高中数学必修4平面向量测试题(附详细答案)

平面向量单元测试
一、选择题 【共12道小题】
1、下列说法中正确的是( )
A.两个单位向量的数量积为1 B.若a·b=a·c且a≠0,则b=c
C. D.若b⊥c,则(a+c)·b=a·b
=2e,=-2e,||=2,则四边形ABCD是( ) 2、设e是单位向量,
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
3、已知|a|=|b|=1，a与b的夹角为90°,且c=2a+3b，d=ka-4 b,若c⊥d,则实数k的值为( )
A.6 B.-6 C.3 D.-3
4、设0≤θ＜2π,已知两个向量
度的最大值是( )
A. B. C. D.
= (cosθ，sinθ),=(2+sinθ，2-cosθ)，则向量长
5、设向量a=(1,-3) ，b=(-2,4)，c=(-1,-2)，若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾< br>相接能构成四边形，则向量d为( )
A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6)
6、已知向量a=(3，4)，b=(-3，1)，a与b的夹角为θ,则tanθ等于( )
A. B.-
=a+kb,
C.3 D.-3
=la+b(k、l∈R),且与共线,则k、l应满足( ) 7、向量a与b不共线,
A.k+l=0 B.k-l=0 +1=0 -1=0
8、已知平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,则λ的值为( )
A.3 B.2 C. D.
9、设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|=2 |ai|，且ai顺
时针旋转30°后与bi同向，其中i=1，2，3，则( )
A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0
C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0
10 、设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y
轴 对称，O为坐标原点，若,且·=1,则P点的轨迹方程是( )
A.3x2+y2=1(x＞0,y＞0) B.3x2y2=1(x＞0,y＞0)
C.x2-3y2=1(x＞0,y＞0) D.x2+3y2=1(x＞0,y＞0)

11、已知△ABC中，点D在BC边上，且，若,则r+s的值是( )
A. B.0 C. D.-3
1 2、定义a※b=|a||b|sinθ，θ是向量a和b的夹角，|a|、|b|分别为a、b的模，已知点A (-3,2)、
B(2,3),O是坐标原点，则※等于( )
A.-2 B.0 C.6.5
D.13
二、填空题 【共4道小题】
1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c| =7,则向量a与b的夹角是____________.
2、若=2e1+e2,=e1-3e2, =5e1+λe2,且B、C、D三点共线,则实数λ=___________.
3、已知e1、 e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是__________ .
4、如图2-1所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是< br>_________________.

图2-1
① ②+ ③ ④+ ⑤-
三、解答题 【共6道小题】
1、如图2-2所示，在△ABC中,=c,= a,=b,且a·b=b·c=c·a，试判断△ABC的形状.

图2-2

2、如图2-3所示,已知|| =||=1，、的夹角为120°,与的夹角为45°,|
|=5,用，表示.(注：cos75°=)

图2-3






3、在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),
又有







⊥,求的坐标.
=(6，1)，=(-2，-3).若有∥,
4、已知平面向量a=(,-1),b=(,).
(1)证明a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k、t,使得x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且x⊥y,求函数关系式k=f(t).

5、已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=













,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
6、如图2-4所示,已知△ AOB,其中
=λa(0＜λ＜1),
=a,=b,而M、N分别是△AOB的两边OA、OB 上的点,且
=p用a、b表示出来. =μb(0＜μ＜1),设BM与AN相交于P,试将向量

图2-4

平面向量单元测试参考答案
一、选择题
1.参考答案与解析:解析 ：A中两向量的夹角不确定;B中若a⊥b,a⊥c,b与c反方向则不成立;C中
应为;D中b⊥cb ·c=0,所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b.
答案：D
主要考察知识点:向量、向量的运算
2.参考答案与解析:解析：
形.又因为||= |
,所以||=||,且AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边
|=2,所以四边形AB CD是菱形.
答案：B
主要考察知识点:向量、向量的运算
3.参考答案与解 析:解析：∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,∴k=6.
答案：A
主要考察知识点:向量、向量的运算
4.参考答案与解析:解析：
所以||=
=(2+sinθ- cosθ,2-cosθ-sinθ),
≤=.
答案：C
主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
5.参考答案与解析:解析：依题意,4a+4 b-2c+2(a-c)+d=0,所以d=-6a+4b-4c=(-2，-6).
答案：D
主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
6.参考答案与解析:解析：由已知得a·b=3×(-3)+4×1=-5，|a|=5，|b|=，
所以cosθ=
由于θ∈［0，π］,
.
所以sinθ=.
所以tanθ==-3.
答案：D
主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
7.参考答案与解析:解析：因为与共线,所以设=λ(λ∈R),即
la+b=λ(a+kb )=λa+λkb,所以(l-λ)a+(1-λk)b=0.
因为a与b不共线,所以l-λ=0且1-λk=0,消去λ得1-lk=0,即kl-1=0.
答案：D

