北师大高中数学必修四知识点非常详细

北师大高中数学必修四知识点
第一章 三角函数
2、象限的角：在直角坐标 系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边
落在第几象限，就是第几象限的角；角的 终边落在坐标轴上，这个角不属于
任何象限，叫做轴线角。

第一象限角的集合为?
k?360
o
?
?
?k?360
o
?90< br>o
,k??

??
第二象限角的集合为
?
k?360
o
?90
o
?k?360
o
?180
o
, k??

??
第三象限角的集合为
?
k?360
o
?180
o
?
?
?k?360
o
?270
o
,k??

??
第四象限角的集合为
?
k?360
o?270
o
?
?
?k?360
o
?360
o< br>,k??

??
终边在
x
轴上的角的集合为
???k?180
o
,k??

??
终边在
y
轴上 的角的集合为
??
?k?180
o
?90
o
,k??

??
终边在坐标轴上的角的集合为
??
?k?90
o
, k??

??
3、与角
?
终边相同的角，连同角
?
在内，都可以表示为集合{
?
|
?
?
?
?k?360
?
,k?Z
}

4、弧度制：

（1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
，则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
l
．

r

180
?
（2）度数与弧度数的换算：
180
?
?
?
rad，1 rad
?()?57.30
?
?57
?
18
'
< br>?
（3）若扇形的圆心角为
?
（
?
是角的弧度数），半径为< br>r
，则：

11
lr??|
?
|r
2

22
弧长公式：
l?|
?
|r
；扇形面积：
S?

5、三角函数:

（1）定义:①设
α
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P
(
u
,
v
)，

那么
v
叫做
α
的正弦，记作sin
α,即sin
α
=
v
;
u
叫做
α
的余

v
叫

u
弦，记作cos
α
，即cos
α
=
u
; 当
α
的终边不在y轴上时，
做
α
的正切，记作tan
α, 即tan
α
=
v
.

u
②设
?< br>是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标

是
?
x,y
?
，它与原点的距离是
rOP?r?x
2?y
2
?0
，

yxy
，
cos
?< br>?
，
tan
?
?
?
x?0
?
rrx
?
?
则
sin
?
?
（2）三角函数值在 各象限的符号：


+

_

+

_

_

_

+

+

_

+

口诀：第一象限全为正；

+

_

二正三切四余弦.

（3）特殊角的三角函数值

?
的角

度


?
的弧

度




不存

在


?
的角

度


?
的弧

度

不存

在


6、三角函数的诱导公式：

?
1
?
sin
?2k
?
?
?
?
?sin
?
，
cos< br>?
2k
?
?
?
?
?cos
?
，tan
?
2k
?
?
?
?
?tan
?< br>?
k??
?
．

口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等．

?
2
?
si n
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
?
?
?
?cos
?
，
tan
?
?
?
?
??tan
?
．

?
3
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
，
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，
tan
?
?
?
?
?
??tan
?．

?
4
?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
，cos
?
?
?
?
?
??cos
?
，tan
?
?
?
?
?< br>?tan
?
．

?
5
?
sin
?< br>2
?
?
?
?
??sin
?
，
cos
?
2
?
?
?
?
?cos
?
，tan
?
2
?
?
?
?
??tan
?< br>．

口诀：函数名称不变，正负看象限．

?
6
?< br>sin
?
?
??
?
??
?
?
??
?
?cos
?
，
cos
?
?
??
?sin
?
，
tan
?
?
?
??cot
?
．

?
2
??
2
?
?
2
?
??
?
??
?
?
?
?< br>?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?< br>??sin
?
，
tan
?
?
?
?
? ?cot
?
．

?
2
?
?
2
??
2
?
?
?
7
?
sin
?
?
?
口诀：正弦与余弦互换，正负看象限．

7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

图


象


定
义

域


值域：
?
?1,1
?

值

当
x?2k
?
?
?
k??
时 ，
??
2
域

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
值域：
?
?1,1
?

值域：
R

当x?2k
?
?
k??
?
时，
既无最大值也无最小
y
max
?1
；当
x?2k
??
?

?
2

值

?
k??
?
时，
y
min
??1
．

?
k ??
?
时，
y
min
??1
．

y?cosx
是周期函数；周
周
期
性

周期
y?sinx
是周期函数；
期为
T?2k
?
,k?Z
且< br>为
T?2k
?
,k?Z
且
k?0
；

y?tanx
是周期函数；
周期为
T?k
?
,k?Z
且< br>k?0
；

最小正周期为
2
?

最小正周期为
2
?

k?0
；最小正周期为
?

奇
奇函数

偶函数

奇函数

偶
性

单
调
性

??
??
在
?
2k?
?,2k
?
?
?

