高中数学必修四个单元测试题(附带答案解析)

第一章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分15 0
分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共 12个小题，每小题5分，共60分，在每
小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若α是第二象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角
C．第三象限角
[答案] A
[解析] α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象
限角．
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的
弧长是( )
A．2
2
C.
sin1

[答案] C
1
[解析] 由题设，圆弧的半径r＝
sin1
，∴圆心角所对的弧长l＝< br>2
2r＝
sin1
.
3．(2013·宁波模拟)如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单
B．sin2
D．2sin1
B．第二象限角
D．第四象限角

位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )

A．(cosθ，sinθ)
B．(－cosθ，sinθ)
C．(sinθ，cosθ)
D．(－sinθ，cosθ)
[答案] A
[解析] 设P(x，y)，由三角函数定义知sinθ＝y，cosθ＝x，故P
点坐标为( cosθ，sinθ)．
4．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的 一点，
1
且cosα＝
5
x，则tanα＝( )
4
A.
3

3
C．－
4

[答案] D
[解析] x<0，r＝
4
＝－3，∴tanα＝－
3
.
1
x
＋16，∴cosα＝＝
5
x，∴x
2
＝9，∴x
x
2< br>＋16
2
3
B.
4

4
D．－
3

x

sinα－2cosα
5．如果＝－5，那么tanα的值为( )
3sinα＋5cosα
A．－2
23
C.
16

[答案] D
[解析] ∵sinα－2cosα＝－5(3sinα＋5cosα)，
23
∴16sinα＝－23cosα，∴tan＝－
16
.
3< br>6．如果sinα＋cosα＝
4
，那么|sin
3
α－cos
3
α|的值为( )
25
A.
128
23
2525
C.
128
23或－
128
23
[答案] C
7
[解析] 由已知，两边平方得sinαcosα＝－
32
.
∴|sin
3
α －cos
3
α|＝|(sinα－cosα)(sin
2
α＋cos
2
α＋sinαcosα)|＝
25232523
33
1－2sinαcos α·|1＋sinαcosα|＝
128
.∴sin
α－cosα＝±
128
.
sinθ＋cosθ
sinθcosθ
7．(2013·普宁模拟)若＝ 2，则
cos
3
θ
＋
sin
3
θ
的值为( )
sinθ－cosθ
817
A．－
27

820
C.
27

[答案] C
817
B.
27

820
D．－
27

25
B．－
128
23
D．以上全错
B．2
23
D．－
16

[解析] ∵
sinθ＋cosθ
sinθ－cosθ
＝2，∴sinθ＝3cosθ
∴
sinθcos
3
θ3182
cos
3
θ
＋sin
θ
＝
cos
2
θ
＋
27cos
2
θ
＝
27cos
2
θ

由
?
?
sinθ＝3cosθ
2
?
sin
2
θ＋cos
2
θ＝1

得cos
θ＝
1
10

∴
sinθcosθ
＝
820
cos
3
θ
＋
sin
3
θ
27
.
8．若sinα是5x
2
－7x－6＝0的根，
sin?－α－
3 π
?sin?
3π
22
－α?tan
2
?2π－α?
则＝(
cos?
π
?
π
)
2
－α?cos
2
＋α?sin?π＋α?
A.
3
5
B.
5
3

C.
4
5
D.
5
4

[答案] B
[解析] 方程5x
2
－7x－6＝0的两根为x
3
1
＝－
5
，
x
2.则 sinα＝－
3
2
＝
5

原式＝
cosα?－co sα?tan
2
α
15
sinα?－sinα??－sinα?
＝－
sinα
＝
3
.
9．函数y＝sin
?
?
π
?
2x＋
?
6
?
?
的一个单调递减区间为(
A.
?
?
π
2π
?
?
6
，
3
?
?
B.
?
?
ππ
?
?
－
3
，
6
?
?

)

?
ππ
?
C.
?
－
2
，
2
?

??
?
π
2π
?
D.
?
2
，
3
?

??
[答案] A
ππ3ππ2π
[解析] 令
2
＋2kπ≤2x＋
6
≤2
＋2kπ(k∈Z)，整理得
6
＋kπ≤x≤
3
?
π
2π
?
＋kπ，所以仅有
?
6
，
3
?是单调递减区间．
??
π
10．将函数y＝sin(x－
3
) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
π
2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移
3
个单位，得到的图象对
应的解析式是( )
1
A．y＝sin
2
x
1
π
C．y＝sin(
2
x－
6
)
[答案] B
[解析]
1
π
B．y＝sin(
2
x－
2
)
π
D．y＝sin(2x－
6
)

π
??
?
11．已知函数f(x)＝sin
x－
2
?
(x∈R)，下面结 论错误的是( )
??
A．函数f(x)的最小正周期为2π
π
??< br>B．函数f(x)在区间
?
0，
2
?
上是增函数
??

C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
[答案] D
π
??
??
x－
[解析] ∵f(x)＝sin
2
?
＝－cosx(x∈R)，
?
π
??
??
0，
∴T＝2π，在
2
?
上是增函数．
?
∵f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)．
∴函数f(x)是偶函数，图象关于y轴即直线x＝0对称．
12．已知某帆船中心比赛场馆 区的海面上每天海浪高度y(米)可
看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f( t)，经长期观
测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b，下表是某日各时的浪高数据：
t时
y米
0
2
3
3
2

6
1
9
3
2

12
2
15
3
2

18
0.99
21
3
2

24
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )
1
π
A．y＝
2
cos
6
t＋1
π
3
C．y＝2cos
6
t＋
2

[答案] B
2π2ππ
[解析] ∵T＝12－0＝12，∴ω＝
T
＝
12
＝
6
.
又最大值为2，最小值为1，
1
π
3
B．y＝
2
cos
6
t＋
2

13
D．y＝
2
cos6πt＋
2

?
A＋b＝2，
则
?
?
－A＋b＝1，
1
π3
∴y＝
2
cos
6
t＋
2
.

13
解得A＝
2
，b＝
2
，
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确
答案填在题中横线上) 1
13．若cos(75°＋α)＝
3
，其中α为第三象限角，则cos(105 °－α)
＋sin(α－105°)＝________.
22－1
[答案]
3

[解析] cos(105°－α)＋sin(α－105°)＝－cos(75 °＋α)－sin(α＋
1
75°)．∵180°<α<270°，∴255°<α＋75°< 345°.又∵cos(α＋75°)＝
3
，∴sin(α
22－1
212< br>＋75°)＝－
3
2.∴原式＝－
3
＋
3
2＝
3
.
14．函数y＝lg(sinx)＋16－x
2
的定义域为____ ____________．
[答案] [－4，－π)∪(0，π)
[解析]
?
sinx>0，
由已知，得
?
2
16－x≥0.
?

