(完整)高中数学必修四总复习练习题及答案

第 1 页 共 11 页数学必修4


数学必修4
一.选择题：
?
1.的正弦值等于 （ ）
3
（A）
33
1
1
（B） （C）
?
（D）
?

22
2
2
2．215°是
（A）第一象限角 （B）第二象限角
（C）第三象限角 （D）第四象限角
3．角
?
的终边过点P（4，－3），则
cos
?
的值为
43
（A）4 （B）－3 （C） （D）
?

55
4．若sin
?
<0，则角
?
的终边在
（A）第一、二象限 （B）第二、三象限
（C）第二、四象限 （D）第三、四象限
5．函数y=cos2x的最小正周期是
??
（A）
?
（B） （C） （D）
2
?

24
（ ）





（ ）
（ ）
（ ）
0　
6．给出下面四个命题：①
AB?BA?　
；②
AB?BC?AC
；③
AB－AC?BC
；
④
0?AB?0
。其中正确的个数为
（A）1个 （B）2个
（ ）
（C）3个

（D）4个
（ ） 7．向量
a?(1,?2)
，
b?(2,1)
，则
（A）
a
∥
b
（B）
a
⊥
b

（D）
a
与
b
的夹角为30° （C）
a
与
b
的夹角为60°
8. 化简
1?sin
2
160?
的结果是 ( )
（A）
cos160?
（B）
?cos160?
（C）
?cos160?
（D）
?cos160?

9． 函数
y?2sin(2x?
?
)cos[2(x?
?
)]
是 （ ）
?
?
的奇函数 （B） 周期为的偶函数
44
?
?
（C） 周期为的奇函数 （D） 周期为的偶函数
22
（A） 周期为
10．函数
y?Asin(
?
x?< br>?
)
在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为
（ ）
1

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（A）
y?2sin(2x?
2
?
3
)
（B）
y?2sin(2x?
?
3
)

（C）
y? 2sin(
x
2
?
?
3
)
（D）
y?2sin(2x?
?
3
)


二.填空题
11．已知点A（2，－4），B（－6,2），则AB的中点M的坐标
为 ；
12．若
a?(2,3)
与
b?(?4,y)
共线，则
y
＝ ；
13．若
tan
?
?
1sin
?
?
2
，则
cos
?
2sin
?
?3cos
?
= ；
14．已知
a?1,b?2，
a
与
b
的夹角为
?
3
，那么
a?b ?a?b
= 。
15．函数
y?sin
2
x ?2sinx
的值域是
y?
；
三．解答题
16 ．(1)已知
cosa=-
4
5
，且
a
为第三象限角，求< br>sina
的值
(2)已知
tan
?
?3
，计算
4sin
?
? 2cos
?
5cos
?
?3sin
?
的值.

17．已知向量
v
a
,
v
b
的夹角为
60
o
, 且
|
v
a|?2
,
|b
v
|?1
,
(1) 求
v
ag
v
b
; (2) 求
|
v
a?
v
b|
.

18. 已知
r
a?(1,2)
,
b?(?3,2)
,当< br>k
为何值时，
(1)
ka
r
?b
r
与< br>r
a?3b
r
垂直？
(2)
ka
r
?b
r
与
r
a?3b
r
平行？平行时它们是同向还是反向？

19．设
OA?(3,1)
，
OB?(?1,2)
，OC?OB
，
BC
∥
OA
，试求满足
OD?OA?OC
的
OD
的坐标（O为坐标原点）。








2

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20.某港口的水深
y
（米）是时间
t
（
0?t?24
，单位：小时）的函数，下面是 每天时间与水深的关系
表：
t

y

0
10
3
13
6
9.9
9
7
12
10
15
13
18
10.1
21
7
24
10
经过长期观测，
y?f(t)
可近似的看成是函数
y?Asin
?
t?b

（1）根据以上数据，求出
y?f(t)
的解析式
（2）若船舶航行时，水 深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进
出该港？


rr
vv
b
21. 已知
a?(3sinx,m?c osx)
，
b?(cosx,?m?cosx)
, 且
f(x)?ag
(1) 求函数
f(x)
的解析式;
?
??
?
(2) 当
x?
?
?,
?
时,
f(x)
的最小值是－4 , 求此时函数
f(x)
的最大值, 并求出相应的
x
的
?
63
?
值.












