(人教版)高中数学必修四教学三维目标重难点

第一章 三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
一、 教学目标：
1、知识与技能
（1）推广角的概念、引入大于
360
?
角和负角；（2）理解并掌握正
角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限 角的概念；(4)掌
握所有与
?
角终边相同的角（包括
?
角）的表示 方法；（5）树立运动
变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学
生 学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，
强化学生的参与意识.
2、过程与方法
通过创设情境：“转体
720
?
，逆（顺）时针旋 转”，角有大于
360
?
角、
零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、 负角和零角的概念；
角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非
象限角 的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终
边所在的位置，找出它们的关系，探索具有 相同终边的角的表示；讲
解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
通过本节 的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有
正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道 角之间的关系.理解
掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
难点: 终边相同的角的表示.

1

三、学法与教学用具
之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过
回忆和观察日常生活中实际例子 ,把对角的理解进行了推广.把角放
入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终
边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的
表示符号,以及正负角的表 示.另外还有相同终边角的集合的表示等.
教学用具:电脑、投影机、三角板
1．1任意角和弧度制
1.1.2弧度制
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；
（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练
地进行角度制与弧度制的换算；（ 5）角的集合与实数集
R
之间建立的
一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习 ，理解并认识到角度制
与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割
裂的 关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公
式和扇形面积公式.以具体的实 例学习角度制与弧度制的互化,能正
确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度
制，理解并认识到角度制与弧 度制都是对角度量的方法，二者是辨证
统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制 下,

2

角的集合与实数集
R
之间建立了一一对应 关系:即每一个角都有唯一
的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都
有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节
学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互
化换算；弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.
三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中，知道角的度 量是用角度制，但是为了以
后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的
定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:计算器、投影机、三角板
1.2 任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数(一)
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函
数 的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数
不同的定义方法；（3）了解如何利 用与单位圆有关的有向线段，将任
意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表< br>示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理
解三角函数是以实数为自 变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数 值
的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,
探讨任意角的三角函数 值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.

3

根据角终边所在位 置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种
函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进 一步认识三角
函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三 角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自
己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比 值”来定义，这
种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，
有利于引导 学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确
把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角 的集合到比值的集合”
的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关
系有 冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个
确定的实数也有不同，这些都会影响学生 对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.
这个 定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对
应关系，也表明了这两个函数之间的关系 .
二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数< br>的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数
值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数
的定义域和函数值在各象限的 符号）；三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义 方法，本节利用单位圆上点
的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中
从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关

4

系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直
接 ，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角
函数更加好用了.
教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器
第二课时 任意角的三角函数（二）
【复习回顾】
1、
2、
3、
4、
5、
三角函数的定义；
三角函数在各象限角的符号；
三角函数在轴上角的值；
诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；
三角函数的定义域.
要 求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，
所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进 行分析；并要求在理解的基
础上记忆.
【探究新知】
1．引入：角是一个图形概念 ，也是一个数量概念（弧度数）.作
为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一
个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？
2．[边描述边画]以坐标原 点为圆心，
以单位长度1为半径画一个圆，这个圆
就叫做单位圆（注意：这个单位长度不
O

5
y
a角的终
P T
M A
x

一定就是1厘米或1米）.当角
?
为第一象限角时，则其终边与单位< br>圆必有一个交点
P(x,y)
，过点
P
作
PM?x
轴 交
x
轴于点
M
，则请你观
察:
根据三角函数的定义：|MP|?|y|?|sin
?
|
；
|OM|?|x|?|cos
?
|

随着
?
在第一象限内转动，
MP
、
OM
是否也跟着变化？
3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段
MP
、
OM
规定一个适当的方向，使它们的取值与点
P
的坐 标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如
MP
、
OM
一样的线 段来表示
角
?
的正切值吗？
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方 向有关.当角
?
的终边不在坐标轴时,以
O
为始点、
M
为终 点，规定：
当线段
OM
与
x
轴同向时，
OM
的方 向为正向，且有正值
x
；当线
段
OM
与
x
轴反向时 ，
OM
的方向为负向，且有正值
x
；其中
x
为
P< br>点
的横坐标.这样,无论那种情况都有
OM?x?cos
?

同理,当角
?
的终边不在
x
轴上时,以
M
为始点、
P
为终点，规定：
当线段
MP
与
y
轴同向时，
MP
的方向为正向，且有正值
y
；当线
段
MP
与
y
轴反向
时，
MP
的方向为负向，且有正值
y
；其中
y
为
P
点的横坐标.这样,
无论那种情况都有
MP?y?sin
?

4.像
MP、OM
这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段
（direct line segment）.

6

5.如何用有向线段来表示角
?
的正切呢?
如上图,过点< br>A(1,0)
作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设
它与
?
的终 边交于点
T
,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,
借助有向线段
OA 、AT
,我们有
tan
?
?AT?
y

x
我们把这三条与单位圆有关的有向线段
MP、OM、AT
,分别叫做
角
?< br>的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
6.探究：（1）当角
?
的 终边在第二、第三、第四象限时，你能分
别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
（2）当
?
的终边与
x
轴或
y
轴重合时，又是怎样的情形呢？

7.例题讲解
例1．已知
?
?
?
4
? ?
2
，试比较
?
,tan
?
,sin
?
, cos
?
的大小.
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.

