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高一数学必修三知识点总结及典型例题解析

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 23:45
tags:高中数学必修三

高中数学思维分几种-高中数学比修二的公式


新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析
?
事件:随机事件( random event ),确定性事件: 必然事件( certain event )和不
可能事件( impossible event )
?
随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件
A

n
次 实验中发生了
m
次,
当实验的次数
n
很大时,我们称事件A发生的概 率为
P
?
A
?
?
m

n
说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重
复事件时某个事件 是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然
性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事
件的频率是指事件发生的次数和总的试 验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常
数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的 幅度越来越小,而这个接近的某个
常数,我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是
一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值,频率是概率
的近似值
?
概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件
A
,有
0?P
?
A
?
?1


用?和? 分别表示必然事件和不可能事件,则有P
?
?
?
?1,P
?
?
?
?0
③如果事件
A和B互斥,则有:P
?
A?B?
?P
?
A
?
?P
?
B
?

?
古典概率(Classical probability model):① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件
发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个< br>n
,则每一个基本事件发生的概率都是
1
,如果某个事件
A
包 含了其中的
m
个等可能的基本事件,则事件
A
发生的概率为
n
m
P
?
A
?
?

n
?
几何概型(geomegtric probability model):一般地,一个几何区域< br>D
中随机地取一点,
记事件“改点落在其内部的一个区域
d
内”为事件
A
,则事件
A
发生的概率为

P
?
A
?
?
d的侧度
( 这里要求
D
的侧度不为0,其中侧度的意义由
D
确定,一般地,
D的侧度
线 段的侧度为该线段的长度;平面多变形的侧度为该图形的面积;立体图像的侧度为其
体积 )
几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多
颜老师说明:为了便于研究 互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界,
在区域
D
内随机地取点, 指的是该点落在区域
D
内任何一处都是等可能的,落在任何
部分的可能性大小只与该部 分的侧度成正比,而与其形状无关。

?
互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件


对立事件(complementary events):两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事
件 ,事件
A
的对立事件 记为:
A

?
独立事件的概率:
若A , B 为相互独立的事件事件,则 P
?
AB
?
?P
?
A
?
P
?
B
?



A
1
, A
2
, ... , A
n
为两两独立的事件,则 P
?
A
1
A
2
...A
n
?
?P
?
A
1
?< br>P
?
A
2
?
...P
?
A
n
?

颜老师说明:① 若
A , B 为互斥事件,则 A , B 中最多有一个发生,
可能都不发生,
但不可能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空
集 ② 对立事件是指的两个事件 ,而且必须有一个发生,而互斥事件可能指的很多事
件,但最多只有一个发生,可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来
看:表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事件的并集是全集 ,
而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ,而两个
互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件
A,B
是互斥事件,则有
P
?
A?B
?
?P
?
A
?
?P< br>?
B
?
⑦ 一般地,如果
A
1
,A
2
,...,A
n
两两互斥,则有P
?
A
1
?A
2
?...?A
n
?< br>?P
?
A
1
?
?P
?
A
2
?
?...?P
?
A
n
?

P
?
A
?
?1?PA
⑨ 在
本教材中
A
1
?A
2
?...?A
n
指的是
A
1
,A
2
,...,A
n
中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题
中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解 题,就按照那种概型
的书写格式,最重要的是要设出所求的事件来 ,具体的格式请参照我们课本上(新课
标试验教科书-苏教版)的例题
??

?
例题选讲:
例1. 在大小相同的6个球中,4个是红球,若从中任意选2个,求所选的2个球至少有
一个是红球的概率?
【分析】题目所给的6个球中有4个红球,2个其它颜色的球,我们可以根据不同的思路
有不同 的解法
解法1:(互斥事件)设事件
A
为“选取2个球至少有1个是红球” ,则其互斥事件为
A

意义为“选取2个球都是其它颜色球”
11114
? ? P
?
A
?
?1 - PA?1 - ?