3

第 4 页 共 11 页数学必修4

数学必修4答案
一．选择题：1.A 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B 7.B 8.B 9.C 10.A
二．填空题：
11. （－2，－1） 12. －6 13. －3 14.
21
15. [－1,3]
三.解答题:
16.解：（1）∵
cos
2
?
?sin< br>2
?
?1
，
?
为第三象限角
∴
sin
?
??1?cos
2
?
??1?(?
4
5
)
2
??
3
5

（2）显然
cos
?
?0

4sin
?
?2cos
?
∴
4sin
?< br>?2cos
?
cos
?
4tan
?
?24?3?25
5cos
?
?3sin
?
?
5cos
?
? 3sin
?
?
5?3tan
?
?
5?3?3
?7

cos
17.解：（1）17.解： (1)
v
agv
b?|
v
a||
v
?
b|cos60
o?2?1?
1
2
?1

(2)
|v
a?
v
b|
2
?(
v
a?
v
b)
2

?
v
a
2
?2
v
ag
v
b?
v
b
2

?4?2?1?1

?3
所以
|
v
a?
v
b|?3

18.
ka
r
?b
r
?k(1,2)?(?3,2)?(k?3,2k?2)
r
a?3b
r
?(1,2)?3(?3,2)?(10,?4)
< br>（1）
(ka
r
?b
r
)?(
r
a?3b< br>r
)
，
得
(ka
r
?b
r
)g< br>(
r
a?3b
r
)?10(k?3)?4(2k?2)?2k?38? 0,k?19

（2）
(ka
r
?b
r
)(
r
a?3b
r
)
，得
?4(k?3)?10(2k?2),k??
1
此时
ka
r
?b
r
3

?(?
10
3
,
4
3
)??
1
3
(10 ,?4)
，所以方向相反。
19. 解：设
OC?(x,y)
，由题意得 ：
?
?
?
OC?OB?0
?
(x,y)?(?1.2)?0
?
?
?
?
BC?
?
OA
?
(x, y)?(?1,2)?
?
(3,1)

?
?
?
x ?2y
?
x?1?3
?
?
?
?
x?14
? OC?(14,

OD?OC?OA?(11,6)
?
?
y ?2?
?
?
y?7
7)

4

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20. 解：（1）由表中 数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
h?
13?713?7
?10
，
A??3

22
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为9，因此
T?
2
?
?
?9
，
?
?
2
?< br>9
，
故
f(t)?3sin
2
?
9
t?10

(0?t?24)

（2）要想船舶安全，必须深度
f(t)?11.5，即
3sin
2
?
9
t?10?11.5

∴
sin
2
?
9
t?
1
2

2k
?
?
?
6
?
2
?
9
t?
5
?
6
?2k
?
解得：
9k?
315
4
?t?
4
?9k

k?Z

又
0?t?24

当
k?0
时，
3
4
?t?3
33333
4
；当
k?1
时，
9
4
?t?12
4
；当
k?2
时，
18
4
?t?21
4

故船舶安全进港的时间段为
(0:4 5?3:45)
，
(9:45?12:45)
，
(18:45?21:45)


21.解: (1)
f(x)?
v
agb
v
?(3sinx,m?cosx)g(cosx,?m?cosx)

即
f(x)?3sinxcosx?cos
2
x?m
2

(2)
f(x)?
3sin2x
2
?
1?cos2x
2
?m
2


?sin(2x?
?
6
)?
1
2
?m
2< br>
由
x?
?
?
?
???
?
?
?
?
5
?
?
?
?< br>1
?
6
,
3
?
?
,
?2x?6
?
?
?
?
6
,
6
?
?,
?sin(2x?
6
)?
?
?
?
2
,1
?
?
,

??
1
2
?
1
2
?m
2
??4
,
?m??2


?f(x)
11
??
?
max
?1?
2
?2??
2
, 此时
2x?
6
?
2
,
x?
6
.