解得
?
2kπ?
?
－4≤x≤4，

即x∈[－4，－π)∪(0，π)．
15．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x )＝Asin(ωx＋φ)

π
＋B(A>0，ω>0，|φ|<
2)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价
8千元，7月份价格最低为4千元，则f(x) ＝________.
π
??
π
[答案] 2sin
?
4
x－
4
?
＋6
??
[解析]
?
A＋B＝8，
由题意得
?
?
－A＋B＝4，

解得A＝2，B＝6.
2ππ
周期T＝2(7－3)＝8，∴ω＝
T
＝
4
. ?
π
?
?
∴f(x)＝2sin
4
x＋φ
?< br>＋6.
??
又当x＝3时，y＝8，
?
3π
?
∴ 8＝2sin
?
4
＋φ
?
＋6.
??
?
3π
?
π
∴sin
?
4
＋φ
?
＝1，取φ ＝－
4
.
??
π
??
π
∴f(x)＝2sin< br>?
4
x－
4
?
＋6.
??
π
16 ．关于函数f(x)＝4sin(2x＋
3
)(x∈R)，有下列命题：
π
①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－
6
)；
②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
π
③函数y＝f(x)的图象关于点(－
6
，0)对称；
π
④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－
6
对称．
其中，正确的是________．(填上你认为正确命题的序号)
[答案] ①③

ππππ
[解析] ①f(x)＝4sin(2x＋
3
)＝4 cos(
2
－2x－
3
)＝4cos(－2x＋
6
)＝π2ππ
4cos(2x－
6
)．②T＝
2
＝π，最小正周期为 π.③∵2x＋
3
＝kπ，当k＝0
ππππ
时，x＝－
6
，函数f(x)关于点(－
6
，0)对称．④2x＋
3
＝
2
＋kπ，当x＝
π
1
－
6
时，k＝－
2
，与k∈Z 矛盾．∴①③正确．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤) < br>17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，求2sinα
＋cos α的值；
(2)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的
值；
(3)已知角α终边上一点P与x轴的距离与y轴的距离之比为
求2sinα＋cosα的值．
y3x4
[解析] (1)∵r＝x
2
＋y
2
＝5，∴si nα＝
r
＝－
5
，cosα＝
r
＝
5
，∴ 2sinα
642
＋cosα＝－
5
＋
5
＝－
5< br>.
－3a
3
(2)∵r＝x
＋y＝5|a|，∴当a>0时，r＝5 a，∴sinα＝
5a
＝－
5
，
22
，
－3a342
cosα＝
5
，∴2sinα＋cosα＝－
5
；当a< 0时，r＝－5a，∴sinα＝＝
5
，
－5a
4
cosα＝－5
，
2
∴2sinα＋cosα＝
5
.

34
(3)当点P在第一象限时，sinα＝
5
，cosα＝
5
，
3
2sinα＋cosα＝2；当点P在第二象限时，sinα＝
5
，
423
cosα＝－
5
，2sinα＋cosα＝
5
；当点 P在第三象限时，sinα＝－
5
，
4
cosα＝－
5
，2 sinα＋cosα＝－2；
342
当点P在第四象限时，sinα＝－
5
，cosα＝
5
，2sinα＋cosα＝－
5
.
1
18 ．(本题满分12分)已知tanα、
tanα
是关于x的方程x
2
－kx＋ k
2
7
－3＝0的两实根，且3π<α<
2
π，求cos(3π＋α )－sin(π＋α)的值．
1
[解析] 由题意，根据韦达定理，得tanα
ta nα
＝k
2
－3＝1，∴k＝±2.
71
又∵3π<α<
2
π，∴tanα>0，
tanα
>0，
11
∴tanα＋
tanα
＝k>0，即k＝2，而k＝－2舍去，∴tanα＝
tanα
＝1，
2
∴sinα＝cosα＝－
2
，∴cos(3π＋α)－sin(π＋α)＝si nα－cosα＝0.
π2π
19．(本题满分12分)已知x∈[－
3
，
3
]，
(1)求函数y＝cosx的值域；
(2)求函数y＝－3sin
2
x－4cosx＋4的值域．
π2π
[解析] (1)∵y＝cosx在[－
3
，0]上为增函数，在[0 ，
3
]上为减函
数，
∴当x＝0时，y取最大值1；

2π
1
x＝
3
时，y取最小值－
2
.
1
∴y＝cosx的值域为[－
2
，1]．
(2)原函数化为：y＝3cos
2
x－4cosx＋1，
21
即y＝3(cosx－
3
)
2
－
3
，
1115
由(1)知，cosx∈[－
2
，1]，故y的值域为[－
3
，
4
]．
π
??
1
20．(本题满分12分) 已知函数f(x)＝3sin
?
2
x＋
4
?
－1，x∈R.
??
求：(1)函数f(x)的最小值及此时自变量x的取值集合；
(2)函数y＝ sinx的图象经过怎样的变换得到函数f(x)＝
π
??
1
?
x＋
3sin
24
?
－1的图象？
??
1
π
[解析] (1)函数f(x)的最小值是3×(－1)－1＝－4 ，此时有
2
x＋
4
π3π
＝2kπ－
2
，解得x＝ 4kπ－
2
(k∈Z)，
即函数f(x)的最小值是－4，此时自变量x的取值集合 是
?
?
?
3π
?
x
?
x＝4kπ－
，k∈Z
?
.
2
?
?
?

(2)步骤是：
π
①将函数y＝sinx的图象向左平移
4
个单位 长度，得到函数y＝
π
??
sin
?
x＋
4
?的图象；
??
π
??
②将函数y＝sin
?
x＋4
?
的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2
??

