高一数学必修3《概率》公式总结以及例题

§3. 概率
?
事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不
可能事件( impossible event )
?
随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件
A
在
n
次 实验中发生了
m
次，
当实验的次数
n
很大时，我们称事件A发生的概 率为
P
?
A
?
?
m

n
说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重
复事件时某个事件 是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然
性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事
件的频率是指事件发生的次数和总的试 验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常
数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的 幅度越来越小，而这个接近的某个
常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是
一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率
的近似值
?
概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件
A
，有
0?P
?
A
?
?1

②
用?和? 分别表示必然事件和不可能事件,则有P
?
?
?
?1,P
?
?
?
?0
③如果事件
A和B互斥,则有:P
?
A?B?
?P
?
A
?
?P
?
B
?

?
古典概率（Classical probability model）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事
件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个< br>n
，则每一个基本事件发生的概率都是
1
，如果某个事件
A
包 含了其中的
m
个等可能的基本事件，则事件
A
发生的概率为
n
m
P
?
A
?
?

n
?
几何概型（geomegtric probability model）：一般地，一个几何区域< br>D
中随机地取一点，
记事件“改点落在其内部的一个区域
d
内”为事件
A
，则事件
A
发生的概率为

P
?
A
?
?
d的侧度
（ 这里要求
D
的侧度不为0，其中侧度的意义由
D
确定，一般地，
D的侧度
线 段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其
体积 ）
几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多
颜老师说明：为了便于研究 互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，
在区域
D
内随机地取点， 指的是该点落在区域
D
内任何一处都是等可能的，落在任何
部分的可能性大小只与该部 分的侧度成正比，而与其形状无关。

?
互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件（complementary events）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事
件 ，事件
A
的对立事件 记为：
A

?
独立事件的概率：
若A , B 为相互独立的事件事件,则 P
?
AB
?
?P
?
A
?
P
?
B
?
，

若
A
1
, A
2
, ... , A
n
为两两独立的事件,则 P
?
A
1
A
2
...A
n
?
?P
?
A
1
?< br>P
?
A
2
?
...P
?
A
n
?

颜老师说明：① 若
A , B 为互斥事件,则 A , B 中最多有一个发生,
可能都不发生，
但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空
集 ② 对立事件是指的两个事件 ，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事
件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来
看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，
而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个
互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件
A,B
是互斥事件，则有
P
?
A?B
?
?P
?
A
?
?P< br>?
B
?
⑦ 一般地，如果
A
1
,A
2
,...,A
n
两两互斥，则有P
?
A
1
?A
2
?...?A
n
?< br>?P
?
A
1
?
?P
?
A
2
?
?...?P
?
A
n
?
⑧
P
?
A
?
?1?PA
⑨ 在
本教材中
A
1
?A
2
?...?A
n
指的是
A
1
,A
2
,...,A
n
中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题
中，希望大家一定要注意书写过程，设处事件来，利用哪种概型解 题，就按照那种概型
的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课
标试验教科书-苏教版）的例题
??

?
例题选讲：
例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有
一个是红球的概率？
【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路
有不同 的解法
解法1：（互斥事件）设事件
A
为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为
A

意义为“选取2个球都是其它颜色球”
11114
? ? P
?
A
?
?1 - PA?1 - ?

(6?5)
151515
2
14
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 .
15
6?5
?15
种情况，设事件
A
为“选解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有
2
4?3
?14
取2个球至少有1个是红球” ，而事件
A
所含有的基本事件数有
4?2?
2

? PA?
????

所以
P
?
A
?
?
14

15
14
.
15
答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为
解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件
A
为“选取2个球至
少有1个是红球” ，事件
A
有三种可能的情况：1红1白；1白1 红；2红，对应的概率分
别为：
42244342244314
? , ? , ?
， 则有
P
?
A
?
?? ? ? ? ??

