高中数学必修一b版备课-高中数学周期是什么意思
北师大高中数学必修四知识点
第一章 三角函数
2、象限的角:在直角坐标
系内,顶点与原点重合,始边与x轴的非负
半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做
轴线角。
第一象限角的集合为?
?
k?360?
?
?k?360?90,k??
?
第二象限角的集合为
?
?
k?360?90?k?360?180,k??<
br>?
第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?
第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?
<
br>终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k???
终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?
180?90,k??
?
终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?
3、与角
?
终边相同的角,连同角
?
在内,都可以表示为集合
{
?
|
?
?
?
?k?360
?
,k?Z
}
4、弧度制:
(1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做
单位叫弧度制。
半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的
绝对值是
?
?
.
180
?
?
?
rad,(2)度数与弧度数的换算:1 rad<
br>?(
l
r
180
?
)
?
?57.30
?
?57
?
18
'
(3)若扇形的圆心角为
?
(
?
是角的弧度数),半径为
r
,则:
弧长公式:
l?|
?
|r
;扇形面积:
S?lr??|
?
|r
2
y
1
2
1
2
5、三角函数:
P
(
u
,
v
(1)定义:①设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(
u
,
v
),
那么
v
叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=
v
;
u
叫做α的余
o
v
u
x
弦,记作cosα,即cosα=
u
;
当α的终边不在y轴上时,叫
做α的正切,记作tanα, 即tanα=.
v
u
②设
?
是一个任意大小的角,
?
的终边上任意一点
?
的坐标
P
(
x
,
y
)
是
?
x,y
?
,它与原点的距离是
rOP?r?x
2
?y
2
?0
,
y
?
?
则
sin
?
?
,
cos
?
?
,
tan
?
?
?
x?0
?
(2)三角函数值在各象限的符号:
+
y
+
_
y
+
_
y
+
y
r
x
r
y
x
o
x
O
_
x
_
O
_
x
_
O
+
x
+
诀:第一象限全为正;
口
二正三切四余弦.
(3)特殊角的三角函数值
?
的角
度
?
的弧
度
不存
在
?
的角
度
?
的弧
度
不存
在
6、三角函数的诱导公式:
?
1
?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos?
,
tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?
?
k??
?
.
口诀:终边相同的角的同一三角函数值相等.
?
2
?
sin
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
??
?
?
?cos
?
,
tan
?
??
?
??tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
ta
n
?
?
?
?
?
??tan
?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
??s
in
?
,
cos
?
?
?
?
?
??
cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
.
?
5
?
sin
?
2
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
2
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
2
?
?
?
?
??tan
?
.
口诀:函数名称不变,正负看象限.
?
6
?
sin
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
cos
?
,
cos
?
?
?
?
?sin?
,
tan
?
?
?
?
?cot
?.
?
2
??
2
?
?
2
?
?
?
7
?
sin
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
,<
br>cos
?
?
?
?
??sin
?
,
t
an
?
?
?
?
??cot
?
.
?
2
?
?
2
??
2
?
?
口诀:正弦与余弦
互换,正负看象限.
7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
图
象
定
义
域
值域:
?
?1,1
?
?
值域:
?
?1,1
?
值域:
R
值
当
x?2k
?
?
?
k??
?
时,
当
x?2k
?
?
k??<
br>?
时,
2
既无最大值也无最
?
域
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
y
max
?1
;当
x?2k
?
?
?
2
小值
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
?
k??
?
时,
y
min
??1
. y?tanx
是周期函
y?sinx
是周期函数;
y?cosx
是周期函数;
周
周期为
T?2k
?
,k?Z
且周期为
T?2k
?
,k?Z
且
期
k?0
;
k?0
;
数;周期为
T?k
?
,k?Z
且
性
最小正周期为
2
?
奇
偶
性
奇函数
偶函数
最小正周期为
2
?
k?0
;最小正周期
为
?
奇函数
??
??
单
在
?
2k
?
?
2
,
2k
?
?
2
?
??
在
?
2k<
br>?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?上是增函数;在
??
?
k
?
?,k
?
?
在
?
??
?
22
?
调
k??
上是增函数;在
??
性
k??
上是减函数.
??
对
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?
k??
?
上是减函数.
对称中心
?
k??
?
上是增函数.
对称中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?<
br>?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?<
br>
称
?
?
2
?
对称轴
x?k
??
?
k??
?
?
2
性
对称轴
x?k
?
?
k??
?
对称中心<
br>?
k
?
,0
??
k??
?