π??
1
?
倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin
2
x＋
4
?
的图象；
??
π
??
1
?
③将函 数y＝sin
2
x＋
4
?
的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的3< br>??
π
??
1
?
倍(横坐标不变)，得到函数y＝3sin< br>2
x＋
4
?
的图象；
??
π
??
1
?
④将函数y＝3sin
2
x＋
4
?
的图象向下 平移1个单位长度，得函数
??
π
??
1
?
y＝3sin< br>2
x＋
4
?
－1的图象．
??
21．(本题满分12分)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一
侧修建一 条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为
函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)， x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为
S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP.试求A、 ω的值和M、P两
点间的距离．

[解析] ∵函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)图象的最高点为S(3,23)，
T
∴A＝23.由图象，得
4
＝3，∴T＝12.
2πππ
又T＝
ω
，∴ω＝
6
，即y＝23sin
6
x.
2π
当x＝4时，y＝23sin
3
＝3.
∴M(4,3)．又P(8,0)．

∴|MP|＝4
2
＋3
2
＝5，
即MP的长是5.
22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B (A>0，ω>0)
的一系列对应值如下表：
x
y
π
－
6

－1
π
3

1
5π
6

3
4π
3

1
11π
6

－1
7π
3

1
17π
6

3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
2ππ
(2)根据(1) 的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的周期为
3
，当x∈[0，
3
]< br>时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
11ππ
[解析] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝
6
－(－
6
)＝2π，
?
B＋A＝3，
2π
由T＝
ω
，得ω＝1，又
?
，
B－A＝－1
?
?
A＝2
解得
?
?
B ＝1

5ππ
即
6
＋φ＝
2
，
π
解得φ＝－
3
，
π
∴f(x)＝2sin(x－
3
)＋1.
π2π
(2) ∵函数y＝f(kx)＝2sin(kx－
3
)＋1的周期为
3
，又k>0， ∴k＝3，


5ππ
，令ω·
6
＋φ＝
2
，

π
令t＝3x－
3
，
ππ2π
∵x∈[0 ，
3
]，∴t∈[－
3
，
3
]，
π2π
3
如图，sint＝s在[－
3
，
3
]上有两个不同的解，则s∈[
2
，1]，

π
∴方程 f(kx)＝m在x∈[0，
3
]时恰好有两个不同的解，则m∈[3
＋1,3]，即实数m的取值范围是[3＋1,3]．


第二章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两 部分。满分150
分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选 择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每
小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要 求的)
1．下列等式成立的是( )

→→
＝NM
C．(a·b)c＝a(b·c)
[答案] D
B．a·0＝0
D．|a＋b|≤|a|＋|b|
2．如果a、b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是
( )
A．a＝b
C．a＝－b
[答案] D
[解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反 ，所以选项A、
C不正确；由于两个单位向量的夹角不确定，则a·b＝1不成立，所
以选项B 不正确；|a|＝|b|＝1，则选项D正确．
3．(山东师大附中2012－2013期中)已知平 面向量a＝(1,1)，b＝
13
(1，－1)，则向量
2
a－
2< br>b＝( )
A．(－2，－1)
C．(－2,1)
[答案] B
1313
[解析]
2
a－
2
b＝
2
(1,1)－
2
(1，－1)
1313
＝(
2
－
2
，
2
＋
2
)＝(－1,2)．
4．(哈尔滨三中201 2－2013高一期中)已知两点A(4,1)，B(7，－
→
3)，则向量AB的模等于( )
A．5
C．32
B.17
D.13
B．(－1,2)
D．(－1,0)
B．a·b＝1
D．|a|＝|b|

[答案] A
→
[解析] |AB|＝?7－4?
2
＋?－3－1?
2
＝5.
5．(2012 北京海淀区期末)如图，正方形ABCD中，点E、F分
→
别是DC、BC的中点，那么EF＝ ( )

1
→
1
→
A.
2
AB＋
2
AD
1
→
1
→
B．－
2
AB－
2
AD
1
→
1
→
C．－
2
AB＋
2
AD
1
→
1
D.
2
AB－
2
AD
[答案] D
→
1
→
1
→→
[解析] EF
＝
2
DB
＝
2
(AB
－AD
)． < br>6．(2013诸城模拟)已知a、b、c是共起点的向量，a、b不共线，
且存在m、n∈R使 c＝ma＋nb成立，若a、b、c的终点共线，则必
有( )
A．m＋n＝0
C．m＋n＝1
B．m－n＝1
D．m＋n＝－1

[答案] C
→→→
[解析] 设OA
＝a，OB＝b，OC＝c，
∵a、b、c的终点共线，
→→→→→→
∴设AC＝λAB，即OC－OA＝λ(OB－OA
)，
→→→
∴OC＝(1－λ)OA＋λOB，
即c＝(1－λ)a＋λb，又c＝ma＋nb，
?
1－λ＝m，
∴
?
?
λ＝n，

∴m＋n＝1.
→→
7．如图，M、N分别是AB、AC的一个三等分点，且MN＝ λ(AC
→
－AB)成立，则λ＝( )

1121
A.
2
B.
3
C.
3
D．±
3

[答案] B
→
1
→→→→
[解析] MN
＝
3
BC
且BC＝AC－AB
.

8．与向量a＝(1,1)平行的所有单位向量为( )
22
A．(
2
，
2
)
22
B．(－
2
，－
2
)
22
C．(±
2
，±
2
)
2222
D． (
2
，
2
)或(－
2
，－
2
)
[答案] D
a
[解析] 与a平行的单位向量为±.
|a|
9 ．(2013·湖北文)已知点A(－1,1)、B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)，
→ →
则向量AB在CD方向上的投影为( )
32
A.
2

32
C．－
2

[答案] A
[解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．
→→→→
由条件知AB＝(2,1)，CD＝( 5,5)，AB
·CD
＝10＋5＝15.
→
|CD|＝
→→
5
＋5＝52，则AB在CD方向上的投影为
22
315
B.
2

315
D．－
2

→→
→→→
AB·CD1532
|AB|cos〈AB
，CD〉＝＝＝
2
，故选A.
→
5 2
|CD|
10．若|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( )

π
A.
6

π
C.
3

[答案] C
π
B.
4

π
D.
2

[解析] a·(b－a)＝a·b－a
2
＝1×6×cosθ－1＝2.
1
π
cosθ＝
2
，θ∈[0，π]，故θ＝
3
.
11．(2012·全国高考浙江卷)设a、b是两个非零向量( )
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
[答案] C
[解析] 利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则
a、b共线， 即存在实数λ，使得a＝λb.如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，
a、b可为异向的共线向量 ；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|
－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a ＝λb，a，b可为同向的
共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．
→→< br>15
12．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b<0，S
△
ABC< br>＝
4
，|a|＝3，
|b|＝5，则a与b的夹角为( )
A．30°
C．150°
[答案] C
B．－150°
D．30°或150°

1
[解析] 由a·b<0可知a，b的夹角 θ为钝角，又S
△
ABC
＝
2
|a|·|b|sinθ，
1 15
∴
2
×3×5×sinθ＝
4
，
1
∴sinθ＝
2
?θ＝150°.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确
答案填在题中横线上) →→→
13．已知向量a、b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－
2 b，则A、B、C、D四点中一定共线的三点是____________．
[答案] A，B，D
→→→
[解析] BD
＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4 b＝2(a＋
→
2b)＝2AB.
14．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，－3 )，若ka－2b与a垂直，则
实数k等于________．
[答案] －1
[解析] (ka－2b)·a＝0，[k(1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k－ 4，
k＋6)·(1,1)＝0，k－4＋k＋6＝0，
∴k＝－1.
15．(2 013北京东城区模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝
(3,4)．若λ为实数，( a＋λb)∥c，则λ的值为____________．

1
[答案]
2

[解析] a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，
∵(a＋λb)∥c，
1
∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝
2
.
→→
16 ．(2013北京东城区模拟)正三角形ABC边长为2，设BC＝2BD，
→→→→
AC＝3 AE，则AD·BE＝________.

