高中数学必修四(期末试卷含答案)

数学必修四测试卷
一、选择题（本大题共12道小题，每题5分，共60分）
1．函数
y
＝sin
A．(0，1)
＋cos
π
??
?
0 ＜
?
＜
?
的值域为( )．
2
??
B．(－1，1) C．(1，
2
] D．(－1，
2
)
2．锐角三角形的内角
A
，
B
满足tan
A
－
A．sin 2
A
－cos
B
＝0
C．sin 2
A
－sin
B
＝0
?
4
?
1
＝tan
B
，则有( )．
sin2A


?


4
?




B．sin 2
A
＋cos
B
＝0
D．sin 2
A
＋sin
B
＝0 < br>2
?
π
?
π
?
3．函数
f
(
x
)＝sin
2
?
?
x＋
?
－sin
?
x－
?
是( )．

A．周期为
C．周期为2
的偶函数
的偶函数






B．周期为
D．周期为2
的奇函数
的奇函数
4．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等
rrrrrrB．若
a
与
b
是共线向量，
b
与
c
是 共线向量，则
a
与
c
是共线向量
ruurrr
r
r
C．
|a?b|?|a?b|
，则
a?b?0
< br>uuruur
r
r
D．若
a
0
与
b
0
是单位向量，则
a
0
?b
0
?1

r< br>r
r
r
0
5．已知
a,b
均为单位向量，它们的夹角 为
60
，那么
a?3b?
（ ）
A．
7
B．
10
C．
13
D．
4

rrrr rr
rr
6．已知向量
a
，
b
满足
a?1,b?4 ,
且
a?b?2
,
则
a
与
b
的夹角为
A．
??
?
?
B． C． D．
6432
C的大小应为( )
D．
?
2
?
或
3
3
7.在

ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=
3
，则
B．
?

6
A．
?

3
C．
?
5
或
?

66
8. 若，则对任意实数

的取值为（ ）
D. 不能确定
，则的大小为（ ）
A. 区间（0，1） B. 1 C.
9. 在
A.
中，
B. C. D.
10. 已知角
?
的终边上一点的坐标为（
sin
（ ）。
2
?
2
?
），则角
?
的最小值为
, cos
33

A、
5
?
2
?
5
?
11
?
B、 C、 D、
6336
11. A，B，C是
?
ABC的三个内角，且
tanA, tanB
是方程
3x
2
?5x?1?0
的两个实
数根，则< br>?
ABC是（ ）
A、等边三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形
1
12. 已知
sinxcosy?,则cosxsiny
的取值范围是（ ）
2
311311
A、
[?1,1]
B、
[?,]
C、
[?,]
D、
[?,]

222222


二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知方程
x
2
?4ax?3a?1?0
（a为大于1的常数）的两根为
tan
?
，
tan
?
，
?
?
?
?
?
??
且
?
、
?
?
?
?
,
?，则
tan
的值是_________________.
2
?
22
?
rrrrrr
14. 若向量
|a|?1,|b|?2,|a?b|?2,
则
|a?b|?
。
15.给出四个命题：①存在实数
?
，使
sin
?
co s
?
?1
；②存在实数
?
，使
35
?
?< br>5
?
sin
?
?cos
?
?
；③
y ?sin(?2x)
是偶函数；④
x?
是函数
y?sin(2x?)
2284
的一条对称轴方程；⑤若
?
,
?
是第一象限角，且
?
?
?
，则
sin
?
?sin
?
。其中< br>所有的正确命题的序号是_____。
π
?
，则sin
?
＋
?
?
sin
?
－
?
?
＝，∈
?
，
4
?
π
?
4
??
?
π
?
4
?
?
1
6
?π
?
2
?
?
的值为 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17.（10分）已知












，求的最小值及最大值。

sin2x＋2sin
2
x
3
7?7?
?
π
?
18.（12分）已知cos
?
＋ x
?
＝，＜
x
＜，求的值．
1－tanx
5
124
?
4
?