无对称轴
8、函数
y?Asin(
?
x?
?
)?
b(A?0,
?
?0)
的相关知识:
(1)
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
的图象与
y?sinx
图像的关系:
①振幅变换:
y?sinx
y?Asinx
图象上每个点的横坐标变为原来的
图象上每个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍
1
?
倍,纵坐标不变
②周期变换:
y?sinx
y?sin
?
x
图象整体向左(
?
?
0
)或向右(
?
?0
)平移
?
个单位
③相位变换:
y?sinx
y?sin(x?
?
)
图象整体向上(
b?0
)或向下(
b?0
)
平移
b
个单位
④平移变换:
y?Asin(
?
x?
?
)
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
先平移后伸缩:
函数
y?sinx
的图象整体向左(
?
?0
)或向右(
?
?0
)平
移
?
个单位,得到函数
y
?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
x?
?
?
的
图象上每个点的横坐标变为原来的<
br>1
倍,纵坐标不变,得到函数
?
再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上每个点的纵坐标
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;
变为原来的
?
倍,横坐标不
变,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象;
再将
函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象
整体向上(
b?0
)或向下(
b?0
)平移
b
个单
位,得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b.
先伸缩后平移:
函数
y?sinx
的图象上每个点的横坐标变为原来
的
1
倍,纵坐
?
标不变,得到函数
y?sin
?
x
的图象;再将函数
y?sin
?
x
的图象整体向左
(
?
?0
)或向右(
?
?0
)平移
?
个单位,得到
函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象;
?
再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象
上每个点的纵坐标变为原来的
?
倍,横坐
标不变,得到函数
y??sin?
?
x?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象
整体向上(
b?0
)或
向下(
b?0
)平移
b
个单位,得到函数
y??sin
?<
br>?
x?
?
?
?b
.
(2)函数
y?Asi
n(
?
x?
?
)?b(A?0,
?
?0)
的性质:
①振幅:
?
;②周期:
??
⑤初相:
?
.
定义域:
R
值域:
?
?A?b,A?b
?
当
?
x?
?
?2k
?
?
当
?
x?
?
?2k
?
?
?
2
2
?
?
;③频率:
f?
1
?
;④相位:
?
x?
?
;
?
?
2
?
?
k??
?
时,
y
max
?A?b<
br>;
?
k??
?
时,
y
min
??A?b
.
?
2
周期性:函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b(A?0,
?
?0)
是周期函数;周期为
T?
2
?
?
??
?
2k
?
?,2k?
?
单调性:
?
x?
?
在
?
???
k??
?
上时是增函数;
?
22
?
?x?
?
在
?
2k
?
?
?
?
?
2
,2k
?
?
3
?
?
?
k??<
br>?
上时是减函数.
2
?
?
对称性:对称中心为
?<
br>?
?
k
?
?
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?
;对称轴为
?
x?
?
?k
?
?
?
k??
?
2
?
第二章 平面向量
1、向量定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面
内的有向线段表示.
2、零向量:长度为0的向量叫零向量,记作
0
;零向量的方向是任意
的.
3、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫单位向量;与向量
a
平
行的单
位向量:
e??
a
|a|
.
4、平行向量(共线向量):方向相同
或相反的非零向量叫平行向量也
叫共线向量,记作
ab
;
规定
0
与任何向量平行.
5、相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向
量相等.
注意
:
任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且
与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点:
起点相同
⑶运算性质:
a?b?b?a
;①交换律:②结合律:③
a?0?0?a?a
.
?
a?b
?
?c?a?
?
b?c
?
;
⑷坐
标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b??
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
7、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向
指向被减向量.
⑵坐标运算:设
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
.
设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?<
br>,
则
???
?
x
2
?x
1
,y<
br>2
?y
1
?
.
8、向量数乘运算:
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作
?
a.
①
?
a?
?
a
;
②当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
??0
时,
?
a
的方向与
a
的
方向相反;
当
?
?0
时,
?
a?0
.
⑵运算律:①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
;②
?
?
?
?
?
a?
?
a?<
br>?
a
;③
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b
.
⑶坐标运算:设
a?
?
x,y?
,则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
.
9、向量共线定理:向量<
br>a
?
a?0
?
与
b
共线,当且仅当有唯一一个实数<
br>?
,
使
b?
?
a
.
设a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y
2
?
,其中
b?0
,则当且仅
当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0时,向量
a
、
bb?0
共线.
??
10、平面向量基
本定理:如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量,
那么对于这一平面内的任意向量
a
,有且只有一对实数
?
1
、
?
