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北师大高中数学必修四知识点非常详细)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 01:26
tags:高中数学必修四

高中数学必修一b版备课-高中数学周期是什么意思


北师大高中数学必修四知识点
第一章 三角函数
2、象限的角:在直角坐标 系内,顶点与原点重合,始边与x轴的非负
半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做
轴线角。
第一象限角的集合为?
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
?

第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??< br>?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
< br>终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k???

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k? 180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角,连同角
?
在内,都可以表示为集合
{
?
|
?
?
?
?k?360
?
,k?Z
}
4、弧度制:
(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做
单位叫弧度制。
半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的
绝对值是
?
?

180
?
?
?
rad,(2)度数与弧度数的换算:1 rad< br>?(
l
r
180
?
)
?
?57.30
?
?57
?
18
'

(3)若扇形的圆心角为
?

?
是角的弧度数),半径为
r
,则:


弧长公式:
l?|
?
|r
;扇形面积:
S?lr??|
?
|r
2

y
1
2
1
2
5、三角函数:
P
(
u
,
v
(1)定义:①设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(
u
,
v
),

那么
v
叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=
v
;

u
叫做α的余
o
v
u
x
弦,记作cosα,即cosα=
u
; 当α的终边不在y轴上时,叫
做α的正切,记作tanα, 即tanα=.
v
u
②设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标
P
(
x
,
y
)


?
x,y
?
,它与原点的距离是
rOP?r?x
2
?y
2
?0

y

?
?

sin
?
?

cos
?
?

tan
?
?
?
x?0
?

(2)三角函数值在各象限的符号:

+
y
+
_
y
+
_
y
+
y
r
x
r
y
x
o

x

O
_
x
_
O
_
x
_
O
+
x
+
诀:第一象限全为正;


二正三切四余弦.
(3)特殊角的三角函数值
?
的角


?
的弧







不存




?
的角


?
的弧














不存











6、三角函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?

cos
?
2k
?
?
?
?
?cos?

tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?

口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.
?
2
?
sin
?
?
?
?
??sin
?

cos
??
?
?
?cos
?

tan
?
??
?
??tan
?

?
3
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?

cos
?
?
?
?
?
??cos
?

ta n
?
?
?
?
?
??tan
?

?
4
?
sin
?
?
?
?
?
??s in
?

cos
?
?
?
?
?
?? cos
?

tan
?
?
?
?
?
? tan
?

?
5
?
sin
?
2
?
?
?
?
??sin
?

cos
?
2
?
?
?
?
?cos
?

tan
?
2
?
?
?
?
??tan
?

口诀:函数名称不变,正负看象限.
?
6
?
sin
??
??
?
??
?
?
?
?
?
? cos
?

cos
?
?
?
?
?sin?

tan
?
?
?
?
?cot
?
?
2
??
2
?
?
2
?
?


?
7
?
sin
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,< br>cos
?
?
?
?
??sin
?

t an
?
?
?
?
??cot
?

?
2
?
?
2
??
2
?
?
口诀:正弦与余弦 互换,正负看象限.
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:







值域:
?
?1,1
?

?





值域:
?
?1,1
?

值域:
R



x?2k
?
?
?
k??
?
时,

x?2k
?
?
k??< br>?
时,
2
既无最大值也无最
?

y
max
?1
;当
x?2k
?
?

y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?

2
小值
?
k??
?
时,
y
min
??1

?
k??
?
时,
y
min
??1
y?tanx
是周期函
y?sinx
是周期函数;
y?cosx
是周期函数;

周期为
T?2k
?
,k?Z
且周期为
T?2k
?
,k?Z


k?0

k?0

数;周期为
T?k
?
,k?Z


最小正周期为
2
?




奇函数 偶函数
最小正周期为
2
?

k?0
;最小正周期

?

奇函数


??
??


?
2k
?
?
2
, 2k
?
?
2
?

??

?
2k< br>?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?上是增函数;在
??
?
k
?
?,k
?
?

?
??