19.（12 分）已知函数
f(x)?sin(
?
x??)(
?
?0,0
≤
?
≤
?
)
是R上的偶函数，其
3
?
图像 关于点M
(
?
,0)
对称，且在区间[0，]上是单调函数，求
?< br>和
?
的值。
4
2











?
?
3 3
?
?
?
xx
??
?
?
20.（12分） 已知向量
a?
?
cosx,sinx
?
,b?
?
c os,?sin
?
,且
x?
?
0,
?
,
求
22
?
22
???
?
2
?
?
?< br>?
?
(1)
a?b
及
a?b
;
?
?
?
?
3
(2)若
f
?x
?
?a?b?2
?
a?b
的最小值是
?
,求 实数
?
的值.
2

rr
25
rr
21. （1 2分）已知向量
a?(cos
?
,sin
?
)
，
b ?(cos
?
,sin
?
)
，
a?b?
．
5
（1）求
cos(
?
?
?
)
的值；
（2）若
0?
?
?











22.（12分）已知向量
a?(cos
3x3xxx
，sin)
，
b?(cos，?sin)
，
c?(3，?1)
，
2222
?
2
，
?
?
2
?
?
?0
，且
sin
?
??
5
，求
sin
?
的值．
13
其中
x?R
．
（1）当
a?b
时，求
x
值的集合；
（2）求
|a?c|
的最大值．

2011～2012学年度下学期期末考试
高一数学答案（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共12题，共60分）
1-5 CABCC 6-10 CBBAD 11-12 DD
1．C 解析：∵ sin
为(1，
2
]．
2．A 解析：由tan
A
－
sin(A－B)

cosAcosB
?
cos
B
＝2sin
A
s in(
A
－
B
)
?
cos[(
A
－
B
)－
A
]＝2sin
A
sin(
A
－
B
)
?
cos(
A
－
B
)cos
A
－sin
A
sin(
A
－
B
)＝0，即cos(2
A
－
B
)＝0．

＋cos ＝
2
sin(＋
?
)，又
4
∈(0，
π
)，∴ 值域
2
11
1
＝tan
B
，得＝tan
A
－tan
B
?
＝
sin2Asin2A
2sinAcosA
∵ △
ABC
是锐角三角形，
∴ －
π
＜2
A
－
B
＜π，
2
?
?
sin 2
A
＝cos
B
，即sin 2
A
－cos
B
＝0．
2π
???
2
?
2
?
π
2
?
π
3．B 解析：由sin
?
x－
?
＝sin
?
－x
?
＝cos
?
＋x
?
，
4
???
4
??
4
?
∴ 2
A
－
B
＝
得
f
(
x
)＝sin
2
?< br>x＋
?
－cos
2
?
＋x
?
＝－cos?
2x＋
?
＝sin 2
x
．
r
r
4.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当
b?0时，
a
与
c
可以为任
?
?
π
?
4
?
?
π
?
4
?
?
?
?
π
?
2
?
意向量；

|a?b|?|a?b|
，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角
r r
2
rr
2
r
r
b?9b?1?6cos60
0< br>?9?13
5. C
a?3b?a?6ag
r
r
agb21
?
6. C
cos
?
?
r
r
??,
?
?

3
ab
42
7. 正确答案：B 错因：学生求
8.解一：设点


解得
选B
C有两解后不代入检验。
，则此点满足
或 即

解二：用赋值法， 令 同样有选B
说明：此题极易认为答案B最不可能，怎么能会与无关 呢？其实这是我们
忽略了一个隐含条件
9. 解：由
，导致了错选为C或D。
平方相加得
若 则
又 选A
说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我
们要注意对题目条件的挖掘。
10. 正解：D
23511
2
?
2
?
tan< br>?
?cos
?
??,?
?
?
?
或
?
?
?
，而
sin?0cos?0

3366
33< br>所以，角
?
的终边在第四象限，所以选D，
?
?
11
?

6
22
误解：
tan
?
?tan
?< br>,
?
?
?
,选B
33
11. 正解：D
3
?
tanA?tanB?
?
?
5
由韦达定理得：
?

?
tanAtanB?
1
?
3
?
5
tanA?tanB5
?tan(A?B)??
3
?

