高中数学 第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 公式二、公式三和公式四学案 4

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学 习 资 料 专 题

第1课时 公式二、公式三和公式四
学习目标 ：1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法.2.能够准确记忆公式二、公式
三和公式四．(重点、 易混点)3.掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图1?3?1所示．

图1?3?1
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，
cos(π＋α)＝－cos_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
2．公式三
(1)角－α与角α的终边关于
x
轴对称．如图1?3?2所示．

图1?3?2
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，
cos(－α)＝cos_α，
tan(－α)＝－tan_α.
3．公式四
(1)角π－α与角α的终边关于
y
轴对称．如图1?3?3所示．


图1?3?3
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，
尚水作品

cos(π－α)＝－cos_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
π
[提示] (1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠
kπ＋，
k
2
∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)公式二～四对任意角α都成立．( )
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( )
(3)在△
ABC
中，sin(
A
＋
B
)＝sin
C
．( )
[解析] (1)错误，关于正切的三个公式中α≠
k
π＋
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，
故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．
(3)因为
A
＋
B
＋
C
＝π，所以
A
＋
B
＝π－C
，
所以sin(
A
＋
B
)＝sin(π－
C
)＝sin
C
.
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝________.
3 [tan(π＋α)＝tan α＝3.]
2π
3．求值：(1)sin＝________.
3
π
，
k
∈Z.
2
?
7π
?< br>(2)cos
?
－
?
＝________.
?
6< br>?
(1)
π
?
332ππ3
?
(2)－ [(1)sin＝sin
?
π－
?
＝sin＝.
3
?22332
?
π
?
7ππ3
?
7π
??
(2)cos
?
－
?
＝cos＝cos
?
π＋
?
＝－cos＝－.]
6
?
662
?
6
??
[合 作 探 究·攻 重 难]

求下列各三角函数值：
给角求值问题
?
31π
?
；(3)tan(－945°). (1)sin 1 320°；(2)cos
?
－
6
?
??
[解] (1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)
尚水作品

＝－sin 60°＝－
3
.
2
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－
3
.
2
?
31π
?
＝cos
31π
(2)法一：co s
?
－
6
?
6
??
7π
?
π?
π3
??
＝cos
?
4π＋
?
＝cos?
π＋
?
＝－cos＝－.
6
?
6
?
62
??
?
31π
?
＝cos
?
－6π＋
5π
?
法二：cos
?
－
?
6
?
6< br>?
????
π
?
π3
?
＝cos
?
π－
?
＝－cos＝－.
6
?
62
?
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
[规律方法] 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
负化正”——用公式一或三来转化；
大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.


[跟踪训练]
π2π3π4π
1．计算：(1)cos＋cos＋cos＋cos；
5555
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin(－606°)．
4π
??
2π3π
??
π
[解] (1)原式＝
?
cos＋cos
?
＋
?
cos＋cos
?

55
??
55
??
π
???
2π
2π
? ??
π
??
＝
?
cos＋cos
?
π－
?
?
＋
?
cos＋cos
?
π－
?
?

5
?
??
5
?
?
55
??
?
π
??
2π2π
??
π
＝
?
cos－co s
?
＋
?
cos－cos
?
＝0.
55
??
55
??
(2)原式＝tan 10°＋tan(180° －10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°
＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0.
尚水作品

α)·cos(180°－α)等于( )
A.
给值(式)求值问题
(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝
m
，则sin(180°＋< br>m
2
－1
2
2
B.
m
2
＋1
2


1－
m
C.
2
D．－
m
2
＋1
2
1
(2)已知cos (α－75°)＝－，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值.
3
[思路探究] (1)化简已知和所求三角函数式
→根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
(2)


α－
＋α－α－＝180°
1
＝－，α为第四象限角
3
＋α
?
?
→
?
?
求α－→用＝－sin α求值
(1)A [(1)sin(α－360°)－cos(180°－α)
＝sin α＋cos α＝
m
，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝
α＋cos α
2
2
－1
m
－1
＝.]
2
2
1
(2)∵cos(α－75°)＝－＜0，且α为第四象限角， 3
∴sin(α－75°)＝－1－cos
＝－
22
?
1
?
2
1－
?
－
?
＝－，
3
?
3
?
2
α－
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
22
＝－sin(α－75°)＝.
3
母题探究：1.例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．
[解] cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]
1
＝－cos(α－75°)＝.
3
1
2．将例2(2)的条件“ cos(α－75°)＝－”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件
3
尚水作品

不变，结果又如何？
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，
所以α－75°是第四象限角．
sinα－
?
?
由
?
α－
?
α－
?2
＋cos
2
α－＝1，
＝－5，


??
解得
?
?
?
?
?
?
?
?< br>α－
α－
526
＝－，
26
＝
26
26α－
α－
526
＝，
26
＝－
26
.
26


(舍)
或
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
526
＝－sin(α－75°)＝.
26
[规律方法] 解决条件求值问题的两技巧
寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函 数名
及有关运算之间的差异及联系.
转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.

[探究问题]
利用诱导公式化简问题
1．利用诱导公式化简sin(
k
π＋α)(其中< br>k
∈Z)时，化简结果与
k
是否有关？
提示：有关．因为
k
是奇数还是偶数不确定．
当
k
是奇数 时，即
k
＝2
n
＋1(
n
∈Z)，sin(
kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；
当
k
是偶数时，即
k< br>＝2
n
(
n
∈Z)，sin(
k
π＋α)＝sin α.
2．利用诱导公式化简tan(
k
π＋α)(其中
k
∈Z)时 ，化简结果与
k
是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(
k
π＋α)＝tan α.(其中
k
∈Z)
设
k
为整数，化简：
k
π－α
k
＋π＋α
k
－π－α]
.
k
π＋α
[思路探究] 本题常用的解决方法有两种：
①为了便于运用诱导 公式，必须把
k
分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，
尚水作品