7

8.练习
P
19
第1,2,3,4题
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向 线段，将任意角
?
的正弦、
余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来 .
(3)体会三角函数线的简单应用.
【评价设计】
1． 作业：
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)
sin15
?
、
tan15
?
（2）
cos150
?
18
'
、
cos121
?
（3）、
tan

5
?
5
?
2．练习三角函数线的作图.




1.2任意角的三角函数
1.2.2同角三角函数的基本关系
一、教学目标：
1、知识与技能
(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；( 2)已知某角的一个
三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系
式化 简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；
（5）牢固掌握同角三角函数的三个关 系式并能灵活运用于解题，提

8

高学生分析，解决三角问题的能力 ；（6）灵活运用同角三角函数关系
式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法 ；
（7）掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用 三角函数线,探究同一个角的不同三
角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函
数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数
关系式证明三角恒等式等. 通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩
固所学知识.
3、情态与价值
通过本节 的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活
运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力 ；进一步树立化归
思想方法和证明三角恒等式的一般方法.
二、教学重、难点
重 点：公式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
及
sin
?
（1）已
?tan
?
的推导及运用：
co s
?
知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简
三角函数式 ；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方
法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:
sin
2
?
?cos
2
?
?1
及
sin< br>?
?tan
?
,并灵活应用求三角函数值,化减三角函
cos
?
数式,证明三角恒等式等.
教学用具:圆规、三角板、投影
第二章 平面向量
第1课时

9

§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概 念和向量的几何表示；
掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线
向量等概 念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的
本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事
物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向
量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课 ，概念较多，但难度不大.学生可根据
在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区 分
平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
第2课时
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：

10

1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的
和向量，培养数形结合解决问题的能力；
3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量
加法运算的交换律和结合律 ，并会用它们进行向量计算，渗透类
比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量
的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学 法：
数能进行运算，向量是否也能进行 运算呢？数的加法启发我们，
从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于
物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接
受向量的加法定义.结合图形掌握 向量加法的三角形法则和平行四边
形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
第3课时
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；

11

2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理
解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基
础上结合向量的加法运算 掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减
向量.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理； < br>（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，
初步掌握应用向量解决实际 问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底
来表达.
教学重点：平面向量基本定理.

12

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
第5课时
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪

第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；

13

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问
题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积
的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪


14

第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问
题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以
及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的
运算律，引导学生注意数量积性质的相关 问题的特点，以熟练地应用
数量积的性质.
教学过程：

第9课时

15

三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公
式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪

第三章 三角恒等变换


3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标
掌握用向量方法建立两角 差的余弦公式.通过简单运用，使学生
初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础 .
二、教学重、难点

16

1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅 有学习积极
性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用
已学知识和方法 的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公
式的方 法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应
用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学

§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式

17

一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基 础，推导二倍角正弦、余弦
和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正
弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）
一、课标要求：
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及
三角恒等变换在数学中的应用．
二、编写意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变
换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公
式，如何根据问题的条件进行公式变 形，以及变换过程中体现的换元、
逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高< br>
18

学生的推理能力．
三、教学目标
通过例题 的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促
使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据 问题的条件进行公
式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法
的认识， 从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
四、教学重点与难点
教学重点：引导学生以 已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、
和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的 内容、思
路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、
运算能力． < br>教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换
过程的设计，不断提高从整体上 把握变换过程的能力．
五、学法与教学用具
学法：讲授式教学
《三角恒等变换》复习课（2个课时）

一、教学目标
进一步掌握三角恒 等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和
差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明 ：
二、知识与方法：

19

1. 11个三角恒等变换 公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，
由它出
cos（α-β）=cosαcosβ+s inαsinβ sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

发，
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

用-ββ、
?
代
2
代替
±β
替
α=β
元法可
导出其
式。你
据下图
推导过程吗？












tan
?
?tan
?
tan（α+β）=
1?tan< br>?
tan
?
tan
?
?tan
?


tan（α-β）=
1?tan
?
tan
?
β、
等 换
以推
它公
tan2α=
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos
2
α- sin
2
α
=2cos
2
α-1=1-2 sin
2
α

ta n
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?

能根
回顾
20

2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，
次数尽量底，分 母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能
求值的求出值来；
3．求值，要注意象限 角的范围、三角函数值的符号之间联系与影
响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变
同于，或都将左右进行变换使 其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、
形的变换 ，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角
的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以 用哪个公式联系起来；（3）
变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用
公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-
β），1= sinα+cos
例题
例1 已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，求
tan
?
的值。
tan
?
22
1?tan30
0
α，
1?tan30
0< br>tan45
0
?tan30
0
=
1?tan45
0< br>tan30
0
=tan（45
0
+30
0
）等。
2
3
1
5


21

例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例3 化简（1）
αcos2β。


例4 设为锐角，且3sin
2< br>α+2sin
2
β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α
+2β= 。


例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成
本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值
m，渠深8米。则水渠壁的倾角?
应为多少时，方能使修建的成本最
低？

分析：解答本题的关键是把 实际
问题转化成数学模型，作
出横断面的图形，要减少
水与水渠壁的接触面只
要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角
为
?
和横断面的周长L之间 建立函数关系，求函数的最小值


E

D
A






B

C
31
?
0
sin20sin70
0
；（2）sin
2
αsin
2
β+cos
2
αcos
2
β-
1
cos2
2
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2
8

22