656565
65656515
14
答：所选的2个球至少有 一个是红球的概率为 .
15
评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学 的方法，根据自己的理解用
不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!
变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求
至少有1个是红球的概率？
解法1：（互斥事件）设事件
A
为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为
A
，
意义为“选取3个球都是白球”
4?3?2
3
C
4
3?2?1
?
4
?
3
?
2
?
1
? P
?
A
?
?1 - PA?1 -
1
?
4

?
PA?
3
?
654555
C
6
(6?5?4)
3?2?1
????
答：所选的3个球至少有一个 是红球的概率为
4
.
5
3
6?5?4
?20
种情况，设事件
A

3?2?1
为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件
A
所含有的基本事件数有
4?3164
2
?

2?C
4
?1?4?2??16
， 所以
P
?
A
?
?
205
2
4
答：所选的3个球至少有一个是红球的概 率为 .
5
解法3：（独立事件概率）设事件
A
为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件
A
的情
解法2：（古典概型）由题意知 ，所有的基本事件有
C
6
?
况如下：
红 白 白
2431
???

6545
4321
1红2白 白 白 红
???

6545
4231
白 红 白
???

6545
2141
红 红 白
???

65415
2411
2红1白 红 白 红
???

65415
4211
白 红 红
???

65415

所以
P
?
A
?
?3?
114
?3??

5155
4
.
5
答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为
变式训练2：盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回的从中任抽2次，每次
抽取1 只，试求下列事件的概率：
（1）第1次抽到的是次品
（2）抽到的2次中，正品、次品各一次
解：设事件
A
为“第1次抽到的是次品”， 事件
B
为“抽到的2次中，正品、次品各一次”
214?2?2?4424424
?
，
P
?
B
?
??
（或者
P
?
B
?
?????
）
63
6?6966669
14
答：第1次抽到的是次品的概率为 ，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率为
39
则
P
?
A?
?
变式训练3：甲乙两人参加一次考试共有3道选择题，3道填空题，每人抽一道题，抽 到后
不放回，求（1）甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率？（2）求至少1人抽到选择题的概率？ < br>【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽两道题，甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的，
所以 可以用独立事件的概率（2）事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”
时互斥事件，所 以可以用互斥事件的概率来
解：设事件
A
为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”，事件
B
为“至少1人抽到选择题”，则
B

为“两人都抽到填空题” < br>?
P
3
1
P
3
1
3?33
?
333
?
（1）
P
?
A
?
???

或者P
?
A
?
???
?
2
??
6510
?
6?510
?
P
6
P
3
2
1
?
321
?
14
??
??
或者PB ??
（2）
PB???
则
PB?1?PB?1??

2
??
55
655
?
5
?
P
6< br>????
??
答：甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为
3
4
，少1人抽到选择题的概率为 .
5
10
变式训练4：一只口袋里装有5个大小形状相同的球，其中3个红球，2 个黄球，从中不放
回摸出2个球，球两个球颜色不同的概率？
【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球，要么是1黄1球
略解:
P
?
A
?
?
32233
?
63
?
??????
?
或者 PA??
?

2
?
54545
?
C
5
5
?
?
变式训练5：设盒子中 有6个球，其中4个红球，2 个白球，每次人抽一个，然后放回，
若连续抽两次，则抽到1个红球1个白球的概率是多少？
略解:
P
?
A
?
?
42244?22?44
??????

66666?66?69
例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空 头急救物品，在该区域内有一个长
宽分别为80米和50米的水池，当急救物品落在水池及距离水池10 米的范围内时，物品会
失效，假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的（不考虑落在正方形区 域范围之
外的），求发放急救物品无效的概率？
【分析】为题属于几何概型，切是平面图形，其测度用面积来衡量
解：如图，设急救物品投放的所有可能的区域，即边长为1千米的正方形为区域
D
，事件

“发放急救物品无效”为
A
，距离水池10米范围为区域
d
，即为图中的阴影部分， 则
有
P
?
A
?
?
d
测度
D
测度

80 ?50?2?80?10?2?50?10?4?
?
1000?1000
?
?
10
?
2
4

答：略
颜老师说明：这种题目要看清题目意思，为了利用
几何概率，题目中一般都会有落在所给的大的区域
之外的不计的条件，但如果涉及到网格的现象是一
般则不需要这个条件，因为超出一个网格，就会进入
另外一个网格，分析是同样的

