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高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 公式二、公式三和公式四学案 4

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 00:59
tags:高中数学必修四

高中数学学科阅读技巧-代解高中数学题


亲爱的同学:这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获,我们一直投给你信任的目光……
学 习 资 料 专 题

第1课时 公式二、公式三和公式四
学习目标 :1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法.2.能够准确记忆公式二、公式
三和公式四.(重点、 易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四,并能灵活应用.(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1.公式二
(1)角π+α与角α的终边关于原点对称.如图1?3?1所示.

图1?3?1
(2)公式:sin(π+α)=-sin_α,
cos(π+α)=-cos_α,
tan(π+α)=tan_α.
2.公式三
(1)角-α与角α的终边关于
x
轴对称.如图1?3?2所示.

图1?3?2
(2)公式:sin(-α)=-sin_α,
cos(-α)=cos_α,
tan(-α)=-tan_α.
3.公式四
(1)角π-α与角α的终边关于
y
轴对称.如图1?3?3所示.


图1?3?3
(2)公式:sin(π-α)=sin_α,
尚水作品


cos(π-α)=-cos_α,
tan(π-α)=-tan_α.
思考:(1)诱导公式中角α只能是锐角吗?
(2)诱导公式一~四改变函数的名称吗?
π
[提示] (1)诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠
kπ+,
k
2
∈Z.
(2)诱导公式一~四都不改变函数名称.
[基础自测]
1.思考辨析
(1)公式二~四对任意角α都成立.( )
(2)由公式三知cos[-(α-β)]=-cos(α-β).( )
(3)在△
ABC
中,sin(
A

B
)=sin
C
.( )
[解析] (1)错误,关于正切的三个公式中α≠
k
π+
(2)由公式三知cos[-(α-β)]=cos(α-β),
故cos[-(α-β)]=-cos(α-β)是不正确的.
(3)因为
A

B

C
=π,所以
A

B
=π-C

所以sin(
A

B
)=sin(π-
C
)=sin
C
.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2.已知tan α=3,则tan(π+α)=________.
3 [tan(π+α)=tan α=3.]

3.求值:(1)sin=________.
3
π

k
∈Z.
2
?

?< br>(2)cos
?

?
=________.
?
6< br>?
(1)
π
?
332ππ3
?
(2)- [(1)sin=sin
?
π-
?
=sin=.
3
?22332
?
π
?
7ππ3
?

??
(2)cos
?

?
=cos=cos
?
π+
?
=-cos=-.]
6
?
662
?
6
??
[合 作 探 究·攻 重 难]

求下列各三角函数值:
给角求值问题
?
31π
?
;(3)tan(-945°). (1)sin 1 320°;(2)cos
?

6
?
??
[解] (1)法一:sin 1 320°=sin(3×360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)
尚水作品


=-sin 60°=-
3
.
2
法二:sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)
=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-
3
.
2
?
31π
?
=cos
31π
(2)法一:co s
?

6
?
6
??

?
π?
π3
??
=cos
?
4π+
?
=cos?
π+
?
=-cos=-.
6
?
6
?
62
??
?
31π
?
=cos
?
-6π+

?
法二:cos
?

?
6
?
6< br>?
????
π
?
π3
?
=cos
?
π-
?
=-cos=-.
6
?
62
?
(3)tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°)
=-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1.
[规律方法] 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
负化正”——用公式一或三来转化;
大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角;
小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角;
锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.


[跟踪训练]
π2π3π4π
1.计算:(1)cos+cos+cos+cos;
5555
(2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°).

??
2π3π
??
π
[解] (1)原式=
?
cos+cos
?

?
cos+cos
?

55
??
55
??
π
???


? ??
π
??

?
cos+cos
?
π-
?
?

?
cos+cos
?
π-
?
?

5
?
??
5
?
?
55
??
?
π
??
2π2π
??
π

?
cos-co s
?

?
cos-cos
?
=0.
55
??
55
??
(2)原式=tan 10°+tan(180° -10°)+sin(5×360°+66°)-sin[(-2)×360°
+114°]
=tan 10°-tan 10°+sin 66°-sin(180°-66°)
=sin 66°-sin 66°=0.
尚水作品



α)·cos(180°-α)等于( )
A.
给值(式)求值问题
(1)已知sin(α-360°)-cos(180°-α)=
m
,则sin(180°+< br>m
2
-1
2
2
B.
m
2
+1
2


1-
m
C.
2
D.-
m
2
+1
2
1
(2)已知cos (α-75°)=-,且α为第四象限角,求sin(105°+α)的值.
3
[思路探究] (1)化简已知和所求三角函数式
→根据sin α±cos α,sin αcos α的关系求值
(2)


α-
+α-α-=180°
1
=-,α为第四象限角
3
+α
?
?

?
?
求α-→用=-sin α求值
(1)A [(1)sin(α-360°)-cos(180°-α)
=sin α+cos α=
m

sin(180°+α)cos(180°-α)=sin αcos α

α+cos α
2
2
-1
m
-1
=.]
2
2
1
(2)∵cos(α-75°)=-<0,且α为第四象限角, 3
∴sin(α-75°)=-1-cos
=-
22
?
1
?
2
1-
?