[答案] －2
→→→→
1
→→→→
1
→→
[解析] ∵AD
＝A B＋BD＝AB＋
2
BC
，BE＝AE－AB＝
3
AC
－A B，
→→→
1
→
1
→→
1
→→
1
→→
1
→→
∴AD
·BE
＝(AB＋
2
BC)· (
3
AC
－AB
)＝
3
AB·AC
＋
6< br>BC·AC
－
2
BC·AB
→
111111
2
－AB＝
3
×2×2×
2
＋
6
×2×2×
2＋
2
×2×2×
2
－2
2
＝－2.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤) < br>17．(本题满分10分)(山东济南一中12－13期中)已知向量a＝
(1,2)，b＝(x ,1)
(1)若〈a，b〉为锐角，求x的范围；

(2)当(a＋2b)⊥(2a－b)时，求x的值．
[解析] (1)若〈a，b〉为锐角，则a·b>0且a、b不同向．
a·b＝x＋2>0，∴x>－2
1
当x＝
2
时，a、b同向．
1
∴x>－2且x≠
2

(2)a＋2b＝(1＋2x,4)，(2a－b)＝(2－x,3)
(2x＋1)(2－x)＋3×4＝0
即－2x
2
＋3x＋14＝0
7
解得：x＝
2
或x＝－2.
18．(本题满分12分)(山东师 大附中2012－2013期中)设e
1
、e
2
→→→
是正交单位向 量，如果OA＝2e
1
＋me
2
，OB＝ne
1
－e
2
，OC＝5e
1
－e
2
，
若A、B、C三点在一条直线 上，且m＝2n，求m、n的值．
[解析] 以O为原点，e
1
、e
2的方向分别为x，y轴的正方向，建
立平面直角坐标系xOy，
→→→
则OA＝(2，m)，OB＝(n，－1)，OC＝(5，－1)，
→→
所以AC＝(3，－1－m)，BC＝(5－n,0)，
→→
又因为A、B、C三点在一条直线上，所以AC∥BC，
所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组

?
mn－5m＋n－5＝0
?
?
m＝2n

?
?
m＝－1
，解得
?
1
n＝－
?
?
2

?
m＝10，
或
?
?
n＝5.


19．(本题满分12分)已知a和b是两个非零的已知向量，当a
＋tb(t∈R)的模取最小值时 ．
(1)求t的值；
(2)已知a与b成45°角，求证：b与a＋tb(t∈R)垂直．
[解析] (1)设a与b的夹角为θ，则|a＋tb|
2
＝|a|
2
＋t
2
|b|
2
＋2t·a·b
|a|
＝|a|＋t·|b|
＋2|a|·|b|·t·cosθ＝|b|
(t＋cosθ)
2
＋|a|
2
(1－cos
2
θ)．
|b|
2222|a|
∴当t＝－
cosθ时，|a＋tb|取最小值|a|sinθ.
|b|
2|a|2
(2)∵a与b的夹角为45°，∴cosθ＝
2
，从而t＝－< br>·
2
，b·(a＋
|b|
22|a|
2
tb)＝a· b＋t·|b|
2
＝|a|·|b|·
2
－
2
··|b|< br>＝0，所以b与a＋tb(t∈R)垂直，
|b|
即原结论成立．
20．(本题满分12分)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b，
(1)若c∥d，求k的值，并判断c、d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b夹角为60°，当k为何值时，c⊥d.
[解析] (1)c∥d，故c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)．
又a、b不共线，
?
k＝λ，
∴
?
?
1＝－λ.

?
λ＝－1，
得
?
?
k＝－1.


即c＝－d，故c与d反向．

(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)
＝ka
2
－ka·b＋a·b－b
2

＝(k－1)a
2
＋(1－k)|a|
2
·cos60°
1－k
2
又c⊥d，故(k－1)a＋
2
a
＝0.
2
1－k
即(k－1)＋
2
＝0.
解得k＝1.
21．(本题满分12分)向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，
a⊥b，若|a| ＝1，求|a|
2
＋|b|
2
＋|c|
2
的值．
[解析] 由(a－b)⊥c知(a－b)·c＝0.
又c＝－(a＋b)，
∴(a－b)·(a＋b)＝a
2
－b
2
＝0.
故|a| ＝|b|＝1，又c
2
＝[－(a＋b)]
2
＝a
2
＋2a ·b＋b
2
＝a
2
＋b
2
＝2，∴|a|
2
＋|b|
2
＋|c|
2
＝4.
13
22．(本题满分1 2分)已知向量a＝(3，－1)，b＝(
2
，
2
)．
(1)求证：a⊥b；
(2)是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t
2< br>－3)b，y＝－ka
＋tb，且x⊥y？如果存在，试确定k和t的关系；如果不存在，请说< br>明理由．
1333
[解析] (1)a·b＝(3，－1)·(
2
，
2
)＝
2
－
2
＝0，∴a⊥b.