22
??
在?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是增函数；在
??
??
在
?
k
?
?,k
?
?
?

22
??
?
k??
?
上是增函数；在

?
k??
?
上是减函数．

?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
k??
?
上是增函数．

?
k??
?
上是减函数．

对称中心
对
对 称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

称
性

对称轴
x?k
?
?
对称中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
?
2
?
??
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
2
? ?
对称轴
x?k
?
?
k??
?

?
k??
?

无对称轴

8、函数
y?A sin(
?
x?
?
)?b(A?0,
?
?0)
的相 关知识：

（1）
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
的图象与
y?sinx
图像的关系：

①振幅变换：
y?sinx

y?Asinx

1
图象上每个点的横坐标变为原来的倍，纵
②周期 变换：
y?sinx

y?sin
?
x

?

图象整体向左（
?
?0
）或向右（
?
?0
）平移
?
③相位变换：y?sinx

y?sin(x?
?
)


图象整体向上（
b?0
）或向下

④平移变换：
y?Asin(
?
x?
?
)

y??sin
?
?
x?
?
?
?b

先平移后伸缩：函数
y?sinx
的图象整体向左（
?
?0
）或向 右（
?
?0
）平移
?
个单位，
得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?x?
?
?
的图象上每个点的横坐标变为原来
的
1
倍，纵 坐标不变，得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图 象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上< br>?
每个点的纵坐标变为原来的
?
倍，横坐标不变，得到函数
y??si n
?
?
x?
?
?
的图象；再将函
数
y?s in
?
?
x?
?
?
的图象整体向上（
b?0
）或向下（
b?0
）平移
b
个单位，得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
．

1
倍， 纵坐标不变，得到函
?
先伸缩后平移：函数
y?sinx
的图象上每个点的横 坐标变为原来的
?
数
y?sin
?
x
的图象；再将函数y?sin
?
x
的图象整体向左（
?
?0
）或向右（< br>?
?0
）平移
?
个单位，得到函数
y?sin
??
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上每个点的纵坐标
变为原来的
?
倍 ，横坐标不变，得到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图 象整体向上（
b?0
）或向下（
b?0
）平移
b
个单位，得 到函数
y??sin
?
?
x?
?
?
?b
．

（2）函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b(A ?0,
?
?0)
的性质：

2
?
1
?；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?
．

?
?2
?
①振幅：
?
；②周期：
??
?
；③频率：
f?
定义域：
R

值域：
?
?A?b,A?b
?

当
?
x?
?
?2k
?
?
?
2
?
k??
?< br>时，
y
max
?A?b
；

?
k??
?
时，
y
min
??A?b
．

当
?< br>x?
?
?2k
?
?
?
2

周期 性：函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b(A?0,
??0)
是周期函数；周期为
T?
2
?
?

< br>??
??
单调性：
?
x?
?
在
?
2 k
?
?,2k
?
?
?
?
k??
?
上时是增函数；

22
??
?
?
?
x?
?
在
?
2k
?
?
?
2
,2k
??
3
?
?
?
k??
?
上时是减函数．

2
?
?
?
?
k
?
?
?
?
,0
?
?
k??
?
；对称轴为
?
x??
?k
?
?
?
k??
?

对称性：对称中心为
?
2
?
?
?
第二章 平面向量
1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．

2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作
0
；零向量的方向是任意的．

3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量
a
平行的单位向量：
e??
a
|a|
．

4、平行向量（共线向量）：方向相同 或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作
ab
；

规定
0
与任何向量平行．

5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.

注意 ：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无
关。

6、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：

首尾相接

⑵平行四边形法则的特点：

起点相同

⑶运算性质：

①交换律：
a
r
?b
r
? b
r
?a
r
；②结合律：
?
a
r
?br
?
?c
r
?a
r
?
?
b
r
?c
r
?
；③
a
r
?
r
0?r
0?a
r
?a
r
．
⑷坐标运算：设
a
r
?
?
x
?
，
b
r
?
?
x
r
r
1
,y
1
2
,y
2
?< br>，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．

7、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被
量．

⑵坐标运算：设< br>a
r
?
?
x
r
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a
r
?b
r
?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．

设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，则

u
??
uur
?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
．

8、向量数乘运算：

减向

rr
⑴实数< br>?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．

rr
①
?
a?
?
a
；

rrrr
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相反；

r
r
当
?
?0
时，
?< br>a?0
．

r
r
r
r
rrrrr
⑵ 运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?< br>b
．

??
rr
⑶坐标运算：设
a?
?x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?< br>?
?
?
x,
?
y
?
．

r r
r
rr
r
9、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
．

??
r
r
r
r
r
rr
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
， 则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
a
、
bb?0
共
??
线．

uruur
10、平面向量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面
uruururuur
rr
内的任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1
、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?2
e
2
．（不共线的向量
e
1
、
e
2
作为
这一平面内所有向量的一组基底）