?
22
?

k??
上是增函数;在
??

k??
上是减函数.
??

?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是减函数.
对称中心

?
k??
?
上是增函数.
对称中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?< br>?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?< br>

?
?
2
?
对称轴
x?k
??
?
k??
?

?
2

对称轴
x?k
?
?
k??
?

对称中心< br>?
k
?
,0
??
k??
?

无对称轴
8、函数
y?Asin(
?
x?
?
)? b(A?0,
?
?0)
的相关知识:
(1)
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
的图象与
y?sinx
图像的关系:
①振幅变换:
y?sinx

y?Asinx

图象上每个点的横坐标变为原来的
图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍
1
?
倍,纵坐标不变
②周期变换:
y?sinx

y?sin
?
x


图象整体向左(
?
? 0
)或向右(
?
?0
)平移
?
个单位
③相位变换:
y?sinx

y?sin(x?
?
)


图象整体向上(
b?0
)或向下(
b?0

平移
b
个单位
④平移变换:
y?Asin(
?
x?
?
)

y??sin
?
?
x?
?
?
?b

先平移后伸缩:
函数
y?sinx
的图象整体向左(
?
?0
)或向右(
?
?0
)平

?
个单位,得到函数
y ?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?


图象上每个点的横坐标变为原来的< br>1
倍,纵坐标不变,得到函数
?
再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上每个点的纵坐标
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;
变为原来的
?
倍,横坐标不 变,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象; 再将
函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象 整体向上(
b?0
)或向下(
b?0
)平移
b
个单
位,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
先伸缩后平移:
函数
y?sinx
的图象上每个点的横坐标变为原来 的
1
倍,纵坐
?
标不变,得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象整体向左

?
?0
)或向右(
?
?0
)平移
?
个单位,得到 函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;
?
再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象 上每个点的纵坐标变为原来的
?
倍,横坐
标不变,得到函数
y??sin?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象
整体向上(
b?0
)或 向下(
b?0
)平移
b
个单位,得到函数
y??sin
?< br>?
x?
?
?
?b

(2)函数
y?Asi n(
?
x?
?
)?b(A?0,
?
?0)
的性质:
①振幅:
?
;②周期:
??
⑤初相:
?

定义域:
R

值域:
?
?A?b,A?b
?


?
x?
?
?2k
?
?

?
x?
?
?2k
?
?
?
2
2
?
?
;③频率:
f?
1
?
;④相位:
?
x?
?

?
? 2
?
?
k??
?
时,
y
max
?A?b< br>;
?
k??
?
时,
y
min
??A?b

?
2
周期性:函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b(A?0,
?
?0)
是周期函数;周期为
T?
2
?
?


??
?
2k
?
?,2k?
?
单调性:
?
x?
?

?
???
k??
?
上时是增函数;
?
22
?
?x?
?

?
2k
?
?
?
?
?
2
,2k
?
?
3
?
?
?
k??< br>?
上时是减函数.
2
?
?
对称性:对称中心为
?< br>?
?
k
?
?
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?
;对称轴为
?
x?
?
?k
?
?
?
k??
?

2
?
第二章 平面向量
1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面
内的有向线段表示.
2、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作
0
;零向量的方向是任意
的.
3、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量
a

行的单 位向量:
e??
a
|a|

4、平行向量(共线向量):方向相同 或相反的非零向量叫平行向量也
叫共线向量,记作
ab

规定
0
与任何向量平行.
5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向
量相等.
注意 :
任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且
与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相接


⑵平行四边形法则的特点:
起点相同
⑶运算性质:
a?b?b?a
;①交换律:②结合律:③
a?0?0?a?a

?
a?b
?
?c?a?
?
b?c
?

⑷坐 标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b??
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

7、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向
指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?


?

?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?

?
x
2
,y
2
?< br>,

???
?
x
2
?x
1
,y< br>2
?y
1
?

8、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a

?
a?
?
a

②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
??0
时,
?
a
的方向与
a

方向相反;

?
?0
时,
?
a?0

⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?< br>?
a
;③
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b

⑶坐标运算:设
a?
?
x,y?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?

