重点高中数学必修四第一章知识点梳理1

重点高中数学必修四第一章知
识点梳理1

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高中数学必修四第一章知识点梳理
一、角的概念的推广
●任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。
●正角、负角、零角
按逆时针方向旋转成的角叫做正角，
按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，
一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。
可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是
没有转动。
●象限角、轴线角
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，那么 角的终边在第几象
限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角
叫做轴线角。
●终边相同角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+ k
?
360°,k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周 角的和。
二、弧度制
●角度定义制
规定周角的
1
为一度的角，记做1°，
360
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。
●弧度制定义
1 、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。用弧度作为单位来度量角的单位
制叫做弧度制。1 弧度记做1rad。
2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角α，它所对的弧长与半径的比与半 径的大小无
关，而是一个仅与角α有关的常数，故可以取为度量标准。
●弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果
半径为r的圆的 圆心角α所对的弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是
|α|?
α的正负由角
α
的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。
l
。
r
三、任意角的三角函数
●任意角的三角函数的定义
设
α
是一个任意大小的角，
α
的终边上任意点P的坐标是（x, y），它与原点的距离r
（
r?
，那么
x
2
?y
2
?0
）
1、比值
y
y
叫做
α
的正弦，记做
sin
?
，即
sin?
?
。
r
r

3

xx
叫做
α
的余弦，记做
c os
?
，即
cos
?
?
。
rr
y
y
3、比值叫做
α
的正切，记做
tan
?
，即
tan
?
?
。
x
x
2、比值
另外，我们把比值
xx
r
叫做
α
的余切，记做
cot
?
，即
cot
?
?
；把比值叫做
α
的正割，
yy
x
rr
r
；把比值叫做
α
的 余割，记做
csc
?
，即
csc
?
?
。
yy
x
记做
sec
?
，即
sec
?
? 对于一个确定的角
α
，上述的比值是唯一确定的，它们都可以看成从一个角的集合到一 个
比值的集合的映射，是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。
●诱导公式一
终边相同角的同一个三角函数的值相等。

sin(
?
?k?2
?
)?sin
?
，

cos(
?
?k?2
?
)?cos
?
，

tan(
?
?k?2
?
)?tan
?
，以上k∈Z 。
利用此公式，可以把球求任意角的三角函数值化为求0到2π角的三角函数值。
●正弦线、余弦线、正切线
1、如图所示，设任意角
α
的终边与单位圆交于点P（x,y），那么
yy
??y
，
r1
xx

cos
?
???x
。
r1

sin
?
?
y
P
o
M x
过点P（x,y）作PM⊥x轴于M，我们把线段MP，OM都看做规定
了方向的有向线段 ：当MP的方向与y轴的正方向一致时，MP是正的；当MP的方向与
y轴的负方向一致时，MP是负的 。因此，有向线段MP的符号与点P纵坐标的符号总是一致
的，且|MP|=|y|，即总有MP=y。 同理也有OM=x成立。从而
sin
?
?y?MP
，
cos
?
?x?OM
。
我们把单位圆中规定了方向的线段MP，OM分别叫做角
α< br>的正弦线、余弦线。
2、如图所示，过A（1,0）作x轴的垂线，交
α
的终边OP的
延长线（当
α
为第一、四象限角时）或这条终边的反向延
长线（当
α
为第二、三象限角时）于点T，借助于有向线
段OA，AT，我 们有
tan
?
?
yAT
??AT
。于是，我们
xOA
把规定了方向的线段AT叫做
α
的正切线。
特别地，当
α
的终边在x轴上时，点A与点T重合，
tan
?
?A T?0
；当
α
的终边落在y轴上时，OP与垂线平行，正切线不存在。
y
P
T
A
O
M x
四、同角三角函数的基本关系
●同角三角函数的基本关系

4

根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。
由三角函数定义有
sin
?
?
22
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
。
rrx
y
2
x
2
x
2
?y
2
r
2
?
2
?1
，即
sin
2
?
?cos
2
?
?1
。 ①
sin
?
?cos
?
?()?()?
2
rrrr
②当
?
?k
?
?
?
sin
? ?
即同一个角
α
的正弦、
(k?Z)
时，
?tan
?
(
?
?k
?
?,k?Z)
，
2cos
?
2
余弦的平方和等于1，商等于
α
角的正切（其中
?
?k< br>?
?
●关于公式
sin
2
?
?cos
2?
?1
的深化
?
2
。
,k?Z
）
1?sin
?
?
?
sin
?
?cos
?
?
2
；
1?sin
?
?sin
?
?cos
?
；
1?sin
?
?sin
?
2
?cos
?
2

