高中数学必修三所有知识点总结和常考题型练习精选

高中数学 必修3知识点
第一章 算法初步
一，算法与程序框图
1，算法的概念：按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
2，算法的三个基本特征：明确性，有限性，有序性。
3，程序框图：也称流程图，是一种用程序框，流程线及文字说明来表示算法的图形。
图形符号






流程线
名称
终端框 表示一个算法的起始和结束
功能
输入（输出框） 表示一个算法输入和输出的信息
处理框 赋值、计算
判断某一个条件是否成立，成立时在出 口处标明“是”或“Y”，
不成立时标明“否”或“N”。
连接程序框
连接程序框图的两部分
判断框
连接点

4，三种程序框图 < br>（1）顺序结构：顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，
按顺 序执行算法步骤。
（2）条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择 不同流
向的算法结构。
（3）循环结构：直到型循环结构，当型循环结构。一个完整的循环结 构，应该包括三个内
容：1）循环体；2）循环判断语句；3）与循环判断语句相关的变量。
二，基本算法语句（一定要注意各种算法语句的正确格式）

； 表达式
1，输入语句
INPUT

“提示内容”

注意：提示内容用双引号标明，并

与变量用分号隔开。
“提示内容”； 表达式
2，输出语句
PRINT


3，赋值语句
变量



=

表达式


注意：“=”的含义是赋值，将右边的值赋予左边的变量

IF 条件 THEN
4，条件语句 IF 条件 THEN
语句体1

语句体
ELSE
END IF
语句体2

END IF

5，循环语句： 直到型 当型

DO
WHILE 条件
循环体 循环体
1
WEND
LOOP UNTIL 条件

直到型和当型循环可以相互演变，循环体相同，条件恰好互补。
三，算法案例
1，辗转相除法： 例：求２１４６与１８１３的最大公约数
２１４６＝１８１３×１＋３３３
１８１３＝３３３×５＋１４８
３３３＝１４８×２＋３７
１４８＝３７×４＋０ ．．．．．．．．．．．．．．余数为０时计算终止。
37为最大公约数
2，更相减损术：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以 大数减
小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 nn-1
3，秦九韶算法：将
f(x)=a
n
x+a
n-1x++a
1
x+a
0
改写成
f(x)=((a
nx+a
n-1
)x+a
n-2
)x+
4，进位制：注意K进制与 十进制的互化。
1）例：将三进制数
10212
(3)
化为十进制数
+a
1
)x+a
0
再由内及外逐层计算。
10212 (3)=2+1×3+2×3
2
+0×3
3
+1×3
4
=1 04
2）例：将十进制数１０４化为三进制数
１０４＝３×３４＋２ ．．．．．．． 最先出现的余数是三进制数的最右一位
３４＝３×１１＋１
１１＝３×３＋２
３＝３×１＋０
１＝３×０＋１ ．．．．．．．．．．．． 商数为0时计算终止
１０４=
10212
(3)

第二章 统计
一，随机抽样
1，简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取 n个个体作
为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽取到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做< br>简单随机抽样。（关键词）逐个，不放回，机会相等
2，随机数表法的步骤：
1）编号； 2）确定起始数字；3）按一定规则读数（所读数不能大于最大编号，不能重复）。
3，系统抽样的步骤：
1）编号； 2）分段（若样本容量为n，则分为n段）；分段间隔< br>k=
NN
，若不是整数，
nn
则剔除余数，再重新分段； 3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号； 4）按照
一定的规则在后面每段内各取一个编号，组成整个样本。
4，分层抽样的步骤：
1）确定抽样比； 2）根据个体差异分层，确定每层的抽样个体数（抽样比乘以各层的个体
数，如果不是整数，则通过四舍五入取近似值）；3）在每一层内抽取样本（个体数少就用简
单随机抽样 ，个体数多则用系统抽样），组成整个样本。
5，三种抽样方法的异同点
2

抽样方法 相同点 不同适用范围

简单随机抽样 个体数目较少

系统抽样 每个个体被抽取的可能性相同 个体数目较多

分层抽样 个体差异明显

二，用样本估计总体
1，用样本的频率分布估计总体：通过对样本的分析，得到个体的频率分布的情况，进而对
总体中个体 的频率分布情况进行估计。总体中的个体分布的频率约等于样本中的个体分布的
频率；样本容量越大，这 种估计的精确程度越高。
2，绘制频率分布直方图的步骤：
1）求样本中数据的极差（最大值与最小值的差）；
2）确定组距与组数；（当样本容量不超过100时，按照数据多少，一般分成5~12组）
组数=极差组距 （若商不是整数，则取其的整数部分再加1作为组数）
3）将样本中的数据分组；
4）列频率分布表；
分组 频数 频率
应包含内容
a
1
P
1