9、向量共线定理:向量< br>a
?
a?0
?

b
共线,当且仅当有唯一一个实数< br>?


使
b?
?
a

a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅 当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0时,向量
a

bb?0
共线.
??
10、平面向量基 本定理:如果
e
1

e
2
是同一平面内的两个不共线向量,
那么对于这一平面内的任意向量
a
,有且只有一对实数
?
1

?
2
,使
(不共线的向量
e
1

e2
作为这一平面内所有向量的一组基
a?
?
1
e
1?
?
2
e
2

底)
11、分点坐标公式:设 点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1

?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y1
?

?
x
2
,y
2
?
,当
?
1
??
?
??
2
时,点
?
的坐 标是
?
?
12、平面向量的数量积:
x
1
?
?< br>x
2
y
1
?
?
y
2
?
,< br>?

1?
?
1?
?
??

a?b ?abcos
?
?
a?0,b?0,0?
?
?180
?.零向量与任一向量的数量积为
0

⑵性质:设
a

b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a

b< br>同向
a?b?ab

a?b??ab
;时,当
a
与< br>b
反向时,③
a?a?a
2
?a

a?a?a

a?b?ab

2
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
?
a?b
?< br>?a?
?
?
b
?
;③
?
a?b
?< br>?c?a?c?b?c

⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2< br>,y
2
?
,则
a?b?xx

12
?yy< br>12


a?
?
x,y
?
,则
a? x
2
?y
2
,或
a?x
2
?y
2


a?
?
x
1
,y
1
?
,< br>b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b? x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
. < br>设
a

b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?

b?
?
x
2
,y< br>2
?

?

a

b
的夹角,则 < br>2


cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2< br>1
2
1
x?y
2
2
2
2

第三章 三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
(1)平方关系:
sin
2
?
?cos
2
?
?1
(2)商数关系:
tan
?
?
sin
?

cos
?
(3)倒数关系:
tan
?
cot
?
?1

tan
2
?
1
2

sin
?
?

cos
?
?
2< br>2
1?tan
?
1?tan
?
2
注意:
sin
?
,cos
?
,tan
?
按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)

sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

S
(
?
?
?
)

sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
:< br>cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?

C
(
?
?
?
)

cos(a?
?
)?cos
?
cos
??sin
?
sin
?

T
(
?
?
?
)

tan(
?< br>?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan< br>?
tan
?

T
(
?
?
?
)

tan(
?< br>?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan< br>?
tan
?

正切和公式:
tan
?
?ta n
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)

3、辅助角公式:
asinx?bcosx?a2
?b
2
?
?
??
ab
?
sinx? cosx
?

2222
a?b
?
a?b
?
(其中
?
称为辅助角,
?
的终边过点
(a,b)

tan
?
?
b

a
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

S
2
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?

C
2
?

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1


T
2
?

tan2
?
?
2tan
?

1?tan2
?
二倍角公式的常用变形:①、
1?cos2
?
?2|sin
?
|

1?cos2
?
?2|cos
?
|

11
②、
1
?
1
cos2
?
?|sin
?
|

?cos2
?
?|cos
?
|

22
22
sin
2
2
?
③、
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?
?1?

2
4422
cos
4
?
?sin
4
?
?cos2
?

降次公式:
sin
?
cos
?
?sin2
?

sin
2
?
?
5、半角的正弦、余弦和正切公式:
sin
1
2
1?cos2
?
11
??cos2
?
?

222
?
2
??
1?cos
?
?1?cos
?

cos??

222
6、同角三角函数的常见变形:(活用“1”)

sin
2
?
?1?cos
2
?

sin
?
??1?cos
2
?

cos
2
?
?1?sin
2
?

cos
?
??1?sin
2
?

cos
2
?
?sin
2
?
2
?

tan
?
?cot
?
?

sin
?
cos
?sin2
?
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
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7、补充公式:
①万能公式
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②积化和差公式


③和差化积公式

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