(6?5)
151515
2
14
答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
15
6?5
?15
种情况,设事件
A
为“选解法2:(古典概型)由题意知,所有的基本事件有
2
4?3
?14
取2个球至少有1个是红球” ,而事件
A
所含有的基本事件数有
4?2?
2

? PA?
????


所以
P
?
A
?
?
14

15
14
.
15
答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为
解法3:(独立事件概率)不妨把其它颜色的球设为白色求,设事件
A
为“选取2个球至
少有1个是红球” ,事件
A
有三种可能的情况:1红1白;1白1 红;2红,对应的概率分
别为:
42244342244314
? , ? , ?
, 则有
P
?
A
?
?? ? ? ? ??

65656565656515
14
答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
15
评价:本题重点考察我们对于概率基本知识的理解,综合所学的方法,根据自己的理解 用
不同的方法,但是基本的解题步骤不能少!
变式训练1: 在大小相同的6个球中,2个是红球,4 个是白球,若从中任意选取3个,求
至少有1个是红球的概率?
解法1:(互斥事件)设事件
A
为“选取3个球至少有1个是红球”,则其互斥事件为
A

意义为“选取3个球都是白球”
4?3?2
3
C
4
3?2?1
?
4
?
3
?
2
?
1
? P
?
A
?
?1 - PA?1 -
1
?
4

? PA?
3
?
654555
C
6
(6?5?4)
3?2?1
????
答:所选的3个球至少有一个是红球的 概率为
4
.
5
3
6?5?4
?20
种情况,设事件
A

3?2?1
为“选取3个球至少有1个是红球” ,而事件
A
所含有的基本事 件数有
4?3164
2
2?C
4
?1?4?2??16
, 所以
P
?
A
?
??

2205
4
答:所选的3个球至少有一个是红球的概率为 .
5
解法3:(独立事件概率)设事件
A
为“选取3个球至少有1个是红球” ,则事件
A
的情
解法2:(古典概型)由题意知 ,所有的基本事件有
C
6
?
况如下:
红 白 白
2431
???

6545
4321
1红2白 白 白 红
???

6545
4231
白 红 白
???

6545
2141
红 红 白
???

65415
2411
2红1白 红 白 红
???

65415
4211
白 红 红
???

65415


所以
P
?
A
?
?3?
114
?3??

5155
4
.
5
答:所选的3个球至少有一个是红球的概率为
变式训练2:盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回的从中任抽2次,每次
抽取1 只,试求下列事件的概率:
(1)第1次抽到的是次品
(2)抽到的2次中,正品、次品各一次
解:设事件
A
为“第1次抽到的是次品”, 事件
B
为“抽到的2次中,正品、次品各一次”
214?2?2?4424424
?

P
?
B
?
??
(或者
P
?
B
?
?????

636?6966669
14
答:第1次抽到的是次品的概率为 ,抽到的2次中,正品、次品各一次的概率为
39

P
?
A?
?
变式训练3:甲乙两人参加一次考试共有3道选择题,3道填空题,每人抽一道题,抽 到后
不放回,求(1)甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率?(2)求至少1人抽到选择题的概率? < br>【分析】(1)由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的,
所以 可以用独立事件的概率(2)事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”
时互斥事件,所 以可以用互斥事件的概率来
解:设事件
A
为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”,事件
B
为“至少1人抽到选择题”,则
B

为“两人都抽到填空题” < br>?
P
3
1
P
3
1
3?33
?
333
?
(1)
P
?
A
?
???

或者P
?
A
?
???
?
2
??
6510
?
6?510
?
P
6
P
3
2
1
?
321
?
14
??
??
或者PB ??
(2)
PB???

PB?1?PB?1??

2
??
55
655
?
5
?
P
6< br>????
??
答:甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为
34
,少1人抽到选择题的概率为 .
5
10
变式训练4:一只口袋里装有5个大小形状相同的球,其中3个红球,2 个黄球,从中不放
回摸出2个球,球两个球颜色不同的概率?
【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球,要么是1黄1球
略解:
P
?
A
?
?
32233
?
63
?
??????
?
或者 PA??
?