第1组

a
2
P
2

第2组

… … …

a
n
P
n

第n组

1
合计 样本容量

5）画频率分布直方图。（注意横轴表示个体数据所表示的量，纵 轴表示频率除以组距；每一
．．．．．．
个矩形框都是相连的；把纵标所对的值用虚线标明）
3，频率分布折线图：将频率分布直方图中各小长方形上端的中点连接，得到的图形称为频
率分 布折线图。
若样本容量增加，组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就越来越接近一条光滑曲线 ，
称之为总体密度曲线。
4，茎叶图：将样本中的数据按位数进行比较，将大小基本不变或变 化不大的数位的数
作为主干（茎），将变化大的数位的数作为分枝（叶），列在主干的后面，这样就可以
清楚地看到每个主干后面的几个数，每个数具体是多少。
优点：直观，能够保留原始信息，可以随时补充记录；
缺点：精度不高，数据较多时不方便记录。
3

5，用样本的数字特征估计总体的数字特征
通过频率分布直方图，可以对总体的数字特征进行估计。
1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
直方图中众数的估计值是直方图中最高的矩形的中点的横坐标；
2）中位数：将一组数据按大 小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数
据的平均数）叫做这组数据的中位数。
直方图中中位数的估计值是直方图使两边面积相等的平分线的横坐标；
3）平均数：一组数据 的算术平均数，即
x?
1
(x
1
?x
2
???x< br>n
)

n
直方图中平均数的估计值是频率分布直方图中每个小矩形的面 积乘以小矩形底边中点的横
坐标之和。
6，标准差：
s?
?
x?x
?
?
?
x
2
12
?x?......?x
n
?x
n
2
?
2
??
2

方差 是标准差的平方：
s
2
?
x?x
?
?
?
x
?
12
?x?......?x
n
?x

n?
2
??
2
方差与标准差都是衡量样本数据分散程度的重要参数，方差（ 或标准差）越小，数据越稳定；
方差（或标准差）越大，数据越离散。
三，变量间的相关关系：
4

1，相关关系：当一个变量取一定的数值时，与之相对应的另一变量的值 虽然不确定，但它
仍按某种规律在一定的范围内变化。变量间的这种相互关系，称为两变量的相关关系。
2，散点图：将有相关关系的两变量的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中表示出来，
所得 到的图称之为散点图。散点图直观上是一些分散的点。
正相关：散点散布在从左下角到右上角的区域时，这样的两变量的相关关系，称为正相关；
负相关：散点散布在从左上角到右下角的区域时，这样的两变量的相关关系，称为负相关。
3 ，线性相关：如果散点图中各点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量
之间具有线性相 关关系。这条直线称之为回归直线。直线的方程称之为回归直线方程。
?
+a
?
=bx
?
，其中：
4，最小二乘法求回归直线方程：
y

回归直线必过一个定点：
x,y
。
当一个变量已知时，由回归直线方程可以估算出另一个变量的近似值。
5，线性相关系数r： r为正时，表明正相关；r为负时，表明负相关。r的绝对值越接近1，
相关程度越强；r的绝对值越接 近0，相关程度越弱。
()
第三章 概率
一，随机事件的概率
1，事件的分类：必然事件，不可能事件，随机事件。必然事件与不可能事件合称为确定事
件。
2，事件A出现的频率：相同条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现，称n次试验
中 事件A出现的次数
n
A
为事件A出现的频数,称事件A出现的比例
f
n
?
频率。
3，对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的频 率
f
n
(
A
)
稳定在某个
常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
4，频率与概率的区别与联系：
1）联系：实验次数增加时，频率无限接近概率；一般可以用频率来估计概率；
2）区别：频 率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数或不同次数的重复试验得到的
事件的频率都可能不同； 而概率是一个客观存在的确定数,与每次试验无关.
5，极大似然法：如果我们面临着从多个可选答案 中挑选出正确答案的决策任务，那么“使
得事件出现的可能性最大”可以作为决策的准则，即哪一个答案 能够使事件发生的可能性最
大，这个答案即为正解答案。
6，事件的关系与运算：
1）包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A；记作
。不可能事件记作Φ
，任何事件都包含不可能事件。
n
A
为事件A出现的
n
5