11、分点坐标公式：设点
?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1?
，
?
x
2
,y
2
?
，
uu uruuur
?
x?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
当
?
1
??
???
2
时，点
?
的坐标是
?
1
?
．< br>
1?
?
??
1?
?
12、平面向量的数量积：
< br>r
r
r
r
r
r
r
r
o
⑴< br>a?b?abcos
?
a?0,b?0,0?
?
?180
o< br>．零向量与任一向量的数量积为
0
．

??

r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b? a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b?ab
；
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
2
r
2
rrr
r
r
当
a
与
b< br>反向时，
a?b??ab
；
a?a?a?a
或
a?a?a．③
a?b?ab
．

r
r
rr
r
r
r
r
r
r
r
r
rrr
r
r
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b ?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c< br>．

????
??
r
r
r
r
⑷坐标 运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a ?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
．

r
r
2
r
若
a?
?
x,y
?，则
a?x
2
?y
2
，或
a?x
2
? y
2
．

r
r
r
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x< br>2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
．

r
r
r
r
r
r
设
a
、
b
都是非零向量，a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则

r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos
?
?
r
r
?
．

2222
ab
x
1
? y
1
x
2
?y
2
第三章 三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式

（１）平方关系：
sin
2?
?cos
2
?
?1
（２）商数关系：
tan
?
?
sin
?

cos
?
（３）倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

tan
2
?
1
2
cos
?
?

sin
?
?
；

2
2
1?tan
?
1?tan
?
2
注意：
sin
?
,cos
?
,tan
?
按照以上公式可以“知一求二”

2、两角和与差的正弦、余弦、正切

S
(
?
?
?
)
：
sin(
?< br>?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?


S
(
?
?
?
)
：
sin(
?
?
?
)?sin
?
co s
?
?cos
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

C
(
?
?
?
)
：
cos(a?
?)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?< br>
T
(
?
?
?
)
：
tan(?
?
?
)?
tan
?
?tan
?


1?tan
?
tan
?
T
(
?
?
?
)
：
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?
正切和公式：
tan
?
?tan
?
?tan(
?
?
?
)?(1?tan
?
tan
?
)

??
ab
3、辅助角公式：
asinx?bcosx?a
2
?b
2
??
sinx?cosx
?
2
?

222
a?b
?
a?b
?
（其中
?
称为辅助角，< br>?
的终边过点
(a,b)
，
tan
?
?
b< br>）

a
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：


S
2
?
：
sin2
?
?2sin
?
cos
?


C
2
?
：
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?1?2sin
2
?
?2cos
2
?
?1

T
2
?
：
tan2
?
?
2tan
?


1?t an
2
?
1?cos2
?
?2|cos
?
|
；

二倍角公式的常用变形：①、
1?cos2
?
?2|sin< br>?
|
，

11
?cos2
?
?|cos
?
|


②、
1
?
1
cos2
?
?|sin?
|
，
22
22
sin
2
2
?< br>sin
?
?cos
?
?1?2sin
?
cos
?
?1?
③、；
cos
4
?
?sin
4< br>?
?cos2
?
；

2
4422
降次公式：
sin
?
cos
?
?
11?cos2
?
1 1
sin2
?

sin
2
?
???cos2
?
?

2222
5、半角的正弦、余弦和正切公式：

sin
?
2
??
1?cos
?
?
1?cos
?
；
cos??
，

222
6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）

①
sin
2
?
?1?cos
2
?
；
sin
?
??1?cos
2
?
；

cos
2
?
?1?sin
2
?
；
cos
?
??1?sin
2
?
；

cos
2
?
?sin
2
?
2
cos
2
?
?sin
2
?
2cos2
?
?
②
tan< br>?
?cot
?
?
，
cot
?
?tan
?
???2cot2
?


sin
?
cos< br>?
sin2
?
sin
?
cos
?
sin2< br>?
③
(sin
?
?cos
?
)
2
? 1?2sin
?
cos
?
?1?sin2
?
；
1 ?sin2
?
?|sin
?
?cos
?
|

7、补充公式：

①万能公式

2tan
sin
?
?
1?tan
?
2
?
2
1?tan
2 ；
cos
?
?
?
2
；
tan?
?
2
2tan
1?tan
?
2
?
2
1?tan
2
?
2

2
②积化和差公式

③和差化积公式