2
?
54545
?
C
5
5
?
?
变式训练5:设盒子中 有6个球,其中4个红球,2 个白球,每次人抽一个,然后放回,
若连续抽两次,则抽到1个红球1个白球的概率是多少?
略解:
P
?
A
?
?






42244?22?44
??????

66666?66?69


高中数学必修三
第一章 算法初步
1.1 算法与程序框图

1、算法的概念
(1)算法概念:在数学上, 现代意义上的“算法”通常是指可以用
计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成.
(2)算法的特点:
①有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之
后停止,不能是无限的.
②确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且
得到确定的结果,而不应当是模棱两可.
③顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,
每一个步骤只能有一个确定的 后继步骤,前一步是后一步的前
提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无
误 ,才能完成问题.
④不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一
个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,
如心算、计算器计算都要经过有限、事 先设计好的步骤加以
解决.


2、程序框图
(1)程序框图基本概念:
①程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、
指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分:表示相应 操作的程序框;带箭头的流
程线;程序框外必要文字说明。
②构成程序框的图形符号及其作用


程序框

起止框


输入、输出框


处理框
在算法中任何需要输入、输出的位置。
赋值、计算,算法中处理数据需要的算
式、公 式等分别写在不同的用以处理数
据的处理框内。

判断框
判断某一条件 是否成立,成立时在出口
处标明“是”或“Y”;不成立时标明
“否”或“N”。

学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,
程图不可少的。
表示一个算法输入和输出的信息,可用
名称 功能
表示一个算法的起始和结束,是任何流


画程序框图的规则如下:
1、使用标准的图形符号。
2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
3、除 判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框具有超过一个退出点的唯一符号。
4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而
且有且仅有两个结果;另一 类是多分支判断,有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
3:算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。
(1)顺序结构:顺序结构 是最简单的算法结构,语句与语句之间,
框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行
的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法
结构。
顺序结构在程 序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连
接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A框 和B框是依次执
行的,只有在执行完A框指定的操作后,才能接着执行B框所
指定的操作。
(2)条件结构:条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件
是否成立而选择不同流向的
算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立,
只能执行 A框或B框之一,不可能同时执行
A
B


A框和B框,也不可能A框、 B框都不执行。一个判断结构可以
有多个判断框。
(3)循环结构:在一些算法中,经常会出 现从某处开始,按照一定
条件,反复执行某一处理步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的
处 理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构
又称重复结构,循环结构可细分为两类 :
①一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条
件P成立时,执行A框,A 框执行完毕后,再判断条件P是否
成立,如果仍然成立,再执行A框,如此反复执行A框,直到
某一次条件P不成立为止,此时不再执行A框,离开循环结构。
②另一类是直到型循环结构,如下右图 所示,它的功能是先执行,
然后判断给定的条件P是否成立,如果P仍然不成立,则继续
执行A 框,直到某一次给定的条件P成立为止,此时不再执行
A





当型循环结构 直到型循环结构
注意:1循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构
框,离开循环结构。
A
P
成立


A
P
不成

不成立


来判断。因此,循环结构中一定包含条件结 构,但不允许“死循环”。
2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循
环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执
行的,累加一次,计数一次。


1.2基本算法语句

1、输入、输出语句和赋值语句
(1)输入语句
①输入语句的一般格式

INPUT “提示内容”;变量

②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;③“提示内容”提示< br>用户输入什么样的信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的
量;④输入语句要求输入的值只 能是具体的常数,不能是函数、变量
或表达式;⑤提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入多个变
量,变量与变量之间用逗号“,”隔开。
(2)输出语句
①输出语句的一般格式
PRINT “提示内容”;变量
②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;③ “提示内容”提
示用户输入什么样的信息, 表达式是指程序要输出的数据;④输出语
句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
(3)赋值语句
①赋值语句的一般格式
变量=表达式



②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;③赋值语句中的
“=”称作赋值号,与数学 中的等号的意义是不同的。赋值号的左右
两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的 变
量;④赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可
以是一个数据、常量或算 式;⑤对于一个变量可以多次赋值。
注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2= X是
错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结
果是不同的。③不 能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因
式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意 义不同。
5:条件语句
(1)条件语句的一般格式有两种:


①IF 条件 THEN
语句体
END IF




满足条件?