2）相等关系：如果事件A包含事件B，且事件B包含事件A，那么称事 件A和事件B相等，
记作A=B。
3）把“事件A发生或事件B发生”看作一个事件C，则事 件C为事件A和事件B的并事件
（或和事件），记作
AB
(
或A+B
)
。
4）把“事件A发生且事件B发生”看作一个事件D，则事件D为事件A和事件B的交事 件
（或积事件），记作
AB
(
或AB
)
。
5）若两事件A和B不能同时发生，即
A?B??
，那么称事件A与事件B互斥。 < br>6）若
AB
是不可能事件，
AB
是必然事件，则称事件A与事件B为对 立事件。即任何
一次实验中发生的事件不是事件A，就是事件B，没有第三种可能。
A?B?? ,A?B?I
。
发生的两个事件叫做互斥事件
?
互斥事件：不可能同时7）定义：
?

对立事件：其中必有一个发生的事件两互斥事件叫做对立事件?
互斥事件与对立事件集合角度的理解：
A
B
A
B
（互斥事件）： （对立事件)
7，概率的几个基本性质：
1）0≤P(A)≤1
2）必然事件的概率为1，概率为1的事件不一定是必然事件；
3）不可能事件的概率为0，概率为0的事件不一定是不可能事件；
4）如果两事件A与B互 斥，则
P
(
AB
)
=P
(
A
)
+ P
(
B
)
；
5）若两事件A与B对立，则
P
(< br>A
)
+P
(
B
)
=1
。
二，古典概型
1，古典概型：在试验中，所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个基本事 件出现的可
能性相等，我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
2，古典概型的概率公式：
P(A)?
A所包含的基本事件的个数

基本事件的总数
三，几何概型
1，几何概型：在试验中，如果每个事件发生的概率只 与构成该事件区域的长度（面积或体
积等）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
2，几何概型的概率公式：
P(A)
=
构成事件A的
区
域
长
度(
面积或体积
)
，
试验
的全部
结< br>果所构成的
区
域
长
度
（面积或体积）
3，一般情况下 ，如果事件的发生与一个变量有关，则几何概型的概率公式为长度之比；
如果事件的发生与两个变量有关，则几何概型的概率公式为面积之比；
6

如果事件的发生与三个变量有关，则几何概型的概率公式为体积之比；

常考题型
1．最小二乘法的原理是 ( )
A．使得∑
[y
－(a＋bx
i
)]最小
i
＝< br>1
i
2
B．使得∑
[y
－(a＋bx
)]最小
ii
i
＝
1
22
C．使得∑[y－(a＋bx)]最小 < br>ii
i
＝
1
2
D．使得∑
[y
－(a＋bx
)]
最小
ii
i
＝
1
n
n
n
n


2．用秦九韶算法求一元n次多项式f(x)＝a
n
x
n
＋a
n
－
1
x
n
－
1
＋…＋a
1
x ＋a
0
当x
＝x
0
时的值时，一个反复执行的步骤是 ( )
?
v
0
＝a
0
A.
?

v
＝vx＋a?k＝1，2，…，n?
?
kk
－
1n
－
k< br>?
v
0
＝a
n
B.
?

?
v
k
＝v
k
－
1
x＋a
k
?k＝1，2 ，…，n?
?
v
0
＝a
n
C.
?

v
＝vx＋a?k＝1，2，…，n?
?
kk
－
1n
－< br>k
?
v
0
＝a
0
D.
?

?
v
k
＝v
k
－
1
x＋a
k
?k ＝1，2，…，n?






3．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次
实验，数据如下：
6 8 10 12 14 16 18 20
玩具个数
2 4
加工时间
4 7 12 15 21 25 27 31 37 41
若回归方程的斜率是b ，则它的截距是 ( )
^^^
^^^^
^
A.a ＝11b －22 B.a ＝22－11b
C.a ＝11－22b D.a ＝22b －11
4．为了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查
部门对某校6名学生进行问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学
生的得 分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他
们的得分组成一个样本，则该样 本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5
的概率为 ( )
7483
A.
15
B.
15
C.
15
D.
5