1? tanAtanB
2
2
3

在
?ABC
中，< br>tanC?tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)??
5
? 0

2
??C
是钝角，
??ABC
是钝角三角形。
12. 答案：D设
cosxsiny?t,则(sinxcosy)(cosxsiny)?
由
sin2xsin2y?1即2t?1??
错解：B、C
1
可得sin2x sin2y=2t,
t
，
2
11
?t?
。
22
11
错因：将
sinxcosy?与cosxsiny?t相加得sin(x?y)??t
由 22
131
?1?sin(x?y)?1得?1??t?1得??t?
选B，相减 时选C，没有考虑上述
222
两种情况均须满足。
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
一、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.-2 14.
6
15. ③④ 16. －
42

9
13. 正确解法：
?a?1

?
tan
?
?tan
?< br>??4a
?0
，
tan
?
?tan
?
?3a ?1?o


?
tan
?
,tan?
是方程
x
2
?4ax?3a?1?0
的两个负根
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
?
?,0
?
又
?
,
?
?
?
?,
?

?
?
,
?
?
?
?,0
?
即2
?
2
??
2
?
?
22
?
由
tan
?
?
?
?
?
=
答案: -2 .
14.
6
由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得
r2
r
2
r
r
2
r
r
2
rr
2
r
2
r
r
2
r
2

a?b?a?b?2a?2b?a?b?2a?2b?a?b?2?2?4?4?6

tan
?
?tan
?
?4a
4
?
?
?==可得
tan??2.

1?tan
?
?tan
?< br>1?
?
3a?1
?
32
15.正解：③④
111< br>sin2
?
?[?,],?sin
?
cos
?
?1< br>不成立。
222
?
3
②
sin
?
?co s
?
?2sin(
?
?)?[?2,2],?[?2,2],?
不成 立。
42
5
?
?
③
y?sin(?2x)?sin(?2x)?cos2x
是偶函数，成立。
22
?
5
?
3
?
?
④ 将
x?
代入
2x?
得,
?
x?
是对称轴，成立。
8428
①
sin
?
cos
?
?
⑤ 若
?
?390
?
，
?
?60
?
,
?
?
?
,
但
sin
?
?sin
?
， 不成立。
误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。

⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是
(0
?
,90
?
)
的角，从而根据
y?sinx
做出了错误的判断。
16．－
42
．
9
??
??
?
解析：∵ sin
?
?
－
?
?
＝sin
?
－
?
＋
?
?
?
＝cos
?
＋
?
?
，
π
?
4
?
?
π
?
2
π
?
4
?
?
?
π
?
4
?
?
??
∴ sin
?
?
＋
?
?
sin
?
－
?
?
＝
?
?
π
?
4
π
?
4
1
6
1
?
π
??
π
?
?
sin
?
＋
?
?
cos
?
＋
?
?
＝
6
?
4
??
4
?
1
?
π
?
?
sin
?
＋ 2
?
?
＝．
3
?
2
?
∴ cos 2
∵ sin 2
∴ sin 4
＝，又
1
3
∈(
?
，π)，∴ 2
2
22
，
3
42
．
9
∈(π，2π)．
＝－
1－cos
2
2
?
＝－
＝2sin 2cos 2＝－
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 解：

令 则
当时，
时，

；当时， 而对称轴为
说明：此题易认为
件
，最大值不存在，这是忽略了条
不在正弦函数的值域之内。
18. 解：∵
∴
7?
7?5?
?
＜
x
＜，∴ ＜＋
x
＜2
4
126
4
3
?
5
?
44
?π
??
π
?
，∴ sin
?
＋ x
?
＝－，tan
?
＋ x
?
＝－．
53
?
4
??
4
?
．又cos
?
＋ x
?
＝＞0，
?
π
?
4
3??
＜＋
x
＜2
24
?
π
?
7
?
π
??
π
?
又 sin 2
x
＝－cos
?
＋ 2x
?
＝－cos 2
?
＋ x
?
＝－2cos
2
?
＋ x
?
＋1＝， 25
?
4
??
4
?
?
2
?