高中数学必修4三角函数综合测试题及答案详解

适合北师大版，人教版等
必修4三角函数综合测试题及答案详解
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( )
A．第二象限的角是钝角
B．第三象限的角必大于第二象限的角
C．－831°是第二象限角
D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角
aπ
2．若 点(a,9)在函数y＝3
x
的图象上，则tan
6
的值为( )
3
A．0 B.
3
C．1 D.3
θ
3．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则
2
的终边在( )
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、三象限或x轴上
D．第二、四象限或x轴上
4．如果函数f(x)＝s in(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得
最大值，那么( )
π
A．T＝2，θ＝
2
B．T＝1，θ＝π
π
C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝
2

3
?π
?
－x
??
5．若sin
2
＝－
2
，且π??
4
A.
3
π
5
C.
3
π
7
B.
6
π
11
D.
6
π
6．已知a是实数，而函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( )

1

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7．将函数y＝sinx的 图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y＝
?
π
?
sin?
x－
6
?
的图象，则φ＝( )
??
π
A.
6

7π
C.
6

5π
B.
6

11π
D.
6

2sinθ－cosθ
8．若tanθ＝2，则的值为( )
sinθ＋2cosθ
A．0
3
C.
4

9．函数f(x)＝
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
10．函数f(x)＝x－cosx在(0，＋∞)内( )
A．没有零点
B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点
D．有无穷多个零点
11．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg

2
B．1
5
D.
4

tanx
的奇偶性是( )
1＋cosx
1
＝n，则lgsinA的值是( )
1－cosA

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1
A．m＋
n

1
?
1
?
C .
2
?
m＋
n
?

??
B．m－n
1
D.
2
(m－n)
π
??
12．函数f(x) ＝3sin
?
2x－
3
?
的图象为C，
??
11
①图象C关于直线x＝
12
π对称；
?
π5π
?
②函数f(x)在区间
?
－
12
，
12< br>?
内是增函数；
??
π
③由y＝3sin2x的图象向右平移
3
个单位长度可以得到图象C，其中正确命题
的个数是( )
A．0
C．2
B．1
D．3
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
π
?
1
??
π
?
13．已知sin
?
α＋
2< br>?
＝
3
，α∈
?
－
2
，0
?
，则tanα＝________.
????
14．函数y＝3cosx(0≤x≤π)的 图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积
为________．
15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.

16．给出下列命题：
?
2
π
?
①函数y＝c os
?
3
x＋
2
?
是奇函数；
??
②存在实数x，使sinx＋cosx＝2；
③若α，β是第一象限角且α<β，则tanα5π
?
π?
④x＝
8
是函数y＝sin
?
2x＋
4
?< br>的一条对称轴；
??
π
???
π
?
⑤函数y＝si n
?
2x＋
3
?
的图象关于点
?
12
，0
?
成中心对称．
????
其中正确命题的序号为__________．

3

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三、解答题
17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
sin?π－α?＋5cos?2π－α?
求的值．
?
3π
?2sin
?
2
－α
?
－sin?－α?
??










2
18．(12分)在△ABC中，sinA＋cosA＝
2
，求tanA的值．







π
?
3
?
2x＋
?
19．(12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
6
?
??
2
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调减区间；
(3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到？






4

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?
π
?
20．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) 的图象过点P
?
12
，0
?
，图象
??
?
π
?
与P点最近的一个最高点坐标为
?
3
，5
?
.
??
(1)求函数解析式；
(2)求函数的最大值，并写出相应的x的值；
(3)求使y≤0时，x的取值范围．










?
π
??
3
??
3π
?
21．(12分)已知cos
?
2
－α
?
＝2cos
?
2
π＋β
?
，3sin
?
2
－α
?

??????
?
π
?
＝－2s in
?
2
＋β
?
，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．
??









5

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?
ππ
?
22．(12分)已知函数f(x)＝x＋2xtanθ －1，x∈[－1，3]，其中θ∈
?
－
2
，
2
?
.
??
2
π
(1)当θ＝－
6
时，求函数的最大值和最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为
增函 数或减函数称为该区间上的单调函数)．






必修4三角函数综合测试题答案
一、选择题
1． D；2． D；3． D；4． A；5． B
6． D；7． D；8． C；9． A；10． B
11． D；12． C
二、填空题
3
13． －22；14． 3π；15．
2
；16． ①④
三、解答题
17．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)．
∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．
∴sinα＝－2cosα.
可知cosα≠0.