(2)假设存在非零实数k，t使x⊥y，则[a＋(t
2
－3)b]·(－ka＋tb)＝< br>0，
整理得－ka
2
＋[t－k(t
2
－3)]a·b＋t (t
2
－3)b
2
＝0.
又a·b＝0，a
2
＝4，b
2
＝1.
1
2∴－4k＋t(t－3)＝0，即k＝
4
(t
－3t)(t≠0)，
2
故存在非零实数k、t，使x⊥y成立，
1
其关系为k＝
4
(t
3
－3t)(t≠0)．
第三章综合检测题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个 小题，每小题5分，共60分，在每
小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
ππ
1．sin
2
12
－cos
2
12
的值为( )
1133
A．－
2
B.
2
C．－
2
D.
2

[答案] C
ππ
[解析] 原式＝－(cos
2
12
－sin
2
12
)

π
3
＝－cos
6
＝－
2
. 3
2．(2013·浙江文)函数f(x)＝sinxcosx＋
2
cos2x的 最小正周期和
振幅分别是( )
A．π，1
C．2π，1
[答案] A
13
π
[解析] f(x)＝
2
sin2x ＋
2
cos2x＝sin(2x＋
3
)，周期T＝π，振幅为
1，故 选A.
31
3．(2013昆明一中模拟)
cos10°
－
sin 170°
＝( )
A．4
C．－2
[答案] D
3sin10°－cos10°
3131
[解析]
cos10°
－
sin170°
＝
cos10°
－
sin10°
＝
sin10°cos10°
＝
2sin?10°－30°?2sin?－20°?
－2 sin20°
＝
1
＝－4.
sin10°cos10°
＝
sin10°cos10°
2
sin20°
π
4．(2013莱州一中月考) tanθ和tan(
4
－θ)是方程x
2
＋px＋q＝0的
两根，则 p、q之间的关系是( )
A．p＋q＋1＝0
C．p＋q－1＝0
[答案] D
B．p－q－1＝0
D．p－q＋1＝0
B．2
D．－4
B．π，2
D．2π，2

π
[解析] 根据根与系数之间的关系可得tan(
4
－θ)＋tanθ＝－p，
－p
ππ π
tan(
4
－θ)tanθ＝q，∴tan(
4
－θ＋θ)＝＝， 即tan
4
＝
π
1－tan?
4
－θ?tanθ
1 －q
＝1，
1－q
∴p－q＋1＝0.
sinα＋cosα
1
5．(2012·江西文)若＝，则tan2α＝( )
sinα－cosα
2
3
A．－
4

4
C．－
3

[答案] B
sinα＋cosα
[解析] 本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由
sinα －cosα
1
tanα＋1
1
＝
2
得＝
2
即2tanα＋2＝tanα－1，
tanα－1
2×?－3?
－6
32t anα
∴tanα＝－3，∴tan2α＝＝＝＝
4
，“弦”化
22
1－tan
α
1－?－3?
－8
“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归 思想．
4
6．若tanα＝3，tanβ＝
3
，则tan(α－β)等于( )
A．－3
1
B．－
3

3
B.
4

4
D.
3

－p
π
tan?
4
－θ?＋tanθ

C．3
[答案] D
1
D.
3

1
[解析] tan(α－β)＝
＝＝
3
.
4
1＋tanαtanβ
1 ＋3×
3
7．cos
2
75°＋cos
2
15°＋cos7 5°·cos15°的值是( )
5
A.
4

3
C.
2

[答案] A
15
[解析] 原 式＝sin15°＋cos15°＋sin15°cos15°＝1＋
2
sin30°＝
4
.
22
tanα－tanβ
4
3－
3
6B.
2

2
D．1＋
3

8．y＝cos
2
x－sin
2
x＋2sinxcosx的最小值是( )
A.2
C．2
[答案] B
π
[解析] y＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋
4
)，
∴y
max
＝－2.
13
9．(2013·温州模拟)设a＝2
cos6°－
2
sin6°，b＝2sin13°cos13°，c
＝
1－cos50°
，则有( )
2
A．a>b>c
C．b[答案] D
B．aD．aB．－2
D．－2

[解析] a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°.
∵sin24°4
10．若sin (α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则
5
tan(
π
4
＋α)等于( )
A．7 B．－7
C.
1
7
D．－
1
7

[答案] C
[解析] ∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝
4
5

∴cosα＝－
4
5

又α 是第二象限角，∴sinα＝
3
5

则tanα＝－
3
4
.
∴tan(α＋
π
tan
π
＋tanα
1－
3
44
1
4
)＝
＝
tan
3
＝
1－
π
7
.
4
tanα1＋
4
11．y＝sin(2x－
π
3
)－sin2x的一 个单调递增区间是(
A．[－
ππ
6
，
3
] B．[
π
，
7
1212
π]
C．[
513
12
π，
12
π] D．[
π5π
3
，
6
]
[答案] B
)

πππ
[解析] y＝sin(2x－
3
)－sin2x＝s in2xcos
3
－cos2xsin
3
－sin2x＝－
ππππ
(sin2xcos
3
＋cos2xsin
3
)＝－sin(2x＋
3
)，其增区间是函数y＝sin(2x＋
3
)
ππ3ππ7π的减区间，即2kπ＋
2
≤2x＋
3
≤2kπ＋
2
，∴ kπ＋
12
≤x≤kπ＋
12
，当k
π7π
＝0时，x∈[
12
，
12
]．
11
12．已知sin(α＋β)＝2
，sin(α－β)＝
3
，则log
A．2
C．4
[答案] C
11
[解析] 由sin(α＋β)＝
2
，sin(α－β)＝
3
得
1
?
sinαcosβ＋cosαsinβ＝
?
2
?
1
?
?
sinαcosβ－cosαsinβ＝
3
tanα
∴
tanβ
＝5，
tanα
2
∴log
5
(
tanβ
)
＝log
2
5
5
＝4.
tanα
2
5
(
tanβ
)等于( )
B．3
D．5

5
?
sinαcosβ＝
?
12
，∴
?
1
?
?
cosαsinβ＝
12

，
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确
答案填在题中横线上)
13．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.
[答案] 2

[解析] 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又 tan(17°＋
28°)＝
＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－1－tan17°·tan28°
tan17°＋tan28°
tan17°·tan28 °，代入原式可得结果为2.
π
?
4
?
?
14．(201 2·全国高考江苏卷)设α为锐角，若cos
α＋
6
?
＝
5
，则
??
π
??
?
sin
2α＋
12
?< br>的值为______．
??
[答案]
172
50

ππ2π
[解析] ∵α为锐角，∴
6
<α＋
6
<
3
，
π
?
4
π
?
3
??
∵cos
?
α＋
6
?
＝
5
，∴sin
?
α＋
6
?
＝
5
；
????
π
?
π
??
π
?
24
??
∴sin
?
2α＋
3
?
＝2si n
?
α＋
6
?
cos
?
α＋
6
?
＝
25
，
??????
πππ
7
cos(2α＋
3
)＝cos(α＋
6
)
2
－sin
2
( α＋
6
)＝
25

