
（3）处理框： 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图1-1中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的< br>作用是计算x1=(b1a22-b2a12)D,x2=(b2a11-b1a21)D的值。
（4）判断框： 判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”（也
可用“ Y”与“N”）两个分支，在图1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中的
式子是D=0， 则说明D=0时由标有“是”的分支处理数据；若D≠0，则由标有“否”的分支
处理数据。例如，我们 要打印x的绝对值，可以设计如下框图。
5. 三种基本结构：

1）顺 序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之
间，框与框之间是按从上到下的顺序进行 的。
例2：已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算
开始
法，求出它的面积，并画出算法的程序框图。
p=(2+3+4)
算法分析：这是一 个简单的问题，只需先算出p的值，再将它
代入公式，最后输出结果，只用顺序结构就能够表达出算法。
s=√
程序框图：
p(p-2)(p-3)(p-4)



输出s



结束


2）条件结构：一些简单的算法可以用顺序结构来表示 ，但是这种结构无法对描述对象进行
逻辑判断，并根据判断结果进行不同的处理。因此，需要有另一种逻 辑结构来处理这类问
题，这种结构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。

例3：任意给定3个正实数，设计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形
是否存在，画出这个算法的程序框图。
算法分析：判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否存在 ，只需要验收这3个数当
中任意两个数的和是否大于第3个数，这就需要用到条件结构。
程序框图：


3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按 照一定条件，反复执行某一处理
步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循 环结构中一定包
含条件结构。
循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（ 1）一类是当型循环结构，如图1-5（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，
执行A框，A 框执行完毕后，再判断条件P
1
是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反
复执行 A框，直到某一次条件P
1
不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。
（ 2）另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条
件P
2是否成立，如果P
2
仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P
2< br>成立为止，
此时不再执行A框，从b点离开循环结构。

例4：设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图。
算法分析：只需要一 个累加变量和一个计数变量，将累加变量的初始值为0，计数变量
的值可以从1到100。
程序框图：

算法的基本语句

输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句

INPUT “x=”;x

y=x^3+3*x^2-24*x+30

PRINT x

PRINT y

END

（一）输入语句
在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。这个语句的一般格式是：



INPUT “提示内容”；变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样 的信息。如每次运行上述程序时，
依次输入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5， 计算机每次都把新输入的值赋给变
量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：



INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：
INPUT “数学，语文，英语”；a，b，c
注：①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开。但最后的变量的后
面不需要。
（二）输出语句
在该程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。它的一般格式是：



PRINT “提示内容”；表达式
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。例如下面的语句可以输出斐波
那契数列：




PRINT “The Fibonacci Progression is：”；
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “…”
此时屏幕上显示：
The Fibonacci Progression is：1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息。（2）输出数值计算的结果。
〖思考〗：在
1.1.2
中程序框图中的输入框，输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来
表达（学生讨论 、交流想法，然后请学生作答）
参考答案：

输入框：INPUT “请输入需判断的整数n=”；n
输出框：PRINT n；“是质数。”
PRINT n；“不是质数。”
（三）赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。
除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格
式是：

变量
=
表达式

赋值语句中的“
=
”叫做赋值号。
赋值语句的作用：先计算出赋值号右边表 达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边
的变量，使该变量的值等于表达式的值。
注：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
〖思考〗：在
1.1.2
中程序 框图中的输入框，哪些语句可以用赋值语句表达并写出相应的
赋值语句。（学生思考讨论、交流想法。）
【例题精析】
〖例1〗：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。

算法： 程序：














开始
输入a,b,c
y?
a?b?c

3
INPUT “数学=”;a
INPUT “语文=”;b
INPUT “英语=”;c
y=(a+b+c)3
PRINT “The average=”;y
END
输出y





结束
〖例2〗
：
给一个变量重复赋值。
程序：

A=10
A=A+10
PRINT A
END
[变式引申]：在此程序的基础上，设计一个程序，要求最后A的输出值是30。

（该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解）
程序：







A=10
A=A+15
PRINT A
A=A+5
PRINT A
END
〖例3〗
：
交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。
分析：引入一 个中间变量X,将A的值赋予X,又将B的值赋予A，再将X的值赋予B，
从而达到交换A，B的值。（ 比如交换装满水的两个水桶里的水需要再找一个空
桶）
程序：

INPUT A
INPUT B
PRINT A，B
X=A
A=B
B=X
PRINT A，B
END
〖补例〗
：
编写一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该圆的周长和面积。（
?