变式训练1：在地上画一正方形线框，其边长等于一枚
硬币的直径的2倍，向方框中投掷硬币 硬币完全落在正方形外的不计，求硬币完全落在正
方形内的概率？
略解：
P
?
A
?
?
d
测度
D
测度
2
24

?
2
?
4?4?1?4?
?
1
2
32?
?
变式训练2：如图，设有一个正方形网格，其中每个小正三角形的边长都是< br>a
, 现有一直径
等于
a
的硬币落在此网格上，求硬币落下后与网格有公共点的概率？
2
【分析】因为圆的位置由圆心确定，所以要与网格线有公共点
只要圆心到网格线的距离小于等于半径
解：如图，正三角形
ABC
内有一正三角形
A
1
B
1
C
1
，其中
AB?a , A
1
D?B
1
E?A
1
F?
A
1
D
1
a , AD?BE?

6tan30?
?
3
33
?
??
a

?a
，
? A
1
B
1
?AB?2AD?a? a?
?
1?
6
33
?
??
当圆心落在三角形
A
1
B
1
C
1
之外时，硬币与网格有公共点 < br>C
C1
S
?ABC
-S?A
1
B
1
C
1

? 有公共点的概率 P?
S
?A
1
B
1
C
1
F
A1
ADa
B1
EB
3
2
3
?
3
?
2
??
aa?1?
?
44
?
3
?
?
??0.82

3
2
a
4
2
a6

答：硬币落下后与网格有公 共点的概率为 0.82 .
AB?5 , AC?7 , 在正方形内
变式训练3：如图，已知矩形
ABCD 中 ，
任取一点P ,
求 ?APB?90
?
的概率？
1
?
5
?
?
??
5
?
2
?
2
?
略解：
P
?< br>A
?
?

?
5?756
变式训练4：平面上画了彼此相距2a的平行线把一枚半径r < a的
硬币，任意的抛在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相
碰的概率？
解：设事件
A
为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币
的位置，有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线
OM
，垂足
为
M
， 线段
OM
的长度的取值范围为
?
0 , a
?
，其长度就是
几何概型所有的可能性构成的区域
D
的几何测度，只有当
0? OM ? a
时，硬币不与平行线相碰，其长度就是满足
事件
A
的区域
d
的几何测度，所以
2
A
B
P
D
C
M
2a
rP
?
A
?
?
?
r,a
?
的长度
?
0,a
?
的长度
?
a?r

a
答：硬币不与任何一条平行线相碰的概率为
a?r

a
【 评价与链接】该题是几何概型的典型题目，要求我们正确确认区域
D
和区域
d
，理解它
们的关系以及它们的测度如何来刻画。
蒲丰投针问题：平面上画有等距离的一系列的 平行线，平行线间距离为
2a
（
a ? 0
） ，
向平面内任意的投掷一枚长为
l
?
l ? 2a
?
的针，求针与平行线相交的概率？
解：以
x
表示针的中点与最 近的一条平行线的距离，又以
?
表示针与此直线的交角，如图
易知
0?x?a , 0?
?
?
?
，有这两式可以确定
x -
?

平面上的一个矩形
?
，这是
为了针与平行线相交，其 充要条件为
x?
l
Sin
?
，有这个不等式表示的区域
A< br>为图中的
2
阴影部分，由等可能性知
P
?
A
?< br>?
S
A
?
S
?
?
?
0
l< br>Sin
?
d
?
l
2
?