语句
注意:“条件”表示判断的条件;“语句”表示满足条件时执行的操作
内容,条 件不满足时,结束程序;END IF表示条件语句的结束。
计算机在执行时首先对IF后的条件进行 判断,如果条件符合就执行
THEN后边的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行
其它语句。




②IF条件 THEN
语句体1
ELSE
语句体2
END IF

分析:在IF—THEN—ELSE语句中,“条件”表示判断的条件,“语
句1”表示满足条件时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时
执行的操作内容;END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时,
首先对IF后的条件进行判断,如果条件符合,则执行TH EN后面的
语句1;若条件不符合,则执行ELSE后面的语句2。
6:循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环
结构,一般程序设计语言中也有当型(W HILE型)和直到型(UNTIL
型)两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
(1)WHILE语句
①WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是






循环
WHILE 条件
循环体
WEND

满足条件?



满足条件?





②当计算机遇到WHILE语句时,先判断 条件的真假,如果条件符合,
就执行WHILE与WEND之间的循环体;然后再检查上述条件,
如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一
次条件不符合为止。这时,计算机将 不执行循环体,直接跳到WEND
语句后,接着执行WEND之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。
(2)UNTIL语句
①UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是

DO

循环体
循环体

LOOP UNTIL 条件


满足条件?



②直到型循环又称为“后测试型”循环,从UNTIL型循环结构分
析 ,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行条件的
判断,如果条件不满足,继续返回执行循环 体,然后再进行条件
的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行
循环体,跳 到LOOP UNTIL语句后执行其他语句,是先执行循环
体后进行条件判断的循环语句。
分析:当型循环与直到型循环的区别:
(1) 当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;
在WHILE语句中,是当条件满足时执行循环体 ,在UNTIL语句中,
是当条件不满足时执行循环

1.3算法案例
1、辗转相除法与更相减损术
(1)辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公 约数


的步骤如下:
①用较大的数m除以较小的数n得到一个商
S0
和一个余数
R
0

②若
R
0
=0 ,则n为m,n的最大公约数;若
R
0
≠0,则用除数n
除以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余数
R
1
;③若
R
1
=0,则
R
1
为m,n
的最大公约数;若R
1
≠0,则用除数
R
0
除以余数
R
1
得到一个商
S
2
和一
个余数
R
2
;…… 依次计算直至
R
n
=0,此时所得到的
R
n?1
即为
所求的最大公约数。
(2)更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相 减损术。在《九章
算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,
副置分 母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
翻译为:①任意给出两个正数;判断它们 是否都是偶数。若是,用2
约简;若不是,执行第二步。②以较大的数减去较小的数,接着把较
小的数与所得的差比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得
的数相等为止,则这个数(等数)就 是所求的最大公约数。
(3)辗转相除法与更相减损术的区别:
①都是求最大公约数的方法 ,计算上辗转相除法以除法为主,更相减
损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特
别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
②从结果体现形式来看,辗转相除法体 现结果是以相除余数为0则得
到,而更相减损术则以减数与差相等而得到
2、秦九韶算法与排序