6

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∴原式＝
＝
sinα＋5cosα

－2cosα＋sinα
－2cosα＋5cosα
3cosα3
＝＝－
4
.
－2cosα－2cosα－4cosα
2
18．解 ∵sinA＋cosA＝
2
，①
1
两边平方，得2sinAcosA＝－
2
，
?
π
?
从而知cosA<0，∴∠A∈
?
2
，π
?
.
??
∴sinA－cosA＝
＝
?sinA＋cosA?
2
－4sinAcosA
16
2
＋1＝
2
.②
6＋2－6＋2
，cosA＝，
44
由①②，得sinA＝
sin A
∴tanA＝
cosA
＝－2－3.
2π
19． 解 (1)T＝
2
＝π.
ππ3π
(2)由2kπ＋
2
≤2x ＋
6
≤2kπ＋
2
，k∈Z，
π2π
得kπ＋
6
≤x≤kπ＋
3
，k∈Z.
所以所求的单调减区间为
π2π
??
?
kπ＋
6
，kπ＋
3
?
(k∈Z)．
??
π
3
(3)把y ＝sin2x的图象上所有点向左平移
12
个单位，再向上平移
2
个单位，即 得函
π
?
3
?
数f(x)＝sin
?
2x＋
6
?
＋
2
的图象．
??
T
πππ
20． 解 (1)由题意知
4
＝
3
－
12
＝
4
，∴T＝π.
2πππ
∴ω＝
T
＝2，由ω·＋φ＝0，得φ＝－
126
，又A＝5，
π
??
∴y＝5sin
?
2x－
6
?
.
??

7

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ππ
(2)函数的最大值为5，此时2x－
6
＝2kπ＋
2
(k∈Z)．
π
∴x＝kπ＋
3
(k∈Z)．
π
?
π
?
(3)∵5sin
?
2x－
6
?
≤0，∴2kπ－π≤2 x－
6
≤2kπ(k∈Z)．
??
5ππ
∴kπ－
12< br>≤x≤kπ＋
12
(k∈Z)．
?
π
??
3
?
－α
??
21． 解 co s
2
＝2cos
?
2
π＋β
?
，即sinα＝2s inβ①
????
?
3
??
π
?
3sin
?
2
π－α
?
＝－2sin
?
2
＋β
?
，即3cosα＝2cosβ②
????
①
2
＋②
2得，2＝sin
2
α＋3cos
2
α.
12
又sin
2
α＋cos
2
α＝1，∴cos
2
α＝
2
.∴cosα＝±
2
.
π
3
又∵α∈(0，π)，∴α＝
4
，或α＝
4
π.
π
233
(1)当α＝
4< br>时，cosα＝
2
，cosβ＝cosα＝
2
，
2
π
又β∈(0，π)，∴β＝
6
.
3π
2
(2)当α＝
4
时，cosα＝－
2
，
cosβ＝
33
cosα＝－
2
，
2
5πππ3π5π
又β∈(0，π)，∴β＝
6
. 综上，α＝< br>4
，β＝
6
，或α＝
4
，β＝
6
.
π
22． 解 (1)当θ＝－
6
时，
23
?
3
?
4
f(x)＝x
2
－
3
x－1＝
?x－
?
2
－
3
.
3
??
34
∵x∈[－1，3]，∴当x＝
3
时，f(x)的最小值为－
3
，
23
当x＝－1时，f(x)的最大值为
3
.
(2)f(x)＝( x＋tanθ)
2
－1－tan
2
θ是关于x的二次函数．它的图象的对称轴 为x＝－

8

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tanθ.
∵y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1，或－tanθ≥3，即tanθ≥1，或tanθ≤－3.
π
??
ππ
??
ππ
??
π
∵θ∈
?
－2
，
2
?
，∴θ的取值范围是
?
－
2
，－
3
?
∪
?
4
，
2
?
.
??????

















9