如：
1?sin8?sin4?cos4??sin4?cos4
；
1?sin8?sin4?cos4

五、正弦、余弦的诱导公式
●诱导公式二

sin(
?
?
?
)??sin
?
，
cos(
?
?
?
)??cos
?，
tan(
?
?
?
)?tan
?
。
●诱导公式三

sin(?
?
)??sin
?
，
cos(?
?
)?cos
?
，
tan(?
?)??tan
?
。
●诱导公式四

sin(
?< br>?
?
)?sin
?
，
cos(
?
?
?
)??cos
?
，
tan(
?
?
?
)? ?tan
?
。
以上几个诱导公式可以叙述为 ：对于
?
?k? 2
?
(k?Z)
，则
?
?
，
?
?
?
的三角函数，
等于
α
的同名函数值，前面加上一个把
α
看 成锐角时原三角函数值的符号。
也可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。
●诱导公式五

sin
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
?sin
?
。
?
2
??
2
?
●诱导公式六

sin
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos
?
，
cos
?
?
?
?
??sin
?
。
?
2
?
?
2
?
可以概 括为：
?
2
?
?
的正弦（余弦）函数值，分别等于
α
的余弦（正弦）函数值，前面加
上一个把
α
看成锐角时原函数值的符号。
也可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”。
六、两角和与差的正弦、余弦、正切

5

●两角和的正弦、余弦、正切

sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
?cos
?
?cos
?
?sin
?
，

cos
?
?
?
?
?
?cos
?
?cos
?
?sin
?
?sin
?
，
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan< br>?
tan
?
。
●两角差的正弦、余弦、正切
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
，

cos< br>?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?< br>?sin
?
sin
?
，
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?ta n
?
tan
?
。

此处公式较多，可熟记两角和的 三个公式，两角的差
?
?
?
?
?
可以看做
?
?(?
?
)
，进行
推导。
●积化和差公式
1
[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
) ]
，
2
1

cos
?
?sin
??[sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?)]
，
2
1

cos
?
?cos
?
?[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]
，
2
1

sin
?
?sin< br>?
??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]
。
2

sin
?
?cos
?
?
●和差化积公式
sin
?
?sin
?
?2sin
?
?
?
22
?
?
??
?
?

sin
?
?sin
?
?2cos
，
?sin
22
?
?
??
?
?

cos
?
?cos
?
?2cos
，
?cos
22
?
?
??
?
?

cos
?
?cos
?
??2sin
。
?sin
22
?cos
?
?
?
，

课后练习题
1.将－300
o
化为弧度为（ ）
A．－
4
?
5
?
7
?
7
?
B．－ C．－ D．－
；；；；
3364

6

2.如果点
P(sin
?
cos?
,2cos
?
)
位于第三象限，那么角
?
所在象限是 （ ）
Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3．下列选项中叙述正确的是 （ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角比第一象限的角大
D．终边不同的角同一三角函数值不相等
4．下列函数中为偶函数的是（ ）
A．
y?sin|x|
B．
y?sin
2
x
C．
y??sinx
D．
y?sinx?1

5.
1?2sin(
?
?2)cos(
?
?2)
等于 （ ）
D．sin2+cos2 A．sin2－cos2 B．cos2－sin2 C．±（sin2－cos2）
6．若角
?
的终边落在直线y=2x上，则sin
?
的值为（ ）
A.
?
B.
?
1
5
525
1
C.
?
D.
?

55
2
7. 若点
P
在角
?< br>的终边的反向延长线上，且
OP?1
，则点
P
的坐标为（ ）

(A)(?cos
?
,sin
?
);

(B)(cos
?
,sin
?
);

(C)(cos
?
,?sin
?
);

(D)(?cos
?
,?sin
?
);

8. 已 知角
?
的终边经过点
p
0
（-3，-4），则
cos(?< br>?
)
的值为（ ）
?
2
A.
?
4343
B. C. D.
?

55
55
3.已知
?
、
?
是第二象限的角，且
cos
?
?cos
?
，则 （ ）
A.
?
?
?
; B.
sin
?
?sin
?
； C.
tan
?
?tan
?
； D.以上都不对
9. 已知角α的终边经过点P(3，
3
)，则与α终边相同的角的集合是______
c os(?
?
)sin(?
?
?
?
)
2
10 .
已知角
?
终边上一点P（－4，3），求的值。
11
?
9
?
cos(?
?
)sin(?
?
)
22







?

7