?
=-,
3
?
3
?
2
α-
∴sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]
22
=-sin(α-75°)=.
3
母题探究:1.例2(2)条件不变,求cos(255°-α)的值.
[解] cos(255°-α)=cos[180°-(α-75°)]
1
=-cos(α-75°)=.
3
1
2.将例2(2)的条件“ cos(α-75°)=-”改为“tan(α-75°)=-5”,其他条件
3
尚水作品


不变,结果又如何?
[解] 因为tan(α-75°)=-5<0,且α为第四象限角,
所以α-75°是第四象限角.
sinα-
?
?

?
α-
?
α-
?2
+cos
2
α-=1,
=-5,


??
解得
?
?
?
?
?
?
?
?< br>α-
α-
526
=-,
26

26
26α-
α-
526
=,
26
=-
26
.
26


(舍)

所以sin(105°+α)=sin[180°+(α-75°)]
526
=-sin(α-75°)=.
26
[规律方法] 解决条件求值问题的两技巧
寻找差异:解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函 数名
及有关运算之间的差异及联系.
转化:可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒:设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.

[探究问题]
利用诱导公式化简问题
1.利用诱导公式化简sin(
k
π+α)(其中< br>k
∈Z)时,化简结果与
k
是否有关?
提示:有关.因为
k
是奇数还是偶数不确定.

k
是奇数 时,即
k
=2
n
+1(
n
∈Z),sin(
kπ+α)=sin(π+α)=-sin α;

k
是偶数时,即
k< br>=2
n
(
n
∈Z),sin(
k
π+α)=sin α.
2.利用诱导公式化简tan(
k
π+α)(其中
k
∈Z)时 ,化简结果与
k
是否有关?
提示:无关.根据公式tan(π+α)=tan α可知tan(
k
π+α)=tan α.(其中
k
∈Z)

k
为整数,化简:
k
π-α
k
+π+α
k
-π-α]
.
k
π+α
[思路探究] 本题常用的解决方法有两种:
①为了便于运用诱导 公式,必须把
k
分成偶数和奇数两种情况讨论;②观察式子结构,
尚水作品


k
π-α+
k
π+α=2
k
π,(
k
+1)π+α+(
k
-1)π-α=2
k
π,可使用配角法.
[解] 法一:(分类讨论)当
k
为偶数时,设
k
=2
m< br>(
m
∈Z),则原式=
m
π-α
m
+π+α
-sin α-cos α
-sin αcos α
m
-π-α]
m
π+α

-α
π+α
π+α
α

=-1;

k
为奇数时,设
k
=2
m
+1(
m
∈ Z),同理可得原式=-1.
法二:(配角法)由于
k
π-α+
k
π+α=2
k
π,(
k
+1)π+α+(
k
-1)π-α= 2
k
π,
故cos[(
k
-1)π-α]=cos[(
k< br>+1)π+α]=-cos(
k
π+α),sin[(
k
+1)π+α ]=-
sin(
k
π+α),
sin(
k
π-α)=-sin(
k
π+α).

所以原式=

k
π+α-
k
π+α
k
π+αk
π+α
=-1.
[规律方法] 三角函数式化简的常用方法
合理转 化:①将角化成2
k
π±α,
k
π±α,
k
∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒:注意分类讨论思想的应用.
[跟踪训练]
2.化简:(1)
(2)
π-α
α-π
α-
-α-
-tan α
π-α
-α
π-α
-2π-α
π-α
.
-α

tan α·sin α·cos α
-cos α·sin α
π-α

+α
-180°-α
[解] (1)原式=
=-tan α.
(2)原式



sin α
-cos α
+α
+α
-α

α

-α
0°+α

cos α
=-1.
-cos α
[当 堂 达 标·固 双 基]
?

?
1.tan
?

?
等于( )
?
3
?
尚水作品


A.-
3

3
B.
3

3
C.-3 D.3

?

?

??
C [tan
?< br>-
?
=tan
?
-2π+
?
=tan
3< br>?
3
?
3
??
π
?
π
?
= tan
?
π-
?
=-tan=-3.]
3
?
3< br>?
2.如果α,β满足α+β=π,那么下列式子中正确的个数是( )
①sin α=sin β;②sin α=-sin β;③cos α=-cos β;④cos α=cos β;
⑤tan α=-tan β.
A.1
C.3
B.2
D.4
C [因为α+β=π,所以sin α=sin(π-β)=sin β,
故①正确,②错误;
cos α=cos(π-β)=-cos β,
故③正确,④错误;
tan α=tan(π-β)=-tan β,⑤正确.故选C.]
3
3.已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,那么cos(α-π)的值是( )
5
4
A.
5
4
C.±
5
4
B.-
5
3
D.
5
33
B [因为sin(π+α)=-sin α=,所以sin α=-.
55
4
又α是第四象限角,所以cos α=,
5
4
所以cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-.]
5

4.
sin 495°+
2-2 [原式=





的值等于________.







尚水作品



-cos 45°
sin 45°--

==2-2.]
21

22
-α

2
2
5.化简(1)
(2)
π+α
-α
+α
α-
-π+α
α
+α
α-
+α
tan α
α

.
-α
[解] (1)


-sin α·cos α
2
=-cosα.
tan α
π+α
-α
-π+α
α
(2)


sin α-cos α
cos αtan α
=-cos α.
尚水作品

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