π
?
ππ
?
π
?
π
π
?
π
????
∴sin
?
2α＋
12
?
＝sin
?
2α＋
3
－
4< br>?
＝sin
?
2α－
3
?
cos
4
－cos
?
2α＋
3
?
sin
4
????????
172
＝
50
.
?1＋tanx?cos
2
x< br>π
15．(2013长春二模)函数f(x)＝的定义域为(0，
4
)，
cos2x＋sin2x
则函数f(x)的值域为________．
2＋2
[答案] [
4
，1)

?1＋tanx?cos
2
x
[解析] f(x)＝
cos2x＋sin2x
11
＝
2
＋
π
，
22sin?2x＋
4
?
ππ
2
∵x∈(0，
4
)，∴sin(2x＋
4
)∈(
2
，1]，
2＋2
∴f(x)的值域为[
4
，1)．
5
α
16．(2013南通调研)设α、 β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝< br>13
，tan
2
＝
1
2
，则cosβ的值为____ ____．
16
[答案] －
65

α
1143
[解析] 由tan
2
＝
2
得sinα＝＝＝，cosα＝，
α
15 5
1＋tan
2
2
1＋
4
5
π
由sin( α＋β)＝
13
2
，π)，
12
∴cos(α＋β)＝－
13
.
16
cosβ＝co s[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－
65
.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤) < br>33
17．(本题满分10分)已知cosα－sinα＝
5
2，且π<α<< br>2
π，求
α
2tan
2

sin2α＋2sin
2
α
的值．
1－tanα
3218
[解析] 因为cos α－sinα＝
5
，所以1－2sinαcosα＝
25
，所以
7< br>2sinαcosα＝
25
.
3π
42
又α∈(π，
2
)，故sinα＋cosα＝－1＋2sinαcosα＝－
5
，
所以
sin2α＋2sin
2
α
1－tanα
＝
?2sinαc osα＋2sin
2
α?cosα
cosα－sinα
＝
7422sinαcosα?cosα＋sinα?
25
×?－
5
?
2 8
＝＝－
75
.
32
cosα－sinα
5
23
18．(本题满分12分)已知α、β均为锐角，且cosα＝，sinβ＝，
510
求α－β的值．
[解析] 已知α、β均为锐角，且cosα＝
则sinα＝
22
1
1－?
?
＝
.
55
3
2
1
1－?
?
＝
.
1010
2
，
5
3
又∵sinβ＝，∴cosβ＝
10
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
112352
＝
×
－
×
＝－＝－
2
.
51051050
π
又∵sinα2
.

ππ
∴－
2
<α－β<0.∴α－β＝－
4
.
ππππ
19．(本题满分12分)已知－<α<，－<β<，且tanα、tanβ是< br>2222
方程x
2
＋6x＋7＝0的两个根，求α＋β的值．
[解析] 由题意知tanα＋tanβ＝－6，tanαtanβ＝7
∴tanα<0，tanβ<0.
又－
π
<α<
π
，－< br>ππ
222
<β<
2
，
∴－
π
<0，－
π
2
<α
2
<β<0.
∴－π<α＋β<0.
∵tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ
－61－tanαtanβ
＝
1－7
＝1，
∴α＋β＝－
3π
4
.
20．(本题满分12分)已知A、B、C 是△ABC的三个内角，向量
m＝(－1，3)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝1.
(1)求角A；
(2)若
1＋sin2B
cos
2
B－s in
2
B
＝－3，求tanC.
[解析] (1)∵m·n＝1，
∴3sinA－cosA＝1,2(sinA·
31
2
－cosA·
2)＝1，
sin(A－
π
1
6
)＝
2
， < /p>

ππ5π
∵06
6
<6
，
πππ
∴A－
6
＝
6
.∴A＝
3
.
1＋2sinBcosB
(2)由题知
＝－3，
22
cosB－sinB
∴＝－3
?cosB＋sinB??cosB－sinB?
cosB＋sinB
∴＝－3
cosB－sinB
1＋tanB
∴＝－3，∴tanB＝2.
1－tanB
∴tanC＝tan[π－(A＋B)]
8＋53
＝－tan(A＋B)＝－＝
11
.
1－tanAtan B
π
21．(本题满分12分)设函数f(x)＝cos(2x＋
3
)＋si n
2
x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
1C1
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝
3
，f(
2
)＝－
4
，
且C为锐角，求sinA.
πππ
2
[解析] (1 )f(x)＝cos(2x＋
3
)＋sinx＝cos2xcos
3
－sin 2xsin
3
＋
1－cos2x
1
1＋3
3
＝2
－
2
sin2x，所以函数f(x)的最大值为
2
，最小正周 期
2
为π.
tanA＋tanB
?cosB＋sinB?
2

(2)f(
C13
＝－
1
2
)＝
2
－
2
sinC
4
，
所以sinC＝
3
2
.
因为C为锐角，所以C＝
π
3
.
在△ABC中，cosB＝
1
3
，
所以sinB＝
2
3
2.
所以sinA＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝
2
×
11
×< br>3
22＋3
3
2
2
＋
32
＝
6.
22．(本题满分12分)(2013·江苏理)已知向量a＝(cosα，
(cos β，sinβ)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α、 β的值．
[解析] (1)由题意得|a－b|
2
＝2，
即(a－b)
2
＝a
2
－2a·b＋b
2
＝2.
又因为a
2
＝b
2
＝|a|
2
＝|b|
2
＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，
故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cosα＋cosβ，sinα＋sinβ)＝(0,1)，
sinα )，b
＝

?
cosα＋cosβ＝0，
所以
?
?
sinα＋sinβ＝1，


由此得，cosα＝cos(π－β)，
由0<β<π，得0<π－β<π，
又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1得，
1
sinα＝sinβ＝
2
，而α>β，
5ππ
所以α＝
6
，β＝
6
.
本册综合能力测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150
分。考试时间120分钟 。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分 ，在每
小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
8
1．(2013·泰安期末)tan
3
π的值为( )
33
A.
3
B．－
3
C.3 D．－3
[答案] D
822
[解析] tan
3
π＝tan(2π＋
3
π)＝tan
3
π＝－3.
→
2．(2013·辽宁理)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向

的单位向量为( )
34
A．(
5
，－
5
)
34
C．(－
5
，
5
)
[答案] A
[解析] 本题考查平面向量的坐标运算，单位向量的求法．
→
→→→
AB
因为AB＝(3，－4)，|AB
|＝5，所以与向量AB
同向的单位向量为
→
|AB|
?3，－4?
34
＝＝(，－
555
)，选A.
ππ
3．(2013·诸城月考)集合{x|kπ＋
4
≤α≤kπ＋
2
，k∈Z}中的角所表
示的范围(阴影部分)是( )
43
B．(
5
，－
5
)
43
D．(－
5
，
5
)

[答案] C
ππ
[解析] 当k＝2n时，2nπ＋
4
≤α≤2nπ＋
2
，
ππ
此时α的终边和
4
≤α≤
2
的终边一样．
π π
当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋
4
≤α≤2nπ＋π＋
2
，
ππ
此时α的终边和π＋
4
≤α≤π＋
2
的终边一样．
4．已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2弧度，则该扇形的面积
为( )
A．4 cm
2
B．6 cm
2

C．8 cm
2
D．16 cm
2

[答案] A
[解析] 由题意得
?
?
2r＋l＝8，
解 得
?
r＝2，
?
l＝2r.