5

第 6 页 共 11 页数学必修4

高中数学必修四总复习练习题及答案

第1题．已知
A，B，C
三 点的坐标分别是
A(3，，0)B(0，，3)C(cos
?
，sin
?)
，其中
π3π
．
?
?
?
22
uu uruuur
（1）若
AC?BC
，求
?
的值；
uuur uuur
2sin
2
?
?sin2
?
（2）若
AC
的值．
·BC??1
，求
1?tan
?
解：（1）有A(3，，0)B(0，，3)C(cos
?
，sin
?
)
．
uuuruuur
BC?(cos
?
，sin
?
?3)．
AC?(cos
?
?3，sin
?
)
，
u uuruuur
QAC?BC
，
?(cos
?
?3)
2?sin
2
?
?cos
2
?
?(sin
??3)
2
，
?cos
?
?sin
?
，
?tan
?
?1
．
π3π
5π
，
?
?
?
．
?
?< br>?
224
uuuruuur
AC·BC?(cos
?
?3，s in
?
)(cos
?
，sin
?
?3)
（2）由 （1）知
Q
?(cos
?
?3)·cos
?
?sin
?
·(sin
?
?3)

?cos
2
?
?3cos
?
?sin
2
?
?3sin
?

1?3(cos
?
?sin
?
)
，
uuuruu ur
QAC·BC??1
，
?1?3(cos
?
?sin
?
)??1
，
2
?cos
?
?sin
?
?
．
3
5
平方，得
2sin
?
cos
?
??
，
9
2sin
2
?
?sin2
?
2sin
2
?
?2sin
?
cos
?
2sin
?
(sin< br>?
?cos
?
)5
????2sin
?
cos
?
??
．
sin
?
cos
?
?sin
?
1?tan
?
9
1?
cos
?
cos
?

第2题．向量
e
1
，e
2
是夹角为
60
o
的两个单位向量，求向量
a?2e
1
?e
2
与< br>b??3e
1
?2e
2
的夹角．
7
·e
2
?3e
1
·e
2
?2e
2
2
??4?e< br>1
e
2
cos60
o
??
， 解：
a·b? (2e
1
?e
2
·)(?3e
1
?2e
2
)
??6e
1
2
?4e
1
2
a?2e
1< br>?e
2
?(2e
1
?e
2
)
2
?4 e
1
2
?e
2
2
?4e
1
·e
2
?5?4cos60
o
?7
，
b??3e
1
?2 e
2
?(?3e
1
?2e
2
)
2
?9e< br>1
2
?4e
2
2
?12e
1
·e
2
?13?12cos60
o
?7
．
7
a·b
2
??
1
． 夹角
?
满足
cos
?
??
ab2
7?7
?
?
向量
a
与
b
的夹角为
120
o
．

第3题．我 们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等，请你选择适当的顺序探究函数
6

第 7 页 共 11 页数学必修4

f(x)?1?sinx? 1?sinx
的性质，并在此基础上，作出函数
f(x)
在
[?π，π]上的图象．
解：①
Q
?
?
1?sinx
≤
0 ，
?
1?sinx
≥
0，

?f(x)
的定义域为
R
；
②
Qf(?x)?1?sin (?x)?1?sin(?x)
?1?sinx?1?sinx?f(x)
，
?f(x)
为偶函数．
③
Qf(x?π)?f(x)
，
?f(x)
是周期为
π
的周期函数；
22
④
Qf (x)?
?
?
?
sin
x
2
?cos
x< br>??
xx
?
xxxx
2
?
?
?
?< br>?
sin
2
?cos
2
?
?
?sin
2
?cos
2
?sin
2
?cos
2
，
?
当
x?
?
?
π
?
x
?
0，< br>2
?
?
时，
f(x)?2cos
2
；
当< br>x?
?
?
π
?
2
，
π
?
?
?
时，
f(x)?2sin
x
2
．
?
当
x?
?
?
π
?
?
0，
2
?
?
时，
f(x)
单调递减，
当
x?
?
?
π
?
2
，
π
?
?
?
时，
f(x )
单调递增．
又
Qf(x)
是周期为
π
的偶函数， ?f(x)
在
?
?
?
k
π
，k
π?
π
?
2
?
?
(
k?Z
)
上 单调递减．
⑤
Q
当
x?
?
?
?
0，π
?
2
?
x
?
时，
f(x)?2cos
2
?[2，2]
；
当
x?
?
?
π
?< br>2
，
π
?
?
x
?
时，
f(x)?2 sin
2
?[2，2]
，
?f(x)
的值域为
[2，2]
；
由以上性质可得
f(x)
在
[?π，π]
上的图象如图所示．



y




2



?π

?
π
O

π
π
x

2



2



第4题．已知
cos
?
?
π
?
3
π3π
?
?
?
4
?
?
?
5< br>，
2
≤
?
?
2
，则
cos
?
?
．
7

第 8 页 共 11 页数学必修4

答案：
?