取）
分析：设圆的半径为R，则圆的周长为
C?2
?
R
， 面积为
S?
?
R
，可以利用顺
序结构中的INPUT语句，PRIN T语句和赋值语句设计程序。
程序：









（四）条件语句
条件语句的作用：在程序执行过 程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转
换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、 判断，并按判断后的不同情况进行不同的
处理。
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语
INPUT “半径为R=”；R
C=2**R
S=*R^2
PRINT “该圆的周长为：”；C
PRINT “该圆的面积为：”；S
END
2

句。它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）











IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF

满足条件
是
语句1
否
语句2
当 计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执
行THEN后的语句1，否 则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
在某些情况下，也可以只使用IF- THEN语句：（即IF-THEN格式）










IF 条件 THEN
语句
END IF
是

满足条件
否
语句
〖例2〗：编写程序，使得任意输入的3个
整数按从大到小的顺序输出。

算法分析：用a，b，c表示输入的3个
整数；为了节约变量，把它们重新排列
后，仍用a，b ，c表示，并使a≥b≥c.
具体操作步骤如下。
第一步：输入3个整数a，b，c.
第二步：将a与b比较，并把小者赋给
b，大者赋给a.
第三步：将a与c比较. 并把小者赋给
c，大者赋给a，此时a已是三者中
最大的。
第四步：将b与c比较， 并把小者赋给
c，大者赋给b，此时a，b，c已按
从大到小的顺序排列好。
第五步：按顺序输出a，b，c.

（四）循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来
INPUT “a，b，c =”;a，b，c
IF b>a THEN
t=a
a=b
b=t
END IF
IF c>a THEN
t=a
a=c
c=t
END IF
IF c>b THEN
t=b
b=c
c=t
END IF
PRINT a，b，c
END
循环体

实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有 当型（WHILE
型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
（1）WHILE语句的一般格式是：








WHILE 条件
循环体
WEND
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用
于控制计算机执行循 环体或跳出循环体的。
当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行W HILE
与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，
这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直
接跳到WEND语句 后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测
试型”循环。其对应的程序结构框 图为：（如上右图）
〖思考〗：直到型循环又称为“后测试型”循环，参照其直到型循环结构对应的程 序框
图，说说计算机是按怎样的顺序执行UNTIL语句的（让学生模仿执行WHILE
语句的 表述）
从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循 环体，然后进
行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，
这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL
语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。
〖提问〗：通 过对照，大家觉得WHILE型语句与UNTIL型语句之间有什么区别呢（让学
生表达自己的感受）
区别：在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，而在UNTIL语句中，是当条
件不 满足时执行循环体。
【例题精析】
〖例3〗：编写程序，计算自然数1+2+3+……+99+100的和。
分析：这是一个累 加问题。我们可以用WHILE型语句，也可以用UNTIL型语句。由此看
来，解决问题的方法不是惟 一的，当然程序的设计也是有多种的，只是程序简单与
复杂的问题。
程序：
WHILE型：
i=1
i=1
UNTIL型：
sum=0
sum=0