2
,使
(不共线的向量
e
1
、
e2
作为这一平面内所有向量的一组基
a?
?
1
e
1?
?
2
e
2
.
底)
11、分点坐标公式:设
点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点,
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,当
?
1
??
?
??
2
时,点
?
的坐
标是
?
?
12、平面向量的数量积:
x
1
?
?<
br>x
2
y
1
?
?
y
2
?
,<
br>?
.
1?
?
1?
?
??
⑴
a?b
?abcos
?
?
a?0,b?0,0?
?
?180
?.零向量与任一向量的数量积为
0
.
⑵性质:设
a
和
b
都是非零向量,则①
a?b?a?b?0
.②当
a
与
b<
br>同向
a?b?ab
;
a?b??ab
;时,当
a
与<
br>b
反向时,③
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
.
a?b?ab
.
2
⑶运算律:①
a?b?b?a
;②
?
?
a
?
?b?
?
?
a?b
?<
br>?a?
?
?
b
?
;③
?
a?b
?<
br>?c?a?c?b?c
.
⑷坐标运算:设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2<
br>,y
2
?
,则
a?b?xx
12
?yy<
br>12
.
若
a?
?
x,y
?
,则
a?
x
2
?y
2
,或
a?x
2
?y
2
.
设
a?
?
x
1
,y
1
?
,<
br>b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
. <
br>设
a
、
b
都是非零向量,
a?
?
x
1
,y
1
?
,
b?
?
x
2
,y<
br>2
?
,
?
是
a
与
b
的夹角,则 <
br>2
cos
?
?
a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2<
br>1
2
1
x?y
2
2
2
2
.
第三章 三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
(1)平方关系:
sin
2
?
?cos
2
?
?1
(2)商数关系:
tan
?
?
sin
?
cos
?
(3)倒数关系:
tan
?
cot
?
?1
tan
2
?
1
2
sin
?
?
;
cos
?
?
2<
br>2
1?tan
?
1?tan
?
2
注意:
sin
?
,cos
?
,tan
?
按照以上公式可以“知一求二”
2、两角和与差的正弦、余弦、正切
S
(
?
?
?
)
:
sin(
?
?
?
)?
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
S
(
?
?
?
)
:
sin(
??
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:<
br>cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?
C
(
?
?
?
)
:
cos(a?
?
)?cos
?
cos
??sin
?
sin
?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?<
br>?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan<
br>?
tan
?
T
(
?
?
?
)
:
tan(
?<
br>?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan<
br>?
tan
?
正切和公式:
tan
?
?ta
n
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)
3、辅助角公式:
asinx?bcosx?a2
?b
2
?
?
??
ab
?
sinx?
cosx
?
2222
a?b
?
a?b
?
(其中
?
称为辅助角,
?
的终边过点
(a,b)
,
tan
?
?
b
)
a
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
S
2
?
:
sin2
?
?2sin
?
cos
?
C
2
?
:
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1
T
2
?
:
tan2
?
?
2tan
?
1?tan2
?
二倍角公式的常用变形:①、
1?cos2
?
?2|sin
?
|
,
1?cos2
?
?2|cos
?
|
;
11
②、
1
?
1
cos2
?
?|sin
?
|
,
?cos2
?
?|cos
?
|
22
22
sin
2
2
?
③、
sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?
?1?
;
2
4422
cos
4
?
?sin
4
?
?cos2
?
;
降次公式:
sin
?
cos
?
?sin2
?
sin
2
?
?
5、半角的正弦、余弦和正切公式:
sin
1
2
1?cos2
?
11
??cos2
?
?
222
?
2
??
1?cos
?
?1?cos
?
;
cos??
,
222
6、同角三角函数的常见变形:(活用“1”)
①
sin
2
?
?1?cos
2
?
;
sin
?
??1?cos
2
?
;
cos
2
?
?1?sin
2
?
;
cos
?
??1?sin
2
?
;
cos
2
?
?sin
2
?
2
?
②
tan
?
?cot
?
?
,
sin
?
cos
?sin2
?
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
cot
?
?tan
?
???2cot2
?
sin
?
cos
?
sin2
?
③
(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin?
cos
?
?1?sin2
?
;
1?sin2
?
?|sin
?
?cos
?
|
7、补充公式:
①万能公式
2tan
sin
?
?
1?tan
?<
br>2
2
?
2
;
co
?
s?
2
1?tan
?
?
2
;
tan
?
?
2
2tan
2
1?tan
2
?
1?tan
2
?
2
②积化和差公式
③和差化积公式