?
?
l＝4.


所以S＝
1
2
lr＝4(cm
2
)．
5．已知α 是锐角，a＝(
31
4
，sinα)，b＝(cosα，
3
)，且< br>为( )
A．15° B．45°
C．75° D．15°或75°
[答案] D
[解析] ∵a∥b，∴sinα·cosα＝
31
4
×
3
，
即sin2α＝
1
2

又∵α为锐角，∴0°<2α<180°.
∴2α＝30°或2α＝150°
即α＝15°或α＝75°.
6．若sinα＝
12
?
13
，α∈
?
π
?
2
，π
?
?
?
，则tan2α的值为(
A.
60
119
B.
120
119

C．－
60
119
D．－
120
119

[答案] B
a∥b，则
)
α

?
π
?
12
[解析] ∵sinα＝13
，α∈
?
?
2
，π
?
?
， ∴cosα＝－
5
∴tanα＝－
12
13
.
5
.
∴tan2α＝
2tanα
1－tan
2
α
＝
120
119
.
7．(2013烟台模拟)已知cosα＝
35
5
，cos(α＋β)＝－
13
，
锐角，则cosβ＝( )
A．－
63
65
B．－
33
65

C.
33
65
D.
63
65

[答案] C
[解析] ∵α、 β是锐角，
∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－
5
13
<0
∴
π
β<π，∴sin(α＋β)＝
12
2
<α＋
13

sinα＝
4
5
，又cosβ＝cos(α＋β－β)
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝－
5
×
312
×
4
135
＋
135

＝
33
65
.
8．函数y＝sinx(
π2π
6
≤x≤
3
)的值域是( )
A．[－1,1] B．[
1
2
，1]
α，β都是

13
C．[
2
，
2
]
[答案] B
3
D．[
2
，1]
[解析] 可以借助单位圆或函数的图象求解．
π
9．要得到函数y＝3sin(2x＋
4)的图象，只需将函数y＝3sin2x的
图象( )
π
A．向左平移
4
个单位
π
B．向右平移
4
个单位
π
C．向左平移
8
个单位
π
D．向右平移
8
个单位
[答案] C
10．已知a＝(1，－1)，b＝(x＋1，x)，且a与b的夹角为45°，
则x的值为( )
A．0
C．0或－1
[答案] C
2
[解析] 由夹角公式：cos45°＝
＝
2
，即x
2
＋x
2·?x＋ 1?
2
＋x
2
＝0，解得x＝0或x＝－1.
sinα＋cosα
1
11．(2012·全国高考江西卷)若＝，则tan2α＝( )
sinα－cosα
2
3
A．－
4

3
B.
4

x＋1－x
B．－1
D．－1或1

4
C．－
3

[答案] B
4
D.
3

[解析] 主要考查三角函数的运算，分子分母同时除以cosα可得
tanα＝－3，带入所求式可得结果． < br>3
12．设a＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b＝2cos13°－ 1，c＝
2
，
2
则有( )
A．cC．a[答案] A
3
[解析] a＝sin62°，b＝ cos26°＝sin64°，c＝
2
＝sin60°，∴b>a>c.
B．bD．b第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确
答案填在题中横线上)
13．若tanα＝3，则sinαcosα的值等于________．
3
[答案]
10

sinαcosαtanα33
[解析] sinαcosα＝
2
＝
2
＝＝
10
.
2
sin
α＋cosα
tan
α＋1
1＋9
π
14．已知： |a|＝2，|b|＝2，a与b的夹角为
4
，要λb－a与a垂
直，则λ为____ ____．
[答案] 2

2
[解析] 由题意a·(λb－a)＝ 0，即λa·b－|a|
2
＝0，∴λ·2×2×
2
－
4＝0，即λ ＝2.
5
α
15．(2013南通调研)设α、 β∈(0，π)，且sin(α＋ β)＝
13
，tan
2
＝
1
2
，则cosβ的值为 ________．
16
[答案] －
65

α
1
[解析] 由tan
2
＝
2
得
4
sinα＝
＝
1
＝
5

α
1＋ tan
2
2
1＋
4
3
cosα＝
5

5
由sin(α＋β)＝
13
π
α、 β∈(0，π)，α＋β∈(
2
，π)
12
∴cos(α＋β)＝－
13

cosβ＝cos[(α＋β)－α]
16
＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－
65
.
16．(2013山东师大附中模拟)已知△ABC中，AC＝4，AB＝2，
→→
若 G为△ABC的重心，则AG·BC＝________.
α
2tan
2
1

[答案] 4
[解析] 设BC的中点为D，
∵G为△ABC的重心，
→
2
→
21
→→
1
→→
∴AG＝
3
AD
＝
3
×
2
(AB
＋AC
)＝
3
(AB
＋A C
)
→→→
BC
＝AC－AB

→→
2
→→
∴AG
·BC
＝
3
AD·BC
1
→→→→
＝－
3
(AB
＋AC
)·(AB
－AC
)
1
→
2
→
2
＝－
3
(AB
－AC
)
1
＝－
3
×(2
2
－4
2
)＝4
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
ππ
(2)求f(x)在区间[－
6，
2
]上的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)＝2sin(π－x)cosx＝2sinxcosx＝sin2x

2π
∴函数f(x)的最小正周期T＝
2
＝π.
π ππ
(2)由－
6
≤x≤
2
，知－
3
≤2x≤π
3
∴－
2
≤sin2x≤1
ππ
3
∴f(x)在 区间[－
6
，
2
]上的最大值为1，最小值为－
2
. 18．(本题满分12分)已知向量a＝3e
1
－2e
2
，b＝4e1
＋e
2
，其中
e
1
＝(1,0)，e
2＝(0,1)，求：(1)a·b；|a＋b|；(2)a与b的夹角的余弦值．
[解析] (1)a＝3(1,0)－2(0,1)＝(3，－2)，
b＝4(1,0)＋(0,1)＝(4,1)，
a·b＝3×4＋(－2)×1＝10. < br>∵|a＋b|
2
＝(a＋b)
2
＝a
2
＋2a·b＋ b
2
＝|a|
2
＋20＋|b|
2