?
?a
?
a



2a

如果
l , a 已知,则以
?
值代入上式即可计算P
?
A
?
的值 , 反过来,如果已知P
?
A
?
的值,

则也可以利用上式来 求
?
，而关于
P
?
A
?
的值，则可以用实验的方法 ，用频率去近似它，
既: 如果 投针N 次，其中平行线相交的次数为n次，则频率为
n
，于是，
N
P
?
A
?
?
lnl N

? 于是 ,
?
?
?
aNa n
注释：这也是 历史上有名的问题之一，用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出
概率，再用频率近似概率来 建立等式，进而求出
?
. 在历史上有好多的数学家用不同的方法
来计算
?
，如中国的祖冲之父子俩，还有撒豆试验，也是可以用来求
?
的. 会面问题：甲乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者等候另一人一刻钟，过时
即可离去 ，求两人能会面的概率？
解：设“两人能会面”为事件
A
，以 x和y分别表示
甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充
要条件为：
x?y?15
在平面上建立如图所示的
坐标系，则
?
x,y
?
的所有可能的结果是边长为60的
正方形,而可能会面的时间由图中阴影部分所表示，
S
A
60
2< br>?45
2
7
由几何概型知，
P
?
A
?
?

??
2
S
?
16
60
答：两人能会 面的概率
7
.
16
◆ 课本上一道例题的变式训练：如图，在等腰直角三 角形
ABC
中，在斜边
AB
上任取一
点
M
，求AM?AC
的概率？
【分析】点
M
随机的落在线段
AB
上，故线段
AB
为区域
D
，当点
M
位于如图的
AC
'
内时
AM?AC
，故线段
AC
'
即为区域
d

解: 在
AB
上截取
AC?AC
，于是
'
AC
'
AC2
??

P(AM?AC)?PAM?AC?

ABAB2
?
'
?< br>答：
AM?AC
的概率为
2

2
【变式训练】如图， 在等腰直角三角形
ABC
中，在
?ACB
内部任意作一条射线
CM< br>，与
线段
AB
交于点
M
，求
AM?AC
的概 率？
错解：在
AB
上截取
AC?AC
，在
?ACB< br>内部任意作一条射线
CM
，满足条件的
M
看
'

作是在线段
AC
上任取一点
M
，则有
'
AC
'
AC2
P(AM?AC)?PAM?AC???

ABAB2
?
'
?
【分析】这种解法看似很有道理，但仔细一看值得 深思，我们再看看题目的条件已经发生了
改变，虽然在线段上取点是等可能的，但过和任取得一点所作的 射线是均匀的，所以不能把
等可能的取点看作是等可能的取射线，在确定基本事件时一定要注意观察角度 ， 注意基本
事件的等可能性.
正解：在
?ACB
内的射线是均匀分布的， 所以射线
CM
作在任何位置都是等可能的，在
AB
67.5
?0.7 5

90
评价：这就要求同学们根据不同的问题选取不同的角度，确定区域
D
和
d
，求出其测度，
上截取
AC?AC
，则
?ACC?67.5?
，故满足条件的概率为
''
再利用几何概型来求概率.
例3. 利用随机模拟法计算曲线
y?x,y?0,和x?2
所围成的图形的面积.
2
2
【分析】在直角坐标系中作出长方形（
y?x,y?0,y?4,x?2
所围成的部分，用随机
模拟法结合几何概型可以得到它的面积的近似值）
解：（1）利用计算机或者计算器生成两组0到1区间上
的随机数，
a
0
?rand,b
0
?rand
< br>（2）进行平移变换：
a?2a
0
,b?4b
0
，其中
a,b
分
别随机点的横坐标和纵坐标
（3）假如作
N
次试验，数处落在阴影部分的点数
N
1
，
用几何概型公式计算阴影部分的面积
由
N
S
N
1
?
得出
S?8
1
?2.7

8N
N
评价：这是一种用计算机模拟试验的方法，结合几何概型
公式来计算若干函数围成的图形面积，其基本原理还是
利用我们教材上介绍的撒豆试验，只是用随机数 来代替豆子而已，另外要求我们理解用试
验的频率来近似概率的思想.
另外这种题目到我们学习了积分，还可以有下面的解法：
S?
?
2
0
x
3
x dx?
3
22
0
?2.7