主要考察知识点:向量、向量的运算
8.参考答案与解析:解析：因为=λ,所以(4，4)=λ(2，2).所以λ=.
答案：C
主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
9.参考答案与解析:解析 ：根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的2倍,三个向量
都顺时针旋转30°后合力 为原来的2倍,原来的合力为零,所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0.
答案：D
主要考察知识点:向量、向量的运算
10.参考答案与解析:解析：设P (x,y),则Q(-x,y).设A(xA),xA,B(0,yByB0,
=(xAx,-y).
=(x,y-yB)
∵
又∵·
=2PA,∴x=2(xA,x),y-yB= 2y,xA=
=1,(-x,y)·(-xA,yB)=1,
x,yB=3y(x＞0,y＞0).
∴(-x,y)·(x,3y)=1,
即x2+3y2=1(x＞0,y＞0).
答案：D
主要考察知识点:向量、向量的运算
11.参考答案与解析:解析：△ABC中，
答案：B
主要考察知识点:向量、向量的运算
12.参考答案与解析:解析：由题意可知
计算得
另一方面
∴cosθ=0,
又θ∈(0,π)，从而sinθ=1，∴※
·
·
=-3×2+2×3=0，
=|||
==()=-，故r+s=0.
=(-3,2),=(2,3),
|cosθ，
=||||sinθ=13.
答案：D
主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
二、填空题
1.参考答案与解析:解 析：由已知得a+b=-c,两边平方得a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72-32-52=15 .

设a与b的夹角为θ,则cosθ=
所以θ=60°.
答案：60°
主要考察知识点:向量、向量的运算
2.参考答案与解析:解析：由已知可得
==,
=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,
=(5e1+λe2)-(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.
由于B、C、D三点共线,所以存在实数m使得,
即-e1-4e2=m［4e1+(λ+3 )e2］.所以-1=4m且-4=m(λ+3),消去m得λ=13.
答案：13
主要考察知识点:向量、向量的运算
3.参考答案与解析:解析：运用夹角公式cosθ=，代入数据即可得到结果.
答案：120°
主要考察知识点:向量、向量的运算
4.参考答案与解析:解析：由向量减法法则可知③⑤不符合条件,①②显然满足，④不满足.
答案：①②
主要考察知识点:向量、向量的运算
三、解答题
1.参考答案与解析:解：∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.
又b=-(a+c),
∴-(a+c)·(a-c)=0,即c2-a2=0.
∴|c|=|a|.同理,|b|=|a|,
故|a|=|b|=|c|,所以△ABC为等边三角形.
主要考察知识点:向量、向量的运算
2.参考答案与解析:解：设=λ+μ,
则·=(λ+μ)·=λ+μ·=λ+μcos120°=λμ.
又·=||||cos45°=5cos45°=,
∴λμ=,
·=(λ+μ)·=λ·+μ=λcos120°+μ=λ+μ.

又·=||·||cos(120°-45°)=5cos75°=,
∴λ+μ=.
∴λ=,μ=.
∴=+.
主要考察知识点:向量、向量的运算
3.参考答案与解析:解：设
=(x-2,y-3).
又∥及⊥,
=( x,y),则=(6+x,1+y),=(4+x,y-2),=(-x-4,2-y),
所以x(2- y)-(-x-4)y=0, ①
(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0. ②
解得
∴
或
=(-6,3)或(2,-1).
主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
4.参考答案与解析:(1)证明：因为a·b =(，-1)·(，)=+(-1)×=0，所以a⊥b.
(2)解：由已知得|a|==2，|b|==1,
由于x⊥y,所以x·y=0,即［a+(t2-3)b］·(-ka+tb)=0.
所以- ka2+ta·b-k(t2-3)b·a+t(t2-3)b2=0.
由于a·b=0,所以-4k+t(t2-3)=0.
所以k=t(t2-3).
由已知k，t不同时为零得k=t(t2-3)(t≠0).
主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
5.参考答案与解析:解：(1)设c=(x，y),∵|c|=
x2+y2=20, ①
,∴,即

∵c∥a,a=(1，2),∴2x-y=0,
y=2x. ②
即
联立①②得或
∴c=(2,4)或(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0. ①
∵|a|2=5，|b|2=,代入①式得a·b=.
∴cosθ==-1.
又∵θ∈［0，π］，∴θ=π.
主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示
6 .参考答案与解析:解：由题图可知p=
设
又∵
∴p=
p=
=m(< br>=μb，设
)=m(b-λa),
=n()=n(a-μb),
或p=,而=λa，
=λa+m(b-λa)=λ(1-m)a+mb，
=μb+n(a-μb)=na+μ(1-n)b.
∵a、b不共线,且表示方法唯一，
∴解得
∴p=λ［］a+，
即p=.
主要考察知识点:向量、向量的运算