7
^

5．当x＝2时，下面的程序段结果是________．


5．某校举行运动会，高二一班有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3
名，现要选一男一女运动员组成混合双打组合代表本班参赛，若某女乒乓球运动
员为国家一级运动员， 则她参赛的概率是多少？










6．假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的
统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
(1)求回归直线方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？






7．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“ 送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3
只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁 边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球 者5元钱；若
摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱。
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？

8

（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主 一个月（按30天计）
能赚多少钱？














8．某中学高 中三年级男子体育训练小组2012年5月测试的50米跑的成绩(单
位：s)如下：6.4,6.5， 7.0,6.8，7.1，7.3,6.9,7.4,7.5，设计一个算法，从这些成绩
中搜索出小于 6.8 s的成绩，并画出程序框图．


















9．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，
获得身高数据的茎叶图如图所示．
(1)计算甲班的样本方差；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高
为176 cm的同学被抽中的概率．
9

1
10 ．已知
x
可以在区间
[?t,4t]
（
t?0
）上任意取值 ，则
x?[?t,t]
的概率是
2
1
131
A． B． C． D．
2
6103



11．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、 n作为P点的坐标，求点P落在
圆
x
2
?y
2
?16
外部的概率是
5
A．
9

B．
2

3
C．
7

9
8
D．
9
12、阅读下列程序：
输入x；
if x＜0， then y：＝
?
2
x?3
；
else if x＞0， then y：＝
?
?
2
x?5
；
else y：＝0；
输出 y．
如果输入x＝－2，则输出结果y为
A、3＋
?
B、3－
?
C、
?
－5 D、－
?
－5


13、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为
则此射手的命中率是
A、
1
3
2
3
1
4
2
580
，
81
B、 C、 D、
10

14. 下列各数中最小的数是 ( )
A.
85
(9)
B.
210
(6)
C.
1000
(4)
D.
111111
(2)

15.下列程序输出的n的值是_____________________.









j=1
n=0
WHILE j<=11
j=j+1
IF j MOD 4=0 THEN
n=n+1
END IF
j=j+1
WEND
PRINT n
END
第15题
16.意大利数学家菲波拉契,在1202年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所
生小兔能全部存活 并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对
小兔.问这样下去到年底应有多少对兔子 ? 试画出解决此问题的程序框图,并编写
相应的程序.










17．有一列数：1，1，2，3， 5，8，13，21，…，这列数有个特点，前两个数
都是1，从第三个数开始，每个数都是前两个数的 和，这样的一列数一般称
为斐波那契数。下列程序所描述的算法功能是输出前10个斐波那契数，请把< br>这个程序填写完整。编号① ．编号② ．
11

a=1
b=1
Print a,b
n=2
While n<10
n=n+1
c=a+b;
Print c
编号① ．
编号② ．
Wend
End









18．若框图(如图所示)所给的程序运行的结 果为S=90，那么判断框中应填入的关
于k的判断条件是 . （注：框中的赋值符号“
?
”，也可以写成“=”或
“:=”）






19．把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数， 并记第一次出现的点数为
a
，第2
?
ax?by?3
次出现的点数为
b
，试就方程组
?
解答下列问题：
?
x?2y?2
（1）求方程组只有一个解的概率；（2）求方程组只有正数解的概率。





20．已知关于
x
的函数
f
?
x?
＝ax－4bx＋1.

2
(1) 若
a?0,b?(?1,2)
求函数y＝f(x)是增函数的概率；
12

x＋y－8≤0
?
?
(2) 设点(a，b )是区域
?
x>0
内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数< br>?
?
y>0
的概率．






21．数据
a
1
,a
2
,a
3
,,a
n
的方差为
S
2
，则数据
2a
1
? 3
，
2a
2
?3
，
2a
3
?3
， …，
2a
n
?3
的标准差为（ ）
A．
S
B．
2S
C．
2S
D．
4S
2

22．甲，乙两人随意入住三间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是_________

23.根据下面的要求，求
111
???
1?22?33?4
?1
的值的程序框图。
99?100
开始
S=0
k =1
（1）
（2）
（3）

是
输出S
结束
否
标号（1）处填 .
标号（2）处填 .
标号（3）处填 .

24．田忌和齐王赛马是历史上 有名的故事，设齐王的三匹马分
别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛
一次，胜两场者为获胜。若这六匹马比赛优、劣程度可以用以
下不等式表示：
A?a?B?b ?C?c

(1)正常情况下，求田忌获胜的概率
(2)为了得到 更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处
打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了
最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率



13