(1)秦九韶算法概念:
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题
f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0
=(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0
=......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0
求多 项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即
v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算 一次多项式的值,即v2=v1x+an-2
v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0
这样,把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
3、进位制
(1)概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表
示不 同的数值。可使用数字符号的个数称为基数,基数为n,即
可称n进位制,简称n进制。现在最常用的是 十进制,通常使用
10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数,我们可以用不
同的进位 制来表示。比如:十进数57,可以用二进制表示为
111001,也可以用八进制表示为71、用十六 进制表示为39,它
们所代表的数值都是一样的。
(2) 一般地,若k是一个大于一的整数,那么以k为基数的k进制可
以表示为:
a< br>n
a
n?1
...a
1
a
0(k)
(0?a
n
?k,0?a
n?1
,...,a
1
,a
0?k)

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表 示
二进制数,34(5)表示5进制数



(3)把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法。


第二章 统计
2.1 随机抽样
1:简单随机抽样
(1)总体和样本
①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体.
②把每个研究对象叫做个体.
③把总体中个体的总数叫做总体容量.
④为了研究总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分:,
, , 研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量.
(2)简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是 从总体中不加任何分组、
划类、排队等,完全随机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被
抽 中的可能性相同(概率相等),样本的每个单位完全独立,彼此间
无一定的关联性和排斥性。简单随机抽 样是其它各种抽样形式的基
础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这
种方法。
(3)简单随机抽样常用的方法:
①抽签法②随机数表法③计算机模拟法③使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中, 主要考虑:①总体变异情况;②


允许误差范围;③概率保证程度。
(4)抽签法:
①给调查对象群体中的每一个对象编号;
②准备抽签的工具,实施抽签;
③对样本中的每一个个体进行测量或调查
(5)随机数表法:
2:系统抽样
(1)系统抽样(等距抽样或机械抽样): < br>把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定
的抽样距离抽取样本。第一个样本 采用简单随机抽样的办法抽取。
K(抽样距离)=N(总体规模)n(样本规模)
前提 条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,
即不存在某种与研究变量相关的规则分布。 可以在调查允许的条
件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明
显差别,说 明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循
环和抽样距离重合。
(2)系统抽样,即 等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因
为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更为重要的 是,
如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按
辅助变量的大小顺序排队的话 ,使用系统抽样可以大大提高估
计精度。
3:分层抽样


(1)分层抽样(类型抽样):
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志( 性别、年龄等)划
分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机
抽样或系用抽 样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合
起来构成总体的样本。
两种方法:
①先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比
例从各层中抽取。
② 先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层
的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽 取样本。
(2)分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总
体,再抽取不同 的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的
样本进而代表总体。
分层标准:
①以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的
标准。
②以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在
结构的变量作为分层变量。
③以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
样本容量各层样 本容量
?
(3)分层的比例问题:抽样比=
个体容量各层个体容量

①按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位
数目的比重来抽取子样本的方法。


②不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重 太小,其样本量就
会非常少,此时采用该方法,主要是便于对不同层次的子总体进
行专门研究或 进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则
需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各 层的比
例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。
4:用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)样本均值:
x?
x
1
?x
2
???x
n
n

2
(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
???(x
n
?x)
2
s?s?
n
(2)样本标准差:
(3)众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据(可
以是多个)。
(4)中位数:在样本数据中,累计频率为1.5时所对应的样本数据
值(只有一个)。
注意:
①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常
数,标准差不变
②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k,标准差
变为原来的k倍
③ 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响,区间
(x?3s,x?3s)
的应用;
“去掉一个最高分,去掉一个最低分”中的科学道理
5、用样本的频率分布估计总体分布