2

10
ππ
；② 若
?
，
?
是锐角
△ABC
的内角，则
sin
?
?cos
?
；
32
7π
?
π
?
π
?
2
?
③函数
y?sin
?
x?
?< br>是偶函数；④函数
y?sin2x
的图象向右平移个单位长度，得到
y?sin
?
2x?
?
的图象．
2
?
4
?
4
?
3
?
第5题．给出下列命题：①存在实数
x
，使
sinx?cosx?
其中正确命题的序号是 ．
答案：①②③

o
第6题．
tan29
o
?tan31
o
?3tan29 ·tan31
o
?
．
答案：
3


第7题．函数
y?
?
4
?
答案：
?
?，0
?

?
3
?

π
??
1
第8题．要由函数
y?sin
?
x?
?
的图象得到函数
y? sinx
的图象，下列变换正确的是（ ）
6
??
2
cosx?1
的值域是 ．
sinx? 2
Ａ．向左平移
Ｂ．向左平移
Ｃ．向右平移
Ｄ．向右平移
π
个单位长度，再将各点横坐标变为2倍
6
π
1
个单位长度，再将各点横坐标变为
62
π
个单位长度，再将各点横坐标变为2倍
3
π
1
个单位长度，再将各点横坐标变为
32
答案：Ｄ

第9题．已知函数
f(x)?a(sinx?cosx)?b
，若
a?0
，且
x?[0，π]
时，
f(x)
的值域是
[3，< br>则
a，b
的值分别是（ ）
4]
，
5?2
Ａ．
?1?2，
2?2
Ｃ．
?1?2，


5?2
Ｂ．
1?2，
2?2
Ｄ．
1?2，
答案：Ｂ

?
π
?
第10题．定义 在
R
上的函数
f(x)
，既是偶函数又是周期函数，若
f(x)的最小正周期是
π
，且当
x?
?
0，
?
时，< br>?
2
?
?
5π
?
f(x)?sinx
，则< br>f
??
的值为（ ）
?
3
?
1
Ａ．
?

2
答案：Ｂ

Ｂ．
3

2
Ｃ．
?
3

2
Ｄ．
1

2
8

第 9 页 共 11 页数学必修4


132tan13
o
1?cos50
o
oo
sin6，b?，c?
第11题．设
a?cos6?
，则有（ ）
221?tan
2
13
o
2
Ａ．
a?b?c

答案：Ｄ

Ｂ．
a?b?c
Ｃ．
b?c?a
Ｄ．
a?c?b

uuuruuuruuur uuuruuuruuur
第12题．在平面上，已知点
A(21)
给出下面的结论： ①
AB?CA?BC
；②
OA?OC?OB
；
，，B(0，，2)C (?21)，，O(0，0)
，
uuuruuuruuur
③
AC?OB?2 OA
．其中正确结论的个数是（ ）
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．0个
答案：Ｂ

第13题．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会 标如图1所示，它
三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角
积 是1，小正方形的面积是
Ａ．1 Ｂ．
?
1
，则
sin
2
?
?cos
2
?
的值等于（ ）
25
是由4个相同的直角
为
?
，大正方形的面
24

25
Ｃ．
7

25
Ｄ．
?
7

25

答案：Ｄ

sin7 5
o
)
，
b
?(cos15
o
，sin15
o
)
，则
a?b
的值为（ ） 第14题．已知向量
a
?(cos75
o
，
1

2
答案：Ｄ

Ａ．Ｂ．
2

2
Ｃ．
3

2
Ｄ．1
1
第15题．若
?
为三角形的内角，且
sin
?
?cos
?
??
，则
tan2
?
等于（ ）
5
24

7
答案：Ｂ

Ａ．Ｂ．
?
24

7
Ｃ．
?
24

7
Ｄ．
7

24
uuur
1
uuuur
第16题．已知
M(3，?2) ，N(?5，?1)
，且
MP?MN
，则
P
点坐标为（ ） 2
3
???
3
?
Ａ．
(?81)
Ｂ．
?
?1
Ｃ．
?
1
Ｄ．
(8，
，?
?

，
?

，

?1)

2
2
??
??
答案：Ｂ

第17题．已知
a?1
，
b?2
，
a
与
b
的夹角为
60
o
，
c?3a?b
，
d?
?
a?b
，若< br>c?d
，则实数
?
的值为（ ）
7

2
答案：Ｃ

Ａ．
7
Ｂ．
?