WHLIE i<=100
DO

sum=sum+i
sum=sum+i

i=i+1
i=i+1

WEND
LOOP UNTIL i>100

PRINT sum

PRINT sum
END
算法案例
辗转相除法：

1.辗转相除法
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 （分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，
根据 已有的知识即可求出最大公约数）
解：8251＝6105×1＋2146
显然8251的 最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251
的约数，所以82 51与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。
6105＝2146×2＋1813
2146＝1813×1＋333
1813＝333×5＋148
333＝148×2＋37
148＝37×4＋0
则37为8251与6105的最大公约数。
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。 也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在
公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的 步骤如下：
第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q
0
和一个余数r0
；
第二步：若r
0
＝0，则n为m，n的最大公约数；若r
0
≠0，则用除数n除以余数r
0
得到
一个商q
1
和一个余 数r
1
；
第三步：若r
1
＝0，则r
1
为m，n 的最大公约数；若r
1
≠0，则用除数r
0
除以余数r
1
得 到
一个商q
2
和一个余数r
2
；
……
依次计算 直至r
n
＝0，此时所得到的r
n－1
即为所求的最大公约数。
练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53）
2.更相减损术
我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。
更 相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以
少减多，更相减损， 求其等也，以等数约之。
翻译出来为：
第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行
第二步。
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。
继续这 个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35
63－35＝28
35－28＝7
28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98与63的最大公约数是7。
练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12）
3.比较辗转相除法与更相减损术的区别
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法 以除法为主，更相减损术以减法为
主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区 别较大时计算次数的

区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体 现结果是以相除余数为0则得到，而更相减
损术则以减数与差相等而得到
4. 辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序
利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设 计出程序框图以及BSAIC程序来
在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学 们设计相应框图并相互
之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。
（1）辗转相除法的程序框图及程序
程序框图：
开始
输入两个正
整数m，n
m>n?
否
是
x=n
n=m
m=x
r= m MOD n
n=r
m=n
r=0?
否
是
输出n
结束

程序：
INPUT “m=”;m
INPUT “n=”;n
IF mm=n
n=x
END IF
r=m MOD n

WHILE r<>0
r=m MOD n
m=n
n=r
WEND
PRINT m
END
3. 秦九韶计算多项式的方法
f(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1
?a
n?2
x
n?2
???a
1
x?a
0
?(a
n
x
n?1
?a
n?1< br>x
n?2
?a
n?2
x
n?3
???a
1< br>)x?a
0
?((a
n
x
n?2
?a
n?1
x
n?3
???a
2
)x?a
1
)x?a
0
???
?(?((a
n
x?a
n?1
)x?a
n ?2
)x???a
1
)?a
0
例 设计利用秦九韶算法计算5次多项式

f(x)?a
5
x
5
?a
4
x
4
?a
3
x
3
?a
2
x
2
?a
1
x?a
0
当
x?x
0
时的值的程序框图。
解：程序框图如下：
开始
输入
f(x)< br>的系数：
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
输入
x
0
n=1
v=a
5

n=n+1
v=v x
0
+a
5-n
n≤5
是否
输出v
结束

4. 排序
直接插入排序：

冒泡排序：

进位制互相转化：




把余数从下往上排列即可。

第二章 统计
随机抽样
简单随机抽样的概念：
一般地，设一个总体含有N个个体，从中 逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）,如
果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等 ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽
样，这样抽取的样本，叫做简单随机样本。
【说明】简单随机抽样必须具备下列特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。
（5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为nN。
最常用的简单随机抽样法：
抽签法的定义。
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放 在一个
容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
抽签法的一般步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）连续抽签获取样本号码。
随机数法的定义：

利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样 ，叫随机数表法，这里仅
介绍随机数表法。
怎样利用随机数表产生样本呢下面通过例子来说明 ，假设我们要考察某公司生产的
500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行 检验，利用随机数表抽
取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001，…，799。
第二步，在随机数 表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，
下面摘取了附表1的第6行至第10行 ）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62
87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向 也可以是向左、向上、向下等），得
到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体 内，将它取出；继续向右读，得到
916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读， 又取出567，199，507，…，
依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个 容量为60的样本。
【说明】随机数表法的步骤：
（1）将总体的个体编号。
（2）在随机数表中选择开始数字。
（3）读数获取样本号码。
系统抽样
系统抽样的定义：
一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的 若干部分，
然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法< br>叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证：
（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样。
（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体 分段，分段的间隔要求相等，因此，
系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝[
N
n
].
（3）预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在< /p>