＝13＋20＋17＝50，
∴|a＋b|＝52.
a·b1010221
(2)cos＝
＝＝
221
. < br>|a||b|
13·17
19．(本题满分12分)(2011～2012浙江调研)设 向量α＝(3sin 2x，
sin x＋cos x)，β＝(1，sinx－cosx)，其中x∈R，函数f(x)＝α·β.
(1)求f(x)的最小正周期；
ππ
(2)若f(θ)＝3，其中0<θ<
2
，求cos(θ＋
6
)的值．
[解析] (1)由题意得f(x)＝3 sin2x＋(sinx＋cosx)·(sinx－cosx)＝

π
3sin 2x－cos2x＝2sin(2x－
6
)，
2π
故f(x)的最小正周期T＝
2
＝π.
π
(2)由(1)知，f(θ)＝2sin(2θ－
6
)，若f(θ)＝3，
π
3
则sin(2θ－
6
)＝
2
.
ππ π5ππππ2π
又因为0<θ<
2
，所以－
6
<2θ－
6
<
6
，则2θ－
6
＝
3
或2θ－
6
＝
3
，
π5π
故θ＝
4
或θ＝
12
.
6－2
ππππππππ
当θ＝
4
时，cos(θ＋
6)＝cos(
4
＋
6
)＝cos
4
cos
6< br>－sin
4
sin
6
＝
4
.
5ππ5ππ 5π5π
当θ＝
12
时，cos(θ＋
6
)＝cos(
12
＋
6
)＝cos(π－
12
)＝－cos
12
＝－
6－2
ππ
cos(
4
＋
6
)＝－
4.
20．(本题满分12分)(2012济宁模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝(3，－1)．
(1)若a⊥b，求θ的值；
(2)若|2a－b|[解析] (1)∵a⊥b，∴3cosθ－sinθ＝0，
π
得tanθ＝3，又θ∈[0，π]，∴θ＝
3

(2)∵2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ＋1)
∴|2a－b|
2
＝(2cosθ－3)
2
＋(2sinθ＋1)
2

13
＝8＋8(
2
sinθ－
2
cosθ)
π
＝8＋8sin(θ－
3
)
ππ
2
又θ∈[0 ，π]，∴θ－
3
∈[－
3
，
3
π]
π
3
∴sin(θ－
3
)∈[－
2
，1]
∴|2a－b|
2
的最大值为16.
∴|2a－b|的最大值为4.
又|2a－b|∴m>4.
21．(本题满分12分)(2013山 东潍坊高一期末)已知函数f(x)＝
π
Asin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<
2
)的部分图象如图所示．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)将函数y ＝f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为

1
π
原来的< br>2
倍，再将所得函数图象向右平移
6
个单位，得到函数y＝g(x)
的 图象，求g(x)的单调递增区间；
π5πππ
(Ⅲ)当x∈[－
2
，12
]时，求函数y＝f(x＋
12
)－2f(x＋
3
)的最值 ．
311
π
93
[解析] (Ⅰ)由图得：
4
T＝
6
π－
3
＝
6
π＝
2
π，
∴T＝2π，
2π
∴ω＝
T
＝1.
1111
又 f(
6
π)＝0，得：Asin(
6
π＋φ)＝0，
1111
∴
6
π＋φ＝2kπ，φ＝2kπ－
6
π，
ππ
∵0<φ<
2
，∴当k＝1时，φ＝
6
.
又由f(0)＝2，得：Asinφ＝2，A＝4，
π
∴f(x)＝4sin(x＋
6
)．
π
1
(Ⅱ )将f(x)＝4sin(x＋
6
)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的
2
ππ
倍，纵坐标不变得到y＝4sin(2x＋
6
)，再将图象向右平移
6< br>个单位得到
πππ
g(x)＝4sin[2(x－
6
)＋
6< br>]＝4sin(2x－
6
)，
πππ
由2kπ－
2
≤2x－
6
≤2kπ＋
2
(k∈Z)得：
ππ
kπ－
6
≤x≤kπ＋
3
(k∈Z)，

ππ
∴g(x)的单调增区间为[kπ－
6
，kπ＋
3
] (k∈Z)．
ππ
(Ⅲ)y＝f(x＋
12
)－2f(x＋
3
)
ππππ
＝4sin[(x＋
12
)＋
6
]－2×4sin[(x ＋
3
)＋
6
]
ππ
＝4sin(x＋
4
)－42sin(x＋
2
) ππ
＝4(sinx·cos
4
＋cosx·sin
4
)－42 cosx
＝22sinx＋22cosx－42cosx＝22sinx－22cosx
π
＝4sin(x－
4
)．
π
5
π
3< br>π
∵x∈[－
2
，
12
π]，x－
4
∈[－
4
π，
6
]，
π
1
∴sin(x－
4
)∈[－1，
2
]，
∴函数的最小值为－4，最大值为2.
22．(本题满分12分)(2012·全国高考山东 卷)已知向量m＝(sinx,1)，
A
n＝(3Acosx，
2
cos2x )(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
(Ⅰ)求A；
π
(Ⅱ)将函 数y＝f(x)的图象像左平移
12
个单位，再将所得图象各点
1
的横坐标缩 短为原来的
2
倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，
5π
????
0，
求g(x)在
24
?
上的值域。
?
A3A
[解析] (Ⅰ)f(x)＝m·n＝3Acosxsinx＋
2< br>cos2x＝
2
Asin2x＋
2

π
???
cos2x＝Asin
2x＋
6
?
，则A＝6；
? ?
π
(Ⅱ)函数y＝f(x)的图象向左平移
12
个单位得到函数y＝
ππ
??
1
??
6sin
2?x＋
12
?＋6
的图象，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的
2
??
π
倍 ，纵坐标不变，得到函数g(x)＝6sin(4x＋
3
)．
5π
??π
?
π
7π
?
π
?
1
?
?? ??
当x∈
0，
24
时，4x＋
3
∈
3
，
6
，sin(4x＋
3
)∈
?
－
2
，1< br>?
，g(x)
??????
∈[－3,6]
5π
??
??
0，
故函数g(x)在
24
?
上的值域为[－3,6]．
?