2
Ｃ．
7

4

7
Ｄ．
?

4
9

第 10 页 共 11 页数学必修4

sin2x?2sin
2
x
7π
?
π
?
3
17π
第18题．若
cos
?
?x
?
?
，，求的值．
?x?
1?tanx
124
?
4
?
5
2sinxcosx?2sin
2
x1?tan x
?
π
?
解：原式
??sin2x·?sin2x·tan
?
?x
?
，
1?tanx1?tanx
?
4
?< br>17π7π5ππ
，
???x?2π
．
?x?
12434< br>?
π
?
3
又
cos
?
?x
?
?
，
?
4
?
5
Q
44
?
π< br>??
π
?
?sin
?
?x
?
??
，
tan
?
?x
?
??
，
53
?
4
??
4
?
?
π
??
π
?
7，
sin2x??cos
?
?2x
?
?1?2cos
2
?
?x
?
?
?
2
??
4
?25
故原式
?
7
?
4
?
28
． ?
?
?
?
??
25
?
3
?
7 5

第19题．某船以6kmh的速度向东航行，船上有人测得风自北方来；若船速加倍，则测 得风自东北来，求风速大
小．
解：分别取正东、正北方向为
x
轴，
y
轴，建立直角坐标系，令
x
轴，
y
轴正方向上的单位向量分别为< br>i，j
，并设
表示风速的向量为
x
i?
y
j
，起初船速为
6i
，船上的人测得的风速为
?p
j
(p?0)
，则
x
i?
y
j
?6i
??p
j
，可解
得
x?6
．
后来船上的人测得风速为
?q
(i?j)(q?0)
，
?
x
i?
y
j
?12i
??q
(i?j)
，
于是
x?12?y??q??6
，
?
表示风速的向量为
6i?6j
，
风速大小为
6i?6j?62
kmh.
即所求风速为
62
kmh．

1
??
3
第20题．已知
f(
?
)??cos2
?
?4asincos?a< br>2
?2a?
，若
f(
?
)
的最小值为
g(a )
．
2222
（1）求
g(a)
的表达式；
（2）当
g(a)?2
时，求
a
的值．
解：（1）
f(
?
)?
1?cos2
?
?2asin
?
?a
2
?2a?1

2
?sin
2
?
?2as in
?
?a
2
?2a?1?(sin
?
?a)
2< br>?2a?1
，
若
?1
≤
a
≤
1
， 则当
sin
?
?a
时，
g(a)?2a?1
；
若
a?1
，则当
sin
?
?1
时，
g(a)?a2
?2
；
若
a??1
，则当
sin
?
??1
时，
g(a)?a
2
?4a?2
，
10

第 11 页 共 11 页数学必修4

?
a
2
?4a?2，a
?g(a)?
?
??1，
?
2a?1， ?1
≤
a
≤
1，

?
?
a
2
?2， a?1.
（2）当
a??1
时，令
a
2
?4a?2?2
，得
a??4
或
a?0
（舍去）．
当
?1
≤
a
≤
1
时，令
2a?1?2
，得
a?
1
2
；
当
a?1
时，令
a
2
?2?2
，得
a?0
（ 舍去）．
综上所述，当
g(a)?2
时，
a??4
或
a?
1
2
．

第21题．已知函数
f(x)?x·sinx< br>，则
f
?
?
π
?
?
?
4
?
?
，
f(1)
及
f
?
?
π
??
3
?
?
的大小关系为（ ）
Ａ．
f
?< br>?
π
?
?
?
4
?
?
?f(1)?f
?
?
π
?
?
3
?
?
Ｂ．f(1)?f
?
?
π
??
π
?
?
3< br>?
?
?f
?
?
?
4
?
?

Ｃ．
f
?
?
π
??
?
3
?
?
?f(1)?f
?
?
?
π
?
4
??
Ｄ．
f
?
?
π
??
π
?
?
3
?
?
?f
?
?
?
4
??
?f(1)

答案：Ｃ

第22题．
△ABC中
D
为
BC
边的中点，已知
u
AB
uur?
a
，
u
AC
uur
?
b
，则在下列 向量中与
u
AD
uur
同向的向量是（
Ａ．
a?b
a?b
Ｂ．
a
a
?
b
b
Ｃ．
ab
a
?
b
Ｄ．
ba?ab

答案：Ａ




11
）