此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。
1、在抽样过程中，当总 体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样
的步骤为：
（1）采用随机的方法将总体中个体编号；
（2）将整体编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；
（3）在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L；
（4）按照事先预定的规则抽取样本。
2、在确定分段间隔k时应注意：分段间隔k为整数， 当
n
不是整数时，应采用等可
能剔除的方剔除部分个体，以获得整数间隔k。
N
分层抽样
一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从 各层独
立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫
分层 抽样。

【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：
（1） 分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，
即遵循不重复、不遗漏的 原则。
（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层
样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。
二、分层抽样的步骤：
（1）分层：按某种特征将总体分成若干部分。
（2）按比例确定每层抽取个体的个数。
（3）各层分别按简单随机抽样的方法抽取。
（4）综合每层抽样，组成样本。
【说明】
（1）分层需遵循不重复、不遗漏的原则。
（2）抽取比例由每层个体占总体的比例确定。
（3）各层抽样按简单随机抽样进行。
用样本的频率分布估计总体分布

频率分布的概念：
频率分布是指一个样本 数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布
直方图反映样本的频率分布。其一般步骤为：
（1） 计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差
（2） 决定组距与组数
（3） 将数据分组
（4） 列频率分布表
（5） 画频率分布直方图
频率分布折线图的定义：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。
总体密度曲线的定义：
在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑 曲线，统计中
称这条光滑曲线为总体密度曲线。它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它
能给我们提供更加精细的信息。
茎叶图的概念：
当数据是两位有效数字时，用中间 的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边
的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植 物的茎，两边部分像植物
茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图。（见课本P
6１
例子）
茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有 原始数据信息的损失，所有
数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添 加，
方便记录与表示。
（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录 两组的数据，
两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。



〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高
(单位ｃｍ)
区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[13 4,138)[138,142)[142,146)
人数5810223320
区间界限[1 46,150)[150,154)[154,158)
人数1165
(1)列出样本频率分布 表﹔
(2)一画出频率分布直方图;
(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题。
解：（１）样本频率分布表如下：

分组频数频率

[122,126)50.04

[126,130)80.07

[130,134)100.08

[134,138)220.18

[138,142)330.28

[142,146)200.17

[146,150)110.09

[150,154)60.05

[154,158)50.04

合计1201

（２）其频率分布直方图如下：
频率

组距




















o
122 126 130 134 138
频率
142146身高（cm）


组距
150 154 158

（3）由样本频率分布表可知身高小

于134cm 的男孩出现的频率为++=，

所以我们估计身高小于134cm的人

数占总人数的19%.

〖例2〗：为了了解高一学生的体

能情况,某校抽取部分学生进行一分

钟跳绳次数次测试，将所得数据整理

后，画出频率分布直方图(如图)，图

中从左到右各小长方形面积之比为

2：4：17：15：9：3，第二小组频数
o
为12.
90 1
次数
(1) 第二小组的频率是多少样本容
量是多少
(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少
(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内请说明理由。
分析：在频率分布直方图中，各小 长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数
成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和 等于1。
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此第二小组的频率为：
4
?0.08

2?4?17?15?9?3
又因为频率=
第二小组频数

样本容量
第二小组频数12
??150

第二小组频率0.08
所以
样本容量?
（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为

17?15?9?3
?100%?88%

2?4?17?1 5?9?3
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数 之
和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。
用样本的数字特征估计总体的数字特征
众数：一组数据中出现次数最多的数据；
中位数：一组数据中处于最中间的一个数据；
样本数据
x
1,
x< br>2,
L,x
n
的标准差的算法：
（１） 、算出样本数据的平均数
x
。
（２） 、算出每个样本数据与样本数据平均数的差：
x
i
?x(i?1,2,Ln)

（３） 、算出（２）中
x
i
?x(i?1,2,Ln)
的平方。
（４） 、算出（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差。
（５） 、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。
其计算公式为：



显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
方差：
2．3 变量间的相关关系
散点图：




第三章 概率
随机事件的概率
基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；