(1)频率分布表与频率分布直方图
频率分布表盒频率分布直方图,是从 各个小组数据在样本容量中所
占比例大小的角度,来表示数据分布规律,它可以使我们看到整个样
本数据的频率分布情况。
具体步骤如下:
第一步:求极差,即计算最大值与最小值的差.
第二步:决定组距和组数:组距与组数的确定没有固定标准,需要尝
试、选择,力求有合适的组 数,以能把数据的规律较清楚地
呈现为准.太多或太少都不好,不利对数据规律的发现.组数
应 与样本的容量有关,样本容量越大组数越多.一般来说,
容量不超过100的组数在5至12之间.组距 应最好“取整”,
极差
它与
组距
有关.
极差
注意:组数的 “取舍”不依据四舍五入,而是当
组距
不是整数时,组
极差
数=[
组 距
]+1.
②频率分布折线图 :连接频率分布直方图中各个小长方形上端的重
点,就得到频率分布折线图。
③总体密度曲线 :总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的半分
比,它能给我们提供更加精细的信息。
(2)茎叶图:茎是指中间的一列数,叶是指从茎旁边生长出来的数。
.
6:变量 间的相关关系:自变量取值一定时因变量的取值带有一定随


机性的两个变量之间的关系交 相关关系。对具有相关关系的两个变量
进行统计分析的方法叫做回归分析。
(1)回归直线: 根据变量的数据作出散点图,如果各点大致分布在
一条直线的附近,就称这两个变量之间具有线性相关的 关系,
这条直线叫做回归直线方程。如果这些点散布在从左下角到右
上角的区域,我们就成这两 个变量呈正相关;若从左上角到右
下角的区域,则称这两个变量呈负相关。

第三章 概率
3.1 随机事件的概率
(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S

必然事件;
(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条

S的不可能事件;
(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定

件;
(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对

条件S的随机事件;


(5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件
A
是否出现,称n次试验中事件A出现的次数
n
A
为事件A出现的频数;
称事 件A出现的比例
f
n
(A)?
n
A
n
为事件A出现 的概率:对于给定的随
机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率
f
n< br>(A)
稳定
在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。
( 6)频率与概率的区别与联系:随机事件的频率,指此事件发生的
n
A
次数
n
A
与试验总次数n的比值
n
,它具有一定的稳定性,总在
某个常数附 近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅
度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率,概 率从数
量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试
验的前提下可以近似地作为 这个事件的概率
2:概率的基本性质
(1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤P(A)≤1
(2)事件的包含、并事件、交事件、相等事件
(3)若A∩B为不可能事件,即A∩B=
?
,那么称事件A与事件B
互斥;
(4)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与
事件B互为对立事件;
(5)当事件A与B互斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);
若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)= P(A)+


P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B)
(6)互斥事件与对立事件的 区别与联系,互斥事件是指事件A与事
件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形:① 事
件A发生且事件B不发生;②事件A不发生且事件B发生;③事件
A与事件B同时不发生,而 对立事件是指事件A 与事件B有且仅
有一个发生,其包括两种情形;④事件A发生B不发生;⑤事件B
发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。
3:基本事件
(1)基本事件 :基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果
中的一个,它是试验中不能再分的最简单的随机事件 。
(2)基本事件的特点:①任何两个基本事件是互斥的②任何事件(除
不可能事件外)都可 以表示成基本事件的和。
4:古典概型:
(1)古典概型的条件:古典概型是一种特殊的数学模型,这种模型
满足两个条件:
①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是
有限个。
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本 事件数,然后利用公式
p(A)?
A所包含的基本事件的个数
总的基本事件个数

5:几何概型


(1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该 事件区域
的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模
型;
(2 )几何概型的概率公式:
p(A)?
构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部 结果所构成的区域长度(面积或体积)

(3)几何概型的特点:①试验中所有可能出现的结 果(基本事件)
有无限多个;②每个基本事件出现的可能性相等.
注意:几何概型也是一种概 率模型,它与古典概型的区别是试验的可
能结果不是有限个。其特点是在一个区域内均匀分布,所以随< br>机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关,值域
该区域的大小有关。如果随即事件所 在区域是一个单点,由于
单点的长度、面积、体积均为0,则它出现的概率为0,但它
不是不可 能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除
一个单点,则它出现的概率为1,但他不是必然事件 。
综上可得:必然事件的概率为1;不可能事件的概率为0。
概率为1的事件不一定为必然事件;概率为0的事件不一
定为不可能事件。


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